Gráfico log-log

Gráfico 2D con escalas logarítmicas en ambos ejes.

Una gráfica log-log de y  =  x  (azul), y  =  x ²  (verde) e y  =  x ³  (rojo).
Tenga en cuenta las marcas de escala logarítmica en cada uno de los ejes, y que los ejes log  x y log  y (donde los logaritmos son 0) están donde xey son 1.

Comparación de funciones lineales, cóncavas y convexas\nEn escalas original (izquierda) y log10 (derecha)

En ciencia e ingeniería , un gráfico log-log o un gráfico log-log es un gráfico bidimensional de datos numéricos que utiliza escalas logarítmicas tanto en el eje horizontal como en el vertical. Las funciones de potencia (relaciones de la forma ) aparecen como líneas rectas en una gráfica log-log, con el exponente correspondiente a la pendiente y el coeficiente correspondiente a la intersección. Por tanto, estos gráficos son muy útiles para reconocer estas relaciones y estimar parámetros . Se puede usar cualquier base para el logaritmo, aunque lo más común es que se use la base 10 (registros comunes). ${\displaystyle y=ax^{k}}$

Relación con monomios

Dada una ecuación monomial, tomando el logaritmo de la ecuación (con cualquier base) se obtiene: ${\displaystyle y=ax^{k},}$

$${\displaystyle \log y=k\log x+\log a.}$$

La configuración y que corresponde al uso de una gráfica log-log produce la ecuación ${\displaystyle X=\log x}$ ${\displaystyle Y=\log y,}$

$${\displaystyle Y=mX+b}$$

donde m  =  k es la pendiente de la línea ( gradiente ) y b  = log  a es la intersección en el eje (log  y ), es decir, donde log  x  = 0, entonces, invirtiendo los registros, a es el valor de y correspondiente a x  = 1. ^[1]

Ecuaciones

La ecuación para una línea en una escala log-log sería:

$${\displaystyle \log _{10}F(x)=m\log _{10}x+b,}$$

$${\displaystyle F(x)=x^{m}\cdot 10^{b},}$$

mb

Pendiente de una gráfica log-log

Encontrar la pendiente de una gráfica log-log usando proporciones

Para encontrar la pendiente de la gráfica, se seleccionan dos puntos en el eje x , digamos x ₁ y x ₂ . Usando la ecuación anterior:

$${\displaystyle \log[F(x_{1})]=m\log(x_{1})+b,}$$

$${\displaystyle \log[F(x_{2})]=m\log(x_{2})+b.}$$

m

$${\displaystyle m={\frac {\log(F_{2})-\log(F_{1})}{\log(x_{2})-\log(x_{1})}}={\frac {\log(F_{2}/F_{1})}{\log(x_{2}/x_{1})}},}$$

F ₁Fx ₁F ₂Fx ₂negativa

$${\displaystyle \log(x_{1}/x_{2})=-\log(x_{2}/x_{1}).}$$

Encontrar la función a partir de la gráfica log-log

El procedimiento anterior ahora se invierte para encontrar la forma de la función F ( x ) usando su (supuesta) gráfica log-log conocida. Para encontrar la función F , elija algún punto fijo ( x ₀ , F ₀ ), donde F ₀ es una abreviatura de F ( x ₀ ), en algún lugar de la línea recta en el gráfico anterior, y luego algún otro punto arbitrario ( x ₁ , F ₁ ) en el mismo gráfico. Luego de la fórmula de pendiente anterior:

$${\displaystyle m={\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}}}$$

$${\displaystyle \log(F_{1}/F_{0})=m\log(x_{1}/x_{0})=\log[(x_{1}/x_{0})^{m}].}$$

^{log ₁₀ ( F ₁ )}F ₁

$${\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{0}}}=\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}}$$

$${\displaystyle F_{1}={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}\,x^{m},}$$

$${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.}$$

Faxx ₀F ₀x ₁F ₁

$${\displaystyle F(x)={F_{0}}\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)^{\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}},}$$

$${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}}$$

m

Encontrar el área bajo un segmento de línea recta de una gráfica log-log

Para calcular el área bajo un segmento de línea recta continua de una gráfica log-log (o estimar un área de una línea casi recta), tome la función definida anteriormente

$${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.}$$

$${\displaystyle A(x)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\left.{\frac {\mathrm {constant} }{m+1}}\cdot x^{m+1}\right|_{x_{0}}^{x_{1}}}$$

