Número de Strouhal

Número adimensional que describe los mecanismos de flujo oscilante

En el análisis dimensional , el número de Strouhal ( St , o a veces Sr para evitar el conflicto con el número de Stanton ) es un número adimensional que describe los mecanismos de flujo oscilante. El parámetro recibe su nombre de Vincenc Strouhal , un físico checo que experimentó en 1878 con cables que experimentaban desprendimiento de vórtices y canto en el viento. ^{[1] [2]} El número de Strouhal es una parte integral de los fundamentos de la mecánica de fluidos .

El número de Strouhal a menudo se da como

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {fL}{U}},}$

donde f es la frecuencia de desprendimiento de vórtices en hercios ^[3] , L es la longitud característica (por ejemplo, el diámetro hidráulico o el espesor del perfil aerodinámico ) y U es la velocidad del flujo . En ciertos casos, como el vuelo en picado, esta longitud característica es la amplitud de la oscilación. Esta selección de longitud característica se puede utilizar para presentar una distinción entre el número de Strouhal y la frecuencia reducida:

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {kA}{\pi c}},}$

donde k es la frecuencia reducida y A es la amplitud de la oscilación de elevación.

Número de Strouhal (Sr) en función del número de Reynolds (R) para el flujo que pasa por un cilindro circular largo.

Para números de Strouhal elevados (del orden de 1), la viscosidad domina el flujo del fluido, lo que da como resultado un movimiento oscilatorio colectivo del "tapón" del fluido. Para números de Strouhal bajos (del orden de 10 ⁻⁴ y menores), la parte del movimiento de alta velocidad y estado casi estable domina la oscilación. La oscilación en números de Strouhal intermedios se caracteriza por la acumulación y posterior y rápido desprendimiento de vórtices. ^[4]

Para esferas en flujo uniforme en el rango de número de Reynolds de 8×10 ² < Re < 2×10 ⁵ coexisten dos valores del número de Strouhal. La frecuencia más baja se atribuye a la inestabilidad a gran escala de la estela, es independiente del número de Reynolds Re y es aproximadamente igual a 0,2. El número de Strouhal de frecuencia más alta es causado por inestabilidades a pequeña escala de la separación de la capa de cizallamiento. ^{[5] [6]}

Derivación

Conociendo la Segunda Ley de Newton que establece que la fuerza es equivalente a la masa por la aceleración, o , y que la aceleración es la derivada de la velocidad, o (rapidez característica/tiempo) en el caso de la mecánica de fluidos, vemos ${\displaystyle F=ma}$ ${\displaystyle {\tfrac {U}{t}}}$

${\displaystyle F={\dfrac {mU}{t}}}$,

Dado que la velocidad característica se puede representar como longitud por unidad de tiempo, , obtenemos ${\displaystyle {\tfrac {L}{t}}}$

${\displaystyle F={\dfrac {mU^{2}}{L}}}$,

dónde,

m = masa,

U = velocidad característica,

L = longitud característica.

Dividiendo ambos lados por , obtenemos ${\displaystyle {\tfrac {mU^{2}}{L}}}$

${\displaystyle {\tfrac {FL}{mU^{2}}}=1={\text{constant}}}$⇒ , ${\displaystyle {\tfrac {mU^{2}}{FL}}=1={\text{constant}}}$

dónde,

m = masa,

U = velocidad característica,

F = fuerzas externas netas,

L = longitud característica.

Esto proporciona una base adimensional para una relación entre masa, velocidad característica, fuerzas externas netas y longitud (tamaño) que puede usarse para analizar los efectos de la mecánica de fluidos en un cuerpo con masa.

Si las fuerzas externas netas son predominantemente elásticas, podemos usar la Ley de Hooke para ver

${\displaystyle F=k\Delta L}$,

dónde,

k = constante del resorte (rigidez del elemento elástico),

ΔL = deformación (cambio de longitud).

Suponiendo , entonces . Con la frecuencia de resonancia natural del sistema elástico, , siendo igual a , obtenemos ${\displaystyle \Delta L\propto L}$ ${\displaystyle F\approx kL}$ ${\displaystyle \omega _{0}^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {k}{m}}}$

${\displaystyle {\dfrac {mU^{2}}{FL}}={\dfrac {mU^{2}}{kL^{2}}}={\dfrac {U^{2}}{\omega _{0}^{2}L^{2}}}}$,

dónde,

m = masa,

U = velocidad característica,

${\displaystyle \omega _{0}}$= frecuencia de resonancia natural,

ΔL = deformación (cambio de longitud).

Dado que la frecuencia del movimiento cíclico se puede representar por obtenemos, ${\displaystyle f={\tfrac {\omega _{0}^{2}L}{U}}}$

${\displaystyle {\dfrac {U^{2}}{\omega _{0}^{2}L^{2}}}={\dfrac {U}{fL}}={\text{constant}}={\dfrac {fL}{U}}={\text{St (Strouhal Number)}}}$,

dónde,

f = frecuencia,

L = longitud característica,

U = velocidad característica.

Aplicaciones

Micro/nanorobótica

En el campo de la micro y nanorobótica, el número de Strouhal se utiliza junto con el número de Reynolds para analizar el impacto de un flujo fluídico oscilatorio externo en el cuerpo de un microrobot. Al considerar un microrobot con movimiento cíclico, el número de Strouhal se puede evaluar como

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {fL}{U}}}$,

dónde,

f = frecuencia de movimiento cíclico,

L = longitud característica del robot,

U = velocidad característica.

El análisis de un microrobot utilizando el número de Strouhal permite evaluar el impacto que el movimiento del fluido en el que se encuentra tiene sobre su movimiento en relación con las fuerzas inerciales que actúan sobre el robot, independientemente de que las fuerzas dominantes sean elásticas o no. ^[7]

Médico

En el campo médico, los microrobots que utilizan movimientos de natación para moverse pueden realizar micromanipulaciones en entornos inalcanzables.

La ecuación utilizada para un vaso sanguíneo: ^[8]

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {fD}{V}}}$,

dónde,

f = frecuencia de oscilación del movimiento de natación del microbot

D = diámetro del vaso sanguíneo

V = flujo viscoelástico inestable

El número de Strouhal se utiliza como una relación entre el número de Deborah (De) y el número de Weissenberg (Wi): ^[8]

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {\text{De}}{\text{Wi}}}}$.

El número de Strouhal también se puede utilizar para obtener el número de Womersley (Wo). El caso del flujo sanguíneo se puede clasificar como un flujo viscoelástico inestable, por lo tanto, el número de Womersley es ^[8]

${\displaystyle {\text{Wo}}={\sqrt {{\dfrac {\pi }{2}}*{\text{Re}}*{\text{St}}}}}$,

O considerando ambas ecuaciones,

${\displaystyle {\text{Wo}}={\sqrt {{\dfrac {\pi }{2}}*{\text{Re}}*{\dfrac {\text{De}}{\text{Wi}}}}}}$.

Metrología

En metrología , específicamente en los medidores de turbina de flujo axial , el número de Strouhal se utiliza en combinación con el número de Roshko para proporcionar una correlación entre el caudal y la frecuencia. La ventaja de este método sobre el método de frecuencia/viscosidad versus factor K es que tiene en cuenta los efectos de la temperatura en el medidor.

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {f}{U}}C^{3},}$

dónde,

f = frecuencia del medidor,

U = caudal,

C = coeficiente de expansión lineal para el material de la carcasa del medidor.

Esta relación deja a Strouhal adimensional, aunque a menudo se utiliza una aproximación adimensional para C ³ , lo que da como resultado unidades de pulsos/volumen (igual que el factor K).

Esta relación entre flujo y frecuencia también se puede encontrar en el campo aeronáutico. Considerando llamas de difusión en chorro de coflujo de metano-aire pulsantes, obtenemos

${\displaystyle {\text{St}}={\dfrac {aw_{j}}{U_{j}}}}$,

dónde,

a = radio del chorro de combustible

w = la frecuencia de modulación

U = velocidad de salida del chorro de combustible

Para un número de Strouhal pequeño (St=0,1), la modulación forma una desviación en el flujo que se desplaza muy lejos aguas abajo. A medida que el número de Strouhal aumenta, la frecuencia adimensional se acerca a la frecuencia natural de una llama parpadeante y, finalmente, tendrá una pulsación mayor que la llama. ^[9]

Locomoción animal

En animales que nadan o vuelan, el número de Strouhal se define como

${\displaystyle {\text{St}}={\frac {f}{U}}A,}$

dónde,

f = frecuencia de oscilación (batido de cola, aleteo, etc.),

U = caudal,

A = amplitud de oscilación de pico a pico.

