En matemáticas , una relación binaria asocia elementos de un conjunto, llamado dominio , con elementos de otro conjunto, llamado codominio . [1] Precisamente, una relación binaria sobre conjuntos y es un conjunto de pares ordenados que consta de elementos de y de . [2] Codifica el concepto común de relación: un elemento está relacionado con un elemento , si y sólo si el par pertenece al conjunto de pares ordenados que define la relación binaria.
Un ejemplo de relación binaria es la relación de " divisiones " entre el conjunto de números primos y el conjunto de números enteros , en la que cada primo está relacionado con cada número entero que es múltiplo de , pero no con un número entero que no es múltiplo de . En esta relación, por ejemplo, el número primo está relacionado con números como , , , pero no con o , del mismo modo que el número primo está relacionado con , y , pero no con o .
Las relaciones binarias se utilizan en muchas ramas de las matemáticas para modelar una amplia variedad de conceptos. Estos incluyen, entre otros:
Una función puede definirse como una relación binaria que cumple restricciones adicionales. [3] Las relaciones binarias también se utilizan mucho en informática .
Una relación binaria sobre conjuntos y es un elemento del conjunto potencia de Dado que este último conjunto está ordenado por inclusión ( ), cada relación tiene un lugar en la red de subconjuntos de Una relación binaria se llama relación homogénea cuando . Una relación binaria también se llama relación heterogénea cuando no es necesario .
En algunos sistemas de teoría axiomática de conjuntos , las relaciones se extienden a clases , que son generalizaciones de conjuntos. Esta extensión es necesaria, entre otras cosas, para modelar los conceptos de "es un elemento de" o "es un subconjunto de" en la teoría de conjuntos, sin toparse con inconsistencias lógicas como la paradoja de Russell .
Una relación binaria es el caso especial más estudiado de una relación aria sobre conjuntos , que es un subconjunto del producto cartesiano [2]
Definición
Dados conjuntos y , el producto cartesiano se define como y sus elementos se denominan pares ordenados .
Una relación binaria sobre conjuntos y es un subconjunto de [2] [7] El conjunto se llama dominio [2] o conjunto de salida de , y el conjunto codominio o conjunto de destino de . Para especificar las elecciones de los conjuntos y , algunos autores definen una relación binaria o correspondencia como un triple ordenado , donde hay un subconjunto de llamado gráfico de la relación binaria. La declaración dice " está relacionada con " y se denota por . [4] [5] [6] [nota 1] El dominio de definición o dominio activo [2] de es el conjunto de todos los tales que para al menos uno . El codominio de definición , codominio activo , [2] imagen o rango de es el conjunto de todos los tales que para al menos uno . El campo de es la unión de su dominio de definición y su codominio de definición. [9] [10] [11]
Cuando una relación binaria se llama relación homogénea (o endorelación ). Para enfatizar el hecho de que se permite que y sean diferentes, una relación binaria también se llama relación heterogénea . [12] [13] [14] El prefijo hetero es del griego ἕτερος ( heteros , "otro, otro, diferente").
Una relación heterogénea ha sido llamada relación rectangular , [14] sugiriendo que no tiene la simetría cuadrada de una relación homogénea en un conjunto donde. Al comentar sobre el desarrollo de relaciones binarias más allá de las relaciones homogéneas, los investigadores escribieron, "... Ha evolucionado una variante de la teoría que trata las relaciones desde el principio como heterogéneas o rectangulares , es decir, como relaciones donde el caso normal es que sean relaciones entre diferentes conjuntos. [15]
Los términos correspondencia , [16] relación diádica y relación de dos lugares son sinónimos de relación binaria, aunque algunos autores usan el término "relación binaria" para cualquier subconjunto de un producto cartesiano sin referencia a y , y reservan el término "correspondencia" para una relación binaria con referencia a y . [ cita necesaria ]
En una relación binaria, el orden de los elementos es importante; if entonces puede ser verdadero o falso independientemente de . Por ejemplo, divide , pero no divide .
Operaciones
Unión
Si y son relaciones binarias sobre conjuntos y entonces es la relación de unión de y sobre y .
El elemento de identidad es la relación vacía. Por ejemplo, es la unión de < y =, y es la unión de > y =.
Intersección
Si y son relaciones binarias sobre conjuntos y entonces es la relación de intersección de y sobre y .
El elemento de identidad es la relación universal. Por ejemplo, la relación "es divisible por 6" es la intersección de las relaciones "es divisible por 3" y "es divisible por 2".