Reorganizando la ecuación original y reemplazando los valores de punto fijo, se encuentra que

$${\displaystyle \mathrm {constant} ={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}}$$

Volviendo a sustituir en la integral, se encuentra que para A entre x ₀ y x ₁

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\[1.2ex]\log A&=\log \left[{\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\right]\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}-\log {\frac {1}{x_{0}^{m}}}+\log(x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m}}{x_{0}^{m}}}\cdot x_{1}-{\frac {x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, ${\displaystyle A={\frac {F_{0}}{m+1}}\cdot \left[x_{1}\cdot \left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}-x_{0}\right]}$

Para m  = −1, la integral se convierte en

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{(m=-1)}&=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {\mathrm {constant} }{x}}\,dx={\frac {F_{0}}{x_{0}^{-1}}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {dx}{x}}=F_{0}\cdot x_{0}\cdot {\ln x}{\Big |}_{x_{0}}^{x_{1}}\\A_{(m=-1)}&=F_{0}\cdot x_{0}\cdot \ln {\frac {x_{1}}{x_{0}}}\end{aligned}}}$$

Modelos de regresión lineal log-log

Los gráficos log-log se utilizan a menudo para visualizar modelos de regresión lineal log-log con errores (aproximadamente) log-normales o log-logísticos . En tales modelos, después de transformar logarítmicamente las variables dependientes e independientes, se puede ajustar un modelo de regresión lineal simple , en el que los errores se vuelven homocedásticos . Este modelo es útil cuando se trata de datos que muestran un crecimiento o decrecimiento exponencial, mientras que los errores continúan creciendo a medida que crece el valor independiente (es decir, error heteroscedástico ).

Como se indicó anteriormente, en un modelo lineal log-log la relación entre las variables se expresa como una ley de potencia. Cada cambio de unidad en la variable independiente dará como resultado un cambio porcentual constante en la variable dependiente. El modelo se expresa como:

${\displaystyle y=a\cdot x^{b}\cdot e^{\epsilon }}$

Tomando el logaritmo de ambos lados obtenemos:

${\displaystyle \log(y)=\log(a)+b\cdot \log(x)+\epsilon }$

Esta es una ecuación lineal en los logaritmos de "x" e "y", con "log(a)" como intersección y "b" como pendiente. En el cual , y . ${\displaystyle \epsilon \sim Normal(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle e^{\epsilon }\sim Log-Normal(\mu ,\sigma ^{2})}$

Figura 1: Visualización de datos normales de Loglog

La Figura 1 ilustra cómo se ve esto. Presenta dos gráficos generados utilizando 10.000 puntos simulados. El gráfico de la izquierda, titulado 'Línea cóncava con ruido logarítmico normal', muestra un gráfico de dispersión de los datos observados (y) frente a la variable independiente (x). La línea roja representa la 'línea mediana', mientras que la línea azul es la 'línea media'. Este gráfico ilustra un conjunto de datos con una relación de ley de potencia entre las variables, representada por una línea cóncava.

Cuando ambas variables se transforman logarítmicamente, como se muestra en el gráfico derecho de la Figura 1, titulado 'Línea lineal logarítmica con ruido normal', la relación se vuelve lineal. Este gráfico también muestra un diagrama de dispersión de los datos observados frente a la variable independiente, pero después de que ambos ejes estén en una escala logarítmica. Aquí, tanto la línea media como la mediana son la misma línea (roja). Esta transformación nos permite ajustar un modelo de regresión lineal simple (que luego se puede transformar nuevamente a la escala original, como la línea mediana).

Figura 2: Datos normales del registro de métricas de errores de la ventana deslizante

La transformación del gráfico de la izquierda al gráfico de la derecha en la Figura 1 también demuestra el efecto de la transformación logarítmica en la distribución del ruido en los datos. En el gráfico de la izquierda, el ruido parece seguir una distribución logarítmica normal , que está sesgada hacia la derecha y puede resultar difícil trabajar con ella. En el gráfico de la derecha, después de la transformación logarítmica, el ruido parece seguir una distribución normal , que es más fácil de razonar y modelar.

Esta normalización del ruido se analiza más a fondo en la Figura 2, que presenta un gráfico de líneas de tres métricas de error (Error medio absoluto - MAE, Error cuadrático medio - RMSE y Error logarítmico absoluto medio - MALE) calculado sobre una ventana deslizante de tamaño 28. en el eje x. El eje y da el error, trazado contra la variable independiente (x). Cada métrica de error está representada por un color diferente, con la línea suavizada correspondiente superpuesta a la línea original (dado que se trata solo de datos simulados, la estimación del error es un poco inestable). Estas métricas de error proporcionan una medida del ruido a medida que varía entre diferentes valores de x.

