Mapa entre espacios topológicos con la propiedad de que la preimagen de cada compacto es compacta
En matemáticas , una función entre espacios topológicos se llama propia si las imágenes inversas de subconjuntos compactos son compactas. En geometría algebraica , el concepto análogo se denomina morfismo propio .
Definición
Hay varias definiciones en competencia de " función adecuada ". Algunos autores llaman a una función entre dos espacios topológicos propia si la preimagen de todo conjunto compacto es compacta en
Otros autores llaman a una función propia si es continua y cerrada con fibras compactas ; es decir, si es un mapa cerrado continuo y la preimagen de cada punto es compacta . Las dos definiciones son equivalentes si es localmente compacto y Hausdorff .
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si es Hausdorff y es Hausdorff localmente compacto, entonces lo propio equivale a universalmente cerrado . Un mapa es universalmente cerrado si para cualquier espacio topológico el mapa está cerrado. En el caso de Hausdorff, esto equivale a exigir que para cualquier mapa el retroceso esté cerrado, como se desprende del hecho de que es un subespacio cerrado de![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\times \operatorname {id} _ {Z}:X\times Z\to Y\times Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Z\a Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X\times _ {Y}Z\a Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X\times _ {Y}Z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X\times Z.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una definición equivalente, posiblemente más intuitiva, cuando y son espacios métricos es la siguiente: decimos que una secuencia infinita de puntos en un espacio topológico escapa al infinito si, para cada conjunto compacto sólo hay un número finito de puntos . Entonces una aplicación continua es adecuada si y sólo si por cada secuencia de puntos que escapa al infinito en la secuencia escapa al infinito en![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{p_{i}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:X\a Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\{p_{i}\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\{f\left(p_{i}\right)\right\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
- Todo mapa continuo desde un espacio compacto hasta un espacio de Hausdorff es propio y cerrado .
- Todo mapa sobreyectivo propio es un mapa de cobertura compacto.
- Un mapa se llama cobertura compacta si para cada subconjunto compacto existe algún subconjunto compacto tal que
![{\displaystyle f:X\a Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K\subseteq Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(C)=K.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Un espacio topológico es compacto si y sólo si el mapa desde ese espacio hasta un solo punto es adecuado.
- Si es un mapa continuo adecuado y es un espacio de Hausdorff generado de forma compacta (esto incluye espacios de Hausdorff que son primero contables o localmente compactos ), entonces está cerrado. [2]
![{\displaystyle f:X\a Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Generalización
Es posible generalizar la noción de mapas adecuados de espacios topológicos a lugares y topoi , ver (Johnstone 2002).
Ver también
- Mapa casi abierto : Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.
- Mapas abiertos y cerrados : una función que envía subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados)
- Mapa perfecto : mapa sobreyectivo cerrado continuo, cada una de cuyas fibras también son conjuntos compactos.
- Glosario de topología – Glosario de matemáticasPages displaying short descriptions of redirect targets
Citas
Referencias