En el vuelo o la natación de los animales, la eficiencia propulsiva es alta en un rango estrecho de constantes de Strouhal, generalmente alcanzando un máximo en el rango 0,2 < St < 0,4. ^[10] Este rango se utiliza en la natación de delfines, tiburones y peces óseos, y en el vuelo de crucero de aves, murciélagos e insectos. ^[10] Sin embargo, en otras formas de vuelo se encuentran otros valores. ^[10] Intuitivamente, la relación mide la inclinación de las paladas, vistas desde un lado (por ejemplo, suponiendo movimiento a través de un fluido estacionario): f es la frecuencia de la palada, A es la amplitud, por lo que el numerador fA es la mitad de la velocidad vertical de la punta del ala, mientras que el denominador V es la velocidad horizontal. Por lo tanto, el gráfico de la punta del ala forma una sinusoide aproximada con un aspecto (pendiente máxima) dos veces la constante de Strouhal. ^[11]

Movimiento eficiente

El número de Strouhal se utiliza con mayor frecuencia para evaluar el flujo oscilante como resultado del movimiento de un objeto a través de un fluido. El número de Strouhal refleja la dificultad de los animales para viajar de manera eficiente a través de un fluido con sus movimientos de propulsión cíclicos. El número se relaciona con la eficiencia de propulsión, que alcanza su punto máximo entre70%–80% cuando se encuentra dentro del rango óptimo del número de Strouhal0,2 a 0,4 . Mediante el uso de factores como la frecuencia de las brazadas, la amplitud de cada brazada y la velocidad, el número de Strouhal permite analizar la eficiencia y el impacto de las fuerzas de propulsión de un animal a través de un fluido, como las que se producen al nadar o volar. Por ejemplo, el valor representa las limitaciones para lograr una mayor eficiencia de propulsión, que afecta el movimiento en crucero y las fuerzas aerodinámicas en vuelo estacionario. ^[12]

Las fuerzas reactivas mayores y las propiedades que actúan contra el objeto, como la viscosidad y la densidad, reducen la capacidad del movimiento de un animal para caer dentro del rango ideal del número de Strouhal cuando nada. A través de la evaluación de diferentes especies que vuelan o nadan, se encontró que el movimiento de muchas especies de aves y peces cae dentro del rango óptimo de Strouhal. ^[12] Sin embargo, el número de Strouhal varía más dentro de la misma especie que en otras especies en función del método de cómo se mueven de manera restringida en respuesta a las fuerzas aerodinámicas. ^[12]

Ejemplo: Alcid

El número de Strouhal tiene una importancia significativa en el análisis del vuelo de los animales, ya que se basa en las líneas de corriente y la velocidad del animal a medida que viaja a través del fluido. Su importancia se demuestra a través del movimiento de los álcidos a medida que pasan a través de diferentes medios (aire a agua). La evaluación de los álcidos determinó la peculiaridad de poder volar por debajo del rango eficiente del número de Strouhal en el aire y el agua a pesar de una gran masa en relación con el área de sus alas. ^[13] El movimiento eficiente en dos medios del álcido se desarrolló a través de la selección natural, donde el medio ambiente jugó un papel en la evolución de los animales a lo largo del tiempo para caer dentro de un cierto rango eficiente. El movimiento en dos medios demuestra cómo los álcidos tenían dos patrones de vuelo diferentes basados ​​en las velocidades de carrera a medida que se movían a través de cada fluido. ^[13] Sin embargo, a medida que el ave viaja a través de un medio diferente, tiene que enfrentar la influencia de la densidad y la viscosidad del fluido. Además, el álcido también tiene que resistir la flotabilidad que actúa hacia arriba a medida que se mueve horizontalmente.

Escala del número de Strouhal

Análisis de escala

Para determinar la importancia del número de Strouhal en distintas escalas, se puede realizar un análisis de escala , un método simplificado para analizar el impacto de los factores a medida que cambian con respecto a una determinada escala. Cuando se considera en el contexto de la microrrobótica y la nanorrobótica, el tamaño es el factor de interés al realizar el análisis de escala.

El análisis de escala del número de Strouhal permite analizar la relación entre la masa y las fuerzas inerciales a medida que ambas cambian con respecto al tamaño. Tomando su forma original no derivada, , podemos relacionar cada término con el tamaño y ver cómo cambia la relación a medida que cambia el tamaño. ${\displaystyle {\tfrac {mU^{2}}{FL}}}$

Dado que m es masa, V es volumen y es densidad, podemos ver que la masa está directamente relacionada con el tamaño, ya que el volumen aumenta con la longitud (L). Si tomamos el volumen como , podemos relacionar directamente la masa y el tamaño como ${\displaystyle m=V\rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle L^{3}}$

${\displaystyle m\approx L^{3}}$.

La velocidad característica ( U ) está en términos de , y la distancia relativa se escala con el tamaño, por lo tanto ${\displaystyle {\tfrac {\text{distance}}{\text{time}}}}$

${\displaystyle U^{2}\approx L^{2}}$.

Las fuerzas externas netas ( F ) varían en relación con la masa y la aceleración, dadas por . La aceleración está en términos de , por lo tanto . La relación masa-tamaño se estableció como , por lo tanto, considerando las tres relaciones, obtenemos ${\displaystyle F=m\cdot a}$ ${\displaystyle {\tfrac {\text{distance}}{{\text{time}}^{2}}}}$ ${\displaystyle a\approx L}$ ${\displaystyle m\approx L^{3}}$

${\displaystyle F\approx L^{4}}$.

La longitud ( L ) ya denota tamaño y sigue siendo L.

Tomando todo esto en conjunto, obtenemos

${\displaystyle {\dfrac {mU^{2}}{FL}}\approx {\dfrac {L^{3}L^{2}}{L^{4}L}}\approx {\dfrac {L^{5}}{L^{5}}}\approx L^{0}=1}$.

Dado que el número de Strouhal relaciona la masa con las fuerzas inerciales, esto se puede esperar ya que estos dos factores se escalarán proporcionalmente con el tamaño y ninguno aumentará ni disminuirá en importancia con respecto a su contribución al comportamiento del cuerpo en el movimiento cíclico del fluido.

Relación con el número de Richardson

La relación de escala entre el número de Richardson y el número de Strouhal está representada por la ecuación: ^[14]

${\displaystyle {\text{St}}_{l}=b{\text{Ri}}_{l}^{a}}$,

donde a y b son constantes dependiendo de la condición.

Para chorros y columnas flotantes de helio circulares: ^[14]

${\displaystyle {\text{St}}_{D}\sim {\text{Ri}}_{D}^{0.38}}$.

Cuando , ${\displaystyle {\text{Ri}}<100}$

${\displaystyle {\text{St}}_{D}=0.8{\text{Ri}}_{D}^{0.38}}$.

Cuando , ${\displaystyle 100<{\text{Ri}}<500}$

${\displaystyle {\text{St}}_{D}=2.1{\text{Ri}}_{D}^{0.28}}$.

Para chorros y columnas flotantes planares: ^[14]

${\displaystyle {\text{St}}_{W}=0.55{\text{Ri}}_{W}^{0.45}}$.

Para escalamiento independiente de la forma: ^[14]

${\displaystyle {\text{St}}_{Rh}=e^{-1}{\text{Ri}}_{Rh}^{\tfrac {2}{5}}}$

Relación con el número de Reynolds

El número de Strouhal y el número de Reynolds deben tenerse en cuenta al abordar el método ideal para desarrollar un cuerpo que se mueva a través de un fluido. Además, la relación entre estos valores se expresa a través de la teoría de cuerpo alargado de Lighthill, que relaciona las fuerzas reactivas experimentadas por un cuerpo que se mueve a través de un fluido con sus fuerzas de inercia. ^[15] Se determinó que el número de Strouhal dependía del número adimensional de Lighthill, que a su vez se relaciona con el número de Reynolds. Se puede ver entonces que el valor del número de Strouhal disminuye con un número de Reynolds creciente y aumenta con un número de Lighthill creciente. ^[15]

Véase también

• Aleteo aeroelástico  : interacciones entre fuerzas inerciales, elásticas y aerodinámicasPages displaying short descriptions of redirect targets
• Número de Froude  : Número adimensional; relación entre la inercia del flujo de un fluido y el campo externo.
• Calle de vórtices Kármán  : patrón repetitivo de vórtices arremolinados
• Número de Mach  : relación entre la velocidad de un objeto que se mueve a través de un fluido y la velocidad local del sonido.
• Número de Reynolds  : relación entre las fuerzas inerciales y viscosas que actúan sobre un líquido
• Número de Rossby  : relación entre la fuerza de inercia y la fuerza de Coriolis
• Número de Weber  : número adimensional en mecánica de fluidos
• Número de Womersley  : expresión adimensional de la frecuencia de flujo pulsátil en relación con los efectos viscosos
• Número de Weissenberg  : producto de la velocidad de deformación por cizallamiento y el tiempo de relajación en flujos viscoelásticosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Número de Déborah  : cociente entre el tiempo de relajación y el tiempo de observación de fluidos viscoelásticosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Número de Richardson  : número característico de un cuerpo que cae, proporcional al cociente entre la energía potencial y la cinética.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

