Imagen (matemáticas)

Conjunto de todos los valores de una función.

${\displaystyle f}$es una función de dominio a codominio. El óvalo amarillo del interior es la imagen de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f.}$

En matemáticas , la imagen de una función es el conjunto de todos los valores de salida que puede producir.

De manera más general, evaluar una función dada en cada elemento de un subconjunto dado de su dominio produce un conjunto, llamado " imagen de debajo (o a través) ". De manera similar, la imagen inversa (o preimagen ) de un subconjunto dado del codominio de es el conjunto de todos los elementos del dominio que se asignan a los miembros de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B.}$

La imagen y la imagen inversa también se pueden definir para relaciones binarias generales , no solo para funciones.

Definición

La palabra "imagen" se utiliza de tres maneras relacionadas. En estas definiciones, es una función del conjunto al conjunto. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Imagen de un elemento

Si es miembro de entonces la imagen de under denotada es el valor de cuando se aplica a se conoce alternativamente como la salida de for argumento ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

Dada la función se dice que toma el valor o toma como valor si existe algo en el dominio de la función tal que De manera similar, se dice que dado un conjunto toma un valor si existe algo en el dominio de la función tal que Sin embargo, toma [ all] valores en y se valora en significa que para cada punto en el dominio de . ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)\in S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(x)\in S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

Imagen de un subconjunto

En todo momento, sea una función. El ${\displaystyle f:X\to Y}$imagen debajo de un subconjunto de es el conjunto de todos para Se denota por o por cuando no hay riesgo de confusión. Utilizando la notación de constructor de conjuntos , esta definición se puede escribir como ^{[1] [2]} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle a\in A.}$ ${\displaystyle f[A],}$ ${\displaystyle f(A),}$

$${\displaystyle f[A]=\{f(a):a\in A\}.}$$

Esto induce una función donde denota el conjunto potencia de un conjunto que es el conjunto de todos los subconjuntos de Consulte la § Notación a continuación para obtener más información. ${\displaystyle f[\,\cdot \,]:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle S.}$

Imagen de una función

La imagen de una función es la imagen de todo su dominio , también conocido como rango de la función. ^[3] Este último uso debe evitarse porque la palabra "rango" también se usa comúnmente para referirse al codominio de ${\displaystyle f.}$

Generalización a relaciones binarias.

Si es una relación binaria arbitraria , entonces el conjunto se llama imagen, o rango, de Dualmente, el conjunto se llama dominio de ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y,}$ ${\displaystyle \{y\in Y:xRy{\text{ for some }}x\in X\}}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle \{x\in X:xRy{\text{ for some }}y\in Y\}}$ ${\displaystyle R.}$

Imagen inversa

Sea una función desde hasta La preimagen o imagen inversa de un conjunto bajo denotado por es el subconjunto de definido por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f^{-1}[B],}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}$$

Otras notaciones incluyen y ^[4] La imagen inversa de un conjunto singleton , denotado por o por , también se llama fibra o fibra sobre o conjunto de niveles de El conjunto de todas las fibras sobre los elementos de es una familia de conjuntos indexados por ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ ${\displaystyle f^{-}(B).}$ ${\displaystyle f^{-1}[\{y\}]}$ ${\displaystyle f^{-1}[y],}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y.}$

Por ejemplo, para la función la imagen inversa de sería. Nuevamente, si no hay riesgo de confusión, se puede denotar por y también se puede considerar como una función del conjunto potencia de al conjunto potencia de La notación no debe ser se confunde con la de función inversa , aunque coincide con la habitual de biyecciones en que la imagen inversa de under es la imagen de under ${\displaystyle f(x)=x^{2},}$ ${\displaystyle \{4\}}$ ${\displaystyle \{-2,2\}.}$ ${\displaystyle f^{-1}[B]}$ ${\displaystyle f^{-1}(B),}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f^{-1}.}$

Notación para imagen e imagen inversa.

Las notaciones tradicionales utilizadas en la sección anterior no distinguen la función original de la función de imagen de conjuntos ; de la misma manera, no distinguen la función inversa (suponiendo que exista) de la función de imagen inversa (que nuevamente relaciona los conjuntos de poderes). Dado el contexto adecuado, esto mantiene la notación ligera y normalmente no causa confusión. Pero si es necesario, una alternativa ^[5] es dar nombres explícitos para la imagen y la preimagen como funciones entre conjuntos de potencias: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$

Notación de flecha

• ${\displaystyle f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$con ${\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}$
• ${\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$con ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}$

Notación de estrellas

• ${\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$en lugar de ${\displaystyle f^{\rightarrow }}$
• ${\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$en lugar de ${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

Otra terminología

• Una notación alternativa utilizada en lógica matemática y teoría de conjuntos es ^{[6] [7]} ${\displaystyle f[A]}$ ${\displaystyle f\,''A.}$
• Algunos textos se refieren a la imagen de como el rango de ^[8] pero este uso debe evitarse porque la palabra "rango" también se usa comúnmente para referirse al codominio de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f.}$

