Modelo de decisión de dos momentos

En teoría de la decisión , economía y finanzas , un modelo de decisión de dos momentos es un modelo que describe o prescribe el proceso de toma de decisiones en un contexto en el que el decisor se enfrenta a variables aleatorias cuyas realizaciones no se pueden conocer de antemano, y en el que las elecciones se toman en función del conocimiento de dos momentos de esas variables aleatorias. Los dos momentos son casi siempre la media, es decir, el valor esperado , que es el primer momento alrededor de cero, y la varianza , que es el segundo momento alrededor de la media (o la desviación estándar , que es la raíz cuadrada de la varianza).

El modelo de decisión de dos momentos más conocido es el de la teoría de cartera moderna , que da lugar a la parte de decisión del modelo de fijación de precios de activos de capital ; estos emplean el análisis de media-varianza y se centran en la media y la varianza del valor final de una cartera.

Modelos de dos momentos y maximización de la utilidad esperada

Supongamos que todas las variables aleatorias relevantes pertenecen a la misma familia de ubicación-escala , lo que significa que la distribución de cada variable aleatoria es la misma que la distribución de alguna transformación lineal de cualquier otra variable aleatoria. Entonces, para cualquier función de utilidad de von Neumann-Morgenstern , el uso de un marco de decisión de media-varianza es consistente con la maximización de la utilidad esperada , ^{[1] [2]} como se ilustra en el ejemplo 1:

Ejemplo 1: ^{[3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]} Sea un activo riesgoso con un rendimiento aleatorio , y un activo libre de riesgo con un rendimiento conocido , y sea la riqueza inicial de un inversor . Si la cantidad , la variable de elección, se va a invertir en el activo riesgoso y la cantidad se va a invertir en el activo seguro, entonces, dependiendo de , la riqueza final aleatoria del inversor será . Entonces, para cualquier elección de , se distribuye como una transformación de escala de ubicación de  . Si definimos variable aleatoria como igual en distribución a entonces es igual en distribución a , donde μ representa un valor esperado y σ representa la desviación estándar de una variable aleatoria (la raíz cuadrada de su segundo momento). Por lo tanto, podemos escribir la utilidad esperada en términos de dos momentos de  : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{f}}$ ${\displaystyle w_{0}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle w_{0}-q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle w=(w_{0}-q)r_{f}+qr}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tfrac {w-\mu _{w}}{\sigma _{w}}},}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \mu _{w}+\sigma _{w}x}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \operatorname {E} u(w)=\int _{-\infty }^{\infty }\!u(\mu _{w}+\sigma _{w}x)f(x)\,dx\equiv v(\mu _{w},\sigma _{w}),}$

donde es la función de utilidad de von Neumann-Morgenstern , es la función de densidad de , y es la función de elección derivada de la desviación estándar-media, que depende en forma de la función de densidad f . Se supone que la función de utilidad de von Neumann-Morgenstern es creciente, lo que implica que se prefiere más riqueza a menos, y se supone que es cóncava, lo que es lo mismo que suponer que el individuo es reacio al riesgo . ${\displaystyle u(\cdot )}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v(\cdot ,\cdot )}$

Se puede demostrar que la derivada parcial de v con respecto a μ _w es positiva, y la derivada parcial de v con respecto a σ _w es negativa; por lo tanto, siempre se desea más riqueza esperada, y siempre se desagrada más riesgo (medido por la desviación estándar de la riqueza). Una curva de indiferencia de media-desviación estándar se define como el lugar geométrico de los puntos ( σ _w ,  μ _w ) con σ _w trazado horizontalmente, de modo que E u ( w ) tiene el mismo valor en todos los puntos del lugar geométrico. Entonces, las derivadas de v implican que cada curva de indiferencia tiene pendiente positiva: es decir, a lo largo de cualquier curva de indiferencia dμ _w  /  d σ _w  > 0. Además, se puede demostrar ^[3] que todas esas curvas de indiferencia son convexas: a lo largo de cualquier curva de indiferencia, d ² μ _w  /  d (σ _w ) ²  > 0.

Ejemplo 2: El análisis de cartera del ejemplo 1 se puede generalizar. Si hay n activos riesgosos en lugar de solo uno, y si sus rendimientos se distribuyen elípticamente de manera conjunta , entonces todas las carteras se pueden caracterizar completamente por su media y varianza; es decir, dos carteras cualesquiera con una media y varianza idénticas de rendimiento de la cartera tienen distribuciones idénticas de rendimiento de la cartera, y todas las carteras posibles tienen distribuciones de rendimiento que están relacionadas entre sí por la escala de ubicación. ^{[11] [12]} Por lo tanto, la optimización de la cartera se puede implementar utilizando un modelo de decisión de dos momentos.

