Factor de Lorentz

Cantidad en la física relativista

Definición del factor de Lorentz γ

El factor de Lorentz o término de Lorentz (también conocido como factor gamma ^[1] ) es una cantidad que expresa cuánto cambian las medidas de tiempo, longitud y otras propiedades físicas de un objeto mientras se mueve. La expresión aparece en varias ecuaciones de la relatividad especial y surge en las derivaciones de las transformaciones de Lorentz . El nombre se origina de su aparición anterior en la electrodinámica lorentziana , llamada así en honor al físico holandés Hendrik Lorentz . ^[2]

Generalmente se denota γ (la letra griega gamma minúscula ). A veces (especialmente cuando se habla del movimiento superlumínico ) el factor se escribe Γ (gamma mayúscula del griego) en lugar de γ .

Definición

El factor de Lorentz γ se define como ^[3] donde: $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\sqrt {\frac {c^{2}}{c^{2}-v^{2}}}}={\frac {c}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }},}$$

• v es la velocidad relativa entre marcos de referencia inerciales,
• c es la velocidad de la luz en el vacío,
• β es la relación entre v y c ,
• t es el tiempo de coordenadas ,
• τ es el tiempo propio de un observador (mide intervalos de tiempo en el propio marco del observador).

Esta es la forma más frecuentemente utilizada en la práctica, aunque no la única (ver más abajo formas alternativas).

Para complementar la definición, algunos autores definen la fórmula recíproca ^[4] ver fórmula de adición de velocidades . $${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ ={\sqrt {1-{\beta }^{2}}};}$$

Aparición

A continuación se muestra una lista de fórmulas de la relatividad especial que utilizan γ como abreviatura: ^{[3] [5]}

• La transformación de Lorentz : el caso más simple es un impulso en la dirección x (las formas más generales incluyen direcciones arbitrarias y rotaciones que no se enumeran aquí), que describe cómo las coordenadas del espacio-tiempo cambian de un marco inercial que utiliza coordenadas ( x , y , z , t ) a otro ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) con velocidad relativa v : $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {vx}{c^{2}}}\right),\\[1ex]x'&=\gamma \left(x-vt\right).\end{aligned}}}$$

Los corolarios de las transformaciones anteriores son los resultados:

• Dilatación del tiempo : El tiempo ( ∆ t ′ ) entre dos tics, medido en el marco en el que se mueve el reloj, es más largo que el tiempo ( ∆ t ) entre estos tics, medido en el marco de reposo del reloj: $${\displaystyle \Delta t'=\gamma \Delta t.}$$
• Contracción de longitud : La longitud ( ∆ x ′ ) de un objeto medida en el marco en el que se mueve, es más corta que su longitud ( ∆ x ) en su propio marco de reposo: $${\displaystyle \Delta x'=\Delta x/\gamma .}$$

La aplicación de la conservación del momento y la energía conduce a estos resultados:

• Masa relativista : La masa m de un objeto en movimiento depende dela masa en reposo m ₀ : ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle m=\gamma m_{0}.}$$
• Momento relativista : La relación del momento relativista toma la misma forma que para el momento clásico, pero utilizando la masa relativista anterior: $${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.}$$
• Energía cinética relativista : La relación de energía cinética relativista toma la forma ligeramente modificada:Comoes una función de, el límite no relativista da, como se esperaba a partir de consideraciones newtonianas. $${\displaystyle E_{k}=E-E_{0}=(\gamma -1)m_{0}c^{2}}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {v}{c}}}$ ${\textstyle \lim _{v/c\to 0}E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}$

Valores numéricos

Factor de Lorentz γ en función de una fracción de la velocidad dada y de la velocidad de la luz. Su valor inicial es 1 (cuando v = 0 ); y a medida que la velocidad se aproxima a la velocidad de la luz ( v → c ), γ aumenta sin límite ( γ → ∞).

α (factor de Lorentz inverso) en función de la velocidad: un arco circular

En la tabla que aparece a continuación, la columna de la izquierda muestra las velocidades como fracciones diferentes de la velocidad de la luz (es decir, en unidades de c ). La columna del medio muestra el factor de Lorentz correspondiente, el último es el recíproco. Los valores en negrita son exactos.

Representaciones alternativas

Existen otras formas de escribir el factor. En el caso anterior, se utilizó la velocidad v , pero también pueden resultar convenientes variables relacionadas, como el momento y la rapidez .

Impulso

Resolver la ecuación de momento relativista anterior para γ conduce a Esta forma rara vez se utiliza, aunque aparece en la distribución de Maxwell-Jüttner . ^[6] $${\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.}$$

Rapidez

Aplicando la definición de rapidez como el ángulo hiperbólico : ^[7] también conduce a γ (mediante el uso de identidades hiperbólicas ): ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \tanh \varphi =\beta }$$ $${\displaystyle \gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}$$

Utilizando la propiedad de la transformación de Lorentz , se puede demostrar que la rapidez es aditiva, una propiedad útil que la velocidad no tiene. Por lo tanto, el parámetro de rapidez forma un grupo de un parámetro , una base para los modelos físicos.

