Formulación matemática del Modelo Estándar

Matemáticas de un modelo de física de partículas

Modelo estándar de física de partículas. El diagrama muestra las partículas elementales del modelo estándar (el bosón de Higgs , las tres generaciones de quarks y leptones y los bosones de gauge ), incluidos sus nombres, masas, espines, cargas, quiralidades e interacciones con las fuerzas fuerte , débil y electromagnética . También describe el papel crucial del bosón de Higgs en la ruptura de la simetría electrodébil y muestra cómo difieren las propiedades de las diversas partículas en la fase simétrica (alta energía) (arriba) y la fase de simetría rota (baja energía) (abajo).

Este artículo describe las matemáticas del Modelo Estándar de física de partículas , una teoría cuántica de campos de calibración que contiene las simetrías internas del grupo de productos unitarios SU (3) × SU(2) ×  U(1) . La teoría se considera comúnmente como la descripción del conjunto fundamental de partículas: los leptones , los quarks , los bosones de calibración y el bosón de Higgs .

El Modelo Estándar es renormalizable y matemáticamente autoconsistente, ^[1] sin embargo, a pesar de tener enormes y continuos éxitos en proporcionar predicciones experimentales, deja algunos fenómenos sin explicar . ^[2] En particular, aunque se incorpora la física de la relatividad especial , no se incorpora la relatividad general , y el Modelo Estándar fallará en energías o distancias donde se espera que emerja el gravitón . Por lo tanto, en un contexto de teoría de campos moderna, se lo considera una teoría de campos efectiva .

Teoría cuántica de campos

El patrón de isospín débil T ₃ , hipercarga débil Y _W y carga de color de todas las partículas elementales conocidas, rotadas por el ángulo de mezcla débil para mostrar la carga eléctrica Q , aproximadamente a lo largo de la vertical. El campo de Higgs neutro (cuadrado gris) rompe la simetría electrodébil e interactúa con otras partículas para darles masa.

El modelo estándar es una teoría cuántica de campos , lo que significa que sus objetos fundamentales son los campos cuánticos , que se definen en todos los puntos del espacio-tiempo. La teoría cuántica de campos trata a las partículas como estados excitados (también llamados cuantos ) de sus campos cuánticos subyacentes , que son más fundamentales que las partículas. Estos campos son

• los campos fermiónicos , ψ , que dan cuenta de las "partículas de materia";
• los campos de bosones electrodébiles , , , y B ; ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle W_{2}}$ ${\displaystyle W_{3}}$
• el campo de gluones , G _a ; y
• el campo de Higgs , φ .

El hecho de que se trate de campos cuánticos en lugar de clásicos tiene como consecuencia matemática que son valores de operador . En particular, los valores de los campos generalmente no conmutan. Como operadores, actúan sobre un estado cuántico ( vector ket ).

Presentaciones alternativas de los campos

Como es habitual en la teoría cuántica, hay más de una forma de ver las cosas. En un principio, los campos básicos que se han dado anteriormente pueden no corresponderse bien con las "partículas fundamentales" del diagrama anterior, pero hay varias presentaciones alternativas que, en contextos particulares, pueden ser más apropiadas que las que se dan anteriormente.

Fermiones

En lugar de tener un campo de fermiones ψ , se puede dividir en componentes separados para cada tipo de partícula. Esto refleja la evolución histórica de la teoría cuántica de campos, ya que el componente electrónico ψ _e (que describe al electrón y su antipartícula, el positrón ) es entonces el campo ψ original de la electrodinámica cuántica , que luego fue acompañado por los campos ψ _μ y ψ _τ para el muón y el tauón respectivamente (y sus antipartículas). La teoría electrodébil agregó , y para los neutrinos correspondientes . Los quarks agregan aún más componentes. Para ser cuatro espinores como el electrón y otros componentes leptón , debe haber un componente quark para cada combinación de sabor y color , lo que lleva el total a 24 (3 para leptones cargados, 3 para neutrinos y 2·3·3 = 18 para quarks). Cada uno de ellos es un bispinor de cuatro componentes , para un total de 96 componentes de valor complejo para el campo de fermiones. ${\displaystyle \psi _{\nu _{\mathrm {e} }},\psi _{\nu _{\mu }}}$ ${\displaystyle \psi _{\nu _{\tau }}}$

Una definición importante es el campo de fermiones barrados , que se define como , donde denota el adjunto hermítico de ψ , y γ ⁰ es la matriz gamma cero . Si se piensa en ψ como una matriz n  × 1 , entonces se debería pensar en una matriz 1 ×  n . ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$ ${\displaystyle \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$

Una teoría quiral

Una descomposición independiente de ψ es la que se produce en componentes de quiralidad :

• Quiralidad "izquierda":   ${\displaystyle \psi ^{\rm {L}}={\frac {1}{2}}(1-\gamma _{5})\psi }$
• Quiralidad "correcta":   ${\displaystyle \psi ^{\rm {R}}={\frac {1}{2}}(1+\gamma _{5})\psi }$

donde es la quinta matriz gamma . Esto es muy importante en el Modelo Estándar porque los componentes quirales izquierdo y derecho son tratados de manera diferente por las interacciones de calibre . ${\displaystyle \gamma _{5}}$

En particular, bajo transformaciones SU(2) de isospín débil , las partículas levógiras son dobletes de isospín débil, mientras que las dextrógiras son singletes, es decir, el isospín débil de ψ _R es cero. En términos más simples, la interacción débil podría rotar, por ejemplo, un electrón levógiro en un neutrino levógiro (con emisión de un W ⁻ ), pero no podría hacerlo con las mismas partículas dextrógiras. Como acotación al margen, el neutrino dextrógiro originalmente no existía en el modelo estándar, pero el descubrimiento de la oscilación de neutrinos implica que los neutrinos deben tener masa , y dado que la quiralidad puede cambiar durante la propagación de una partícula masiva, los neutrinos dextrógiros deben existir en la realidad. Sin embargo, esto no cambia la naturaleza quiral (probada experimentalmente) de la interacción débil.

