Parámetro de ubicación

Concepto en estadística

En estadística , un parámetro de ubicación de una distribución de probabilidad es un parámetro de valor escalar o vectorial que determina la "ubicación" o desplazamiento de la distribución. En la literatura sobre estimación de parámetros de ubicación, las distribuciones de probabilidad con dicho parámetro se definen formalmente de una de las siguientes maneras equivalentes: ${\displaystyle x_{0}}$

• ya sea como si tuviera una función de densidad de probabilidad o una función de masa de probabilidad ; ^[1] o ${\displaystyle f(x-x_{0})}$
• que tiene una función de distribución acumulativa ; ^[2] o ${\displaystyle F(x-x_{0})}$
• se define como el resultado de la transformación de la variable aleatoria , donde es una variable aleatoria con una distribución determinada, posiblemente desconocida ^[3] (véase también #Ruido_aditivo). ${\displaystyle x_{0}+X}$ ${\displaystyle X}$

Un ejemplo directo de un parámetro de ubicación es el parámetro de la distribución normal . Para comprobarlo, observe que la función de densidad de probabilidad de una distribución normal puede tener el parámetro extraído y escribirse como: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x|\mu ,\sigma )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle g(y-\mu |\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {y}{\sigma }}\right)^{2}}}$

Cumpliéndose así la primera de las definiciones dadas anteriormente.

La definición anterior indica, en el caso unidimensional, que si aumenta, la densidad de probabilidad o función de masa se desplaza rígidamente hacia la derecha, manteniendo su forma exacta. ${\displaystyle x_{0}}$

También se puede encontrar un parámetro de ubicación en familias que tienen más de un parámetro, como las familias de ubicación-escala . En este caso, la función de densidad de probabilidad o la función de masa de probabilidad serán un caso especial de la forma más general

${\displaystyle f_{x_{0},\theta }(x)=f_{\theta }(x-x_{0})}$

donde es el parámetro de ubicación, θ representa parámetros adicionales y es una función parametrizada en los parámetros adicionales. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f_{\theta }}$

Definición[4]

Sea cualquier función de densidad de probabilidad y sean y cualquier constante dada. Entonces la función ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle g(x|\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma }}f\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

es una función de densidad de probabilidad.

La familia de ubicaciones se define entonces de la siguiente manera:

Sea cualquier función de densidad de probabilidad. Entonces, la familia de funciones de densidad de probabilidad se denomina familia de ubicación con función de densidad de probabilidad estándar , donde se denomina parámetro de ubicación para la familia. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(x-\mu ):\mu \in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mu }$

Ruido aditivo

Una forma alternativa de pensar en las familias de ubicaciones es a través del concepto de ruido aditivo . Si es una constante y W es ruido aleatorio con densidad de probabilidad , entonces tiene densidad de probabilidad y, por lo tanto, su distribución es parte de una familia de ubicaciones. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f_{W}(w),}$ ${\displaystyle X=x_{0}+W}$ ${\displaystyle f_{x_{0}}(x)=f_{W}(x-x_{0})}$

Pruebas

Para el caso univariado continuo, considere una función de densidad de probabilidad , donde es un vector de parámetros. Se puede agregar un parámetro de ubicación definiendo: ${\displaystyle f(x|\theta ),x\in [a,b]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})=f(x-x_{0}|\theta ),\;x\in [a-x_{0},b-x_{0}]}$

se puede demostrar que es una función de densidad de probabilidad verificando si respeta las dos condiciones ^[5] y . integra a 1 porque: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=1}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a-x_{0}}^{b-x_{0}}f(x-x_{0}|\theta )dx}$

Ahora, al realizar el cambio de variable y actualizar el intervalo de integración en consecuencia, obtenemos: ${\displaystyle u=x-x_{0}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(u|\theta )du=1}$

porque es un pdf por hipótesis. se deduce de compartir la misma imagen de , que es un pdf por lo que su imagen está contenida en . ${\displaystyle f(x|\theta )}$ ${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Véase también

• Tendencia central
• Prueba de ubicación
• Estimador invariante
• Parámetro de escala
• Modelos de decisión de dos momentos

Referencias

1. Takeuchi, Kei (1971). "Un estimador uniformemente asintóticamente eficiente de un parámetro de ubicación". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 66 (334): 292–301. doi :10.1080/01621459.1971.10482258. S2CID  120949417.
2. Huber, Peter J. (1992). "Estimación robusta de un parámetro de ubicación". Avances en estadística . Springer Series in Statistics. Springer: 492–518. doi :10.1007/978-1-4612-4380-9_35. ISBN 978-0-387-94039-7.
3. Stone, Charles J. (1975). "Estimadores adaptativos de máxima verosimilitud de un parámetro de ubicación". Anales de estadística . 3 (2): 267–284. doi : 10.1214/aos/1176343056 .
4. Casella, George; Berger, Roger (2001). Inferencia estadística (2.ª ed.). pág. 116. ISBN 978-0534243128.
5. Ross, Sheldon (2010). Introducción a los modelos de probabilidad . Ámsterdam, Boston: Academic Press. ISBN 978-0-12-375686-2.OCLC 444116127  .