Los modelos lineales log-log se utilizan ampliamente en diversos campos, incluidos la economía, la biología y la física, donde muchos fenómenos exhiben un comportamiento de ley potencial. También son útiles en el análisis de regresión cuando se trata de datos heteroscedásticos, ya que la transformación logarítmica puede ayudar a estabilizar la varianza.

Aplicaciones

Un gráfico log-log que condensa información que abarca más de un orden de magnitud a lo largo de ambos ejes.

Estos gráficos son útiles cuando es necesario estimar los parámetros a y b a partir de datos numéricos. Especificaciones como ésta se utilizan con frecuencia en economía .

Un ejemplo es la estimación de funciones de demanda de dinero basadas en la teoría de inventarios , en la que se puede suponer que la demanda de dinero en el momento t está dada por

$${\displaystyle M_{t}=AR_{t}^{b}Y_{t}^{c}U_{t},}$$

MdineroRtasa de rendimientoY es el ingreso realUdistribuido lognormalmenteAbcde elasticidad

$${\displaystyle m_{t}=a+br_{t}+cy_{t}+u_{t},}$$

mMaArRyYuUunormalmentemínimos cuadrados ordinarios

Otro ejemplo económico es la estimación de la función de producción Cobb-Douglas de una empresa , que es el lado derecho de la ecuación.

$${\displaystyle Q_{t}=AN_{t}^{\alpha }K_{t}^{\beta }U_{t},}$$

QNKUA ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle q_{t}=a+\alpha n_{t}+\beta k_{t}+u_{t}}$$

qQaAnNkKuU.

La regresión log-log también se puede utilizar para estimar la dimensión fractal de un fractal natural .

Sin embargo, ir en la otra dirección (observar que los datos aparecen como una línea aproximada en una escala log-log y concluir que los datos siguen una ley potencial) no siempre es válido. ^[2]

De hecho, muchas otras formas funcionales aparecen aproximadamente lineales en la escala log-log, y simplemente evaluar la bondad de ajuste de una regresión lineal sobre datos registrados usando el coeficiente de determinación ( R ² ) puede no ser válido, ya que los supuestos de la regresión lineal Es posible que no se cumpla el modelo de regresión, como el error gaussiano; Además, las pruebas de ajuste de la forma log-log pueden exhibir un poder estadístico bajo , ya que estas pruebas pueden tener una baja probabilidad de rechazar leyes de potencia en presencia de otras formas funcionales verdaderas. Si bien los diagramas log-log simples pueden ser instructivos para detectar posibles leyes de potencia, y se han utilizado desde Pareto en la década de 1890, la validación como ley de potencia requiere estadísticas más sofisticadas. ^[2]

Estos gráficos también son extremadamente útiles cuando los datos se recopilan variando la variable de control a lo largo de una función exponencial, en cuyo caso la variable de control x se representa más naturalmente en una escala logarítmica, de modo que los puntos de datos estén espaciados uniformemente, en lugar de comprimidos en la escala. de gama baja. La variable de salida y se puede representar linealmente, lo que produce una gráfica lin-log (log  x , y ), o también se puede tomar su logaritmo, lo que produce la gráfica log-log (log  x , log  y ).

El diagrama de Bode (un gráfico de la respuesta de frecuencia de un sistema) también es un diagrama log-log.

En cinética química , la forma general de dependencia de la velocidad de reacción de la concentración toma la forma de una ley de potencia ( ley de acción de masas ), por lo que una gráfica log-log es útil para estimar los parámetros de reacción a partir del experimento.

Ver también

• Gráfico semilogarítmico (lin-log o log-lin)
• Ley de potencia
• ley zipf
• Modelo log-lineal
• Distribución logarítmica normal
• Distribución logística-logística
• Transformación de datos (estadísticas)
• Transformación estabilizadora de varianza

Referencias

1. M. Bourne Gráficos sobre papel logarítmico y semilogarítmico (www.intmath.com)
2. Clauset, A.; Shalizi, CR; Newman, MEJ (2009). "Distribuciones de la ley de potencias en datos empíricos". Revisión SIAM . 51 (4): 661–703. arXiv : 0706.1062 . Código Bib : 2009SIAMR..51..661C. doi :10.1137/070710111. S2CID  9155618.

enlaces externos

• Sitio web de cálculo no newtoniano