Proceso de puntos de Poisson

Type of random mathematical object

Una representación visual de un proceso puntual de Poisson que comienza

En teoría de probabilidad , estadística y campos relacionados, un proceso de puntos de Poisson (también conocido como: medida aleatoria de Poisson , campo de puntos aleatorios de Poisson y campo de puntos de Poisson ) es un tipo de objeto matemático que consiste en puntos ubicados aleatoriamente en un espacio matemático con la característica esencial de que los puntos ocurren independientemente unos de otros. ^[1] El nombre del proceso deriva del hecho de que la distribución del número de regiones de puntos del mismo tamaño tiene una distribución de Poisson . El proceso y la distribución reciben su nombre del matemático francés Siméon Denis Poisson . El proceso en sí fue descubierto de forma independiente y repetida en varios entornos, incluidos experimentos sobre desintegración radiactiva , llegadas de llamadas telefónicas y ciencia actuarial . ^{[2] [3]}

Este proceso puntual se utiliza como modelo matemático para procesos aparentemente aleatorios en numerosas disciplinas, incluidas la astronomía , ^[4] la biología , ^[5] la ecología , ^[6] la geología , ^[7] la sismología , ^[8] la física , ^[9] la economía , ^[10] el procesamiento de imágenes , ^{[11] [12]} y las telecomunicaciones . ^{[13] [14]}

El proceso puntual de Poisson se define a menudo en la línea de números reales, donde puede considerarse un proceso estocástico . Se utiliza, por ejemplo, en la teoría de colas ^[15] para modelar eventos aleatorios distribuidos en el tiempo, como la llegada de clientes a una tienda, llamadas telefónicas en una central o la ocurrencia de terremotos. En el plano , el proceso puntual, también conocido como proceso de Poisson espacial , ^[16] puede representar las ubicaciones de objetos dispersos como transmisores en una red inalámbrica , ^{[13] [17] [18] [19]} partículas que chocan contra un detector o árboles en un bosque. ^[20] El proceso se utiliza a menudo en modelos matemáticos y en los campos relacionados de los procesos puntuales espaciales, ^[21] geometría estocástica , ^[1] estadística espacial ^{[21] [22]} y teoría de percolación continua . ^[23]

El proceso puntual de Poisson se puede definir en espacios más abstractos . Más allá de las aplicaciones, el proceso puntual de Poisson es un objeto de estudio matemático por derecho propio. ^[24] El proceso puntual de Poisson tiene la propiedad de que cada punto es estocásticamente independiente de todos los demás puntos del proceso, por lo que a veces se lo denomina proceso puramente o completamente aleatorio. ^[25] Modelar un sistema como un proceso de Poisson es insuficiente cuando las interacciones punto a punto son demasiado fuertes (es decir, los puntos no son estocásticamente independientes). Un sistema de este tipo se puede modelar mejor con un proceso puntual diferente. ^[26]

El proceso puntual depende de un único objeto matemático, que, dependiendo del contexto, puede ser una constante , una función localmente integrable o, en configuraciones más generales, una medida de Radon . ^[27] En el primer caso, la constante, conocida como tasa o intensidad , es la densidad media de los puntos en el proceso de Poisson ubicados en alguna región del espacio. El proceso puntual resultante se denomina proceso puntual de Poisson homogéneo o estacionario . ^[28] En el segundo caso, el proceso puntual se denomina proceso puntual de Poisson no homogéneo o no homogéneo , y la densidad media de puntos depende de la ubicación del espacio subyacente del proceso puntual de Poisson. ^[29] La palabra punto a menudo se omite, ^[24] pero existen otros procesos de Poisson de objetos, que, en lugar de puntos, consisten en objetos matemáticos más complicados como líneas y polígonos , y dichos procesos pueden basarse en el proceso puntual de Poisson. ^[30] Tanto los procesos puntuales de Poisson homogéneos como los no homogéneos son casos particulares del proceso de renovación generalizado .

Resumen de definiciones

Dependiendo del contexto, el proceso tiene varias definiciones equivalentes ^[31] así como definiciones de generalidad variable debido a sus muchas aplicaciones y caracterizaciones. ^[32] El proceso puntual de Poisson se puede definir, estudiar y utilizar en una dimensión, por ejemplo, en la línea real, donde se puede interpretar como un proceso de conteo o parte de un modelo de colas; ^{[33] [34]} en dimensiones superiores como el plano donde juega un papel en la geometría estocástica ^[1] y las estadísticas espaciales ; ^[35] o en espacios matemáticos más generales. ^[36] En consecuencia, la notación, la terminología y el nivel de rigor matemático utilizados para definir y estudiar el proceso puntual de Poisson y los procesos puntuales en general varían según el contexto. ^[37]

A pesar de todo esto, el proceso puntual de Poisson tiene dos propiedades clave (la propiedad de Poisson y la propiedad de independencia) que desempeñan un papel esencial en todos los entornos en los que se utiliza el proceso puntual de Poisson. ^{[ 27] [38]} Las dos propiedades no son lógicamente independientes; de hecho, la distribución de Poisson de los recuentos de puntos implica la propiedad de independencia, [a] mientras que en la dirección inversa se requieren los supuestos de que: (i) el proceso puntual es simple, (ii) no tiene átomos fijos y (iii) es igualmente finito. ^[39]

Distribución de Poisson de recuentos de puntos

Un proceso puntual de Poisson se caracteriza por la distribución de Poisson . La distribución de Poisson es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria (llamada variable aleatoria de Poisson ) tal que la probabilidad de que sea igual a está dada por: ${\textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N=n\}={\frac {\Lambda ^{n}}{n!}}e^{-\Lambda }}$

donde denota factorial y el parámetro determina la forma de la distribución. (De hecho, es igual al valor esperado de ). ${\textstyle n!}$ ${\textstyle \Lambda }$ ${\textstyle \Lambda }$ ${\textstyle N}$

Por definición, un proceso puntual de Poisson tiene la propiedad de que el número de puntos en una región acotada del espacio subyacente del proceso es una variable aleatoria distribuida según Poisson. ^[38]

Independencia completa

Consideremos una colección de subregiones disjuntas y acotadas del espacio subyacente. Por definición, la cantidad de puntos de un proceso puntual de Poisson en cada subregión acotada será completamente independiente de todas las demás.

Esta propiedad se conoce con varios nombres como aleatoriedad completa , independencia completa [ ^40] o dispersión independiente ^{[41] [42]} y es común a todos los procesos puntuales de Poisson. En otras palabras, existe una falta de interacción entre las diferentes regiones y los puntos en general ^[43] , lo que motiva que el proceso de Poisson sea llamado a veces un proceso puramente o completamente aleatorio. ^[40]

Proceso de puntos de Poisson homogéneo

Si un proceso puntual de Poisson tiene un parámetro de la forma , donde es la medida de Lebesgue (es decir, asigna longitud, área o volumen a conjuntos) y es una constante, entonces el proceso puntual se denomina proceso puntual de Poisson homogéneo o estacionario. El parámetro, llamado tasa o intensidad , está relacionado con el número esperado (o promedio) de puntos de Poisson existentes en alguna región acotada, ^{[44] [45]} donde tasa se utiliza habitualmente cuando el espacio subyacente tiene una dimensión. ^[44] El parámetro puede interpretarse como el número medio de puntos por alguna unidad de extensión como longitud , área, volumen o tiempo, dependiendo del espacio matemático subyacente, y también se denomina densidad media o tasa media ; ^[46] véase Terminología. ${\textstyle \Lambda =\nu \lambda }$ ${\textstyle \nu }$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \lambda }$

Interpretado como un proceso de conteo

El proceso de punto de Poisson homogéneo, cuando se considera en la semirrecta positiva, se puede definir como un proceso de conteo , un tipo de proceso estocástico, que se puede denotar como . ^{[31] [34]} Un proceso de conteo representa el número total de ocurrencias o eventos que han sucedido hasta el tiempo inclusive . Un proceso de conteo es un proceso de conteo de Poisson homogéneo con tasa si tiene las siguientes tres propiedades: ^{[31] [34]} ${\textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle \lambda >0}$