Ejemplo 3: Supongamos que una empresa que acepta precios y es reacia al riesgo debe comprometerse a producir una cantidad de producción q antes de observar la realización de mercado p del precio del producto. ^[13] Su problema de decisión es elegir q de manera de maximizar la utilidad esperada de la ganancia:

Maximizar Eu ( pq – c ( q ) – g ),

donde E es el operador de valor esperado , u es la función de utilidad de la empresa, c es su función de costo variable y g es su costo fijo . Todas las distribuciones posibles de los ingresos aleatorios de la empresa pq , basadas en todas las posibles elecciones de q , están relacionadas con la escala de ubicación; por lo tanto, el problema de decisión se puede enmarcar en términos del valor esperado y la varianza de los ingresos.

Toma de decisiones de utilidad no esperada

Si quien toma las decisiones no es un maximizador de la utilidad esperada , la toma de decisiones aún puede enmarcarse en términos de la media y la varianza de una variable aleatoria si todas las distribuciones alternativas para un resultado impredecible son transformaciones de escala de ubicación entre sí. ^[14]

Véase también

• Teoría de la decisión
• Elección de cartera intertemporal
• Microeconomía

Referencias

1. Mayshar, J. (1978). "Una nota sobre la crítica de Feldstein al análisis de media-varianza". Review of Economic Studies . 45 (1): 197–199. doi :10.2307/2297094. JSTOR  2297094.
2. Sinn, H.-W. (1983). Decisiones económicas en condiciones de incertidumbre (segunda edición en inglés). Ámsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 0444863877.
3. Meyer, Jack (1987). "Modelos de decisión de dos momentos y maximización de la utilidad esperada". American Economic Review . 77 (3): 421–430. JSTOR  1804104.
4. Tobin, J. (1958). "La preferencia por la liquidez como comportamiento frente al riesgo". Review of Economic Studies . 25 (1): 65–86. doi :10.2307/2296205. JSTOR  2296205.
5. Mueller, MG, ed. (1966). Lecturas en macroeconomía . Holt, Rinehart y Winston. pp. 65–86.
6. Thorn, Richard S., ed. (1966). Teoría y política monetaria . Random House. págs. 172-191.
7. Williams, HR; Huffnagle, JD, eds. (1969). Teoría macroeconómica . Appleton-Century-Crofts. págs. 299-324. ISBN 9780390946461.
8. Tobin, J. (1971). "Capítulo 15: La preferencia por la liquidez como comportamiento frente al riesgo". Ensayos de economía: Macroeconomía . Vol. 1. MIT Press. ISBN 0262200627.
9. Tobin, J.; Hester, D. eds. (1967) Aversión al riesgo y elección de cartera , Cowles Monograph No. 19, John Wiley & Sons ^{[ página necesaria ]}
10. David Laidler, ed. (1999) The Foundations of Monetary Economics, vol. 1 , Edward Elgar Publishing Ltd. ^{[ página necesaria ]}
11. Chamberlain, G. (1983). "Una caracterización de las distribuciones que implican funciones de utilidad media-varianza". Journal of Economic Theory . 29 (1): 185–201. doi :10.1016/0022-0531(83)90129-1.
12. Owen, J.; Rabinovitch, R. (1983). "Sobre la clase de distribuciones elípticas y sus aplicaciones a la teoría de la elección de cartera". Journal of Finance . 38 (3): 745–752. doi :10.1111/j.1540-6261.1983.tb02499.x. JSTOR  2328079.
13. Sandmo, Agnar (1971). "Sobre la teoría de la empresa competitiva bajo incertidumbre de precios". American Economic Review . 61 (1): 65–73. JSTOR  1910541.
14. Bar-Shira, Z., y Finkelshtain, I., "Modelos de decisión en dos momentos y preferencias representables en función de la utilidad", Journal of Economic Behavior and Organization 38, 1999, 237-244. Véase también Mitchell, Douglas W., y Gelles, Gregory M., "Modelos de decisión en dos momentos y preferencias representables en función de la utilidad: un comentario sobre Bar-Shira y Finkelshtain", vol. 49, 2002, 423-427.