Número de Womersley

Expresión adimensional de la frecuencia de flujo pulsátil en relación con los efectos viscosos

El número de Womersley ( o ) es un número adimensional en mecánica de biofluidos y dinámica de biofluidos . Es una expresión adimensional de la frecuencia de flujo pulsátil en relación con los efectos viscosos . Recibe su nombre en honor a John R. Womersley (1907-1958) por su trabajo con el flujo sanguíneo en las arterias . ^[1] El número de Womersley es importante para mantener la similitud dinámica al escalar un experimento. Un ejemplo de esto es ampliar el sistema vascular para un estudio experimental. El número de Womersley también es importante para determinar el espesor de la capa límite para ver si se pueden ignorar los efectos de entrada. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\text{Wo}}}$

La raíz cuadrada de este número también se conoce como número de Stokes , debido al trabajo pionero realizado por Sir George Stokes en el segundo problema de Stokes . ${\displaystyle {\text{Stk}}={\sqrt {\text{Wo}}}}$

Derivación

El número de Womersley, normalmente denotado como , se define por la relación donde es una escala de longitud apropiada (por ejemplo, el radio de una tubería), es la frecuencia angular de las oscilaciones y , , son la viscosidad cinemática , la densidad y la viscosidad dinámica del fluido, respectivamente. ^[2] El número de Womersley normalmente se escribe en la forma sin potencia ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {\text{transient inertial force}}{\text{viscous force}}}={\frac {\rho \omega U}{\mu UL^{-2}}}={\frac {\omega L^{2}}{\mu \rho ^{-1}}}={\frac {\omega L^{2}}{\nu }}\,,}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.}$$

En el sistema cardiovascular, la frecuencia de pulsación, la densidad y la viscosidad dinámica son constantes, sin embargo, la longitud característica , que en el caso del flujo sanguíneo es el diámetro del vaso, cambia en tres órdenes de magnitud (OoM) entre la aorta y los capilares finos. El número de Womersley cambia debido a las variaciones en el tamaño de los vasos a lo largo del sistema vascular. El número de Womersley del flujo sanguíneo humano se puede estimar de la siguiente manera: ${\displaystyle \alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.}$

A continuación se muestra una lista de números de Womersley estimados en diferentes vasos sanguíneos humanos:

También se puede escribir en términos del número adimensional de Reynolds (Re) y del número de Strouhal (St): $${\displaystyle \alpha =\left(2\pi \,\mathrm {Re} \,\mathrm {St} \right)^{1/2}\,.}$$

El número de Womersley surge de la solución de las ecuaciones linealizadas de Navier-Stokes para el flujo oscilatorio (que se supone laminar e incompresible) en un tubo. Expresa la relación entre la fuerza de inercia transitoria u oscilatoria y la fuerza de corte. Cuando es pequeño (1 o menos), significa que la frecuencia de pulsaciones es suficientemente baja como para que tenga tiempo de desarrollarse un perfil de velocidad parabólico durante cada ciclo, y el flujo estará casi en fase con el gradiente de presión, y se dará una buena aproximación por la ley de Poiseuille , utilizando el gradiente de presión instantáneo. Cuando es grande (10 o más), significa que la frecuencia de pulsaciones es suficientemente grande como para que el perfil de velocidad sea relativamente plano o similar a un tapón, y el flujo medio se retrasa con respecto al gradiente de presión en unos 90 grados. Junto con el número de Reynolds, el número de Womersley gobierna la similitud dinámica. ^[3] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

El espesor de la capa límite asociado con la aceleración transitoria es inversamente proporcional al número de Womersley. Esto se puede comprobar reconociendo el número de Stokes como la raíz cuadrada del número de Womersley. ^[4] donde es una longitud característica. ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle \delta =\left(L/\alpha \right)=\left({\frac {L}{\sqrt {\mathrm {Wo} }}}\right),}$$ ${\displaystyle L}$

Mecánica de biofluidos

En una red de distribución de flujo que progresa desde un tubo grande a muchos tubos pequeños (por ejemplo, una red de vasos sanguíneos), la frecuencia, la densidad y la viscosidad dinámica son (por lo general) las mismas en toda la red, pero los radios de los tubos cambian. Por lo tanto, el número de Womersley es grande en los vasos grandes y pequeño en los vasos pequeños. A medida que el diámetro del vaso disminuye con cada división, el número de Womersley pronto se vuelve bastante pequeño. Los números de Womersley tienden a 1 a nivel de las arterias terminales. En las arteriolas, capilares y vénulas, los números de Womersley son menores que uno. En estas regiones, la fuerza de inercia se vuelve menos importante y el flujo está determinado por el equilibrio de las tensiones viscosas y el gradiente de presión. Esto se llama microcirculación . ^[4]

Algunos valores típicos del número de Womersley en el sistema cardiovascular de un canino a una frecuencia cardíaca de 2 Hz son: ^[4]

• Aorta ascendente – 13,2
• Aorta descendente – 11,5
• Aorta abdominal – 8
• Arteria femoral – 3,5
• Arteria carótida – 4.4
• Arteriolas – 0,04
• Capilares – 0,005
• Vénulas – 0,035
• Vena cava inferior – 8,8
• Arteria pulmonar principal – 15

Se ha argumentado que las leyes universales de escala biológica (relaciones de ley de potencia que describen la variación de cantidades como la tasa metabólica, la esperanza de vida, la longitud, etc., con la masa corporal) son una consecuencia de la necesidad de minimizar la energía, la naturaleza fractal de las redes vasculares y el cruce del flujo de número de Womersley alto a bajo a medida que se progresa desde vasos grandes a pequeños. ^[5]

Referencias

1. Womersley, JR (marzo de 1955). "Método para el cálculo de la velocidad, la tasa de flujo y la resistencia viscosa en las arterias cuando se conoce el gradiente de presión". J. Physiol . 127 (3): 553–563. doi :10.1113/jphysiol.1955.sp005276. PMC  1365740 . PMID  14368548.
2. Fung, YC (1990). Biomecánica: movimiento, flujo, estrés y crecimiento. Nueva York (EE. UU.): Springer-Verlag. pág. 569. ISBN 978-0-387-97124-7.
3. Nichols, WW; O'Rourke, MF (2005). Flujo sanguíneo en las arterias de McDonald's (5.ª ed.). Londres (Inglaterra): Hodder-Arnold. ISBN 978-0-340-80941-9.
4. Fung, YC (1996). Biomecánica de la circulación. Springer Verlag. pág. 571. ISBN 978-0-387-94384-8.
5. West GB, Brown JH, Enquist BJ (4 de abril de 1997). "Un modelo general para el origen de las leyes de escala alométricas en biología". Science . 276 (5309): 122–6. doi :10.1126/science.276.5309.122. PMID  9082983. S2CID  3140271.