Gráfica logarítmica

Gráfico 2D con escalas logarítmicas en ambos ejes

Gráfica logarítmica de y  =  x  (azul), y  =  x ²  (verde) e y  =  x ³  (rojo).
Nótese que las marcas de escala logarítmica están en cada uno de los ejes y que los ejes logarítmicos  x y logarítmicos  y (donde los logaritmos son 0) son donde x e y son 1.

Comparación de funciones lineales, cóncavas y convexas en escala original (izquierda) y log10 (derecha)

En ciencia e ingeniería , un gráfico logarítmico o diagrama logarítmico es un gráfico bidimensional de datos numéricos que utiliza escalas logarítmicas tanto en el eje horizontal como en el vertical. Las funciones de potencia (relaciones de la forma ) aparecen como líneas rectas en un gráfico logarítmico, donde el exponente corresponde a la pendiente y el coeficiente corresponde a la intersección. Por lo tanto, estos gráficos son muy útiles para reconocer estas relaciones y estimar parámetros . Se puede utilizar cualquier base para el logaritmo, aunque lo más común es utilizar la base 10 (logaritmos comunes). ${\displaystyle y=ax^{k}}$

Relación con monomios

Dada una ecuación monomial tomando el logaritmo de la ecuación (con cualquier base) se obtiene: ${\displaystyle y=ax^{k},}$ $${\displaystyle \log y=k\log x+\log a.}$$

La configuración que corresponde al uso de un gráfico logarítmico-logarítmico produce la ecuación ${\displaystyle X=\log x}$ ${\displaystyle Y=\log y,}$ $${\displaystyle Y=mX+b}$$

donde m  =  k es la pendiente de la línea ( gradiente ) y b  = log  a es la intersección en el eje (log  y ), es decir, donde log  x  = 0, entonces, invirtiendo los logaritmos, a es el valor y correspondiente a x  = 1. ^[1]

Ecuaciones

La ecuación para una línea en una escala logarítmica sería: donde m es la pendiente y b es el punto de intersección en el gráfico logarítmico. $${\displaystyle \log _{10}F(x)=m\log _{10}x+b,}$$ $${\displaystyle F(x)=x^{m}\cdot 10^{b},}$$

Pendiente de un gráfico logarítmico-logarítmico

Encontrar la pendiente de un gráfico logarítmico-logarítmico usando proporciones

Para hallar la pendiente de la gráfica, se seleccionan dos puntos en el eje x , digamos x ₁ y x ₂ . Utilizando la siguiente ecuación: y La pendiente m se halla tomando la diferencia: donde F ₁ es la abreviatura de F ( x ₁ ) y F ₂ es la abreviatura de F ( x ₂ ). La figura de la derecha ilustra la fórmula. Observe que la pendiente en el ejemplo de la figura es negativa . La fórmula también proporciona una pendiente negativa, como se puede ver a partir de la siguiente propiedad del logaritmo: $${\displaystyle \log[F(x_{1})]=m\log(x_{1})+b,}$$ $${\displaystyle \log[F(x_{2})]=m\log(x_{2})+b.}$$ $${\displaystyle m={\frac {\log(F_{2})-\log(F_{1})}{\log(x_{2})-\log(x_{1})}}={\frac {\log(F_{2}/F_{1})}{\log(x_{2}/x_{1})}},}$$ $${\displaystyle \log(x_{1}/x_{2})=-\log(x_{2}/x_{1}).}$$