Composición
Si es una relación binaria entre conjuntos y , y es una relación binaria entre conjuntos y entonces (también denotada por ) es la relación de composición de y sobre y .
El elemento de identidad es la relación de identidad. El orden de y en la notación utilizada aquí concuerda con el orden de notación estándar para la composición de funciones . Por ejemplo, la composición (es madre de) (es madre de) produce (es abuelo materno de), mientras que la composición (es madre de) (es madre de) produce (es abuela de). Para el primer caso, si es padre de y es madre de , entonces es abuelo materno de .
Conversar
Si es una relación binaria sobre conjuntos y entonces es la relación inversa , [17] también llamada relación inversa , [18] de sobre y .
Por ejemplo, es lo contrario de sí mismo, como es y y son lo contrario entre sí, como lo son y . Una relación binaria es igual a su inversa si y sólo si es simétrica .
Complementar
Si es una relación binaria sobre conjuntos y entonces (también denotada por ) es la relación complementaria de sobre y .
Por ejemplo, y son complementarios entre sí, al igual que y , y , y , y para pedidos totales también y , y y .
El complemento de la relación inversa es el inverso del complemento:
Si el complemento tiene las siguientes propiedades:
Si una relación es simétrica, también lo es el complemento.
El complemento de una relación reflexiva es irreflexivo y viceversa.
Si es una relación binaria homogénea sobre un conjunto y es un subconjunto de entonces es larelación de restricción deaover.
Si es una relación binaria sobre conjuntos y y si es un subconjunto de entonces es larelación de restricción izquierda detoovery.[ se necesita aclaración ]
Si es una relación binaria sobre conjuntos y y si es un subconjunto de entonces es larelación de restricción de derechos detoovery.
Sin embargo, la clausura transitiva de una restricción es un subconjunto de la restricción de la clausura transitiva, es decir, en general no es igual. Por ejemplo, restringir la relación " es padre de " a mujeres produce la relación " es madre de la mujer "; su cierre transitivo no relaciona a una mujer con su abuela paterna. Por otro lado, la clausura transitiva de "es padre de" es "es antepasado de"; su restricción a las mujeres relaciona a una mujer con su abuela paterna.
Además, los diversos conceptos de integridad (que no debe confundirse con ser "total") no implican restricciones. Por ejemplo, sobre los números reales una propiedad de la relación es que todo subconjunto no vacío con un límite superior en tiene un límite superior mínimo (también llamado supremo) en Sin embargo, para los números racionales este supremo no es necesariamente racional, por lo que el La misma propiedad no se cumple en la restricción de la relación con los números racionales.
Una relación binaria entre conjuntos y se dice que escontenido en una relaciónsobrey, escritasies un subconjunto de, es decir, para todosysi, entonces. Siestá contenido enyestá contenido en, entoncesyse llamanigualesescritos. Siestá contenidoperono está contenido en, entoncesse dice que esmenor que, escritopor ejemplo, en losnúmeros racionales, la relaciónes menor quee igual a la composición.
Representación matricial
Relaciones binarias sobre conjuntos y pueden representarse algebraicamente mediante matrices lógicas indexadas por y con entradas en el semianillo booleano (la suma corresponde a O y la multiplicación a Y) donde la suma de matrices corresponde a la unión de relaciones, la multiplicación de matrices corresponde a la composición de relaciones (de un relación sobre y y una relación sobre y ), [19] el producto de Hadamard corresponde a la intersección de relaciones, la matriz cero corresponde a la relación vacía y la matriz de unos corresponde a la relación universal. Las relaciones homogéneas (cuando ) forman un semianillo matricial (de hecho, una semiálgebra matricial sobre el semianillo booleano) donde la matriz de identidad corresponde a la relación de identidad. [20]
Ejemplos
El siguiente ejemplo muestra que la elección del codominio es importante. Supongamos que hay cuatro objetos y cuatro personas. Una posible relación sobre y es la relación "es propiedad de", dada por Es decir, John es dueño de la pelota, Mary es dueña de la muñeca y Venus es dueña del auto. Nadie es dueño de la copa e Ian no posee nada; vea el primer ejemplo. Como conjunto, no involucra a Ian y, por lo tanto, podría haberse visto como un subconjunto de , es decir, una relación y vea el segundo ejemplo. Pero en ese segundo ejemplo, no contiene información sobre la propiedad de Ian.