• ${\textstyle N(0)=0;}$
• tiene incrementos independientes ; y
• El número de eventos (o puntos) en cualquier intervalo de longitud es una variable aleatoria de Poisson con parámetro (o media) . ${\textstyle t}$ ${\textstyle \lambda t}$

La última propiedad implica:

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t)]=\lambda t.}$

En otras palabras, la probabilidad de que la variable aleatoria sea igual a viene dada por: ${\textstyle N(t)}$ ${\textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(t)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}.}$

El proceso de conteo de Poisson también se puede definir afirmando que las diferencias de tiempo entre eventos del proceso de conteo son variables exponenciales con media . ^[47] Las diferencias de tiempo entre los eventos o llegadas se conocen como tiempos entre llegadas ^[48] o entre ocurrencias . ^[47] ${\textstyle 1/\lambda }$

Interpretado como un proceso puntual sobre la recta real

Interpretado como un proceso puntual , un proceso puntual de Poisson puede definirse en la línea real considerando el número de puntos del proceso en el intervalo . Para el proceso puntual de Poisson homogéneo en la línea real con parámetro , la probabilidad de que este número aleatorio de puntos, escrito aquí como , sea igual a algún número de conteo viene dada por: ^[49] ${\textstyle (a,b]}$ ${\textstyle \lambda >0}$ ${\textstyle N(a,b]}$ ${\textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\lambda (b-a)]^{n}}{n!}}e^{-\lambda (b-a)},}$

Para algún entero positivo , el proceso puntual de Poisson homogéneo tiene la distribución de dimensión finita dada por: ^[49] ${\textstyle k}$

${\displaystyle \Pr\{N(a_{i},b_{i}]=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda (b_{i}-a_{i})},}$

donde están los números reales . ${\textstyle a_{i}<b_{i}\leq a_{i+1}}$

En otras palabras, es una variable aleatoria de Poisson con media , donde . Además, el número de puntos en dos intervalos disjuntos, digamos, y son independientes entre sí, y esto se extiende a cualquier número finito de intervalos disjuntos. ^[49] En el contexto de la teoría de colas, se puede considerar un punto existente (en un intervalo) como un evento , pero esto es diferente a la palabra evento en el sentido de la teoría de la probabilidad. ^[b] De ello se deduce que es el número esperado de llegadas que ocurren por unidad de tiempo. ^[34] ${\textstyle N(a,b]}$ ${\textstyle \lambda (b-a)}$ ${\textstyle a\leq b}$ ${\textstyle (a_{1},b_{1}]}$ ${\textstyle (a_{2},b_{2}]}$ ${\textstyle \lambda }$

Propiedades clave

La definición anterior tiene dos características importantes compartidas por los procesos puntuales de Poisson en general: ^{[49] [27]}

• el número de llegadas en cada intervalo finito tiene una distribución de Poisson;
• El número de llegadas en intervalos disjuntos son variables aleatorias independientes.

Además, tiene una tercera característica relacionada únicamente con el proceso de punto de Poisson homogéneo: ^[50]

• La distribución de Poisson del número de llegadas en cada intervalo solo depende de la longitud del intervalo . ${\textstyle (a+t,b+t]}$ ${\textstyle b-a}$

En otras palabras, para cualquier , la variable aleatoria es independiente de , por lo que también se denomina proceso de Poisson estacionario. ^[49] ${\textstyle t>0}$ ${\textstyle N(a+t,b+t]}$ ${\textstyle t}$

Ley de los grandes números

La cantidad se puede interpretar como el número esperado o promedio de puntos que ocurren en el intervalo , es decir: ${\textstyle \lambda (b_{i}-a_{i})}$ ${\textstyle (a_{i},b_{i}]}$

${\displaystyle \operatorname {E} [N(a_{i},b_{i}]]=\lambda (b_{i}-a_{i}),}$

donde denota el operador de expectativa . En otras palabras, el parámetro del proceso de Poisson coincide con la densidad de puntos. Además, el proceso de puntos de Poisson homogéneo se adhiere a su propia forma de la ley (fuerte) de los grandes números. ^[51] Más específicamente, con probabilidad uno: ${\displaystyle \operatorname {E} }$ ${\textstyle \lambda }$

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {N(t)}{t}}=\lambda ,}$

donde denota el límite de una función y es el número esperado de llegadas ocurridas por unidad de tiempo. ${\textstyle \lim }$ ${\displaystyle \lambda }$

Propiedad sin memoria

La distancia entre dos puntos consecutivos de un proceso puntual sobre la recta real será una variable aleatoria exponencial con parámetro (o equivalentemente, media ). Esto implica que los puntos tienen la propiedad de no tener memoria : la existencia de un punto en un intervalo finito no afecta la probabilidad (distribución) de la existencia de otros puntos, ^{[52] [53]} pero esta propiedad no tiene equivalencia natural cuando el proceso de Poisson se define sobre un espacio con dimensiones mayores. ^[54] ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle 1/\lambda }$

Orden y sencillez

A veces se dice que un proceso puntual con incrementos estacionarios es ordenado ^[55] o regular si: ^[56]

${\displaystyle \Pr\{N(t,t+\delta ]>1\}=o(\delta ),}$

donde se utiliza la notación o minúscula . Un proceso puntual se denomina proceso puntual simple cuando la probabilidad de que cualquiera de sus dos puntos coincida en la misma posición, en el espacio subyacente, es cero. Para los procesos puntuales en general en la línea real, la propiedad de orden implica que el proceso es simple, ^[57] lo que es el caso del proceso puntual homogéneo de Poisson. ^[58]

Caracterización de la martingala

En la línea real, el proceso puntual homogéneo de Poisson tiene una conexión con la teoría de martingalas a través de la siguiente caracterización: un proceso puntual es el proceso puntual homogéneo de Poisson si y solo si

${\displaystyle N(-\infty ,t]-\lambda t,}$

es una martingala. ^{[59] [60]}

Relación con otros procesos

En la línea real, el proceso de Poisson es un tipo de proceso de Markov de tiempo continuo conocido como proceso de nacimiento , un caso especial del proceso de nacimiento-muerte (con solo nacimientos y cero muertes). ^{[61] [62]} Se han definido procesos más complicados con la propiedad de Markov , como los procesos de llegada de Markov , donde el proceso de Poisson es un caso especial. ^[47]

Restringido a la media línea

Si el proceso homogéneo de Poisson se considera solo en la semirrecta , lo que puede ser el caso cuando representa el tiempo ^[31], entonces el proceso resultante no es verdaderamente invariante bajo la traslación. ^[54] En ese caso, el proceso de Poisson ya no es estacionario, según algunas definiciones de estacionariedad. ^[28] ${\textstyle [0,\infty )}$ ${\textstyle t}$

Aplicaciones

Se han realizado muchas aplicaciones del proceso homogéneo de Poisson en la línea real en un intento de modelar eventos aparentemente aleatorios e independientes que ocurren. Tiene un papel fundamental en la teoría de colas , que es el campo de probabilidad para desarrollar modelos estocásticos adecuados para representar la llegada y salida aleatoria de ciertos fenómenos. ^{[15] [47]} Por ejemplo, los clientes que llegan y son atendidos o las llamadas telefónicas que llegan a una central telefónica se pueden estudiar con técnicas de la teoría de colas.