Además, U(1) actúa de manera diferente en y (porque tienen diferentes hipercargas débiles ). ${\displaystyle \psi _{\mathrm {e} }^{\rm {L}}}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {e} }^{\rm {R}}}$

Estados propios de masa e interacción

De este modo, se puede distinguir, por ejemplo, entre los estados propios de masa e interacción del neutrino. El primero es el estado que se propaga en el espacio libre, mientras que el segundo es el estado diferente que participa en las interacciones. ¿Cuál es la partícula "fundamental"? Para el neutrino, es convencional definir el "sabor" (nomi,
no
_micras, onoτ) por el estado propio de interacción, mientras que para los quarks definimos el sabor (arriba, abajo, etc.) por el estado de masa. Podemos cambiar entre estos estados utilizando la matriz CKM para los quarks, o la matriz PMNS para los neutrinos (los leptones cargados, por otro lado, son estados propios tanto de masa como de sabor).

Por otra parte, si existe un término de fase complejo dentro de cualquiera de estas matrices, esto dará lugar a una violación directa de CP , lo que podría explicar el predominio de la materia sobre la antimateria en nuestro universo actual. Esto se ha demostrado para la matriz CKM y se espera que suceda lo mismo con la matriz PMNS.

Energías positivas y negativas

Por último, los campos cuánticos a veces se descomponen en partes de energía "positiva" y "negativa": ψ = ψ ⁺ + ψ ⁻ . Esto no es tan común cuando se ha establecido una teoría cuántica de campos, pero a menudo ocupa un lugar destacado en el proceso de cuantificación de una teoría de campos.

Bosones

Ángulo de Weinberg θ _W y relación entre las constantes de acoplamiento g , g ′ y e . Adaptado del libro de TD Lee Particle Physics and Introduction to Field Theory (1981).

Debido al mecanismo de Higgs , los campos de bosones electrodébiles , , y se "mezclan" para crear los estados que son físicamente observables. Para mantener la invariancia de calibre, los campos subyacentes deben carecer de masa, pero los estados observables pueden ganar masa en el proceso. Estos estados son: ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle W_{2}}$ ${\displaystyle W_{3}}$ ${\displaystyle B}$

El bosón neutro masivo (Z) : El bosón neutro sin masa: Los bosones masivos cargados W : donde θ _W es el ángulo de Weinberg . $${\displaystyle Z=\cos \theta _{\rm {W}}W_{3}-\sin \theta _{\rm {W}}B}$$ $${\displaystyle A=\sin \theta _{\rm {W}}W_{3}+\cos \theta _{\rm {W}}B}$$ $${\displaystyle W^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(W_{1}\mp iW_{2}\right)}$$

El campo A es el fotón , que corresponde clásicamente a los conocidos campos electromagnéticos de cuatro potenciales  , es decir, los campos eléctrico y magnético. El campo Z contribuye en realidad a cada proceso que realiza el fotón, pero debido a su gran masa, la contribución suele ser despreciable.

QFT perturbativa y la imagen de interacción

Gran parte de las descripciones cualitativas del modelo estándar en términos de "partículas" y "fuerzas" provienen de la teoría cuántica de campos perturbativa del modelo. En ella, el lagrangiano se descompone en dos lagrangianos, uno de campo libre y otro de interacción . Los campos libres se ocupan de las partículas de forma aislada, mientras que los procesos que involucran a varias partículas surgen a través de interacciones. La idea es que el vector de estado solo debería cambiar cuando las partículas interactúan, lo que significa que una partícula libre es aquella cuyo estado cuántico es constante. Esto corresponde a la imagen de interacción de la mecánica cuántica. ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {I} }}$

En la imagen de Schrödinger más común , incluso los estados de las partículas libres cambian con el tiempo: típicamente la fase cambia a una velocidad que depende de su energía. En la imagen alternativa de Heisenberg , los vectores de estado se mantienen constantes, al precio de que los operadores (en particular los observables ) sean dependientes del tiempo. La imagen de interacción constituye un intermedio entre los dos, donde cierta dependencia del tiempo se coloca en los operadores (los campos cuánticos) y otra en el vector de estado. En QFT, la primera se llama la parte de campo libre del modelo, y la segunda se llama la parte de interacción. El modelo de campo libre se puede resolver exactamente, y luego las soluciones al modelo completo se pueden expresar como perturbaciones de las soluciones de campo libre, por ejemplo usando la serie de Dyson .

Cabe observar que la descomposición en campos libres e interacciones es, en principio, arbitraria. Por ejemplo, la renormalización en QED modifica la masa del electrón de campo libre para que coincida con la de un electrón físico (con un campo electromagnético), y al hacerlo agregará un término al lagrangiano de campo libre que debe cancelarse con un contratérmino en el lagrangiano de interacción, que luego aparece como un vértice de dos líneas en los diagramas de Feynman . Así es también como se piensa que el campo de Higgs da masa a las partículas : la parte del término de interacción que corresponde al valor esperado de vacío distinto de cero del campo de Higgs se mueve desde la interacción al lagrangiano de campo libre, donde parece un término de masa que no tiene nada que ver con el campo de Higgs.

Campos libres

Bajo la descomposición libre/de interacción habitual, que es adecuada para energías bajas, los campos libres obedecen las siguientes ecuaciones:

• El campo fermiónico ψ satisface la ecuación de Dirac ; para cada tipo de fermión. ${\displaystyle (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{\rm {f}}c)\psi _{\rm {f}}=0}$ ${\displaystyle f}$
• El campo de fotones A satisface la ecuación de onda . ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0}$
• El campo de Higgs φ satisface la ecuación de Klein-Gordon .
• Los campos de interacción débil Z , W ^± satisfacen la ecuación de Proca .

Estas ecuaciones se pueden resolver con exactitud. Por lo general, se hace considerando primero soluciones que sean periódicas con un período L a lo largo de cada eje espacial; luego, tomando el límite: L → ∞, se eliminará esta restricción de periodicidad.

En el caso periódico, la solución para un campo F (cualquiera de los anteriores) se puede expresar como una serie de Fourier de la forma donde: $${\displaystyle F(x)=\beta \sum _{\mathbf {p} }\sum _{r}E_{\mathbf {p} }^{-{\frac {1}{2}}}\left(a_{r}(\mathbf {p} )u_{r}(\mathbf {p} )e^{-{\frac {ipx}{\hbar }}}+b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )v_{r}(\mathbf {p} )e^{\frac {ipx}{\hbar }}\right)}$$

• β es un factor de normalización; para el campo de fermiones es , donde es el volumen de la celda fundamental considerada; para el campo de fotones A ^μ es . ${\displaystyle \psi _{\rm {f}}}$ ${\textstyle {\sqrt {m_{\rm {f}}c^{2}/V}}}$ ${\displaystyle V=L^{3}}$ ${\displaystyle \hbar c/{\sqrt {2V}}}$
• La suma sobre p es sobre todos los momentos consistentes con el período L , es decir, sobre todos los vectores donde son números enteros. ${\displaystyle {\frac {2\pi \hbar }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}$
• La suma sobre r cubre otros grados de libertad específicos del campo, como la polarización o el espín; normalmente resulta como una suma de 1 a 2 o de 1 a 3 .
• E _p es la energía relativista para un cuanto de momento p del campo,cuando la masa en reposo es m . ${\textstyle ={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}\mathbf {p} ^{2}}}}$
• a _r ( p ) yson operadores de aniquilación y creación respectivamente para "partículas a" y "partículas b" de momento p ; las "partículas b" son las antipartículas de las "partículas a". Diferentes campos tienen diferentes "partículas a" y "partículas b". Para algunos campos, a y b son iguales. ${\displaystyle b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$
• u _r ( p ) y v _r ( p ) no son operadores que llevan los aspectos vectoriales o de espinor del campo (cuando sea relevante).
• ${\displaystyle p=(E_{\mathbf {p} }/c,\mathbf {p} )}$es el cuadrimomento para un cuanto con momento p . denota un producto interno de cuatro vectores . ${\displaystyle px=p_{\mu }x^{\mu }}$

En el límite L → ∞ , la suma se convertiría en una integral con la ayuda de la V oculta dentro de β . El valor numérico de β también depende de la normalización elegida para y . ${\displaystyle u_{r}(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle v_{r}(\mathbf {p} )}$

Técnicamente, es el adjunto hermítico del operador a _r ( p ) en el espacio de producto interno de vectores ket . La identificación de y a _r ( p ) como operadores de creación y aniquilación proviene de la comparación de cantidades conservadas para un estado antes y después de que uno de estos haya actuado sobre él. por ejemplo, se puede ver que agrega una partícula, porque agregará 1 al valor propio del operador de número de partícula a , y el momento de esa partícula debería ser p ya que el valor propio del operador de momento de valor vectorial aumenta en esa cantidad. Para estas derivaciones, uno comienza con expresiones para los operadores en términos de los campos cuánticos. Que los operadores con sean operadores de creación y el que no, operadores de aniquilación es una convención, impuesta por el signo de las relaciones de conmutación postuladas para ellos. ${\displaystyle a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle \dagger }$

Un paso importante en la preparación para el cálculo en la teoría cuántica de campos perturbativa es separar los factores "operadores" a y b anteriores de sus factores vectoriales o de espinor correspondientes u y v . Los vértices de los grafos de Feynman provienen de la forma en que u y v de diferentes factores en el lagrangiano de interacción encajan entre sí, mientras que los bordes provienen de la forma en que a s y b s deben moverse para poner los términos en la serie de Dyson en forma normal.

Términos de interacción y el enfoque de la integral de trayectorias

El lagrangiano también se puede derivar sin utilizar operadores de creación y aniquilación (el formalismo "canónico") mediante una formulación de integral de trayectoria , iniciada por Feynman a partir del trabajo anterior de Dirac. Los diagramas de Feynman son representaciones gráficas de términos de interacción. De hecho, se presenta una derivación rápida en el artículo sobre diagramas de Feynman .

Formalismo lagrangiano

Interacciones en el Modelo Estándar. Todos los diagramas de Feynman en el modelo se construyen a partir de combinaciones de estos vértices. q es cualquier quark, g es un gluón, X es cualquier partícula cargada, γ es un fotón, f es cualquier fermión, m es cualquier partícula con masa (con la posible excepción de los neutrinos), m _B es cualquier bosón con masa. En los diagramas con múltiples etiquetas de partículas separadas por / se elige una etiqueta de partícula. En los diagramas con etiquetas de partículas separadas por | las etiquetas deben elegirse en el mismo orden. Por ejemplo, en el caso electrodébil de cuatro bosones los diagramas válidos son WWWW, WWZZ, WWγγ, WWZγ. También se permite el conjugado de cada vértice enumerado (invirtiendo la dirección de las flechas). ^[3]

La forma expandida completa del Lagrangiano del Modelo Estándar

Ahora podemos dar más detalles sobre los términos libres y de interacción antes mencionados que aparecen en la densidad lagrangiana del Modelo Estándar . Cualquier término de este tipo debe ser invariante tanto en el marco de referencia como en el de calibración, de lo contrario las leyes de la física dependerían de una elección arbitraria o del marco de un observador. Por lo tanto, debe aplicarse la simetría de Poincaré global , que consiste en la simetría traslacional , la simetría rotacional y la invariancia del marco de referencia inercial central para la teoría de la relatividad especial . La simetría de calibración local SU(3) × SU(2) × U(1) es la simetría interna . Los tres factores de la simetría de calibración juntos dan lugar a las tres interacciones fundamentales, después de que se hayan definido algunas relaciones apropiadas, como veremos.

Términos cinéticos

Una partícula libre puede representarse mediante un término de masa y un término cinético que se relaciona con el "movimiento" de los campos.

Campos fermiónicos

El término cinético para un fermión de Dirac es el que se utiliza para las notaciones que se han utilizado anteriormente en el artículo. ψ puede representar cualquiera o todos los fermiones de Dirac del modelo estándar. Por lo general, como se muestra a continuación, este término se incluye dentro de los acoplamientos (lo que crea un término "dinámico" general). $${\displaystyle i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }$$

Campos de calibración

Para los campos de espín 1, primero defina el tensor de intensidad de campo para un campo de calibración dado (aquí usamos A ), con constante de acoplamiento de calibración g . La cantidad f ^abc es la constante de estructura del grupo de calibración particular, definido por el conmutador donde t _i son los generadores del grupo. En un grupo abeliano (conmutativo) (como el U(1) que usamos aquí) las constantes de estructura se anulan, ya que los generadores t _a conmutan entre sí. Por supuesto, este no es el caso en general: el modelo estándar incluye los grupos SU(2) y SU(3) no abelianos (tales grupos conducen a lo que se llama una teoría de calibración de Yang-Mills ). $${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$$ $${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=if^{abc}t_{c},}$$

Necesitamos introducir tres campos de calibre correspondientes a cada uno de los subgrupos SU(3) × SU(2) ×  U(1) .

• El tensor de campo de gluones se denotará por , donde el índice a etiqueta los elementos de la 8 representación del color SU(3) . La constante de acoplamiento fuerte se etiqueta convencionalmente como g _s (o simplemente g donde no hay ambigüedad). Las observaciones que llevaron al descubrimiento de esta parte del Modelo Estándar se analizan en el artículo sobre cromodinámica cuántica . ${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}}$
• La notación se utilizará para el tensor de campo de calibración de SU(2) donde a recorre los 3 generadores de este grupo. El acoplamiento se puede denotar como g _w o simplemente como g . El campo de calibración se denotará como . ${\displaystyle W_{\mu \nu }^{a}}$ ${\displaystyle W_{\mu }^{a}}$
• El tensor de campo de calibre para la U(1) de hipercarga débil se denotará por B _μν , el acoplamiento por g ′ y el campo de calibre por B _μ .

El término cinético ahora se puede escribir como donde las trazas están sobre los índices SU(2) y SU(3) ocultos en W y G respectivamente. Los objetos de dos índices son las intensidades de campo derivadas de los campos vectoriales W y G. También hay dos parámetros ocultos adicionales: los ángulos theta para SU(2) y SU(3) . $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {kin}}=-{1 \over 4}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} W_{\mu \nu }W^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} G_{\mu \nu }G^{\mu \nu }}$$

Términos de acoplamiento

El siguiente paso es "acoplar" los campos de calibración a los fermiones, permitiendo interacciones.

Sector electrodébil

El sector electrodébil interactúa con el grupo de simetría U(1) × SU(2) _L , donde el subíndice L indica acoplamiento solo a fermiones zurdos. donde B _μ es el campo de calibración U(1) ; Y _W es la hipercarga débil (el generador del grupo U(1) ); W _μ es el campo de calibración SU(2) de tres componentes; y los componentes de τ son las matrices de Pauli (generadores infinitesimales del grupo SU(2) ) cuyos valores propios dan el isospín débil. Nótese que tenemos que redefinir una nueva simetría U(1) de hipercarga débil , diferente de QED, para lograr la unificación con la fuerza débil. La carga eléctrica Q , tercer componente del isospín débil T ₃ (también llamado T _z , I ₃ o I _z ) y la hipercarga débil Y _W están relacionadas por (o por la convención alternativa Q = T ₃ + Y _W ). La primera convención, utilizada en este artículo, es equivalente a la fórmula anterior de Gell-Mann-Nishijima . Esta hace que la hipercarga sea el doble de la carga promedio de un isomúltiplete dado. $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {EW} }=\sum _{\psi }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\left(i\partial _{\mu }-g^{\prime }{1 \over 2}Y_{\mathrm {W} }B_{\mu }-g{1 \over 2}{\boldsymbol {\tau }}\mathbf {W} _{\mu }\right)\psi }$$ $${\displaystyle Q=T_{3}+{\tfrac {1}{2}}Y_{\rm {W}},}$$

Se puede entonces definir la corriente conservada para isospín débil como y para hipercarga débil como donde es la corriente eléctrica y la tercera corriente de isospín débil. Como se explicó anteriormente, estas corrientes se mezclan para crear los bosones observados físicamente, lo que también conduce a relaciones comprobables entre las constantes de acoplamiento. $${\displaystyle \mathbf {j} _{\mu }={1 \over 2}{\bar {\psi }}_{\rm {L}}\gamma _{\mu }{\boldsymbol {\tau }}\psi _{\rm {L}}}$$ $${\displaystyle j_{\mu }^{Y}=2(j_{\mu }^{\rm {em}}-j_{\mu }^{3})~,}$$ ${\displaystyle j_{\mu }^{\rm {em}}}$ ${\displaystyle j_{\mu }^{3}}$

Para explicar esto de una manera más sencilla, podemos ver el efecto de la interacción electrodébil seleccionando términos del lagrangiano. Vemos que la simetría SU(2) actúa sobre cada doblete de fermiones (zurdos) contenido en ψ , por ejemplo, donde se entiende que las partículas son zurdas, y donde $${\displaystyle -{g \over 2}({\bar {\nu }}_{e}\;{\bar {e}})\tau ^{+}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }{\begin{pmatrix}{\nu _{e}}\\e\end{pmatrix}}=-{g \over 2}{\bar {\nu }}_{e}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }e}$$ $${\displaystyle \tau ^{+}\equiv {1 \over 2}(\tau ^{1}{+}i\tau ^{2})={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$$

Se trata de una interacción que corresponde a una "rotación en el espacio de isospín débil" o, en otras palabras, a una transformación entre e _L y ν _eL mediante la emisión de un bosón W ⁻ . La simetría U(1) , por otra parte, es similar al electromagnetismo, pero actúa sobre todos los fermiones " débiles hipercargados " (tanto levógiros como diestros) a través del neutro Z ⁰ , así como sobre los fermiones cargados a través del fotón.

