Familia de escala de ubicación

Familia de distribuciones de probabilidad

En teoría de la probabilidad , especialmente en estadística matemática , una familia de ubicación-escala es una familia de distribuciones de probabilidad parametrizadas por un parámetro de ubicación y un parámetro de escala no negativo . Para cualquier variable aleatoria cuya función de distribución de probabilidad pertenece a dicha familia, la función de distribución de también pertenece a la familia (donde significa " igual en distribución ", es decir, "tiene la misma distribución que"). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y{\stackrel {d}{=}}a+bX}$ ${\displaystyle {\stackrel {d}{=}}}$

En otras palabras, una clase de distribuciones de probabilidad es una familia de ubicación-escala si para todas las funciones de distribución acumulativas y cualquier número real y , la función de distribución también es miembro de . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle F\in \Omega }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle G(x)=F(a+bx)}$ ${\displaystyle \Omega }$

• Si tiene una función de distribución acumulativa , entonces tiene una función de distribución acumulativa . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)}$ ${\displaystyle Y{=}a+bX}$ ${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)}$
• Si es una variable aleatoria discreta con función de masa de probabilidad , entonces es una variable aleatoria discreta con función de masa de probabilidad . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{X}(x)=P(X=x)}$ ${\displaystyle Y{=}a+bX}$ ${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)}$
• Si es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad , entonces es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle Y{=}a+bX}$ ${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{b}}f_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)}$

Además, si y son dos variables aleatorias cuyas funciones de distribución son miembros de la familia, y asumiendo la existencia de los dos primeros momentos y tiene media cero y varianza unitaria, entonces se puede escribir como , donde y son la media y la desviación estándar de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y{\stackrel {d}{=}}\mu _{Y}+\sigma _{Y}X}$ ${\displaystyle \mu _{Y}}$ ${\displaystyle \sigma _{Y}}$ ${\displaystyle Y}$

En la teoría de decisiones , si todas las distribuciones alternativas disponibles para un tomador de decisiones están en la misma familia de ubicación-escala, y los primeros dos momentos son finitos, entonces se puede aplicar un modelo de decisión de dos momentos , y la toma de decisiones se puede enmarcar en términos de las medias y las varianzas de las distribuciones. ^{[1] [2] [3]}

Ejemplos

A menudo, las familias de escala de ubicación se limitan a aquellas en las que todos los miembros tienen la misma forma funcional. La mayoría de las familias de escala de ubicación son univariadas , aunque no todas. Las familias conocidas en las que la forma funcional de la distribución es consistente en toda la familia incluyen las siguientes:

• Distribución normal
• Distribuciones elípticas
• Distribución de Cauchy
• Distribución uniforme (continua)
• Distribución uniforme (discreta)
• Distribución logística
• Distribución de Laplace
• Distribución t de Student
• Distribución generalizada de valores extremos

Convertir una distribución única en una familia de escala de ubicación

A continuación se muestra cómo implementar una familia de escala de ubicación en un paquete estadístico o un entorno de programación donde solo están disponibles las funciones para la versión "estándar" de una distribución. Está diseñada para R, pero se puede generalizar a cualquier lenguaje y biblioteca.

El ejemplo que se muestra aquí es de la distribución t de Student , que normalmente se proporciona en R solo en su forma estándar, con un único parámetro de grados de libertaddf . Las versiones a continuación con _lsanexos muestran cómo generalizar esto a una distribución t de Student generalizadam con un parámetro de ubicación y un parámetro de escala arbitrarios s.

Tenga en cuenta que las funciones generalizadas no tienen desviación estándar sya que la distribución t estándar no tiene desviación estándar de 1.

Referencias

1. Meyer, Jack (1987). "Modelos de decisión de dos momentos y maximización de la utilidad esperada". American Economic Review . 77 (3): 421–430. JSTOR  1804104.
2. Mayshar, J. (1978). "Una nota sobre la crítica de Feldstein al análisis de media-varianza". Review of Economic Studies . 45 (1): 197–199. JSTOR  2297094.
3. Sinn, H.-W. (1983). Decisiones económicas bajo incertidumbre (segunda edición en inglés). Holanda Septentrional.

Enlaces externos

• http://www.randomservices.org/random/special/LocationScale.html