Generalizaciones

El proceso homogéneo de Poisson en la línea real se considera uno de los procesos estocásticos más simples para contar números aleatorios de puntos. ^{[63] [64]} Este proceso se puede generalizar de varias maneras. Una posible generalización es extender la distribución de los tiempos entre llegadas de la distribución exponencial a otras distribuciones, lo que introduce el proceso estocástico conocido como proceso de renovación . Otra generalización es definir el proceso de puntos de Poisson en espacios de dimensiones superiores, como el plano. ^[65]

Proceso de puntos de Poisson espacial

Un proceso de Poisson espacial es un proceso puntual de Poisson definido en el plano . ^{[59] [66]} Para su definición matemática, primero se considera una región acotada, abierta o cerrada (o más precisamente, medible por Borel ) del plano. El número de puntos de un proceso puntual existente en esta región es una variable aleatoria, denotada por . Si los puntos pertenecen a un proceso de Poisson homogéneo con parámetro , entonces la probabilidad de que existan puntos en está dada por: ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle N(B)}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

donde denota el área de . ${\displaystyle \textstyle |B|}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

Para algún entero finito , podemos dar la distribución finito-dimensional del proceso puntual de Poisson homogéneo considerando primero una colección de conjuntos de Borel (medibles) disjuntos y acotados . La cantidad de puntos del proceso puntual existente en se puede escribir como . Entonces, el proceso puntual de Poisson homogéneo con parámetro tiene la distribución finito-dimensional: ^[67] ${\displaystyle \textstyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle B_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

Aplicaciones

Según un estudio estadístico, las posiciones de las estaciones base de telefonía celular o móvil en la ciudad australiana de Sydney , en la imagen de arriba, se asemejan a la realización de un proceso puntual de Poisson homogéneo, mientras que en muchas otras ciudades del mundo no es así y se requieren otros procesos puntuales. ^[68]

El proceso puntual de Poisson espacial ocupa un lugar destacado en las estadísticas espaciales , ^{[21] [22]} la geometría estocástica y la teoría de la percolación continua . ^[23] Este proceso puntual se aplica en varias ciencias físicas, como un modelo desarrollado para la detección de partículas alfa. En los últimos años, se ha utilizado con frecuencia para modelar configuraciones espaciales aparentemente desordenadas de ciertas redes de comunicación inalámbrica. ^{[17] [18] [19]} Por ejemplo, se han desarrollado modelos para redes de telefonía celular o móvil en los que se supone que los transmisores de la red telefónica, conocidos como estaciones base, se posicionan de acuerdo con un proceso puntual de Poisson homogéneo.

Definido en dimensiones superiores

El proceso de puntos homogéneo de Poisson anterior se extiende inmediatamente a dimensiones superiores al reemplazar la noción de área por volumen (de alta dimensión). Para alguna región acotada del espacio euclidiano , si los puntos forman un proceso de Poisson homogéneo con parámetro , entonces la probabilidad de que existan puntos en está dada por: ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

donde ahora denota el volumen -dimensional de . Además, para una colección de conjuntos de Borel disjuntos y acotados , sea , denote el número de puntos de existentes en . Entonces, el proceso puntual de Poisson homogéneo correspondiente con parámetro tiene la distribución finito-dimensional: ^[69] ${\displaystyle \textstyle |B|}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle B_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

Los procesos puntuales homogéneos de Poisson no dependen de la posición del espacio subyacente a través de su parámetro , lo que implica que es tanto un proceso estacionario (invariante a la traslación) como un proceso estocástico isotrópico (invariante a la rotación). ^[28] De manera similar al caso unidimensional, el proceso puntual homogéneo está restringido a un subconjunto acotado de , luego, dependiendo de algunas definiciones de estacionariedad, el proceso ya no es estacionario. ^{[28] [54]} ${\displaystyle \textstyle \lambda }$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

Los puntos se distribuyen uniformemente

Si el proceso de punto homogéneo se define en la línea real como un modelo matemático para ocurrencias de algún fenómeno, entonces tiene la característica de que las posiciones de estas ocurrencias o eventos en la línea real (a menudo interpretada como tiempo) estarán distribuidas uniformemente. Más específicamente, si un evento ocurre (según este proceso) en un intervalo donde , entonces su ubicación será una variable aleatoria uniforme definida en ese intervalo. ^[67] Además, el proceso de punto homogéneo a veces se denomina proceso de punto de Poisson uniforme (ver Terminología). Esta propiedad de uniformidad se extiende a dimensiones superiores en la coordenada cartesiana, pero no en, por ejemplo, las coordenadas polares. ^{[70] [71]} ${\displaystyle \textstyle (a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle a\leq b}$

Proceso puntual de Poisson no homogéneo

Gráfica de un proceso puntual de Poisson no homogéneo en la línea real. Los eventos están marcados con cruces negras, la tasa dependiente del tiempo está dada por la función marcada en rojo. ${\displaystyle \lambda (t)}$

El proceso puntual de Poisson no homogéneo o no homogéneo (véase Terminología) es un proceso puntual de Poisson con un parámetro de Poisson establecido como alguna función dependiente de la ubicación en el espacio subyacente en el que se define el proceso de Poisson. Para el espacio euclidiano , esto se logra introduciendo una función positiva localmente integrable , de modo que para cada región acotada la integral de volumen (-dimensional) de sobre la región sea finita. En otras palabras, si esta integral, denotada por , es: ^[45] ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {R} ^{d}\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x<\infty ,}$

donde es un elemento de volumen (-dimensional), ^[c] entonces para cada colección de conjuntos medibles de Borel disjuntos y acotados , un proceso de Poisson no homogéneo con función (intensidad) tiene la distribución de dimensión finita: ^[69] ${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} x}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\Lambda (B_{i}))^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\Lambda (B_{i})}.}$

Además, tiene la interpretación de ser el número esperado de puntos del proceso de Poisson ubicados en la región acotada , es decir ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

Definido en la recta real

En la línea real, el proceso puntual de Poisson no homogéneo o no homogéneo tiene una medida media dada por una integral unidimensional. Para dos números reales y , donde , denota por el número de puntos de un proceso de Poisson no homogéneo con función de intensidad que ocurren en el intervalo . La probabilidad de que existan puntos en el intervalo anterior está dada por: ${\displaystyle \textstyle a}$ ${\displaystyle \textstyle b}$ ${\displaystyle \textstyle a\leq b}$ ${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (t)}$ ${\displaystyle \textstyle (a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle (a,b]}$

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\Lambda (a,b)]^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (a,b)}.}$

donde la media o medida de intensidad es:

${\displaystyle \Lambda (a,b)=\int _{a}^{b}\lambda (t)\,\mathrm {d} t,}$

lo que significa que la variable aleatoria es una variable aleatoria de Poisson con media . ${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [N(a,b]]=\Lambda (a,b)}$

Una característica de la configuración unidimensional es que un proceso de Poisson no homogéneo se puede transformar en uno homogéneo mediante una transformación o mapeo monótono , lo que se logra con la inversa de . ^{[72] [73]} ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

Interpretación del proceso de conteo

El proceso puntual de Poisson no homogéneo, cuando se considera en la semirrecta positiva, también se define a veces como un proceso de conteo. Con esta interpretación, el proceso, que a veces se escribe como , representa el número total de ocurrencias o eventos que han sucedido hasta el tiempo inclusive . Se dice que un proceso de conteo es un proceso de conteo de Poisson no homogéneo si tiene las cuatro propiedades: ^{[34] [74]} ${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$ ${\displaystyle \textstyle t}$

• ${\displaystyle \textstyle N(0)=0;}$
• tiene incrementos independientes ;
• ${\displaystyle \textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)=1\}=\lambda (t)h+o(h);}$y
• ${\displaystyle \textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h),}$

donde es la notación asintótica o little-o para as . En el caso de procesos puntuales con refractariedad (por ejemplo, trenes de picos neuronales) se aplica una versión más fuerte de la propiedad 4: ^[75] . ${\displaystyle \textstyle o(h)}$ ${\displaystyle \textstyle o(h)/h\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \textstyle h\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h^{2})}$

Las propiedades anteriores implican que es una variable aleatoria de Poisson con el parámetro (o media) ${\displaystyle \textstyle N(t+h)-N(t)}$

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t+h)-N(t)]=\int _{t}^{t+h}\lambda (s)\,ds,}$

Lo que implica

${\displaystyle \operatorname {E} [N(h)]=\int _{0}^{h}\lambda (s)\,ds.}$

Proceso de Poisson espacial

Un proceso de Poisson no homogéneo definido en el plano se denomina proceso de Poisson espacial ^[16]. Se define con una función de intensidad y su medida de intensidad se obtiene realizando una integral de superficie de su función de intensidad sobre alguna región. ^{[20] [76]} Por ejemplo, su función de intensidad (como una función de coordenadas cartesianas y ) puede ser ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle y}$

${\displaystyle \lambda (x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})},}$

Por lo tanto, la medida de intensidad correspondiente viene dada por la integral de superficie.

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y,}$

donde es alguna región limitada en el plano . ${\textstyle B}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$

En dimensiones superiores

En el plano, corresponde a una integral de superficie mientras que en la integral se convierte en una integral de volumen (-dimensional). ${\textstyle \Lambda (B)}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\textstyle d}$

Aplicaciones

Cuando la línea real se interpreta como tiempo, el proceso no homogéneo se utiliza en los campos de los procesos de conteo y en la teoría de colas. ^{[74] [77]} Algunos ejemplos de fenómenos que han sido representados o aparecen como un proceso puntual de Poisson no homogéneo incluyen:

• Goles marcados en un partido de fútbol. ^[78]
• Defectos en una placa de circuito ^[79]

En el plano, el proceso puntual de Poisson es importante en las disciplinas relacionadas con la geometría estocástica ^{[1] [35]} y la estadística espacial. ^{[21] [22]} La medida de intensidad de este proceso puntual depende de la ubicación del espacio subyacente, lo que significa que se puede utilizar para modelar fenómenos con una densidad que varía en alguna región. En otras palabras, los fenómenos se pueden representar como puntos que tienen una densidad dependiente de la ubicación. ^[20] Este proceso se ha utilizado en varias disciplinas y sus usos incluyen el estudio del salmón y los piojos de mar en los océanos, ^[80] la silvicultura ^[6] y los problemas de búsqueda. ^[81]

Interpretación de la función de intensidad

La función de intensidad de Poisson tiene una interpretación, considerada intuitiva, ^[20] con el elemento de volumen en sentido infinitesimal: es la probabilidad infinitesimal de que un punto de un proceso puntual de Poisson exista en una región del espacio con volumen situado en . ^[20] ${\textstyle \lambda (x)}$ ${\textstyle \mathrm {d} x}$ ${\textstyle \lambda (x)\,\mathrm {d} x}$ ${\textstyle \mathrm {d} x}$ ${\textstyle x}$

Por ejemplo, dado un proceso puntual de Poisson homogéneo en la línea real, la probabilidad de encontrar un único punto del proceso en un pequeño intervalo de ancho es aproximadamente . De hecho, esta intuición es la forma en que a veces se introduce el proceso puntual de Poisson y se deriva su distribución. ^{[82] [43] [83]} ${\textstyle \delta }$ ${\textstyle \lambda \delta }$

Proceso de puntos simple

Si un proceso puntual de Poisson tiene una medida de intensidad que es localmente finita y difusa (o no atómica), entonces es un proceso puntual simple . Para un proceso puntual simple, la probabilidad de que un punto exista en un único punto o ubicación en el espacio (de estados) subyacente es cero o uno. Esto implica que, con probabilidad uno, no hay dos (o más) puntos de un proceso puntual de Poisson que coincidan en ubicación en el espacio subyacente. ^{[84] [18] [85]}

Simulación

La simulación de un proceso puntual de Poisson en una computadora se realiza generalmente en una región limitada del espacio, conocida como ventana de simulación , y requiere dos pasos: crear adecuadamente una cantidad aleatoria de puntos y luego colocar adecuadamente los puntos de manera aleatoria. Ambos pasos dependen del proceso puntual de Poisson específico que se esté simulando. ^{[86] [87]}

Paso 1: Número de puntos

Es necesario simular el número de puntos en la ventana, indicado aquí por , lo que se hace utilizando una función generadora de números (pseudo) aleatorios capaz de simular variables aleatorias de Poisson. ${\textstyle N}$ ${\textstyle W}$

Caso homogéneo

Para el caso homogéneo con la constante , la media de la variable aleatoria de Poisson se establece en donde es la longitud, el área o el volumen (-dimensional) de . ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle \lambda |W|}$ ${\textstyle |W|}$ ${\textstyle d}$ ${\textstyle W}$

Caso no homogéneo

Para el caso no homogéneo, se reemplaza con la integral de volumen ( -dimensional) ${\textstyle \lambda |W|}$ ${\textstyle d}$

${\displaystyle \Lambda (W)=\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x}$

Paso 2: Posicionamiento de puntos

La segunda etapa requiere colocar aleatoriamente los puntos en la ventana . ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle W}$

Caso homogéneo

Para el caso homogéneo en una dimensión, todos los puntos se colocan de manera uniforme e independiente en la ventana o intervalo . Para dimensiones superiores en un sistema de coordenadas cartesianas, cada coordenada se coloca de manera uniforme e independiente en la ventana . Si la ventana no es un subespacio del espacio cartesiano (por ejemplo, dentro de una esfera unitaria o en la superficie de una esfera unitaria), entonces los puntos no se colocarán de manera uniforme en , y se necesitará un cambio adecuado de coordenadas (de cartesianas). ^[86] ${\displaystyle \textstyle W}$ ${\displaystyle \textstyle W}$ ${\displaystyle \textstyle W}$

Caso no homogéneo

Para el caso no homogéneo, se pueden utilizar un par de métodos diferentes dependiendo de la naturaleza de la función de intensidad . ^[86] Si la función de intensidad es suficientemente simple, entonces se pueden generar coordenadas independientes y aleatorias no uniformes (cartesianas u otras) de los puntos. Por ejemplo, se puede simular un proceso de puntos de Poisson en una ventana circular para una función de intensidad isótropa (en coordenadas polares y ), lo que implica que es rotacionalmente variante o independiente de pero dependiente de , por un cambio de variable en si la función de intensidad es suficientemente simple. ^[86] ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle r}$ ${\displaystyle \textstyle \theta }$ ${\displaystyle \textstyle \theta }$ ${\displaystyle \textstyle r}$ ${\displaystyle \textstyle r}$

Para funciones de intensidad más complicadas, se puede utilizar un método de aceptación-rechazo , que consiste en utilizar (o 'aceptar') sólo ciertos puntos aleatorios y no utilizar (o 'rechazar') los otros puntos, basándose en la relación: ^[88] .

${\displaystyle {\frac {\lambda (x_{i})}{\Lambda (W)}}={\frac {\lambda (x_{i})}{\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x.}}}$

¿Dónde está el punto en consideración para la aceptación o el rechazo? ${\displaystyle \textstyle x_{i}}$

Es decir, se selecciona de manera aleatoria uniforme una ubicación para su consideración, luego, para determinar si se debe colocar una muestra en esa ubicación, se compara un número extraído de manera aleatoria uniforme con la función de densidad de probabilidad , aceptándose si es menor que la función de densidad de probabilidad, y repitiéndose hasta que se haya extraído la cantidad de muestras elegida previamente. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle {\frac {\lambda (x)}{\Lambda (W)}}}$

Proceso general de puntos de Poisson

En la teoría de la medida , el proceso puntual de Poisson se puede generalizar aún más a lo que a veces se conoce como el proceso puntual general de Poisson ^{[20] [89]} o el proceso general de Poisson ^[76] mediante el uso de una medida de Radon , que es una medida localmente finita . En general, esta medida de Radon puede ser atómica, lo que significa que pueden existir múltiples puntos del proceso puntual de Poisson en la misma ubicación del espacio subyacente. En esta situación, el número de puntos en es una variable aleatoria de Poisson con media . ^[89] Pero a veces se supone lo inverso, por lo que la medida de Radon es difusa o no atómica. ^[20] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda ({x})}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

Un proceso puntual es un proceso puntual de Poisson general con intensidad si tiene las dos propiedades siguientes: ^[20] ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

• El número de puntos en un conjunto de Borel acotado es una variable aleatoria de Poisson con media . En otras palabras, denotamos el número total de puntos ubicados en por , entonces la probabilidad de que la variable aleatoria sea igual a está dada por: ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$ ${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\Lambda (B))^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (B)}}$

• El número de puntos en conjuntos de Borel disjuntos forma variables aleatorias independientes. ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

La medida del radón mantiene su interpretación anterior de ser el número esperado de puntos ubicados en la región delimitada , es decir ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

Además, si es absolutamente continua tal que tiene una densidad (que es la densidad de Radon-Nikodym o derivada) con respecto a la medida de Lebesgue, entonces para todos los conjuntos de Borel se puede escribir como: ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x,}$

donde la densidad se conoce, entre otros términos, como función de intensidad. ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$

Historia

Distribución de Poisson

A pesar de su nombre, el proceso puntual de Poisson no fue descubierto ni estudiado por su homónimo. Se cita como un ejemplo de la ley de epónimo de Stigler . ^{[2] [3]} El nombre surge de la relación inherente del proceso con la distribución de Poisson, derivada por Poisson como un caso límite de la distribución binomial . ^[90] Describe la probabilidad de la suma de ensayos de Bernoulli con probabilidad , a menudo comparada con el número de caras (o cruces) después de lanzamientos de moneda sesgados con la probabilidad de que ocurra una cara (o cruce) siendo . Para alguna constante positiva , a medida que aumenta hacia el infinito y disminuye hacia cero de modo que el producto es fijo, la distribución de Poisson se aproxima más a la del binomial. ^[91] ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle np=\Lambda }$

Poisson derivó la distribución de Poisson, publicada en 1841, examinando la distribución binomial en el límite de (hasta cero) y (hasta el infinito). Solo aparece una vez en todo el trabajo de Poisson, ^[92] y el resultado no era muy conocido durante su época. En los años siguientes otros utilizaron la distribución sin citar a Poisson, incluidos Philipp Ludwig von Seidel y Ernst Abbe . ^{[93] [2]} A finales del siglo XIX, Ladislaus Bortkiewicz estudió la distribución, citando a Poisson, utilizando datos reales sobre el número de muertes por patadas de caballos en el ejército prusiano . ^{[90] [94]} ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

Descubrimiento

Existen varias afirmaciones sobre usos o descubrimientos tempranos del proceso de puntos de Poisson. ^{[2] [3]} Por ejemplo, John Michell en 1767, una década antes de que naciera Poisson, estaba interesado en la probabilidad de que una estrella estuviera dentro de una cierta región de otra estrella bajo la suposición errónea de que las estrellas estaban "dispersadas por mera casualidad", y estudió un ejemplo que consistía en las seis estrellas más brillantes de las Pléyades , sin derivar la distribución de Poisson. Este trabajo inspiró a Simon Newcomb a estudiar el problema y calcular la distribución de Poisson como una aproximación para la distribución binomial en 1860. ^[3]

A principios del siglo XX el proceso de Poisson (en una dimensión) surgiría de forma independiente en diferentes situaciones. ^{[2] [3]} En Suecia en 1903, Filip Lundberg publicó una tesis que contenía un trabajo, ahora considerado fundamental y pionero, donde proponía modelar las reclamaciones de seguros con un proceso de Poisson homogéneo. ^{[95] [96]}

En Dinamarca, A.K. Erlang derivó la distribución de Poisson en 1909 cuando desarrolló un modelo matemático para el número de llamadas telefónicas entrantes en un intervalo de tiempo finito. Erlang desconocía el trabajo anterior de Poisson y supuso que el número de llamadas telefónicas que llegaban en cada intervalo de tiempo eran independientes entre sí. Luego encontró el caso límite, que en realidad reformula la distribución de Poisson como un límite de la distribución binomial. ^[2]

En 1910, Ernest Rutherford y Hans Geiger publicaron resultados experimentales sobre el conteo de partículas alfa. Su trabajo experimental contó con contribuciones matemáticas de Harry Bateman , quien derivó las probabilidades de Poisson como solución a una familia de ecuaciones diferenciales, aunque la solución se había derivado antes, lo que resultó en el descubrimiento independiente del proceso de Poisson. ^[2] Después de esta época, hubo muchos estudios y aplicaciones del proceso de Poisson, pero su historia temprana es complicada, lo que se ha explicado por las diversas aplicaciones del proceso en numerosos campos por parte de biólogos, ecologistas, ingenieros y varios científicos físicos. ^[2]

Aplicaciones tempranas

Los años posteriores a 1909 dieron lugar a una serie de estudios y aplicaciones del proceso puntual de Poisson, sin embargo, su historia temprana es compleja, lo que se ha explicado por las diversas aplicaciones del proceso en numerosos campos por parte de biólogos , ecólogos, ingenieros y otros que trabajan en las ciencias físicas . Los primeros resultados se publicaron en diferentes idiomas y en diferentes entornos, sin que se utilizara una terminología y notación estándar. ^[2] Por ejemplo, en 1922, el químico sueco y premio Nobel Theodor Svedberg propuso un modelo en el que un proceso puntual de Poisson espacial es el proceso subyacente para estudiar cómo se distribuyen las plantas en las comunidades vegetales. ^[97] Varios matemáticos comenzaron a estudiar el proceso a principios de la década de 1930, y Andrey Kolmogorov , William Feller y Aleksandr Khinchin , ^[2] entre otros, hicieron importantes contribuciones. ^[98] En el campo de la ingeniería de teletráfico , los matemáticos y estadísticos estudiaron y utilizaron Poisson y otros procesos puntuales. ^[99]

Historia de los términos

El sueco Conny Palm, en su tesis doctoral de 1943 , estudió los procesos de Poisson y otros procesos puntuales en un entorno unidimensional, examinándolos en términos de la dependencia estadística o estocástica entre los puntos en el tiempo. ^{[100] [99]} En su obra existe el primer uso registrado conocido del término procesos puntuales como Punktprozesse en alemán. ^{[100] [3]}

Se cree ^[2] que William Feller fue el primero en referirse a él como el proceso de Poisson en un artículo de 1940. Aunque el sueco Ove Lundberg utilizó el término proceso de Poisson en su tesis doctoral de 1940, ^[3] en la que se reconoció a Feller como influencia, ^[101] se ha afirmado que Feller acuñó el término antes de 1940. ^[91] Se ha observado que tanto Feller como Lundberg utilizaron el término como si fuera bien conocido, lo que implica que ya se usaba oralmente en ese entonces. ^[3] Feller trabajó de 1936 a 1939 junto a Harald Cramér en la Universidad de Estocolmo , donde Lundberg era estudiante de doctorado bajo la dirección de Cramér, quien no utilizó el término proceso de Poisson en un libro suyo, terminado en 1936, pero sí en ediciones posteriores, lo que ha llevado a la especulación de que el término proceso de Poisson fue acuñado en algún momento entre 1936 y 1939 en la Universidad de Estocolmo. ^[3]

Terminología

La terminología de la teoría de procesos puntuales en general ha sido criticada por ser demasiado variada. ^[3] Además de que la palabra punto a menudo se omite, ^{[65] [24]} el proceso de Poisson (puntual) homogéneo también se denomina proceso de Poisson (puntual) estacionario , ^[49] así como proceso de Poisson (puntual) uniforme . ^[44] El proceso de Poisson puntual no homogéneo, además de llamarse no homogéneo , ^[49] también se conoce como proceso de Poisson no estacionario . ^{[74] [102]}

El término proceso puntual ha sido criticado, ya que el término proceso puede sugerir en el tiempo y el espacio, un campo de puntos aleatorios , ^[103] lo que resulta en que también se utilicen los términos campo de puntos aleatorios de Poisson o campo de puntos de Poisson . ^[104] Un proceso puntual se considera, y a veces se denomina, una medida de conteo aleatorio, ^[105] por lo tanto, el proceso puntual de Poisson también se conoce como una medida aleatoria de Poisson , ^[106] un término utilizado en el estudio de los procesos de Lévy, ^{[106] [107]} pero algunos eligen usar los dos términos para los procesos puntuales de Poisson definidos en dos espacios subyacentes diferentes. ^[108]

El espacio matemático subyacente del proceso puntual de Poisson se denomina espacio portador , ^{[109] [110]} o espacio de estados , aunque este último término tiene un significado diferente en el contexto de los procesos estocásticos. En el contexto de los procesos puntuales, el término "espacio de estados" puede significar el espacio en el que se define el proceso puntual, como la línea real, ^{[111] [112]} que corresponde al conjunto de índices ^[113] o al conjunto de parámetros ^[114] en la terminología de los procesos estocásticos.

La medida se denomina medida de intensidad , ^[115] medida media , ^[38] o medida de parámetro , ^[69] ya que no hay términos estándar. ^[38] Si tiene una derivada o densidad, denotada por , se denomina función de intensidad del proceso puntual de Poisson. ^[20] Para el proceso puntual de Poisson homogéneo, la derivada de la medida de intensidad es simplemente una constante , a la que se puede hacer referencia como la tasa , generalmente cuando el espacio subyacente es la línea real, o la intensidad . ^[44] También se denomina tasa media o densidad media ^[116] o tasa . ^[34] Para , el proceso correspondiente a veces se denomina proceso (puntual) de Poisson estándar . ^{[45] [59] [117]} ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda =1}$

La extensión del proceso puntual de Poisson a veces se denomina exposición . ^{[118] [119]}

Notación

La notación del proceso puntual de Poisson depende de su configuración y del campo en el que se aplica. Por ejemplo, en la línea real, el proceso de Poisson, tanto homogéneo como no homogéneo, a veces se interpreta como un proceso de conteo y la notación se utiliza para representar el proceso de Poisson. ^{[31] [34]} ${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$

Otra razón para variar la notación se debe a la teoría de procesos puntuales, que tiene un par de interpretaciones matemáticas. Por ejemplo, un proceso puntual de Poisson simple puede considerarse como un conjunto aleatorio, lo que sugiere la notación , lo que implica que es un punto aleatorio que pertenece o es un elemento del proceso puntual de Poisson . Otra interpretación, más general, es considerar un proceso puntual de Poisson o cualquier otro como una medida de conteo aleatoria, por lo que se puede escribir el número de puntos de un proceso puntual de Poisson que se encuentran o se ubican en alguna región (medible por Borel) como , que es una variable aleatoria. Estas diferentes interpretaciones dan como resultado que se utilicen notaciones de campos matemáticos como la teoría de la medida y la teoría de conjuntos. ^[120] ${\displaystyle \textstyle x\in N}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle N(B)}$

Para los procesos puntuales generales, a veces se incluye un subíndice en el símbolo del punto, por ejemplo , de modo que se escribe (con notación de conjunto) en lugar de , y se puede usar para la variable ligada en expresiones integrales como el teorema de Campbell, en lugar de denotar puntos aleatorios. ^[18] A veces, una letra mayúscula denota el proceso puntual, mientras que una minúscula denota un punto del proceso, de modo que, por ejemplo, el punto o pertenece a o es un punto del proceso puntual , y se puede escribir con notación de conjunto como o . ^[112] ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}\in N}$ ${\displaystyle \textstyle x\in N}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle x\in X}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}\in X}$

Además, la teoría de conjuntos y la notación de la teoría integral o de la medida se pueden utilizar indistintamente. Por ejemplo, para un proceso puntual definido en el espacio de estados euclidiano y una función (medible) en , la expresión ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathbb {R} ^{d}}}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\,\mathrm {d} N(x)=\sum \limits _{x_{i}\in N}f(x_{i}),}$

demuestra dos formas diferentes de escribir una suma sobre un proceso puntual (véase también el teorema de Campbell (probabilidad) ). Más específicamente, la notación integral en el lado izquierdo interpreta el proceso puntual como una medida de conteo aleatoria, mientras que la suma en el lado derecho sugiere una interpretación de conjunto aleatorio. ^[120]

Funcionales y medidas de momento

En la teoría de la probabilidad, las operaciones se aplican a variables aleatorias con diferentes propósitos. A veces, estas operaciones son expectativas regulares que producen el promedio o la varianza de una variable aleatoria. Otras, como las funciones características (o transformadas de Laplace) de una variable aleatoria, se pueden utilizar para identificar o caracterizar de forma única las variables aleatorias y demostrar resultados como el teorema del límite central. ^[121] En la teoría de procesos puntuales existen herramientas matemáticas análogas que suelen presentarse en forma de medidas y funcionales en lugar de momentos y funciones respectivamente. ^{[122] [123]}

Funcionales de Laplace

Para un proceso puntual de Poisson con medida de intensidad en algún espacio , la funcional de Laplace viene dada por: ^[18] ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle L_{N}(f)=\mathbb {E} e^{-\int _{X}f(x)\,N(\mathrm {d} x)}=e^{-\int _{X}(1-e^{-f(x)})\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

Una versión del teorema de Campbell involucra la funcional de Laplace del proceso puntual de Poisson.

Funcionales generadores de probabilidad

La función generadora de probabilidad de una variable aleatoria de valor entero no negativo hace que la función generadora de probabilidad se defina de manera análoga con respecto a cualquier función acotada no negativa en tal que . Para un proceso puntual, la función generadora de probabilidad se define como: ^[124] ${\displaystyle \textstyle v}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle 0\leq v(x)\leq 1}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle G(v)=\operatorname {E} \left[\prod _{x\in N}v(x)\right]}$

donde el producto se realiza para todos los puntos en . Si la medida de intensidad de es localmente finita, entonces está bien definida para cualquier función medible en . Para un proceso puntual de Poisson con medida de intensidad, la función generadora está dada por: ${\textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\textstyle G}$ ${\displaystyle \textstyle u}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle G(v)=e^{-\int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

que en el caso homogéneo se reduce a

${\displaystyle G(v)=e^{-\lambda \int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\mathrm {d} x}.}$

Medida de momento

Para un proceso puntual de Poisson general con medida de intensidad, la primera medida del momento es su medida de intensidad: ^{[18] [19]} ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda (B),}$

lo que para un proceso puntual de Poisson homogéneo con intensidad constante significa: ${\displaystyle \textstyle \lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda |B|,}$

donde es la longitud, área o volumen (o más generalmente, la medida de Lebesgue ) de . ${\displaystyle \textstyle |B|}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

La ecuación de Mecke

La ecuación de Mecke caracteriza el proceso puntual de Poisson. Sea el espacio de todas las medidas -finitas en algún espacio general . Un proceso puntual con intensidad en es un proceso puntual de Poisson si y solo si para todas las funciones mensurables se cumple lo siguiente ${\displaystyle \mathbb {N} _{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {Q}}\times \mathbb {N} _{\sigma }\to \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle \Pr \left[\int f(x,\eta )\eta (\mathrm {d} x)\right]=\int \Pr \left[f(x,\eta +\delta _{x})\right]\lambda (\mathrm {d} x)}$

Para más detalles véase. ^[125]

Medida del momento factorial

Para un proceso puntual de Poisson general con medida de intensidad, la medida del momento factorial -ésimo se da mediante la expresión: ^[126] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

donde es la medida de intensidad o medida del primer momento de , que para algún conjunto de Borel está dada por ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

Para un proceso puntual de Poisson homogéneo la medida del momento factorial -ésimo es simplemente: ^{[18] [19]} ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

donde es la longitud, área o volumen (o más generalmente, la medida de Lebesgue ) de . Además, la densidad de momento factorial -ésima es: ^[126] ${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$ ${\displaystyle \textstyle B_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \mu ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lambda ^{n}.}$

Función de evitación

La función de evitación ^[71] o probabilidad nula ^[120] de un proceso puntual se define en relación con algún conjunto , que es un subconjunto del espacio subyacente , como la probabilidad de que no existan puntos en . Más precisamente, ^[127] para un conjunto de prueba , la función de evitación viene dada por: ${\displaystyle \textstyle v}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle v(B)=\Pr\{N(B)=0\}.}$

Para un proceso puntual de Poisson general con medida de intensidad , su función de evitación viene dada por: ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle v(B)=e^{-\Lambda (B)}}$

Teorema de Rényi

Los procesos puntuales simples se caracterizan completamente por sus probabilidades nulas. ^[128] En otras palabras, la información completa de un proceso puntual simple se captura completamente en sus probabilidades nulas, y dos procesos puntuales simples tienen las mismas probabilidades nulas si y solo si son los mismos procesos puntuales. El caso del proceso de Poisson a veces se conoce como el teorema de Rényi , que lleva el nombre de Alfréd Rényi, quien descubrió el resultado para el caso de un proceso puntual homogéneo en una dimensión. ^[129]

En una forma, ^[129] el teorema de Rényi dice para una medida de Radon difusa (o no atómica) en y un conjunto es una unión finita de rectángulos (por lo que no Borel ^[d] ) que si es un subconjunto contable de tal que: ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle A}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \Pr\{N(A)=0\}=v(A)=e^{-\Lambda (A)}}$

entonces es un proceso puntual de Poisson con medida de intensidad . ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

Operaciones de proceso de puntos

Se pueden realizar operaciones matemáticas sobre procesos puntuales para obtener nuevos procesos puntuales y desarrollar nuevos modelos matemáticos para las ubicaciones de ciertos objetos. Un ejemplo de operación es el conocido como adelgazamiento, que implica eliminar o quitar los puntos de algún proceso puntual según una regla, creando un nuevo proceso con los puntos restantes (los puntos eliminados también forman un proceso puntual). ^[131]

Adelgazamiento

Para el proceso de Poisson, las operaciones de adelgazamiento independientes dan como resultado otro proceso puntual de Poisson. Más específicamente, una operación de adelgazamiento aplicada a un proceso puntual de Poisson con medida de intensidad da como resultado un proceso puntual de puntos eliminados que también es un proceso puntual de Poisson con medida de intensidad , que para un conjunto de Borel acotado viene dado por: ${\displaystyle \textstyle p(x)}$ ${\displaystyle \textstyle p(x)}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}_{p}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda _{p}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}p(x)\,\Lambda (\mathrm {d} x)}$

Este resultado de adelgazamiento del proceso puntual de Poisson se conoce a veces como teorema de Prekopa . ^[132] Además, después de adelgazar aleatoriamente un proceso puntual de Poisson, los puntos mantenidos o restantes también forman un proceso puntual de Poisson, que tiene la medida de intensidad

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}(1-p(x))\,\Lambda (\mathrm {d} x).}$

Los dos procesos puntuales de Poisson separados formados respectivamente a partir de los puntos eliminados y mantenidos son estocásticamente independientes entre sí. ^[131] En otras palabras, si se sabe que una región contiene puntos mantenidos (del proceso puntual de Poisson original), esto no tendrá influencia en el número aleatorio de puntos eliminados en la misma región. Esta capacidad de crear aleatoriamente dos procesos puntuales de Poisson independientes a partir de uno se conoce a veces como división ^{[133] [134]} del proceso puntual de Poisson. ${\displaystyle \textstyle n}$

Superposición

Si existe una colección contable de procesos puntuales , entonces su superposición, o, en el lenguaje de la teoría de conjuntos, su unión, que es ^[135] ${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2},\dots }$

${\displaystyle N=\bigcup _{i=1}^{\infty }N_{i},}$

También forma un proceso puntual. En otras palabras, cualquier punto ubicado en cualquiera de los procesos puntuales también estará ubicado en la superposición de estos procesos puntuales . ${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

Teorema de superposición

El teorema de superposición del proceso puntual de Poisson dice que la superposición de procesos puntuales de Poisson independientes con medidas medias también será un proceso puntual de Poisson con medidas medias ^{[136] [91]} ${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda _{1},\Lambda _{2},\dots }$

${\displaystyle \Lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\Lambda _{i}.}$

En otras palabras, la unión de dos (o más) procesos de Poisson es otro proceso de Poisson. Si se toma un punto de una unión contable de procesos de Poisson, entonces la probabilidad de que el punto pertenezca al proceso de Poisson está dada por: ${\textstyle x}$ ${\textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\textstyle j}$ ${\textstyle N_{j}}$

${\displaystyle \Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\Lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\Lambda _{i}}}.}$

Para dos procesos de Poisson homogéneos con intensidades , las dos expresiones anteriores se reducen a ${\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2}\dots }$

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i},}$

y

${\displaystyle \Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}}.}$

Agrupamiento

La operación de agrupamiento se realiza cuando cada punto de un proceso puntual se reemplaza por otro proceso puntual (posiblemente diferente). Si el proceso original es un proceso puntual de Poisson, el proceso resultante se denomina proceso puntual de agrupamiento de Poisson. ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}_{c}}$

Desplazamiento aleatorio

Un modelo matemático puede requerir mover aleatoriamente puntos de un proceso puntual a otras ubicaciones en el espacio matemático subyacente, lo que da lugar a una operación de proceso puntual conocida como desplazamiento ^[137] o traslación. ^[138] El proceso puntual de Poisson se ha utilizado para modelar, por ejemplo, el movimiento de plantas entre generaciones, debido al teorema de desplazamiento, ^[137] que dice vagamente que el desplazamiento independiente aleatorio de puntos de un proceso puntual de Poisson (en el mismo espacio subyacente) forma otro proceso puntual de Poisson.

Teorema de desplazamiento

One version of the displacement theorem^[137] involves a Poisson point process ${\displaystyle \textstyle {N}}$ on ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ with intensity function ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$. It is then assumed the points of ${\displaystyle \textstyle {N}}$ are randomly displaced somewhere else in ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ so that each point's displacement is independent and that the displacement of a point formerly at ${\displaystyle \textstyle x}$ is a random vector with a probability density ${\displaystyle \textstyle \rho (x,\cdot )}$.^[e] Then the new point process ${\displaystyle \textstyle N_{D}}$ is also a Poisson point process with intensity function

${\displaystyle \lambda _{D}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\lambda (x)\rho (x,y)\,\mathrm {d} x.}$

If the Poisson process is homogeneous with ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)=\lambda >0}$ and if ${\displaystyle \rho (x,y)}$ is a function of ${\displaystyle y-x}$, then

${\displaystyle \lambda _{D}(y)=\lambda .}$

In other words, after each random and independent displacement of points, the original Poisson point process still exists.

The displacement theorem can be extended such that the Poisson points are randomly displaced from one Euclidean space ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ to another Euclidean space ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d'}}$, where ${\displaystyle \textstyle d'\geq 1}$ is not necessarily equal to ${\displaystyle \textstyle d}$.^[18]

Mapping

Another property that is considered useful is the ability to map a Poisson point process from one underlying space to another space.^[139]

Mapping theorem

If the mapping (or transformation) adheres to some conditions, then the resulting mapped (or transformed) collection of points also form a Poisson point process, and this result is sometimes referred to as the mapping theorem.^[139][140] The theorem involves some Poisson point process with mean measure ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ on some underlying space. If the locations of the points are mapped (that is, the point process is transformed) according to some function to another underlying space, then the resulting point process is also a Poisson point process but with a different mean measure ${\displaystyle \textstyle \Lambda '}$.

More specifically, one can consider a (Borel measurable) function ${\displaystyle \textstyle f}$ that maps a point process ${\displaystyle \textstyle {N}}$ with intensity measure ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ from one space ${\displaystyle \textstyle S}$, to another space ${\displaystyle \textstyle T}$ in such a manner so that the new point process ${\displaystyle \textstyle {N}'}$ has the intensity measure:

${\displaystyle \Lambda (B)'=\Lambda (f^{-1}(B))}$

with no atoms, where ${\displaystyle \textstyle B}$ is a Borel set and ${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$ denotes the inverse of the function ${\displaystyle \textstyle f}$. If ${\displaystyle \textstyle {N}}$ is a Poisson point process, then the new process ${\displaystyle \textstyle {N}'}$ is also a Poisson point process with the intensity measure ${\displaystyle \textstyle \Lambda '}$.

Approximations with Poisson point processes

The tractability of the Poisson process means that sometimes it is convenient to approximate a non-Poisson point process with a Poisson one. The overall aim is to approximate both the number of points of some point process and the location of each point by a Poisson point process.^[141] There a number of methods that can be used to justify, informally or rigorously, approximating the occurrence of random events or phenomena with suitable Poisson point processes. The more rigorous methods involve deriving upper bounds on the probability metrics between the Poisson and non-Poisson point processes, while other methods can be justified by less formal heuristics.^[142]

Clumping heuristic

One method for approximating random events or phenomena with Poisson processes is called the clumping heuristic.^[143] The general heuristic or principle involves using the Poisson point process (or Poisson distribution) to approximate events, which are considered rare or unlikely, of some stochastic process. In some cases these rare events are close to being independent, hence a Poisson point process can be used. When the events are not independent, but tend to occur in clusters or clumps, then if these clumps are suitably defined such that they are approximately independent of each other, then the number of clumps occurring will be close to a Poisson random variable ^[142] and the locations of the clumps will be close to a Poisson process.^[143]

Stein's method

Stein's method is a mathematical technique originally developed for approximating random variables such as Gaussian and Poisson variables, which has also been applied to point processes. Stein's method can be used to derive upper bounds on probability metrics, which give way to quantify how different two random mathematical objects vary stochastically.^[141][144] Upperbounds on probability metrics such as total variation and Wasserstein distance have been derived.^[141]

Researchers have applied Stein's method to Poisson point processes in a number of ways,^[141] such as using Palm calculus.^[110] Techniques based on Stein's method have been developed to factor into the upper bounds the effects of certain point process operations such as thinning and superposition.^[145][146] Stein's method has also been used to derive upper bounds on metrics of Poisson and other processes such as the Cox point process, which is a Poisson process with a random intensity measure.^[141]