Sector de cromodinámica cuántica

El sector de cromodinámica cuántica (QCD) define las interacciones entre quarks y gluones , con simetría SU(3) , generadas por T _a . Dado que los leptones no interactúan con los gluones, no se ven afectados por este sector. El lagrangiano de Dirac de los quarks acoplados a los campos de gluones está dado por donde U y D son los espinores de Dirac asociados con los quarks de tipo up y down, y otras notaciones continúan de la sección anterior. $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=i{\overline {U}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }U+i{\overline {D}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }D.}$$

Términos de masa y mecanismo de Higgs

Términos de masas

El término de masa que surge del lagrangiano de Dirac (para cualquier fermión ψ ) es , que no es invariante bajo la simetría electrodébil. Esto se puede ver escribiendo ψ en términos de componentes zurdos y diestros (omitiendo el cálculo real): es decir, la contribución de los términos y no aparecen. Vemos que la interacción generadora de masa se logra mediante la inversión constante de la quiralidad de las partículas. Las partículas de espín-mitad no tienen un par de quiralidad derecha/izquierda con las mismas representaciones SU(2) e hipercargas débiles iguales y opuestas, por lo que, asumiendo que estas cargas de calibre se conservan en el vacío, ninguna de las partículas de espín-mitad podría intercambiar quiralidad y debe permanecer sin masa. Además, sabemos experimentalmente que los bosones W y Z son masivos, pero un término de masa de bosón contiene la combinación, por ejemplo, A ^μ A _μ , que claramente depende de la elección del calibre. Por lo tanto, ninguno de los fermiones o bosones del modelo estándar puede "comenzar" con masa, sino que debe adquirirla mediante algún otro mecanismo. ${\displaystyle -m{\bar {\psi }}\psi }$ $${\displaystyle -m{\bar {\psi }}\psi =-m({\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {R}}+{\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {L}})}$$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}}$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}}$

Mecanismo de Higgs

La solución a ambos problemas proviene del mecanismo de Higgs , que involucra campos escalares (cuyo número depende de la forma exacta del mecanismo de Higgs) que (para dar la descripción más breve posible) son "absorbidos" por los bosones masivos como grados de libertad, y que se acoplan a los fermiones a través del acoplamiento de Yukawa para crear lo que parecen términos de masa.

En el Modelo Estándar, el campo de Higgs es un campo escalar complejo del grupo SU(2) _L : donde los superíndices + y 0 indican la carga eléctrica ( Q ) de los componentes. La hipercarga débil ( Y _W ) de ambos componentes es 1 . $${\displaystyle \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\phi ^{+}\\\phi ^{0}\end{pmatrix}},}$$

La parte de Higgs del Lagrangiano es donde λ > 0 y μ ² > 0 , de modo que se puede utilizar el mecanismo de ruptura espontánea de la simetría . Hay un parámetro aquí, al principio oculto dentro de la forma del potencial, que es muy importante. En un calibre unitario se puede establecer y hacer real. Entonces es el valor esperado de vacío no nulo del campo de Higgs. tiene unidades de masa, y es el único parámetro en el Modelo Estándar que no es adimensional. También es mucho más pequeño que la escala de Planck y aproximadamente el doble de la masa de Higgs, lo que establece la escala para la masa de todas las demás partículas en el Modelo Estándar. Este es el único ajuste fino real a un valor pequeño distinto de cero en el Modelo Estándar. Surgen términos cuadráticos en W _μ y B _μ , que dan masas a los bosones W y Z: $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {H}}=\left[\left(\partial _{\mu }-igW_{\mu }^{a}t^{a}-ig'Y_{\phi }B_{\mu }\right)\phi \right]^{2}+\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2},}$$ ${\displaystyle \phi ^{+}=0}$ ${\displaystyle \phi ^{0}}$ ${\displaystyle \langle \phi ^{0}\rangle =v}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\rm {W}}&={\tfrac {1}{2}}vg\\M_{\rm {Z}}&={\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {g^{2}+{g'}^{2}}}\end{aligned}}}$$

La masa del propio bosón de Higgs viene dada por ${\textstyle M_{\rm {H}}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}.}$

Interacción con Yukawa

Los términos de interacción de Yukawa son donde , , y son matrices 3 × 3 de acoplamientos de Yukawa, con el término mn dando el acoplamiento de las generaciones m y n , y hc significa conjugado hermítico de los términos precedentes. Los campos y son dobletes de quarks y leptones zurdos. Asimismo, , y son quarks de tipo up, quarks de tipo down y singletes de leptones diestros. Finalmente, es el doblete de Higgs y $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Yukawa}}=(Y_{\text{u}})_{mn}({\bar {q}}_{\text{L}})_{m}{\tilde {\varphi }}(u_{\text{R}})_{n}+(Y_{\text{d}})_{mn}({\bar {q}}_{\text{L}})_{m}\varphi (d_{\text{R}})_{n}+(Y_{\text{e}})_{mn}({\bar {L}}_{\text{L}})_{m}{\tilde {\varphi }}(e_{\text{R}})_{n}+\mathrm {h.c.} }$$ ${\displaystyle Y_{\text{u}}}$ ${\displaystyle Y_{\text{d}}}$ ${\displaystyle Y_{\text{e}}}$ ${\displaystyle q_{\text{L}}}$ ${\displaystyle L_{\text{L}}}$ ${\displaystyle u_{\text{R}}}$ ${\displaystyle d_{\text{R}}}$ ${\displaystyle e_{\text{R}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}=i\tau _{2}\varphi ^{*}}$

Masas de neutrinos

Como se mencionó anteriormente, la evidencia muestra que los neutrinos deben tener masa. Pero dentro del modelo estándar, el neutrino dextrógiro no existe, por lo que incluso con un acoplamiento de Yukawa, los neutrinos siguen sin masa. Una solución obvia ^[4] es simplemente agregar un neutrino dextrógiro ν _R , lo que requiere la adición de un nuevo término de masa de Dirac en el sector de Yukawa: $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Dir}}=(Y_{\nu })_{mn}({\bar {L}}_{L})_{m}\varphi (\nu _{R})_{n}+\mathrm {h.c.} }$$

Sin embargo, este campo debe ser un neutrino estéril , ya que al ser diestro pertenece experimentalmente a un singlete de isospín ( T ₃ = 0 ) y también tiene carga Q = 0 , lo que implica Y _W = 0 (ver arriba), es decir, ni siquiera participa en la interacción débil. La evidencia experimental de neutrinos estériles actualmente no es concluyente. ^[5]

Otra posibilidad a considerar es que el neutrino satisface la ecuación de Majorana , lo que en un principio parece posible debido a su carga eléctrica cero. En este caso, se añade un nuevo término de masa de Majorana al sector de Yukawa: donde C denota una partícula conjugada con carga (es decir, anti-), y los términos son consistentemente todos quirales izquierdistas (o todos quirales derechos) (nótese que una proyección de quiralidad izquierdista de una antipartícula es un campo dextrógiro; se debe tener cuidado aquí debido a las diferentes notaciones que a veces se utilizan). Aquí estamos esencialmente cambiando entre neutrinos zurdos y antineutrinos diestros (además, es posible pero no necesario que los neutrinos sean su propia antipartícula, por lo que estas partículas son las mismas). Sin embargo, para los neutrinos de quiralidad izquierda, este término cambia la hipercarga débil en 2 unidades (lo que no es posible con la interacción estándar de Higgs, que requiere que el campo de Higgs se extienda para incluir un triplete adicional con hipercarga débil = 2 ^[4] ), mientras que para los neutrinos de quiralidad derecha, no son necesarias extensiones de Higgs. Tanto para los casos de quiralidad izquierda como derecha, los términos de Majorana violan el número leptónico , pero posiblemente a un nivel más allá de la sensibilidad actual de los experimentos para detectar tales violaciones. $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Maj}}=-{\frac {1}{2}}m\left({\overline {\nu }}^{C}\nu +{\overline {\nu }}\nu ^{C}\right)}$$ ${\displaystyle \nu }$

Es posible incluir los términos de masa de Dirac y Majorana en la misma teoría, lo que (en contraste con el enfoque de masa de Dirac solamente) puede proporcionar una explicación “natural” para la pequeñez de las masas de neutrinos observadas, al vincular los neutrinos diestros con la física aún desconocida alrededor de la escala GUT ^[6] (ver mecanismo de balancín ).

Dado que en cualquier caso deben postularse nuevos campos para explicar los resultados experimentales, los neutrinos son una puerta de entrada obvia para la búsqueda de la física más allá del Modelo Estándar .

Información detallada

En esta sección se brindan más detalles sobre algunos aspectos y material de referencia. También se proporcionan términos lagrangianos explícitos .

Contenido del campo en detalle

El Modelo Estándar tiene los siguientes campos. Estos describen una generación de leptones y quarks, y hay tres generaciones, por lo que hay tres copias de cada campo fermiónico. Por simetría CPT, hay un conjunto de fermiones y antifermiones con paridad y cargas opuestas. Si un fermión zurdo abarca alguna representación, su antipartícula (antifermión diestro) abarca la representación dual ^[7] (nótese que para SU(2), porque es pseudo-real ). La columna " representación " indica bajo qué representaciones de los grupos de calibración se transforma cada campo, en el orden (SU(3), SU(2), U(1)) y para el grupo U(1), se enumera el valor de la hipercarga débil . Hay el doble de componentes de campo leptónico zurdos que de campo leptónico diestros en cada generación, pero un número igual de componentes de campo quark zurdos y de campo quark diestros. ${\displaystyle {\bar {\mathbf {2} }}={\mathbf {2} }}$

Contenido de fermiones

Esta tabla se basa en parte en datos recopilados por el Particle Data Group . ^[9]

Parámetros libres

Al escribir el modelo lagrangiano más general con neutrinos sin masa, se descubre que la dinámica depende de 19 parámetros, cuyos valores numéricos se establecen experimentalmente. Las extensiones sencillas del Modelo Estándar con neutrinos masivos necesitan 7 parámetros más (3 masas y 4 parámetros de la matriz de PMNS) para un total de 26 parámetros. ^[10] Los valores de los parámetros de los neutrinos aún son inciertos. Los 19 parámetros ciertos se resumen aquí.

La elección de parámetros libres es algo arbitraria. En la tabla anterior, los acoplamientos de calibre se enumeran como parámetros libres, por lo tanto, con esta elección, el ángulo de Weinberg no es un parámetro libre; se define como . Del mismo modo, la constante de estructura fina de QED es . En lugar de las masas de los fermiones, se pueden elegir acoplamientos de Yukawa adimensionales como parámetros libres. Por ejemplo, la masa del electrón depende del acoplamiento de Yukawa del electrón al campo de Higgs, y su valor es . En lugar de la masa del Higgs, se puede elegir como parámetro libre la fuerza de autoacoplamiento del Higgs , que es aproximadamente 0,129. En lugar del valor esperado del vacío del Higgs, se puede elegir el parámetro directamente del término de autointeracción del Higgs . Su valor es , o aproximadamente = ${\displaystyle \tan \theta _{\rm {W}}={g_{1}}/{g_{2}}}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {(g_{1}g_{2})^{2}}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}}}}$ ${\displaystyle m_{\rm {e}}=y_{\rm {e}}v/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {m_{\rm {H}}^{2}}{2v^{2}}}}$ ${\displaystyle \mu ^{2}}$ ${\displaystyle \mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}}$ ${\displaystyle \mu ^{2}=\lambda v^{2}={m_{\rm {H}}^{2}}/2}$ ${\displaystyle \mu }$88,45 GeV .

El valor de la energía del vacío (o más precisamente, la escala de renormalización utilizada para calcular esta energía) también puede tratarse como un parámetro libre adicional. La escala de renormalización puede identificarse con la escala de Planck o ajustarse para que coincida con la constante cosmológica observada . Sin embargo, ambas opciones son problemáticas . ^[11]

Simetrías adicionales del Modelo Estándar

Desde el punto de vista teórico, el Modelo Estándar presenta cuatro simetrías globales adicionales, no postuladas al comienzo de su construcción, denominadas colectivamente simetrías accidentales , que son simetrías globales continuas U(1) . Las transformaciones que dejan invariante el lagrangiano son: $${\displaystyle \psi _{\text{q}}(x)\to e^{i\alpha /3}\psi _{\text{q}}}$$ $${\displaystyle E_{\rm {L}}\to e^{i\beta }E_{\rm {L}}{\text{ and }}(e_{\rm {R}})^{\text{c}}\to e^{i\beta }(e_{\rm {R}})^{\text{c}}}$$ $${\displaystyle M_{\rm {L}}\to e^{i\beta }M_{\rm {L}}{\text{ and }}(\mu _{\rm {R}})^{\text{c}}\to e^{i\beta }(\mu _{\rm {R}})^{\text{c}}}$$ $${\displaystyle T_{\rm {L}}\to e^{i\beta }T_{\rm {L}}{\text{ and }}(\tau _{\rm {R}})^{\text{c}}\to e^{i\beta }(\tau _{\rm {R}})^{\text{c}}}$$