Encontrar la función a partir del gráfico logarítmico-logarítmico

El procedimiento anterior ahora se invierte para encontrar la forma de la función F ( x ) usando su (supuesto) conocido gráfico logarítmico. Para encontrar la función F , elija un punto fijo ( x ₀ , F ₀ ), donde F ₀ es la abreviatura de F ( x ₀ ), en algún lugar de la línea recta en el gráfico anterior, y además algún otro punto arbitrario ( x ₁ , F ₁ ) en el mismo gráfico. Luego, de la fórmula de la pendiente anterior: lo que lleva a Observe que 10 ^{log ₁₀ ( F ₁ )} = F ₁ . Por lo tanto, los logaritmos se pueden invertir para encontrar: o lo que significa que En otras palabras, F es proporcional a x a la potencia de la pendiente de la línea recta de su gráfico logarítmico. Específicamente, una línea recta en un gráfico logarítmico que contiene los puntos ( x ₀ ,  F ₀ ) y ( x ₁ ,  F ₁ ) tendrá la función: Por supuesto, lo inverso también es cierto: cualquier función de la forma tendrá una línea recta como su representación gráfica logarítmica, donde la pendiente de la línea es  m . $${\displaystyle m={\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}}}$$ $${\displaystyle \log(F_{1}/F_{0})=m\log(x_{1}/x_{0})=\log[(x_{1}/x_{0})^{m}].}$$ $${\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{0}}}=\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}}$$ $${\displaystyle F_{1}={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}\,x^{m},}$$ $${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.}$$ $${\displaystyle F(x)={F_{0}}\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)^{\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}},}$$ $${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}}$$

Encontrar el área bajo un segmento de línea recta de un gráfico logarítmico-logarítmico

Para calcular el área bajo un segmento continuo de línea recta de un gráfico logarítmico-logarítmico (o estimar el área de una línea casi recta), tome la función definida anteriormente e intégrela. Como solo opera sobre una integral definida (dos puntos finales definidos), el área A bajo el gráfico toma la forma $${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.}$$ $${\displaystyle A(x)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\left.{\frac {\mathrm {constant} }{m+1}}\cdot x^{m+1}\right|_{x_{0}}^{x_{1}}}$$

Reorganizando la ecuación original y reemplazando los valores de puntos fijos, se encuentra que $${\displaystyle \mathrm {constant} ={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}}$$

Sustituyendo nuevamente en la integral, se encuentra que para A sobre x ₀ a x ₁

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\[1.2ex]\log A&=\log \left[{\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\right]\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}-\log {\frac {1}{x_{0}^{m}}}+\log(x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m}}{x_{0}^{m}}}\cdot x_{1}-{\frac {x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, ${\displaystyle A={\frac {F_{0}}{m+1}}\cdot \left[x_{1}\cdot \left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}-x_{0}\right]}$

Para m  = −1, la integral se convierte en $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{(m=-1)}&=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {\mathrm {constant} }{x}}\,dx={\frac {F_{0}}{x_{0}^{-1}}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {dx}{x}}=F_{0}\cdot x_{0}\cdot {\ln x}{\Big |}_{x_{0}}^{x_{1}}\\A_{(m=-1)}&=F_{0}\cdot x_{0}\cdot \ln {\frac {x_{1}}{x_{0}}}\end{aligned}}}$$

Modelos de regresión lineal logarítmica

Los gráficos log-log se utilizan a menudo para visualizar modelos de regresión lineal log-log con errores log-normales o log-logísticos (aproximadamente) . En dichos modelos, después de transformar logarítmicamente las variables dependientes e independientes, se puede ajustar un modelo de regresión lineal simple , en el que los errores se vuelven homocedásticos . Este modelo es útil cuando se trabaja con datos que presentan un crecimiento o decrecimiento exponencial, mientras que los errores continúan creciendo a medida que crece el valor independiente (es decir, error heterocedástico ).

