En el campo matemático de la teoría de la representación , una representación cuaterniónica es una representación en un espacio vectorial complejo V con una estructura cuaterniónica invariante , es decir, un mapa equivariante antilineal .
que satisface
Junto con la unidad imaginaria i y el mapa antilineal k := ij , j equipa a V con la estructura de un espacio vectorial cuaterniónico (es decir, V se convierte en un módulo sobre el álgebra de división de cuaterniones ). Desde este punto de vista, la representación cuaterniónica de un grupo G es un homomorfismo de grupo φ : G → GL( V , H ), el grupo de transformaciones cuaternión-lineales invertibles de V . En particular, una representación matricial cuaterniónica de g asigna una matriz cuadrada de cuaterniones ρ (g) a cada elemento g de G tal que ρ (e) es la matriz identidad y
Las representaciones cuaterniónicas de álgebras asociativas y de Lie se pueden definir de manera similar.
Si V es una representación unitaria y la estructura cuaterniónica j es un operador unitario, entonces V admite una forma simpléctica compleja invariante ω y, por tanto, es una representación simpléctica . Esto siempre es válido si V es una representación de un grupo compacto (por ejemplo, un grupo finito ) y en este caso las representaciones cuaterniónicas también se conocen como representaciones simplécticas. Estas representaciones, entre las representaciones irreductibles , pueden identificarse mediante el indicador de Frobenius-Schur .
Las representaciones cuaterniónicas son similares a las representaciones reales en que son isomorfas a su representación conjugada compleja . Aquí una representación real se considera una representación compleja con una estructura real invariante , es decir, un mapa equivariante antilineal.
que satisface
Una representación que es isomorfa a su conjugado complejo, pero que no es una representación real, a veces se denomina representación pseudoreal .
Las representaciones reales y pseudorreales de un grupo G pueden entenderse viéndolas como representaciones del álgebra de grupos reales R [ G ]. Tal representación será una suma directa de R -álgebras centrales simples, que, según el teorema de Artin-Wedderburn , deben ser álgebras matriciales sobre los números reales o los cuaterniones. Así, una representación real o pseudoreal es una suma directa de representaciones reales irreducibles y representaciones cuaterniónicas irreducibles. Es real si en la descomposición no aparecen representaciones cuaterniónicas.
Un ejemplo común implica la representación cuaterniónica de rotaciones en tres dimensiones. Cada rotación (adecuada) está representada por un cuaternión con norma unitaria . Existe un espacio vectorial cuaterniónico unidimensional obvio, a saber, el espacio H de los propios cuaterniones bajo multiplicación por la izquierda. Al restringir esto a los cuaterniones unitarios, obtenemos una representación cuaterniónica del grupo de espinores Spin(3).
Esta representación ρ : Spin(3) → GL(1, H ) también resulta ser una representación cuaterniónica unitaria porque
para todo g en Spin(3).
Otro ejemplo unitario es la representación de espín de Spin(5). Un ejemplo de una representación cuaterniónica no unitaria sería la representación bidimensional irreducible de Spin(5,1).
De manera más general, las representaciones de espín de Spin( d ) son cuaterniónicas cuando d es igual a 3 + 8 k , 4 + 8 k y 5 + 8 k dimensiones, donde k es un número entero. En física, a menudo se encuentran los espinores de Spin( d , 1). Estas representaciones tienen el mismo tipo de estructura real o cuaterniónica que los espinores de Spin( d − 1).
Entre las formas reales compactas de los grupos de Lie simples, sólo existen representaciones cuaterniónicas irreducibles para los grupos de Lie de tipo A 4 k +1 , B 4 k +1 , B 4 k +2 , C k , D 4 k +2 y E 7 .