Función de Bessel

La identidad de Bunney representa el factor de Lorentz en términos de una serie infinita de funciones de Bessel : ^[8] $${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(J_{m-1}^{2}(m\beta )+J_{m+1}^{2}(m\beta )\right)={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}$$

Expansión en serie (velocidad)

El factor de Lorentz tiene la serie de Maclaurin : que es un caso especial de una serie binomial . $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\[1ex]&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\[1ex]&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+{\tfrac {63}{256}}\beta ^{10}+\cdots ,\end{aligned}}}$$

La aproximación puede utilizarse para calcular efectos relativistas a bajas velocidades. Se mantiene dentro de un margen de error del 1 % para v  < 0,4  c ( v  < 120 000 km/s), y dentro de un margen de error del 0,1 % para v  < 0,22  c ( v  < 66 000 km/s). ${\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$

Las versiones truncadas de esta serie también permiten a los físicos demostrar que la relatividad especial se reduce a la mecánica newtoniana a bajas velocidades. Por ejemplo, en relatividad especial, se cumplen las dos ecuaciones siguientes:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=\gamma m\mathbf {v} ,\\E&=\gamma mc^{2}.\end{aligned}}}$$

Para y , respectivamente, estos se reducen a sus equivalentes newtonianos: ${\displaystyle \gamma \approx 1}$ ${\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=m\mathbf {v} ,\\E&=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}.\end{aligned}}}$$

La ecuación del factor de Lorentz también se puede invertir para obtener Esta tiene una forma asintótica $${\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}.}$$ $${\displaystyle \beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots \,.}$$

Los dos primeros términos se utilizan ocasionalmente para calcular rápidamente velocidades a partir de valores γ grandes . La aproximación se mantiene con una tolerancia del 1 % para γ > 2 y del 0,1 % para γ > 3,5 . ${\textstyle \beta \approx 1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}}$

Aplicaciones en astronomía

El modelo estándar de los estallidos de rayos gamma de larga duración (GRB) sostiene que estas explosiones son ultrarrelativistas ( γ inicial mayor que aproximadamente 100), lo que se invoca para explicar el llamado problema de "compacidad": sin esta expansión ultrarrelativista, la eyección sería ópticamente gruesa para producir pares a energías espectrales pico típicas de unos pocos cientos de keV, mientras que se observa que la emisión inmediata no es térmica. ^[9]

Los muones , una partícula subatómica, viajan a una velocidad tal que tienen un factor de Lorentz relativamente alto y, por lo tanto, experimentan una dilatación extrema del tiempo . Dado que los muones tienen una vida media de solo 2,2  μs , los muones generados a partir de colisiones de rayos cósmicos a 10 km (6,2 mi) de altura en la atmósfera de la Tierra deberían ser indetectables en el suelo debido a su tasa de desintegración. Sin embargo, aproximadamente el 10% de los muones de estas colisiones aún son detectables en la superficie, lo que demuestra los efectos de la dilatación del tiempo en su tasa de desintegración. ^[10]

Véase también

• Marco de referencia inercial
• Velocidad adecuada
• Pseudorapidez

Referencias

1. "El factor gamma". webs.morningside.edu . Consultado el 14 de enero de 2024 .
2. Tyson, Neil deGrasse ; Liu, Charles Tsun-Chu ; Irion, Robert. "La teoría especial de la relatividad". Un universo . Academias Nacionales de Ciencias, Ingeniería y Medicina . Archivado desde el original el 25 de julio de 2021 . Consultado el 6 de enero de 2024 .
3. Forshaw, Jeffrey; Smith, Gavin (2014). Dinámica y relatividad. John Wiley & Sons . ISBN 978-1-118-93329-9.
4. Yaakov Friedman, Aplicaciones físicas de bolas homogéneas , Progress in Mathematical Physics 40 Birkhäuser, Boston, 2004, páginas 1-21.
5. Young; Freedman (2008). Física universitaria de Sears y Zemansky (12.ª ed.). Pearson Ed. y Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-50130-1.
6. Synge, JL (1957). El gas relativista. Serie de física. Holanda del Norte. LCCN 57-003567
7. Cinemática Archivado el 21 de noviembre de 2014 en Wayback Machine , por JD Jackson , consulte la página 7 para ver la definición de rapidez.
8. Cameron RD Bunney y Jorma Louko Clase 2023. Gravedad cuántica 40 155001
9. Cenko, SB; et al. (2015). "iPTF14yb: El primer descubrimiento de un resplandor de explosión de rayos gamma independiente de un disparador de alta energía". Astrophysical Journal Letters . 803 (L24): 803. arXiv : 1504.00673 . Código Bibliográfico :2015ApJ...803L..24C. ​​doi :10.1088/2041-8205/803/2/L24.
10. "Experimento de muones en relatividad". HyperPhysics.Phy-Astr.GSU.edu . Consultado el 6 de enero de 2024 .

Enlaces externos

• Merrifield, Michael. "γ – Factor de Lorentz (y dilatación del tiempo)". Sixty Symbols . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .
• Merrifield, Michael. "γ2 – Gamma Reloaded". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .