Grupo de calibres (matemáticas)

Grupo de simetrías de calibración en la teoría de Yang-Mills

Un grupo de calibración es un grupo de simetrías de calibración de la teoría de calibración de Yang-Mills de conexiones principales en un fibrado principal . Dado un fibrado principal con una estructura grupo de Lie , un grupo de calibración se define como un grupo de sus automorfismos verticales. Este grupo es isomorfo al grupo de secciones globales del fibrado de grupo asociado cuya fibra típica es un grupo que actúa sobre sí mismo por la representación adjunta . El elemento unitario de es una sección unitaria constante de . ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle {\widetilde {P}}\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle g(x)=1}$ ${\displaystyle {\widetilde {P}}\to X}$

Al mismo tiempo, la teoría de la gravitación de calibre ejemplifica la teoría de campo en un fibrado de marco principal cuyas simetrías de calibre son transformaciones covariantes generales que no son elementos de un grupo de calibre.

En la literatura física sobre la teoría de gauge , a un grupo estructural de un fibrado principal a menudo se le denomina grupo de gauge .

En la teoría de calibre cuántico , se considera un subgrupo normal de un grupo de calibre que es el estabilizador. ${\displaystyle G^{0}(X)}$ ${\displaystyle G(X)}$

${\displaystyle G^{0}(X)=\{g(x)\in G(X)\quad :\quad g(x_{0})=1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}\}}$

de algún punto de un fibrado de grupo . Se llama grupo de calibración puntiagudo . Este grupo actúa libremente en un espacio de conexiones principales. Obviamente, . También se introduce el grupo de calibración efectivo donde es el centro de un grupo de calibración . Este grupo actúa libremente en un espacio de conexiones principales irreducibles. ${\displaystyle 1\in {\widetilde {P}}_{x_{0}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {P}}\to X}$ ${\displaystyle G(X)/G^{0}(X)=G}$ ${\displaystyle {\overline {G}}(X)=G(X)/Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle {\overline {G}}(X)}$

Si un grupo de estructura es un grupo matricial semisimple complejo , se puede introducir la compleción de Sobolev de un grupo de calibración . Es un grupo de Lie. Un punto clave es que la acción de sobre una compleción de Sobolev de un espacio de conexiones principales es suave, y que un espacio de órbitas es un espacio de Hilbert . Es un espacio de configuración de la teoría de calibración cuántica. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\overline {G}}_{k}(X)}$ ${\displaystyle G(X)}$ ${\displaystyle {\overline {G}}_{k}(X)}$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle A_{k}/{\overline {G}}_{k}(X)}$

Véase también

• Simetría de calibre (matemáticas)
• Teoría de calibre
• Teoría de calibre (matemáticas)
• Paquete principal

Referencias

• Mitter, P., Viallet, C., Sobre el haz de conexiones y la variedad de órbitas de calibración en la teoría de Yang-Mills, Commun. Math. Phys. 79 (1981) 457.
• Marathe, K., Martucci, G., Los fundamentos matemáticos de las teorías de calibre (Holanda del Norte, 1992) ISBN  0-444-89708-9 .
• Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Conexiones en la teoría de campos clásica y cuántica (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8