1. Strouhal, V. (1878) "Ueber eine besondere Art der Tonerregung" (Sobre un tipo inusual de excitación sonora), Annalen der Physik und Chemie , tercera serie, 5 (10): 216–251.
2. White, Frank M. (1999). Mecánica de fluidos (4.ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-116848-9.
3. Triantafyllou, MS; Triantafyllou, GS; Gopalkrishnan, R. (8 de agosto de 1991). "Mecánica de estela para la generación de empuje en láminas oscilantes" (PDF) . Física de fluidos A: dinámica de fluidos (1989-1993) . 3 (12): 2835. doi :10.1063/1.858173 . Consultado el 13 de agosto de 2024 .^{[ enlace muerto permanente ]}
4. Sobey, Ian J. (1982). "Flujos oscilatorios en número de Strouhal intermedio en canales asimétricos". Journal of Fluid Mechanics . 125 : 359–373. Bibcode :1982JFM...125..359S. doi :10.1017/S0022112082003371. S2CID  122167909.
5. Kim, KJ; Durbin, PA (1988). "Observaciones de las frecuencias en una estela esférica y aumento de la resistencia por excitación acústica". Física de fluidos . 31 (11): 3260–3265. Bibcode :1988PhFl...31.3260K. doi : 10.1063/1.866937 .
6. Sakamoto, H.; Haniu, H. (1990). "Un estudio sobre el desprendimiento de vórtices desde esferas en flujo uniforme". Journal of Fluids Engineering . 112 (diciembre): 386–392. Bibcode :1990ATJFE.112..386S. doi :10.1115/1.2909415. S2CID  15578514.
7. Sitti, Metin (2017). Microrrobótica móvil . The MIT Press . Págs. 13-24. ISBN. 9780262036436.
8. Doutel, E.; Galindo-Rosales, FJ; Campo-Deaño, L. (2 de diciembre de 2021). "Desafíos hemodinámicos para la navegación de microrobots médicos para el tratamiento de ECV". Materiales . 14 (23): 7402. Bibcode :2021Mate...14.7402D. doi : 10.3390/ma14237402 . PMC 8658690 . PMID  34885556. 
9. Sanchez-Sanz, M.; Liñan, A.; Smoke, MD; Bennett, BAV (16 de julio de 2009). "Influencia del número de Strouhal en llamas de difusión en chorro de coflujo de metano-aire pulsantes". Teoría y modelado de la combustión . 14 (3): 453–478. doi :10.1080/13647830.2010.490048. S2CID  53640323.
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11. Corum, Jonathan (2003). "El número de Strouhal en vuelo de crucero" . Consultado el 13 de noviembre de 2012 : representación del número de Strouhal para animales voladores y nadadores{{cite web}}: CS1 maint: postscript (link)
12. Taylor, GK; Nudds, RL; Thomas, ALR (16 de octubre de 2003). "Los animales voladores y nadadores vuelan a una velocidad de Strouhal ajustada para lograr una alta eficiencia energética". Nature . 425 (6959): 707–711. Bibcode :2003Natur.425..707T. doi :10.1038/nature02000. PMID  14562101. S2CID  4431906. ProQuest  204520869.
13. Lapsansky, Anthony B.; Zatz, Daniel; Tobalske, Bret W. (30 de junio de 2020). "Los álcidos 'vuelan' en números de Strouhal eficientes tanto en el aire como en el agua, pero varían la velocidad y el ángulo de la brazada". eLife . 9 . doi : 10.7554/eLife.55774 . PMC 7332295 . PMID  32602463. 
14. Wimer, NT; Lapointe, C.; Christopher, JD; Nigam, SP; Hayden, TRS; Upadhye, A.; Strobel, M.; Rieker, GB; Hamlington, PE (21 de mayo de 2020). "Escalamiento del número de Strouhal de soplado para chorros y columnas boyantes". Journal of Fluid Mechanics . 895 . arXiv : 1904.01580 . Bibcode :2020JFM...895A..26W. doi :10.1017/jfm.2020.271. S2CID  96428731.
15. Eloy, Cristophe (5 de marzo de 2012). "Número de Strouhal óptimo para animales nadadores". Journal of Fluids and Structures . 30 : 205–218. arXiv : 1102.0223 . Código Bibliográfico :2012JFS....30..205E. doi :10.1016/j.jfluidstructs.2012.02.008. S2CID  56221298.

Enlaces externos

• Vincenc Strouhal, Ueber eine besondere Art der Tonerregung ^{[ enlace muerto permanente ]}