La primera regla de transformación es una abreviatura que significa que todos los campos de quarks de todas las generaciones deben rotarse en una fase idéntica simultáneamente. Los campos M _L , T _L y son los análogos de la segunda (muones) y tercera (tau) generación de los campos E _L y . ${\displaystyle (\mu _{\rm {R}})^{\text{c}},(\tau _{\rm {R}})^{\text{c}}}$ ${\displaystyle (e_{\rm {R}})^{\text{c}}}$

Según el teorema de Noether , cada simetría anterior tiene asociada una ley de conservación : la conservación del número bariónico , ^[12] el número electrónico , el número muónico y el número tau . A cada quark se le asigna un número bariónico de , mientras que a cada antiquark se le asigna un número bariónico de . La conservación del número bariónico implica que el número de quarks menos el número de antiquarks es una constante. Dentro de los límites experimentales, no se ha encontrado ninguna violación de esta ley de conservación. ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle -{\frac {1}{3}}}$

De manera similar, a cada electrón y su neutrino asociado se le asigna un número electrónico de +1, mientras que el antielectrón y el antineutrino asociado tienen un número electrónico de -1. De manera similar, a los muones y sus neutrinos se les asigna un número muónico de +1 y a los leptones tau se les asigna un número leptónico tau de +1. El Modelo Estándar predice que cada uno de estos tres números debería conservarse por separado de una manera similar a la forma en que se conserva el número bariónico. Estos números se conocen colectivamente como números de la familia leptónica (LF). (Este resultado depende de la suposición hecha en el Modelo Estándar de que los neutrinos no tienen masa. Experimentalmente, las oscilaciones de neutrinos demuestran que los números individuales de electrones, muones y tau no se conservan.) ^{[13] [14]}

Además de las simetrías accidentales (pero exactas) descritas anteriormente, el Modelo Estándar presenta varias simetrías aproximadas . Estas son la " simetría de custodia SU(2) " y la "simetría de sabor de quark SU(2) o SU(3)".

Simetría U(1)

Para los leptones , el grupo de calibración se puede escribir SU(2) _l  × U(1) _L  × U(1) _R. Los dos factores U(1) se pueden combinar en U(1) _Y  × U(1) _l , donde l es el número leptónico . Experimentalmente se descarta la calibración del número leptónico, por lo que solo queda el posible grupo de calibración SU(2) _L  × U(1) _Y. Un argumento similar en el sector de los quarks también da el mismo resultado para la teoría electrodébil.

Acoplamientos de corriente cargada y neutra y teoría de Fermi

Las corrientes cargadas son Estas corrientes cargadas son precisamente las que entraron en la teoría de Fermi de la desintegración beta . La acción contiene la pieza de corriente de carga Para una energía mucho menor que la masa del bosón W, la teoría efectiva se convierte en la interacción de contacto corriente-corriente de la teoría de Fermi . ${\displaystyle j^{\mp }=j^{1}\pm ij^{2}}$ $${\displaystyle j_{\mu }^{-}={\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} }.}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {CC}}={\frac {g}{\sqrt {2}}}(j_{\mu }^{+}W^{-\mu }+j_{\mu }^{-}W^{+\mu }).}$$ ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}G_{\rm {F}}~~J_{\mu }^{+}J^{\mu ~~-}}$

Sin embargo, la invariancia de calibre ahora requiere que el componente del campo de calibre también esté acoplado a una corriente que se encuentra en el triplete de SU(2). Sin embargo, esto se mezcla con el U(1), y se necesita otra corriente en ese sector. Estas corrientes deben estar descargadas para conservar la carga. Por lo tanto , también se requieren corrientes neutras . La parte de corriente neutra en el lagrangiano es entonces ${\displaystyle W^{3}}$ $${\displaystyle j_{\mu }^{3}={\frac {1}{2}}\left({\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }U_{i\mathrm {L} }-{\overline {D}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }\nu _{i\mathrm {L} }-{\overline {l}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} }\right)}$$ $${\displaystyle j_{\mu }^{\rm {em}}={\frac {2}{3}}{\overline {U}}_{i}\gamma _{\mu }U_{i}-{\frac {1}{3}}{\overline {D}}_{i}\gamma _{\mu }D_{i}-{\overline {l}}_{i}\gamma _{\mu }l_{i}.}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {NC}}=ej_{\mu }^{\rm {em}}A^{\mu }+{\frac {g}{\cos \theta _{\rm {W}}}}(J_{\mu }^{3}-\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}J_{\mu }^{\rm {em}})Z^{\mu }.}$$

La física más allá del modelo estándar

La física más allá del modelo estándar (BSM) se refiere a los desarrollos teóricos necesarios para explicar las deficiencias del modelo estándar , como la incapacidad de explicar los parámetros fundamentales del modelo estándar, el problema CP fuerte , las oscilaciones de neutrinos , la asimetría materia-antimateria y la naturaleza de la materia oscura y la energía oscura . ^[15] Otro problema radica en el marco matemático del propio modelo estándar: el modelo estándar es inconsistente con el de la relatividad general , y una o ambas teorías se rompen bajo ciertas condiciones, como las singularidades del espacio-tiempo como el Big Bang y los horizontes de eventos de los agujeros negros .