Como se indicó anteriormente, en un modelo lineal logarítmico la relación entre las variables se expresa como una ley de potencia. Cada cambio de unidad en la variable independiente dará como resultado un cambio porcentual constante en la variable dependiente. El modelo se expresa como:

${\displaystyle y=a\cdot x^{b}\cdot e^{\epsilon }}$

Tomando el logaritmo de ambos lados, obtenemos:

${\displaystyle \log(y)=\log(a)+b\cdot \log(x)+\epsilon }$

Esta es una ecuación lineal en los logaritmos de `x` e `y`, con `log(a)` como intersección y `b` como pendiente. En la que , y . ${\displaystyle \epsilon \sim Normal(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle e^{\epsilon }\sim Log-Normal(\mu ,\sigma ^{2})}$

Figura 1: Visualización de datos normales de Loglog

La figura 1 ilustra cómo se ve esto. Presenta dos gráficos generados utilizando 10.000 puntos simulados. El gráfico de la izquierda, titulado "Línea cóncava con ruido logarítmico normal", muestra un gráfico de dispersión de los datos observados (y) en relación con la variable independiente (x). La línea roja representa la "línea mediana", mientras que la línea azul es la "línea media". Este gráfico ilustra un conjunto de datos con una relación de ley de potencia entre las variables, representada por una línea cóncava.

Cuando ambas variables se transforman en logaritmos, como se muestra en el gráfico de la derecha de la Figura 1, titulado 'Línea lineal logarítmica con ruido normal', la relación se vuelve lineal. Este gráfico también muestra un diagrama de dispersión de los datos observados en relación con la variable independiente, pero después de que ambos ejes estén en una escala logarítmica. Aquí, tanto la línea media como la mediana son la misma línea (roja). Esta transformación nos permite ajustar un modelo de regresión lineal simple (que luego se puede transformar de nuevo a la escala original, como la línea mediana).

Figura 2: Métricas de error de ventana deslizante Datos normales logarítmicos

La transformación del gráfico de la izquierda al gráfico de la derecha en la Figura 1 también demuestra el efecto de la transformación logarítmica en la distribución del ruido en los datos. En el gráfico de la izquierda, el ruido parece seguir una distribución logarítmica normal , que está sesgada hacia la derecha y puede ser difícil de manejar. En el gráfico de la derecha, después de la transformación logarítmica, el ruido parece seguir una distribución normal , que es más fácil de razonar y modelar.

Esta normalización del ruido se analiza más a fondo en la Figura 2, que presenta un gráfico de líneas de tres métricas de error (error absoluto medio - MAE, error cuadrático medio - RMSE y error logarítmico absoluto medio - MALE) calculadas sobre una ventana deslizante de tamaño 28 en el eje x. El eje y proporciona el error, graficado en relación con la variable independiente (x). Cada métrica de error se representa con un color diferente, con la línea suavizada correspondiente superpuesta a la línea original (ya que se trata simplemente de datos simulados, la estimación del error es un poco irregular). Estas métricas de error proporcionan una medida del ruido a medida que varía en diferentes valores x.

Los modelos lineales log-log se utilizan ampliamente en diversos campos, como la economía, la biología y la física, donde muchos fenómenos presentan un comportamiento de ley de potencia. También son útiles en el análisis de regresión cuando se trabaja con datos heterocedásticos, ya que la transformación logarítmica puede ayudar a estabilizar la varianza.

Aplicaciones

Un gráfico logarítmico que condensa información que abarca más de un orden de magnitud a lo largo de ambos ejes

Estos gráficos son útiles cuando es necesario estimar los parámetros a y b a partir de datos numéricos. Especificaciones como ésta se utilizan con frecuencia en economía .

Un ejemplo es la estimación de funciones de demanda de dinero basadas en la teoría de inventarios , en la que se puede suponer que la demanda de dinero en el momento t está dada por donde M es la cantidad real de dinero en poder del público, R es la tasa de rendimiento de un activo alternativo de mayor rendimiento en exceso de la del dinero, Y es el ingreso real del público , U es un término de error que se supone que tiene una distribución lognormal , A es un parámetro de escala que se va a estimar y b y c son parámetros de elasticidad que se van a estimar. Tomando logaritmos se obtiene donde m = log M , a = log A , r = log R , y = log Y y u = log U con u teniendo una distribución normal . Esta ecuación se puede estimar utilizando mínimos cuadrados ordinarios . $${\displaystyle M_{t}=AR_{t}^{b}Y_{t}^{c}U_{t},}$$ $${\displaystyle m_{t}=a+br_{t}+cy_{t}+u_{t},}$$