Si bien la relación del segundo ejemplo es sobreyectiva (ver más abajo), la primera no lo es.
Océanos y continentes (islas omitidas)
Sean , los océanos del globo, y , los continentes . Representemos que el océano limita con el continente . Entonces la matriz lógica para esta relación es:
La conectividad del planeta Tierra se puede ver a través de y , siendo la primera una relación en , que es la relación universal ( o una matriz lógica de todos unos). Esta relación universal refleja el hecho de que cada océano está separado de los demás por como máximo un continente. Por otra parte, es una relación que no logra ser universal porque para viajar de Europa a Australia se deben atravesar al menos dos océanos .
La visualización de relaciones se apoya en la teoría de grafos : para relaciones en un conjunto (relaciones homogéneas), un gráfico dirigido ilustra una relación y un gráfico una relación simétrica . Para relaciones heterogéneas, un hipergráfico tiene aristas posiblemente con más de dos nodos y puede ilustrarse mediante un gráfico bipartito . Así como la camarilla es parte integral de las relaciones en un conjunto, las bicliques se utilizan para describir relaciones heterogéneas; de hecho, son los "conceptos" que generan un entramado asociado a una relación.Los distintos ejes representan el tiempo para los observadores en movimiento, los ejes correspondientes son sus líneas de simultaneidad.
Ortogonalidad hiperbólica : el tiempo y el espacio son categorías diferentes, y las propiedades temporales están separadas de las propiedades espaciales. La idea de eventos simultáneos es simple en el tiempo y el espacio absolutos ya que cada tiempo determina un hiperplano simultáneo en esa cosmología. Hermann Minkowski cambió eso cuando articuló la noción de simultaneidad relativa , que existe cuando los eventos espaciales son "normales" a un tiempo caracterizado por una velocidad. Usó un producto interno indefinido y especificó que un vector de tiempo es normal a un vector espacial cuando ese producto es cero. El producto interno indefinido en un álgebra de composición está dado por
Una configuración geométrica puede considerarse una relación entre sus puntos y sus rectas. La relación se expresa como incidencia . Se incluyen planos proyectivos y afines finitos e infinitos. Jakob Steiner fue pionero en la catalogación de configuraciones con los sistemas Steiner que tienen un conjunto de n elementos y un conjunto de subconjuntos de k elementos llamados bloques , de modo que un subconjunto con elementos se encuentra en un solo bloque. Estas estructuras de incidencia se han generalizado con diseños de bloques . La matriz de incidencia utilizada en estos contextos geométricos corresponde a la matriz lógica utilizada generalmente con relaciones binarias.
Una estructura de incidencia es una tripleta donde y son dos conjuntos cualesquiera disjuntos y es una relación binaria entre y , es decir, los elementos de se llamarán puntos , los de bloques y los de banderas . [22]
Tipos de relaciones binarias
Ejemplos de cuatro tipos de relaciones binarias sobre números reales : uno a uno (en verde), uno a muchos (en azul), muchos a uno (en rojo), muchos a muchos (en negro). ).
A continuación se enumeran algunos tipos importantes de relaciones binarias sobre conjuntos .
Propiedades de unicidad:
Inyectivo [23] (también llamado único por izquierda [24] ): para todos y todos si y entonces . En otras palabras, cada elemento del codominio tiene como máximo un elemento de preimagen . Para tal relación, se llama clave primaria de . [2] Por ejemplo, las relaciones binarias verde y azul en el diagrama son inyectivas, pero la roja no lo es (ya que se relaciona con ambos y con ), ni la negra (ya que se relaciona con ambos y con ).
Funcional [23] [25] [26] (también llamado único por la derecha [24] o univalente [27] ): para todos y todos si y entonces . En otras palabras, cada elemento del dominio tiene como máximo un elemento de imagen . Esta relación binaria se denomina función parcial o mapeo parcial . [28] Para tal relación, se llama clave primaria de . [2] Por ejemplo, las relaciones binarias roja y verde en el diagrama son funcionales, pero la azul no lo es (en relación con ambos y ), ni la negra (en relación con ambos y ).
Uno a uno : inyectivo y funcional. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es uno a uno, pero las rojas, azules y negras no lo son.
Uno a muchos : inyectivo y no funcional. Por ejemplo, la relación binaria azul en el diagrama es de uno a muchos, pero las rojas, verdes y negras no lo son.
Muchos a uno : funcional y no inyectivo. Por ejemplo, la relación binaria roja en el diagrama es de muchos a uno, pero las verdes, azules y negras no lo son.
Muchos a muchos : no inyectivo ni funcional. Por ejemplo, la relación binaria negra en el diagrama es de muchos a muchos, pero las rojas, verdes y azules no lo son.
Propiedades de totalidad (solo definibles si se especifican el dominio y el codominio ):
Total [23] (también llamado total izquierdo [24] ): para todos existe tal que . En otras palabras, cada elemento del dominio tiene al menos un elemento de imagen. En otras palabras, el dominio de definición de es igual a . Esta propiedad es diferente de la definición de conectado (también llamado total por algunos autores) [ cita necesaria ] en Propiedades . Esta relación binaria se llama función multivaluada . Por ejemplo, las relaciones binarias roja y verde en el diagrama son totales, pero la azul no lo es (ya que no se relaciona con ningún número real), ni la negra (ya que no se relaciona con ningún número real). Como otro ejemplo, es una relación total sobre números enteros. Pero no es una relación total entre los números enteros positivos, porque en los números enteros positivos no existe tal que . [29] Sin embargo, es una relación total entre los números enteros positivos, los números racionales y los números reales. Toda relación reflexiva es total: para un determinado , elige .
Sobreyectiva [23] (también llamada total derecha [24] ): para todo , existe tal que . En otras palabras, cada elemento del codominio tiene al menos un elemento de preimagen. En otras palabras, el codominio de definición de es igual a . Por ejemplo, las relaciones binarias verde y azul en el diagrama son sobreyectivas, pero la roja no lo es (ya que no relaciona ningún número real con ), ni la negra (ya que no relaciona ningún número real con ).
Propiedades de unicidad y totalidad (solo definibles si se especifican el dominio y el codominio ):
Una función (también llamada mapeo [24] ): una relación binaria que es funcional y total. En otras palabras, cada elemento del dominio tiene exactamente un elemento de imagen. Por ejemplo, las relaciones binarias roja y verde en el diagrama son funciones, pero las azules y negras no lo son.
Una inyección : una función que es inyectiva. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es una inyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.
Una sobreyección : una función que es sobreyectiva. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es una sobreyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.
Una biyección : una función que es inyectiva y sobreyectiva. En otras palabras, cada elemento del dominio tiene exactamente un elemento de imagen y cada elemento del codominio tiene exactamente un elemento de preimagen. Por ejemplo, la relación binaria verde en el diagrama es una biyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.
Si se permiten relaciones sobre clases adecuadas:
Conjunto (también llamado local ): para todos , la clase de todo tal que , es decir , es un conjunto. Por ejemplo, la relación es similar a un conjunto y toda relación en dos conjuntos es similar a un conjunto. [30] El orden habitual < sobre la clase de números ordinales es una relación similar a un conjunto, mientras que su inversa > no lo es. [ cita necesaria ]
Conjuntos versus clases
Ciertas "relaciones" matemáticas, como "igual a", "subconjunto de" y "miembro de", no pueden entenderse como relaciones binarias tal como se definen anteriormente, porque sus dominios y codominios no pueden considerarse conjuntos en los sistemas habituales. de la teoría de conjuntos axiomática . Por ejemplo, para modelar el concepto general de "igualdad" como una relación binaria , tome el dominio y el codominio como la "clase de todos los conjuntos", que no es un conjunto en la teoría de conjuntos habitual.
En la mayoría de los contextos matemáticos, las referencias a las relaciones de igualdad, pertenencia y subconjunto son inofensivas porque se puede entender implícitamente que están restringidas a algún conjunto en el contexto. La solución habitual a este problema es seleccionar un conjunto "suficientemente grande" , que contenga todos los objetos de interés, y trabajar con la restricción en lugar de . De manera similar, la relación "subconjunto de" debe restringirse para que tenga dominio y codominio (el conjunto potencia de un conjunto específico ): la relación de conjunto resultante puede denotarse por Además, la relación "miembro de" debe restringirse para tener dominio y codominio para obtener una relación binaria que es un conjunto. Bertrand Russell ha demostrado que suponer que está definido en todos los conjuntos conduce a una contradicción en la teoría ingenua de conjuntos , véase la paradoja de Russell .
Otra solución a este problema es utilizar una teoría de conjuntos con clases adecuadas, como NBG o la teoría de conjuntos de Morse-Kelley , y permitir que el dominio y el codominio (y por tanto el gráfico) sean clases adecuadas : en dicha teoría, igualdad, membresía y subconjunto son relaciones binarias sin comentarios especiales. (Es necesario hacer una modificación menor al concepto de triple ordenado , ya que normalmente una clase adecuada no puede ser miembro de una tupla ordenada; o, por supuesto, se puede identificar la relación binaria con su gráfico en este contexto.) [31] Con esta definición se puede, por ejemplo, definir una relación binaria entre cada conjunto y su conjunto potencia.
Relación homogénea
Una relación homogénea sobre un conjunto es una relación binaria sobre sí misma, es decir, es un subconjunto del producto cartesiano [14] [32] [33] También se llama simplemente relación (binaria) sobre .
Algunas propiedades importantes que puede tener una relación homogénea sobre un conjunto son:
Reflexivo : para todos. Por ejemplo,es una relación reflexiva pero > no lo es.
Irreflexivo : para todosno. Por ejemplo,es una relación irreflexiva, perono lo es.
Simétrico : para todossientonces. Por ejemplo, "es pariente consanguíneo de" es una relación simétrica.
Antisimétrico : para todosiyentonces.Por ejemplo,es una relación antisimétrica. [34]
Asimétrico : para todossiluego no. Una relación es asimétrica si y sólo si es a la vez antisimétrica e irreflexiva. [35] Por ejemplo, > es una relación asimétrica, perono lo es.
Transitivo : para todosiyentonces. Una relación transitiva es irreflexiva si y sólo si es asimétrica. [36] Por ejemplo, "es antepasado de" es una relación transitiva, mientras que "es padre de" no lo es.
Denso : para todossientonces existe algunotal quey.
Un orden parcial es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva. Un orden parcial estricto es una relación irreflexiva, asimétrica y transitiva. Un orden total es una relación reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa. [37] Un orden total estricto es una relación irreflexiva, asimétrica, transitiva y conexa. Una relación de equivalencia es una relación reflexiva, simétrica y transitiva. Por ejemplo, " divide " es un orden parcial, pero no total, en los números naturales " " es un orden total estricto en y " es paralelo a " es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las rectas en el plano euclidiano .
Todas las operaciones definidas en la sección § Operaciones también se aplican a relaciones homogéneas. Más allá de eso, una relación homogénea sobre un conjunto puede estar sujeta a operaciones de cierre como:
A diferencia de las relaciones homogéneas, la composición de la operación de relaciones es sólo una función parcial . La necesidad de hacer coincidir el objetivo con la fuente de las relaciones compuestas ha llevado a la sugerencia de que el estudio de las relaciones heterogéneas es un capítulo de la teoría de categorías como en la categoría de conjuntos , excepto que los morfismos de esta categoría son relaciones. Los objetos de la categoría Rel son conjuntos y los morfismos de relación se componen según sea necesario en una categoría . [ cita necesaria ]
Retículo de concepto inducido
Las relaciones binarias se han descrito a través de sus redes de conceptos inducidos : Un concepto satisface dos propiedades:
es máximo y no está contenido en ningún otro producto exterior. Por tanto, se describe como un rectángulo no ampliable .
Para una relación dada, el conjunto de conceptos, ampliado por sus uniones y encuentros, forma una "red inducida de conceptos", y la inclusión forma un preorden .
El teorema de terminación de MacNeille (1937) (que cualquier orden parcial puede estar incrustado en una red completa ) se cita en un artículo de estudio de 2013 "Descomposición de relaciones en redes de conceptos". [38] La descomposición es
, donde y son funciones , llamadas asignaciones o relaciones funcionales del total izquierdo en este contexto. El "concepto reticular inducido es isomorfo a la terminación cortada del orden parcial que pertenece a la descomposición mínima de la relación ".
A continuación se consideran casos particulares: el orden total corresponde al tipo de Ferrers y la identidad corresponde al difuncional, una generalización de la relación de equivalencia en un conjunto.
Las relaciones pueden clasificarse según el rango Schein , que cuenta el número de conceptos necesarios para cubrir una relación. [39] El análisis estructural de las relaciones con los conceptos proporciona un enfoque para la minería de datos . [40]
Relaciones particulares
Proposición : Si es una relación serial y es su transpuesta, entonces ¿dónde está la relación de identidad?
