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Cantidad adimensional

Las cantidades adimensionales , o cantidades de dimensión uno, [1] son ​​cantidades definidas implícitamente de una manera que impide su agregación en unidades de medida . [2] [3] Estas cantidades, que suelen expresarse como proporciones que se alinean con otro sistema, no necesitan unidades definidas explícitamente . Por ejemplo, el alcohol por volumen (ABV) representa una proporción volumétrica ; su valor permanece independiente de las unidades específicas de volumen utilizadas, como en mililitros por mililitro (mL/mL).

El número uno se reconoce como una cantidad base adimensional . [4] Los radianes sirven como unidades adimensionales para medidas angulares , derivadas de la relación universal de 2π por el radio de un círculo que es igual a su circunferencia. [5]

Las cantidades adimensionales desempeñan un papel crucial al servir como parámetros en ecuaciones diferenciales en varias disciplinas técnicas. En cálculo , conceptos como las razones adimensionales en límites o derivadas a menudo involucran cantidades adimensionales. En geometría diferencial , el uso de parámetros adimensionales es evidente en relaciones y transformaciones geométricas. La física se basa en números adimensionales como el número de Reynolds en dinámica de fluidos , [6] la constante de estructura fina en mecánica cuántica , [7] y el factor de Lorentz en relatividad . [8] En química , las propiedades de estado y las razones como las fracciones molares y las razones de concentración son adimensionales. [9]

Historia

Las cantidades que tienen dimensión uno, cantidades adimensionales , ocurren regularmente en las ciencias y se tratan formalmente dentro del campo del análisis dimensional . En el siglo XIX, el matemático francés Joseph Fourier y el físico escocés James Clerk Maxwell lideraron desarrollos significativos en los conceptos modernos de dimensión y unidad . El trabajo posterior de los físicos británicos Osborne Reynolds y Lord Rayleigh contribuyó a la comprensión de los números adimensionales en física. Basándose en el método de análisis dimensional de Rayleigh, Edgar Buckingham demostró el teorema π (independientemente del trabajo previo del matemático francés Joseph Bertrand ) para formalizar la naturaleza de estas cantidades. [10]

A principios del siglo XX se acuñaron numerosos números adimensionales, en su mayoría proporciones, en particular en las áreas de mecánica de fluidos y transferencia de calor . La medición del logaritmo de proporciones como niveles en la unidad (derivada) decibel (dB) se utiliza ampliamente en la actualidad.

Ha habido propuestas periódicas para "remendar" el sistema SI para reducir la confusión con respecto a las dimensiones físicas. Por ejemplo, un artículo de opinión de 2017 en Nature [11] defendía la formalización del radián como unidad física. La idea fue refutada [12] con el argumento de que dicho cambio generaría inconsistencias tanto para los grupos adimensionales establecidos, como el número de Strouhal , como para entidades matemáticamente distintas que tienen las mismas unidades, como el par (un producto vectorial ) frente a la energía (un producto escalar ). En otra ocasión, a principios de la década de 2000, el Comité Internacional de Pesos y Medidas debatió nombrar la unidad 1 como " uno ", pero se descartó la idea de simplemente introducir un nuevo nombre SI para 1. [13] [14] [15]


Teorema π de Buckingham

El teorema π de Buckingham [16] indica que la validez de las leyes de la física no depende de un sistema de unidades específico. Una afirmación de este teorema es que cualquier ley física puede expresarse como una identidad que involucra solo combinaciones adimensionales (cocientes o productos) de las variables vinculadas por la ley (por ejemplo, la presión y el volumen están vinculados por la Ley de Boyle : son inversamente proporcionales). Si los valores de las combinaciones adimensionales cambiaran con los sistemas de unidades, entonces la ecuación no sería una identidad y el teorema de Buckingham no se cumpliría.

Otra consecuencia del teorema es que la dependencia funcional entre un cierto número (por ejemplo, n ) de variables se puede reducir por el número (por ejemplo, k ) de dimensiones independientes que se dan en esas variables para dar un conjunto de p = n − k cantidades independientes y adimensionales . Para los fines del experimentador, los diferentes sistemas que comparten la misma descripción por cantidad adimensional son equivalentes.