Convergence to a Poisson point process

In general, when an operation is applied to a general point process the resulting process is usually not a Poisson point process. For example, if a point process, other than a Poisson, has its points randomly and independently displaced, then the process would not necessarily be a Poisson point process. However, under certain mathematical conditions for both the original point process and the random displacement, it has been shown via limit theorems that if the points of a point process are repeatedly displaced in a random and independent manner, then the finite-distribution of the point process will converge (weakly) to that of a Poisson point process.^[147]

Similar convergence results have been developed for thinning and superposition operations^[147] that show that such repeated operations on point processes can, under certain conditions, result in the process converging to a Poisson point processes, provided a suitable rescaling of the intensity measure (otherwise values of the intensity measure of the resulting point processes would approach zero or infinity). Such convergence work is directly related to the results known as the Palm–Khinchin^[f] equations, which has its origins in the work of Conny Palm and Aleksandr Khinchin,^[148] and help explains why the Poisson process can often be used as a mathematical model of various random phenomena.^[147]

Generalizations of Poisson point processes

The Poisson point process can be generalized by, for example, changing its intensity measure or defining on more general mathematical spaces. These generalizations can be studied mathematically as well as used to mathematically model or represent physical phenomena.

Poisson-type random measures

The Poisson-type random measures (PT) are a family of three random counting measures which are closed under restriction to a subspace, i.e. closed under Point process operation#Thinning. These random measures are examples of the mixed binomial process and share the distributional self-similarity property of the Poisson random measure. They are the only members of the canonical non-negative power series family of distributions to possess this property and include the Poisson distribution, negative binomial distribution, and binomial distribution. The Poisson random measure is independent on disjoint subspaces, whereas the other PT random measures (negative binomial and binomial) have positive and negative covariances. The PT random measures are discussed^[149] and include the Poisson random measure, negative binomial random measure, and binomial random measure.

Poisson point processes on more general spaces

For mathematical models the Poisson point process is often defined in Euclidean space,^[1][38] but has been generalized to more abstract spaces and plays a fundamental role in the study of random measures,^[150][151] which requires an understanding of mathematical fields such as probability theory, measure theory and topology.^[152]

In general, the concept of distance is of practical interest for applications, while topological structure is needed for Palm distributions, meaning that point processes are usually defined on mathematical spaces with metrics.^[153] Furthermore, a realization of a point process can be considered as a counting measure, so points processes are types of random measures known as random counting measures.^[117] In this context, the Poisson and other point processes have been studied on a locally compact second countable Hausdorff space.^[154]

Cox point process

A Cox point process, Cox process or doubly stochastic Poisson process is a generalization of the Poisson point process by letting its intensity measure ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ to be also random and independent of the underlying Poisson process. The process is named after David Cox who introduced it in 1955, though other Poisson processes with random intensities had been independently introduced earlier by Lucien Le Cam and Maurice Quenouille.^[3] The intensity measure may be a realization of random variable or a random field. For example, if the logarithm of the intensity measure is a Gaussian random field, then the resulting process is known as a log Gaussian Cox process.^[155] More generally, the intensity measures is a realization of a non-negative locally finite random measure. Cox point processes exhibit a clustering of points, which can be shown mathematically to be larger than those of Poisson point processes. The generality and tractability of Cox processes has resulted in them being used as models in fields such as spatial statistics^[156] and wireless networks.^[19]

Marked Poisson point process

An illustration of a marked point process, where the unmarked point process is defined on the positive real line, which often represents time. The random marks take on values in the state space ${\displaystyle S}$ known as the mark space. Any such marked point process can be interpreted as an unmarked point process on the space ${\displaystyle [0,\infty ]\times S}$. The marking theorem says that if the original unmarked point process is a Poisson point process and the marks are stochastically independent, then the marked point process is also a Poisson point process on ${\displaystyle [0,\infty ]\times S}$. If the Poisson point process is homogeneous, then the gaps ${\displaystyle \tau _{i}}$ in the diagram are drawn from an exponential distribution.

For a given point process, each random point of a point process can have a random mathematical object, known as a mark, randomly assigned to it. These marks can be as diverse as integers, real numbers, lines, geometrical objects or other point processes.^[157][158] The pair consisting of a point of the point process and its corresponding mark is called a marked point, and all the marked points form a marked point process.^[159] It is often assumed that the random marks are independent of each other and identically distributed, yet the mark of a point can still depend on the location of its corresponding point in the underlying (state) space.^[160] If the underlying point process is a Poisson point process, then the resulting point process is a marked Poisson point process.^[161]

Marking theorem

If a general point process is defined on some mathematical space and the random marks are defined on another mathematical space, then the marked point process is defined on the Cartesian product of these two spaces. For a marked Poisson point process with independent and identically distributed marks, the marking theorem^[160][162] states that this marked point process is also a (non-marked) Poisson point process defined on the aforementioned Cartesian product of the two mathematical spaces, which is not true for general point processes.

Compound Poisson point process

The compound Poisson point process or compound Poisson process is formed by adding random values or weights to each point of Poisson point process defined on some underlying space, so the process is constructed from a marked Poisson point process, where the marks form a collection of independent and identically distributed non-negative random variables. In other words, for each point of the original Poisson process, there is an independent and identically distributed non-negative random variable, and then the compound Poisson process is formed from the sum of all the random variables corresponding to points of the Poisson process located in some region of the underlying mathematical space.^[163]

If there is a marked Poisson point process formed from a Poisson point process ${\displaystyle \textstyle N}$ (defined on, for example, ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$) and a collection of independent and identically distributed non-negative marks ${\displaystyle \textstyle \{M_{i}\}}$ such that for each point ${\displaystyle \textstyle x_{i}}$ of the Poisson process ${\displaystyle \textstyle N}$ there is a non-negative random variable ${\displaystyle \textstyle M_{i}}$, the resulting compound Poisson process is then:^[164]

${\displaystyle C(B)=\sum _{i=1}^{N(B)}M_{i},}$

where ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$ is a Borel measurable set.

If general random variables ${\displaystyle \textstyle \{M_{i}\}}$ take values in, for example, ${\displaystyle \textstyle d}$-dimensional Euclidean space ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$, the resulting compound Poisson process is an example of a Lévy process provided that it is formed from a homogeneous Point process ${\displaystyle \textstyle N}$ defined on the non-negative numbers ${\displaystyle \textstyle [0,\infty )}$.^[165]

Failure process with the exponential smoothing of intensity functions

The failure process with the exponential smoothing of intensity functions (FP-ESI) is an extension of the nonhomogeneous Poisson process. The intensity function of an FP-ESI is an exponential smoothing function of the intensity functions at the last time points of event occurrences and outperforms other nine stochastic processes on 8 real-world failure datasets when the models are used to fit the datasets,^[166] where the model performance is measured in terms of AIC (Akaike information criterion) and BIC (Bayesian information criterion).

See also

• Boolean model (probability theory)
• Continuum percolation theory
• Compound Poisson process
• Cox process
• Point process
• Stochastic geometry
• Stochastic geometry models of wireless networks
• Markovian arrival processes

Notes

1. See Section 2.3.2 of Chiu, Stoyan, Kendall, Mecke^[1] or Section 1.3 of Kingman.^[24]
2. For example, it is possible for an event not happening in the queueing theory sense to be an event in the probability theory sense.
3. Instead of ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ and ${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} }x}$, one could write, for example, in (two-dimensional) polar coordinates ${\displaystyle \textstyle \lambda (r,\theta )}$ and ${\textstyle r\,dr\,d\theta }$ , where ${\displaystyle \textstyle r}$ and ${\displaystyle \textstyle \theta }$ denote the radial and angular coordinates respectively, and so ${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} }x}$ would be an area element in this example.
4. This set ${\displaystyle \textstyle A}$ is formed by a finite number of unions, whereas a Borel set is formed by a countable number of set operations.^[130]
5. Kingman^[137] calls this a probability density, but in other resources this is called a probability kernel.^[18]
6. Also spelt Palm–Khintchine in, for example, Point Processes by Cox & Isham (1980, p. 41)

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Specific

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Articles

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