Fibra (matemáticas)

Conjunto de todos los puntos en el dominio de una función que se asignan a un único punto dado

En matemáticas , la fibra ( inglés estadounidense ) o fibra ( inglés británico ) de un elemento bajo una función es la preimagen del conjunto singleton , ^{[1] : p.69} , es decir ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{y\}}$

${\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\{x\mathrel {:} f(x)=y\}}$

Como ejemplo de abuso de notación , este conjunto a menudo se denota como , lo cual es técnicamente incorrecto ya que la relación inversa de no es necesariamente una función. ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Propiedades y aplicaciones

En la ingenua teoría de conjuntos

Si y son el dominio y la imagen de , respectivamente, entonces las fibras de son los conjuntos en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left\{f^{-1}(y)\mathrel {:} y\in Y\right\}\quad =\quad \left\{\left\{x\in X\mathrel {:} f(x)=y\right\}\mathrel {:} y\in Y\right\}}$

que es una partición del conjunto de dominios . Tenga en cuenta que debe restringirse al conjunto de imágenes de , ya que de lo contrario sería el conjunto vacío el que no está permitido en una partición. La fibra que contiene un elemento es el conjunto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(x)).}$

Por ejemplo, sea la función de a que envía el punto a . La fibra de 5 debajo son todos los puntos de la recta con ecuación . Las fibras de son esa recta y todas las rectas paralelas a ella, que forman una partición del plano . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+b=5}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

De manera más general, si es un mapa lineal de algún espacio vectorial lineal a algún otro espacio lineal , las fibras de son subespacios afines de , que son todas las copias traducidas del espacio nulo de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Si es una función de valor real de varias variables reales , las fibras de la función son los conjuntos de niveles de . Si también es una función continua y está en la imagen del conjunto de niveles, normalmente será una curva en 2D , una superficie en 3D y, más generalmente, una hipersuperficie en el dominio de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle f.}$

Las fibras de son las clases de equivalencia de la relación de equivalencia definida en el dominio tal que si y solo si . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \equiv _{f}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x'\equiv _{f}x''}$ ${\displaystyle f(x')=f(x'')}$

En topología

En la topología de conjuntos de puntos , generalmente se consideran funciones desde espacios topológicos hasta espacios topológicos.

Si es una función continua y si (o más generalmente, el conjunto de imágenes ) es un espacio T 1 , entonces cada fibra es un subconjunto cerrado de En particular, si es un homeomorfismo local de a , cada fibra de es un subespacio discreto de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Una función entre espacios topológicos se llamamonótono si cada fibra es unsubespacioconectado de su dominio. Una funciónes monótona en este sentido topológico si y sólo si no escrecientenidecreciente, que es el significado habitual de "función monótona" enel análisis real. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Una función entre espacios topológicos se denomina (a veces) mapa propio si cada fibra es un subespacio compacto de su dominio. Sin embargo, muchos autores utilizan otras definiciones competitivas no equivalentes de "mapa adecuado", por lo que es aconsejable comprobar siempre cómo define este término un autor en particular. Una función sobreyectiva cerrada continua cuyas fibras son todas compactas se llama aplicación perfecta .

Un haz de fibras es una función entre espacios topológicos y cuyas fibras tienen ciertas propiedades especiales relacionadas con la topología de esos espacios. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

En geometría algebraica

En geometría algebraica , si es un morfismo de esquemas , la fibra de un punto en es el producto de fibra de esquemas ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle X\times _{Y}\operatorname {Spec} k(p)}$$

campo de residuos ${\displaystyle k(p)}$ ${\displaystyle p.}$

Ver también

• Fibración
• haz de fibras
• Producto de fibra
• Teorema de preimagen
• puesta a cero

Referencias

1. Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (2ª ed.). Springer Verlag . ISBN 978-1-4419-7940-7.