En física , el polo de Landau (o cero de Moscú o fantasma de Landau ) [1] es la escala de momento (o energía) en la que la constante de acoplamiento (fuerza de interacción) de una teoría cuántica de campos se vuelve infinita. Esta posibilidad fue señalada por el físico Lev Landau y sus colegas en 1954. [2] [3] El hecho de que los acoplamientos dependan de la escala de momento (o longitud) es la idea central detrás del grupo de renormalización .
Los polos de Landau aparecen en teorías que no son asintóticamente libres , como la electrodinámica cuántica (EDQ) o la teoría φ 4 (un campo escalar con una interacción cuártica ), como la que puede describir el bosón de Higgs . En estas teorías, la constante de acoplamiento renormalizada crece con la energía. Un polo de Landau aparece cuando el acoplamiento se vuelve infinito en una escala de energía finita. En una teoría que pretende ser completa, esto podría considerarse una inconsistencia matemática. Una posible solución es que la carga renormalizada podría llegar a cero a medida que se elimina el corte, lo que significa que la carga está completamente protegida por fluctuaciones cuánticas ( polarización del vacío ). Este es un caso de trivialidad cuántica , [4] lo que significa que las correcciones cuánticas suprimen completamente las interacciones en ausencia de un corte.
Dado que el polo de Landau se identifica normalmente mediante cálculos perturbativos de uno o dos bucles, es posible que el polo sea simplemente una señal de que la aproximación perturbativa se rompe en el acoplamiento fuerte. La teoría de perturbaciones también puede ser inválida si existen estados no adiabáticos . La teoría de calibración reticular proporciona un medio para abordar cuestiones de la teoría cuántica de campos que van más allá del ámbito de la teoría de perturbaciones y, por lo tanto, se ha utilizado para intentar resolver esta cuestión.
Los cálculos numéricos realizados en este marco parecen confirmar la conclusión de Landau de que en la QED la carga renormalizada desaparece por completo para un límite infinito. [5] [6] [7] [8]
Según Landau, Abrikosov y Khalatnikov , [2] la relación de la carga observable g obs con la carga "desnuda" g 0 para teorías de campo renormalizables cuando Λ ≫ m está dada por
donde m es la masa de la partícula y Λ es el límite de momento. Si g 0 < ∞ y Λ → ∞ entonces g obs → 0 y la teoría parece trivial. De hecho, al invertir la ecuación 1 , de modo que g 0 (relacionado con la escala de longitud Λ −1 ) se revela un valor preciso de g obs ,
A medida que Λ crece, la carga desnuda g 0 = g (Λ) aumenta, para finalmente divergir en el punto de renormalización.
Esta singularidad es el polo de Landau con un residuo negativo , g (Λ) ≈ −Λ Landau / ( β 2 (Λ − Λ Landau )) .
De hecho, sin embargo, el crecimiento de g 0 invalida las ecuaciones 1 , 2 en la región g 0 ≈ 1 , ya que éstas se obtuvieron para g 0 ≪ 1 , de modo que la existencia no perturbativa del polo de Landau se vuelve cuestionable.
El comportamiento real de la carga g ( μ ) en función de la escala de momento μ está determinado por la ecuación de Gell-Mann – Low [9]
lo que da las ecuaciones 1 , 2 si se integra bajo las condiciones g ( μ ) = g obs para μ = m y g ( μ ) = g 0 para μ = Λ , cuando solo se retiene el término con β 2 en el lado derecho. El comportamiento general de g ( μ ) depende de la apariencia de la función β ( g ) .
Según la clasificación de Bogoliubov y Shirkov, [10] existen tres casos cualitativamente diferentes:
Landau y Pomeranchuk [11] intentaron justificar la posibilidad (c) en el caso de la QED y la teoría φ 4 . Han notado que el crecimiento de g 0 en la ecuación 1 lleva la carga observable g obs al límite constante, que no depende de g 0 . El mismo comportamiento se puede obtener a partir de las integrales funcionales, omitiendo los términos cuadráticos en la acción. Si descuidar los términos cuadráticos ya es válido para g 0 ≪ 1 , es aún más válido para g 0 del orden o mayor que la unidad: da una razón para considerar que la ecuación 1 es válida para un g 0 arbitrario . La validez de estas consideraciones a nivel cuantitativo está excluida por la forma no cuadrática de la función β . [ cita requerida ]
Sin embargo, pueden ser correctos cualitativamente. De hecho, el resultado g obs = const( g 0 ) puede obtenerse a partir de las integrales funcionales solo para g 0 ≫ 1 , mientras que su validez para g 0 ≪ 1 , basada en la ecuación 1 , puede estar relacionada con otras razones; para g 0 ≈ 1 este resultado probablemente se viola pero se puede esperar la coincidencia de dos valores constantes en el orden de magnitud a partir de la condición de emparejamiento. Los resultados de Monte Carlo [12] parecen confirmar la validez cualitativa de los argumentos de Landau-Pomeranchuk, aunque también es posible una interpretación diferente.
