Establecer inversión

Problema matemático de encontrar el conjunto asignado por una función específica a un rango determinado

En matemáticas , la inversión de conjuntos es el problema de caracterizar la preimagen X de un conjunto Y mediante una función f , es decir, X = f ⁻¹ ( Y  ) = { x ∈ R ⁿ | f ( x ) ∈ Y  }. También puede verse como el problema de describir el conjunto solución de la restricción cuantificada " Y ( f  ( x ))", donde Y (  y ) es una restricción, por ejemplo, una desigualdad , que describe el conjunto Y.

En la mayoría de las aplicaciones, f es una función de R ⁿ a R ^p y el conjunto Y es una caja de R ^p (es decir, un producto cartesiano de p intervalos de R ).

Cuando f no es lineal, el problema de inversión de conjuntos se puede resolver ^[1] utilizando análisis de intervalos combinado con un algoritmo de ramificación y límite . ^[2]

La idea principal consiste en construir un pavimento de R ^p realizado con cajas que no se superpongan. Para cada casilla [ x ], realizamos las siguientes pruebas:

1. si f  ([ x ]) ⊂ Y concluimos que [ x ] ⊂ X ;
2. si f  ([ x ]) ∩ Y = ∅ concluimos que [ x ] ∩ X = ∅;
3. De lo contrario, el cuadro [ x ] se divide en dos, excepto si su ancho es menor que una precisión dada.

Para comprobar las dos primeras pruebas, necesitamos una extensión de intervalo (o una función de inclusión) [ f  ] para f . Las cajas clasificadas se almacenan en subpavimentos , es decir, unión de cajas que no se superponen. El algoritmo puede hacerse más eficiente reemplazando las pruebas de inclusión por parte de contratistas .

Ejemplo

El conjunto X = f ⁻¹ ([4,9]) donde f  ( x ₁ , x ₂ ) = x²
₁+ x²
₂está representado en la figura.

Por ejemplo, dado que [−2,1] ² + [4,5] ² = [0,4] + [16,25] = [16,29] no interseca el intervalo [4,9], concluimos que el cuadro [−2,1] × [4,5] está fuera de X . Como [−1,1] ² + [2, √ 5 ] ² = [0,1] + [4,5] = [4,6] está dentro de [4,9], concluimos que toda la caja [− 1,1] × [2, √ 5 ] está dentro de X .

Un anillo definido como un problema de inversión de conjuntos.

Solicitud

La inversión de conjuntos se utiliza principalmente para la planificación de trayectorias , para la estimación de conjuntos de parámetros no lineales , ^{[3] [4]} para la localización ^{[5] [6]} o para la caracterización de dominios de estabilidad de sistemas dinámicos lineales . ^[7]

Referencias

1. Jaulín, L.; Walter, E. (1993). "Establecer inversión mediante análisis de intervalos para estimación de error acotado no lineal" (PDF) . Automática . 29 (4): 1053–1064. doi :10.1016/0005-1098(93)90106-4.
2. Jaulín, L.; Kieffer, M.; Didrit, O.; Walter, E. (2001). Análisis de intervalos aplicado . Berlín: Springer. ISBN 1-85233-219-0.
3. Jaulín, L.; Godet, JL; Walter, E.; Elliasmine, A.; Leduff, Y. (1997). "Análisis de datos de dispersión de luz mediante inversión de conjuntos" (PDF) . Revista de Física A: Matemática y General . 30 (22): 7733–7738. Código bibliográfico : 1997JPhA...30.7733J. doi :10.1088/0305-4470/30/22/012.
4. Braems, yo; Berthier, F.; Jaulín, L.; Kieffer, M.; Walter, E. (2001). "Estimación garantizada de parámetros electroquímicos mediante inversión de conjuntos mediante análisis de intervalos" (PDF) . Revista de Química Electroanalítica . 495 (1).
5. Colle, E.; Galerne, S. (2013). "Localización de robots móviles mediante multiangulación mediante inversión de conjuntos". Robótica y Sistemas Autónomos . 66 (1): 39–48. doi :10.1016/j.robot.2012.09.006.
6. Drevelle, V.; Bonnifait, Ph. (2011). "Un enfoque de membresía establecida para el posicionamiento por satélite asistido por altura de alta integridad". Soluciones GPS . 15 (4): 357–368. doi :10.1007/s10291-010-0195-3. S2CID  121728552.
7. Walter, E.; Jaulín, L. (1994). "Caracterización garantizada de dominios de estabilidad mediante inversión de conjuntos" (PDF) . Traducción IEEE. Automático. Control . 39 (4): 886–889. doi :10.1109/9.286277.