Números enteros

Los números enteros pueden representar cantidades adimensionales. Pueden representar cantidades discretas, que también pueden ser adimensionales. Más específicamente, los números de conteo se pueden usar para expresar cantidades contables . [17] [18] El concepto se formaliza como cantidad número de entidades (símbolo N ) en ISO 80000-1 . [19] Los ejemplos incluyen número de partículas y tamaño de población . En matemáticas, el "número de elementos" en un conjunto se denomina cardinalidad . Los sustantivos contables son un concepto lingüístico relacionado. Los números de conteo, como el número de bits , se pueden componer con unidades de frecuencia ( segundo inverso ) para derivar unidades de tasa de conteo, como bits por segundo . Los datos de conteo son un concepto relacionado en estadística. El concepto se puede generalizar al permitir que los números no enteros representen fracciones de un elemento completo, por ejemplo, número de vueltas igual a la mitad.

Razones, proporciones y ángulos

Las cantidades adimensionales se pueden obtener como razones de cantidades que no son adimensionales, pero cuyas dimensiones se cancelan en la operación matemática. [19] [20] Los ejemplos de cocientes de dimensión uno incluyen el cálculo de pendientes o algunos factores de conversión de unidades . Otro conjunto de ejemplos son las fracciones de masa o fracciones molares , a menudo escritas utilizando la notación de partes por, como ppm (= 10 −6 ), ppb (= 10 −9 ) y ppt (= 10 −12 ), o quizás confusamente como razones de dos unidades idénticas ( kg / kg o mol / mol ). Por ejemplo, el alcohol por volumen , que caracteriza la concentración de etanol en una bebida alcohólica , podría escribirse como mL / 100 mL .

Otras proporciones comunes son los porcentajes %  (= 0,01),   ‰  (= 0,001). Algunas unidades angulares como el giro , el radián y el estereorradián se definen como proporciones de cantidades del mismo tipo. En estadística, el coeficiente de variación es la relación entre la desviación estándar y la media y se utiliza para medir la dispersión de los datos .

Se ha argumentado que las cantidades definidas como proporciones Q = A / B que tienen dimensiones iguales en numerador y denominador son en realidad solo cantidades sin unidades y aún tienen una dimensión física definida como dim Q = dim A × dim B −1 . [21] Por ejemplo, el contenido de humedad puede definirse como una proporción de volúmenes (humedad volumétrica, m 3 ⋅m −3 , dimensión L 3 ⋅L −3 ) o como una proporción de masas (humedad gravimétrica, unidades kg⋅kg −1 , dimensión M⋅M −1 ); ambas serían cantidades sin unidades, pero de diferente dimensión.

Constantes físicas adimensionales

Ciertas constantes físicas de dimensión universal, como la velocidad de la luz en el vacío, la constante gravitacional universal , la constante de Planck , la constante de Coulomb y la constante de Boltzmann se pueden normalizar a 1 si se eligen las unidades apropiadas para el tiempo , la longitud , la masa , la carga y la temperatura . El sistema de unidades resultante se conoce como unidades naturales , específicamente en lo que respecta a estas cinco constantes, las unidades de Planck . Sin embargo, no todas las constantes físicas se pueden normalizar de esta manera. Por ejemplo, los valores de las siguientes constantes son independientes del sistema de unidades, no se pueden definir y solo se pueden determinar experimentalmente: [22]

Lista

Física e ingeniería

Química

Otros campos

Véase también

Referencias

  1. ^ "1.8 (1.6) cantidad de dimensión una cantidad adimensional". Vocabulario internacional de metrología — Conceptos básicos y generales y términos asociados (VIM) . ISO . 2008 . Consultado el 22 de marzo de 2011 .
  2. ^ "Folleto SI: El Sistema Internacional de Unidades, 9.ª edición". BIPM .Revista de la Universidad de Notre Dame.
  3. ^ Mohr, Peter J.; Phillips, William Daniel (1 de junio de 2015). "Unidades adimensionales en el SI". Metrologia . 52 .
  4. ^ Mills, IM (mayo de 1995). "Unidad como unidad". Metrologia . 31 (6): 537–541. Bibcode :1995Metro..31..537M. doi :10.1088/0026-1394/31/6/013. ISSN  0026-1394.
  5. ^ Zebrowski, Ernest (1999). Una historia del círculo: razonamiento matemático y el universo físico. Rutgers University Press. ISBN 978-0-8135-2898-4.
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Lectura adicional

Enlaces externos