Otro ejemplo económico es la estimación de la función de producción Cobb-Douglas de una empresa , que es el lado derecho de la ecuación en la que Q es la cantidad de producción que se puede producir por mes, N es el número de horas de trabajo empleadas en la producción por mes, K es el número de horas de capital físico utilizadas por mes, U es un término de error que se supone que tiene una distribución lognormal y A , , y son parámetros que se deben estimar. Tomando los logaritmos se obtiene la ecuación de regresión lineal donde q = log Q , a = log A , n = log N , k = log K y u = log U . $${\displaystyle Q_{t}=AN_{t}^{\alpha }K_{t}^{\beta }U_{t},}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle q_{t}=a+\alpha n_{t}+\beta k_{t}+u_{t}}$$

La regresión logarítmica también se puede utilizar para estimar la dimensión fractal de un fractal natural .

Sin embargo, ir en la dirección opuesta –observar que los datos aparecen como una línea aproximada en una escala logarítmica y concluir que los datos siguen una ley de potencia– no siempre es válido. ^[2]

De hecho, muchas otras formas funcionales parecen aproximadamente lineales en la escala logarítmica, y simplemente evaluar la bondad de ajuste de una regresión lineal en datos logarítmicos usando el coeficiente de determinación ( R ² ) puede ser inválido, ya que los supuestos del modelo de regresión lineal, como el error gaussiano, pueden no cumplirse; además, las pruebas de ajuste de la forma logarítmica pueden exhibir un poder estadístico bajo , ya que estas pruebas pueden tener una baja probabilidad de rechazar leyes de potencia en presencia de otras formas funcionales verdaderas. Si bien los gráficos logarítmicos simples pueden ser instructivos para detectar posibles leyes de potencia, y se han utilizado desde Pareto en la década de 1890, la validación como leyes de potencia requiere estadísticas más sofisticadas. ^[2]

Estos gráficos también son extremadamente útiles cuando los datos se recopilan variando la variable de control a lo largo de una función exponencial, en cuyo caso la variable de control x se representa de manera más natural en una escala logarítmica, de modo que los puntos de datos están espaciados de manera uniforme, en lugar de estar comprimidos en el extremo inferior. La variable de salida y se puede representar de manera lineal, lo que produce un gráfico logarítmico lineal (log  x , y ), o también se puede tomar su logaritmo, lo que produce el gráfico logarítmico-logarítmico (log  x , log  y ).

El diagrama de Bode (un gráfico de la respuesta de frecuencia de un sistema) también es un diagrama logarítmico-logarítmico.

En cinética química , la forma general de la dependencia de la velocidad de reacción con respecto a la concentración toma la forma de una ley de potencia ( ley de acción de masas ), por lo que un gráfico logarítmico-logarítmico es útil para estimar los parámetros de reacción a partir del experimento.

Véase también

• Gráfico semilogarítmico (lin–log o log–lin)
• Ley de potencia
• Ley de Zipf
• Modelo log-lineal
• Distribución log-normal
• Distribución logístico-logística
• Transformación de datos (estadísticas)
• Transformación estabilizadora de varianza

Referencias

1. M. Bourne: Gráficos sobre ecuaciones logarítmicas y semilogarítmicas (www.intmath.com)
2. Clauset, A.; Shalizi, CR; Newman, MEJ (2009). "Distribuciones de ley de potencia en datos empíricos". SIAM Review . 51 (4): 661–703. arXiv : 0706.1062 . Código Bibliográfico :2009SIAMR..51..661C. doi :10.1137/070710111. S2CID  9155618.

Enlaces externos

• Sitio web sobre cálculo no newtoniano