Ejemplos

1. ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$definido por ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.}$
   La imagen del conjunto debajo es La imagen de la función es La preimagen de es La preimagen de es también La preimagen de debajo es el conjunto vacío ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{a,c\}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.}$ ${\displaystyle \{b,d\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{\ \}=\emptyset .}$
2. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$definido por ${\displaystyle f(x)=x^{2}.}$
   La imagen de under is y la imagen de is (el conjunto de todos los números reales positivos y el cero). La preimagen de under es el conjunto vacío , porque los números negativos no tienen raíces cuadradas en el conjunto de los reales . ${\displaystyle \{-2,3\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \{4,9\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.}$ ${\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}}$ ${\displaystyle f}$
3. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$definido por ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}$
   Las fibras son círculos concéntricos alrededor del origen , el origen mismo y el conjunto vacío (respectivamente), dependiendo de si (respectivamente). (Si entonces la fibra es el conjunto de todas las que satisfacen la ecuación , es decir, el círculo centrado en el origen con radio ) ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$ ${\displaystyle a>0,\ a=0,{\text{ or }}\ a<0}$ ${\displaystyle a\geq 0,}$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})}$ ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a,}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}.}$
4. Si es una variedad y es la proyección canónica desde el haz tangente hasta entonces las fibras de son los espacios tangentes. Este también es un ejemplo de haz de fibras . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi :TM\to M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle T_{x}(M){\text{ for }}x\in M.}$
5. Un grupo cociente es una imagen homomorfa .

Propiedades

General

Para cada función y todos los subconjuntos se cumplen las siguientes propiedades: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B\subseteq Y,}$

También:

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \,{\text{ if and only if }}\,A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

Múltiples funciones

Para funciones y con subconjuntos se cumplen las siguientes propiedades: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Z,}$

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

Múltiples subconjuntos de dominio o codominio

Para funciones y subconjuntos , se mantienen las siguientes propiedades: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle S,T\subseteq Y,}$

Los resultados que relacionan imágenes y preimágenes con el álgebra ( booleana ) de intersección y unión funcionan para cualquier colección de subconjuntos, no solo para pares de subconjuntos:

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f\left(A_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}\left(B_{s}\right)}$

(Aquí, puede ser infinito, incluso incontablemente infinito ). ${\displaystyle S}$

Con respecto al álgebra de subconjuntos descrita anteriormente, la función imagen inversa es un homomorfismo reticular , mientras que la función imagen es sólo un homomorfismo semirreticular (es decir, no siempre conserva las intersecciones).

Ver también

• Biyección, inyección y sobreyección  – Propiedades de funciones matemáticas
• Fibra (matemáticas)  : conjunto de todos los puntos en el dominio de una función que se asignan a un único punto determinado.
• Imagen (teoría de categorías)  : término en la teoría de categoríasPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Núcleo de una función  : relación de equivalencia que expresa que dos elementos tienen la misma imagen bajo una funciónPages displaying short descriptions of redirect targets
• Inversión de conjuntos  : problema matemático de encontrar el conjunto asignado por una función específica a un rango determinado

Notas

1. "5.4: Sobre funciones e imágenes/preimágenes de conjuntos". Matemáticas LibreTexts . 2019-11-05 . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
2. Paul R. Halmos (1968). Teoría de conjuntos ingenua . Princeton: Nostrand.Aquí: Sección 8
3. Weisstein, Eric W. "Imagen". mathworld.wolfram.com . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
4. Dolecki y Mynard 2016, págs.
5. Blyth 2005, pág. 5.
6. Jean E. Rubin (1967). Teoría de conjuntos para el matemático . Holden-Day. pag. xix. COMO EN  B0006BQH7S.
7. M. Randall Holmes: Inhomogeneidad de los urelementos en los modelos habituales de NFU, 29 de diciembre de 2005, en: Semantic Scholar, p. 2
8. Hoffman, Kenneth (1971). Álgebra lineal (2ª ed.). Prentice Hall. pag. 388.
9. Véase Halmos 1960, p. 31
10. Véase Munkres 2000, p. 19
11. Véase la página 388 de Lee, John M. (2010). Introducción a las variedades topológicas, 2ª ed.
12. Kelley 1985, pág. 85
13. Véase Munkres 2000, p. 21

Referencias

• Artín, Michael (1991). Álgebra . Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
• Blyth, TS (2005). Celosías y estructuras algebraicas ordenadas . Saltador. ISBN 1-85233-905-5..
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: Compañía Mundial de Publicaciones Científicas. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Halmos, Paul R. (1960). Teoría de conjuntos ingenua . La Serie Universitaria en Matemáticas de Pregrado. Compañía van Nostrand. ISBN 9780442030643. Zbl  0087.04403.
• Kelley, John L. (1985). Topología general . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 27 (2 ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.

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