El caso (c) en la clasificación de Bogoliubov y Shirkov corresponde a la trivialidad cuántica en la teoría completa (más allá de su contexto de perturbación), como se puede ver por un reductio ad absurdum . De hecho, si g obs < ∞ , la teoría es internamente inconsistente. La única forma de evitarlo es para μ 0 → ∞ , lo cual es posible solo para g obs → 0. Es una creencia generalizada [ ¿por quién? ] que tanto la QED como la teoría φ 4 son triviales en el límite continuo .
En una teoría destinada a representar una interacción física donde se sabe que la constante de acoplamiento no es cero, los polos de Landau o la trivialidad pueden verse como un signo de incompletitud en la teoría . Por ejemplo, generalmente no se cree que la QED [ cita requerida ] sea una teoría completa por sí sola, porque no describe otras interacciones fundamentales y contiene un polo de Landau. Convencionalmente, la QED forma parte de la teoría electrodébil más fundamental . El grupo U(1) Y de la teoría electrodébil también tiene un polo de Landau que generalmente se considera [¿ por quién? ] como una señal de la necesidad de una incrustación final en una teoría gran unificada . La gran escala unificada proporcionaría un corte natural muy por debajo de la escala de Landau, evitando que el polo tenga consecuencias físicas observables.
El problema del polo de Landau en la QED es de interés puramente académico por la siguiente razón: el papel de g obs en las ecuaciones 1 y 2 lo desempeña la constante de estructura fina α ≈ 1/137 y la escala de Landau para la QED se estima como10 286 eV , que está muy por encima de cualquier escala de energía relevante para la física observable. A modo de comparación, las energías máximas accesibles en el Gran Colisionador de Hadrones son del orden de 10 286 eV.10 13 eV , mientras que la escala de Planck , en la que la gravedad cuántica se vuelve importante y la relevancia de la teoría cuántica de campos en sí puede ser cuestionada, es10 28 eV .
El bosón de Higgs en el Modelo Estándar de física de partículas se describe mediante la teoría φ 4 (véase Interacción cuártica ). Si esta última tiene un polo de Landau, entonces este hecho se utiliza para establecer un "límite de trivialidad" en la masa del Higgs. El límite depende de la escala en la que se supone que entra la nueva física y del valor máximo del acoplamiento cuártico permitido (su valor físico es desconocido). Para acoplamientos grandes, se requieren métodos no perturbativos. Esto puede incluso conducir a una masa de Higgs predecible en escenarios de seguridad asintótica . Los cálculos de red también han sido útiles en este contexto. [13]
Una comprensión más profunda del significado físico y la generalización del proceso de renormalización que conduce a los polos de Landau proviene de la física de la materia condensada. El artículo de Leo P. Kadanoff en 1966 propuso el grupo de renormalización de "bloqueo-espín". [14] La idea del bloqueo es una forma de definir los componentes de la teoría a grandes distancias como agregados de componentes a distancias más cortas. Este enfoque fue desarrollado por Kenneth Wilson . [15] Fue galardonado con el premio Nobel por estas contribuciones decisivas en 1982.
Supongamos que tenemos una teoría descrita por una determinada función Z de las variables de estado { s i } y un conjunto de constantes de acoplamiento { J k } . Esta función puede ser una función de partición , una acción o un hamiltoniano . Consideremos una determinada transformación de bloqueo de las variables de estado { s i } → {} , el número dedebe ser menor que el número de s i . Ahora intentemos reescribir Z sólo en términos de. Si esto se puede lograr mediante un cierto cambio en los parámetros, { J k } → {} , entonces se dice que la teoría es renormalizable . La información más importante en el flujo RG son sus puntos fijos . Los posibles estados macroscópicos del sistema, a gran escala, están dados por este conjunto de puntos fijos. Si estos puntos fijos corresponden a una teoría de campo libre, se dice que la teoría exhibe trivialidad cuántica y posee un polo de Landau. Numerosos puntos fijos aparecen en el estudio de las teorías de Higgs en red , pero no se sabe si estos corresponden a teorías de campo libre. [4]
La solución del problema del polo de Landau requiere el cálculo de la función Gell-Mann–Low β ( g ) en g arbitrario y, en particular, su comportamiento asintótico para g → ∞ . Los cálculos diagramáticos permiten obtener solo unos pocos coeficientes de expansión β 2 , β 3 , ... , que no permiten investigar la función β en su totalidad. El progreso se hizo posible después del desarrollo del método de Lipatov para calcular grandes órdenes de la teoría de perturbaciones: [16] Ahora se puede intentar interpolar los coeficientes conocidos β 2 , β 3 , ... con su comportamiento de gran orden, y luego sumar la serie de perturbaciones.
Los primeros intentos de reconstrucción de la función β por este método se basan en la trivialidad de la teoría φ 4 . La aplicación de métodos de suma más avanzados produjo el exponente α en el comportamiento asintótico β ( g ) ∝ g α , un valor cercano a la unidad. La hipótesis para el comportamiento asintótico de β ( g ) ∝ g fue presentada recientemente analíticamente para la teoría φ 4 y QED. [17] [18] [19] Junto con la positividad de β ( g ) , obtenida por suma de la serie, sugiere el caso (b) de la clasificación de Bogoliubov y Shirkov anterior, y por lo tanto la ausencia del polo de Landau en estas teorías, asumiendo que la teoría de perturbaciones es válida (pero vea la discusión anterior en la introducción).