Proposición : Si es una relación sobreyectiva , entonces ¿dónde está la relación de identidad?
difuncional
La idea de una relación difuncional es dividir objetos distinguiendo atributos, como una generalización del concepto de relación de equivalencia . Una forma de lograrlo es con un conjunto intermedio de indicadores . La relación de partición es una composición de relaciones que utilizan relaciones funcionales . Jacques Riguet denominó estas relaciones difuncionales ya que la composición involucra relaciones funcionales, comúnmente llamadas funciones parciales .
En 1950, Riguet demostró que tales relaciones satisfacen la inclusión: [41]
En la teoría de los autómatas , el término relación rectangular también se ha utilizado para denotar una relación difuncional. Esta terminología recuerda el hecho de que, cuando se representan como una matriz lógica , las columnas y filas de una relación difuncional se pueden organizar como una matriz de bloques con bloques rectangulares de unos en la diagonal principal (asimétrica). [42] Más formalmente, una relación en es difuncional si y sólo si puede escribirse como la unión de productos cartesianos , donde son una partición de un subconjunto de y también una partición de un subconjunto de . [43]
Usando la notación , una relación difuncional también se puede caracterizar como una relación tal que dondequiera que y tenga una intersección no vacía, entonces estos dos conjuntos coinciden; implica formalmente [44]
En 1997, los investigadores encontraron "la utilidad de la descomposición binaria basada en dependencias difuncionales en la gestión de bases de datos ". [45] Además, las relaciones difuncionales son fundamentales en el estudio de las bisimulaciones . [46]
La matriz lógica correspondiente de una relación binaria general tiene filas que terminan con una secuencia de unos. Así, los puntos de un diagrama de Ferrer se cambian a unos y se alinean a la derecha en la matriz.
Un enunciado algebraico requerido para una relación de tipo Ferrers R es
Si alguna de las relaciones es del tipo Ferrers, entonces todas lo son. [48]
Contacto
Supongamos que es el conjunto potencia de , el conjunto de todos los subconjuntos de . Entonces una relación es una relación de contacto si satisface tres propiedades:
La relación de membresía del conjunto , "es un elemento de", satisface estas propiedades, por lo que es una relación de contacto. La noción de relación de contacto general fue introducida por Georg Aumann en 1970. [49] [50]
En términos del cálculo de relaciones, las condiciones suficientes para una relación de contacto incluyen
dónde está el recíproco de la pertenencia a un conjunto ( ). [51] : 280
Reservar R\R
Cada relación genera un preorden que es el residual izquierdo . [52] En términos de inverso y complementos, al formar la diagonal de , la fila correspondiente de y la columna de tendrán valores lógicos opuestos, por lo que la diagonal es todo ceros. Entonces
Dada una relación , su margen es la sub-relación definida como
Cuando es una relación de identidad parcial, difuncional o una relación diagonal de bloque, entonces . De lo contrario, el operador selecciona una subrelación límite descrita en términos de su matriz lógica: es la diagonal lateral si es un orden lineal triangular superior derecho o un orden estricto . es la franja del bloque si es irreflexivo ( ) o el bloque superior derecho es triangular. es una secuencia de rectángulos límite cuando es de tipo Ferrers.
En cambio, cuando es un orden denso , lineal, estricto. [51]
montones matemáticos
Dados dos conjuntos y , el conjunto de relaciones binarias entre ellos puede equiparse con una operación ternaria donde denota la relación inversa de . En 1953, Viktor Wagner utilizó las propiedades de esta operación ternaria para definir semimontones, montones y montones generalizados. [53] [54] El contraste entre relaciones heterogéneas y homogéneas se destaca mediante estas definiciones:
Hay una agradable simetría en la obra de Wagner entre montones, semigrupos y montones generalizados, por un lado, y grupos, semigrupos y grupos generalizados, por el otro. Esencialmente, los distintos tipos de semigrupos aparecen siempre que consideramos relaciones binarias (y asignaciones parciales uno-uno) entre diferentes conjuntos y , mientras que los distintos tipos de semigrupos aparecen en el caso en que .
— Christopher Hollings, "Matemáticas a través del Telón de Acero: una historia de la teoría algebraica de semigrupos" [55]
Lógica de parientes , una teoría de las relaciones de Charles Sanders Peirce
Teoría del orden , investiga las propiedades de las relaciones de orden.
Notas
^ Los autores que tratan las relaciones binarias sólo como un caso especial de relaciones -arias para arbitrarias suelen escribir como un caso especial de ( notación de prefijo ). [8]
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