Las teorías que van más allá del Modelo Estándar incluyen varias extensiones del modelo estándar a través de la supersimetría , como el Modelo Estándar Supersimétrico Mínimo (MSSM) y el Modelo Estándar Supersimétrico Próximo al Mínimo (NMSSM), y explicaciones completamente novedosas, como la teoría de cuerdas , la teoría M y las dimensiones extra . Como estas teorías tienden a reproducir la totalidad de los fenómenos actuales, la cuestión de qué teoría es la correcta, o al menos el "mejor paso" hacia una Teoría del Todo , solo puede resolverse mediante experimentos, y es una de las áreas de investigación más activas tanto en física teórica como experimental . ^[16]

Véase también

• Descripción general del modelo estándar de física de partículas
• Interacción fundamental
• Modelo estándar no conmutativo
• Preguntas abiertas: violación de CP , masas de neutrinos , materia de quarks
• La física más allá del modelo estándar
• Interacciones fuertes
  • Sabor
  • Cromodinámica cuántica
  • Modelo de quarks
• Interacciones débiles
  • Interacción electrodébil
  • Interacción de Fermi
• Angulo de Weinberg
• Simetría en mecánica cuántica
• La teoría cuántica de campos en pocas palabras, por A. Zee

Referencias y enlaces externos

1. De hecho, todavía hay cuestiones matemáticas en debate sobre las teorías cuánticas de campos (véase, por ejemplo, el polo de Landau ), pero las predicciones extraídas del Modelo Estándar con los métodos actuales son todas autoconsistentes. Para un análisis más detallado, véase, por ejemplo, R. Mann, capítulo 25.
2. Overbye, Dennis (11 de septiembre de 2023). «No esperen que una 'teoría del todo' lo explique todo: ni siquiera la física más avanzada puede revelar todo lo que queremos saber sobre la historia y el futuro del cosmos, o sobre nosotros mismos». The New York Times . Archivado desde el original el 11 de septiembre de 2023. Consultado el 11 de septiembre de 2023 .
3. Lindon, Jack (2020). Sondeos de colisionadores de partículas sobre energía oscura, materia oscura y firmas genéricas más allá del modelo estándar en eventos con un chorro energético y un gran momento transversal faltante utilizando el detector ATLAS en el LHC (PhD). CERN.
4. Raby, Stuart; Slansky, Richard. "Masas de neutrinos: cómo añadirlas al modelo estándar" (PDF) . Proyecto FAS sobre secreto gubernamental . Consultado el 3 de noviembre de 2023 .
5. "Oscilaciones de neutrinos hoy". t2k-experiment.org .
6. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 26 de febrero de 2014. Consultado el 26 de febrero de 2014 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
7. "2.3.1 Isospín y SU(2), Redux". math.ucr.edu . Consultado el 9 de agosto de 2020 .
8. McCabe, Gordon. (2007). La estructura y la interpretación del modelo estándar . Ámsterdam: Elsevier. pp. 160–161. ISBN 978-0-444-53112-4.OCLC 162131565  .
9. W.-M. Yao et al . ( Particle Data Group ) (2006). "Revisión de la física de partículas: quarks" (PDF) . Journal of Physics G. 33 ( 1): 1. arXiv : astro-ph/0601168 . Bibcode :2006JPhG...33....1Y. doi :10.1088/0954-3899/33/1/001. S2CID  117958297.
10. Mark Thomson (5 de septiembre de 2013). Física de partículas moderna. Cambridge University Press. pp. 499–500. ISBN 978-1-107-29254-3.
11. Martin, Jérôme (julio de 2012). "Todo lo que siempre quiso saber sobre el problema de la constante cosmológica (pero tenía miedo de preguntar)". Comptes Rendus Physique . 13 (6–7): 566–665. arXiv : 1205.3365 . Bibcode :2012CRPhy..13..566M. doi :10.1016/j.crhy.2012.04.008. S2CID  119272967.
12. El número bariónico en el SM solo se conserva en el nivel clásico. Existen efectos no perturbativos que no conservan el número bariónico: Baryon Number Violation, informe preparado para el Community Planning Study – Snowmass 2013
13. El número leptónico en el SM solo se conserva en el nivel clásico. Existen efectos no perturbativos que no conservan el número leptónico: véase Fuentes-Martín, J.; Portolés, J.; Ruiz-Femenía, P. (enero de 2015). "Instanton-mediated baryon number violence in non-universal gauge extended models". Journal of High Energy Physics . 2015 (1): 134. arXiv : 1411.2471 . Bibcode :2015JHEP...01..134F. doi : 10.1007/JHEP01(2015)134 . ISSN  1029-8479.o Números de bariones y leptones en física de partículas más allá del modelo estándar
14. La violación del número leptónico y del número bariónico se cancelan mutuamente y, en efecto, B − L es una simetría exacta del Modelo Estándar. La extensión del Modelo Estándar con neutrinos Majorana masivos rompe la simetría BL, pero la extensión con neutrinos Dirac masivos no: véase Ma, Ernest; Srivastava, Rahul (30 de agosto de 2015). "Dirac or inverse seesaw neutrino masses from gauged B–L symmetry". Modern Physics Letters A . 30 (26): 1530020. arXiv : 1504.00111 . Bibcode :2015MPLA...3030020M. doi :10.1142/S0217732315300207. ISSN  0217-7323. Número de identificación del sujeto  119111538., Heeck, Julian (diciembre de 2014). "Simetría B – L ininterrumpida". Physics Letters B . 739 : 256–262. arXiv : 1408.6845 . Código Bibliográfico :2014PhLB..739..256H. doi : 10.1016/j.physletb.2014.10.067 ., Vissani, Francesco (3 de marzo de 2021). "Qué es la materia según la física de partículas y por qué intentar observar su creación en el laboratorio". Universo . 7 (3): 61. arXiv : 2103.02642 . Bibcode :2021Univ....7...61V. doi : 10.3390/universe7030061 .
15. Womersley, J. (febrero de 2005). "Más allá del modelo estándar" (PDF) . Revista Symmetry . Archivado desde el original (PDF) el 17 de octubre de 2007. Consultado el 23 de noviembre de 2010 .
16. Overbye, Dennis (11 de septiembre de 2023). «No esperen que una 'teoría del todo' lo explique todo: ni siquiera la física más avanzada puede revelar todo lo que queremos saber sobre la historia y el futuro del cosmos, o sobre nosotros mismos». The New York Times . Archivado desde el original el 11 de septiembre de 2023. Consultado el 11 de septiembre de 2023 .

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• La teoría cuántica de campos (vol 2), por S. Weinberg (Cambridge University Press, 1996) ISBN 0-521-55002-5 . 
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