Imagen (teoría de categorías)

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , la imagen de un morfismo es una generalización de la imagen de una función .

Definición general

Dada una categoría y un morfismo en , la imagen ^[1] de es un monomorfismo que satisface la siguiente propiedad universal : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m\colon I\to Y}$

1. Existe un morfismo tal que . ${\displaystyle e\colon X\to I}$ ${\displaystyle f=m\,e}$
2. Para cualquier objeto con un morfismo y un monomorfismo tal que , existe un morfismo único tal que . ${\displaystyle I'}$ ${\displaystyle e'\colon X\to I'}$ ${\displaystyle m'\colon I'\to Y}$ ${\displaystyle f=m'\,e'}$ ${\displaystyle v\colon I\to I'}$ ${\displaystyle m=m'\,v}$

Observaciones:

1. Tal factorización no existe necesariamente.
2. ${\displaystyle e}$es único por definición de monic . ${\displaystyle m}$
3. ${\displaystyle m'e'=f=me=m've}$, por lo tanto por monic. ${\displaystyle e'=ve}$ ${\displaystyle m'}$
4. ${\displaystyle v}$es monico
5. ${\displaystyle m=m'\,v}$ya implica que es único. ${\displaystyle v}$

La imagen de a menudo se denota por o . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\text{Im}}f}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(f)}$

Proposición: Si tiene todos los ecualizadores entonces en la factorización de (1) es un epimorfismo . ^[2] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f=m\,e}$

Prueba

Sea tal que , se necesita demostrar que . Puesto que el ecualizador de existe, se factoriza como con mónico. Pero entonces es una factorización de con monomorfismo. Por lo tanto, por la propiedad universal de la imagen existe una flecha única tal que y puesto que es mónico . Además, se tiene y por la propiedad de monomorfismo de se obtiene . ${\displaystyle \alpha ,\,\beta }$ ${\displaystyle \alpha \,e=\beta \,e}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e=q\,e'}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle f=(m\,q)\,e'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (m\,q)}$ ${\displaystyle v:I\to Eq_{\alpha ,\beta }}$ ${\displaystyle m=m\,q\,v}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\text{id}}_{I}=q\,v}$ ${\displaystyle m\,q=(mqv)\,q}$ ${\displaystyle mq}$ ${\displaystyle {\text{id}}_{Eq_{\alpha ,\beta }}=v\,q}$

Esto significa que y por lo tanto que iguala , de donde . ${\displaystyle I\equiv Eq_{\alpha ,\beta }}$ ${\displaystyle {\text{id}}_{I}=q\,v}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$

Segunda definición

En una categoría con todos los límites y colimites finitos , la imagen se define como el ecualizador del llamado par cokernel , que es el cocartesiano de un morfismo consigo mismo sobre su dominio, lo que dará como resultado un par de morfismos , sobre el cual se toma el ecualizador , es decir, el primero de los diagramas siguientes es cocartesiano , y el segundo ecualizador . ^[3] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (Im,m)}$ ${\displaystyle (Y\sqcup _{X}Y,i_{1},i_{2})}$ ${\displaystyle i_{1},i_{2}:Y\to Y\sqcup _{X}Y}$

Observaciones:

1. La bicompletitud finita de la categoría garantiza que existan expulsiones y ecualizadores.
2. ${\displaystyle (Im,m)}$Se puede llamar imagen regular ya que es un monomorfismo regular , es decir, el ecualizador de un par de morfismos. (Recordemos también que un ecualizador es automáticamente un monomorfismo). ${\displaystyle m}$
3. En una categoría abeliana, la propiedad del par cokernel se puede escribir como , y la condición de ecualización como . Además, todos los monomorfismos son regulares. ${\displaystyle i_{1}\,f=i_{2}\,f\ \Leftrightarrow \ (i_{1}-i_{2})\,f=0=0\,f}$ ${\displaystyle i_{1}\,m=i_{2}\,m\ \Leftrightarrow \ (i_{1}-i_{2})\,m=0\,m}$

Teorema  —  Si siempre se factoriza mediante monomorfismos regulares, entonces las dos definiciones coinciden. ${\displaystyle f}$

Prueba

La primera definición implica la segunda: supongamos que (1) se cumple con el monomorfismo regular. ${\displaystyle m}$

• Igualación: es necesario demostrar que . Como el par de co-núcleos de y por la proposición anterior, dado que tiene todos los ecualizadores, la flecha en la factorización es un epimorfismo , por lo tanto . ${\displaystyle i_{1}\,m=i_{2}\,m}$ ${\displaystyle f,\ i_{1}\,f=i_{2}\,f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f=m\,e}$ ${\displaystyle i_{1}\,f=i_{2}\,f\ \Rightarrow \ i_{1}\,m=i_{2}\,m}$
• Universalidad: en una categoría con todos los colimites (o al menos todos los pushouts) admite un par de cokernel ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (Y\sqcup _{I}Y,c_{1},c_{2})}$

Además, como monomorfismo regular, es el ecualizador de un par de morfismos pero afirmamos aquí que también es el ecualizador de . ${\displaystyle (I,m)}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2}:Y\longrightarrow B}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}:Y\longrightarrow Y\sqcup _{I}Y}$

De hecho, por construcción así, el diagrama de "par de cokernel" para produce un morfismo único tal que . Ahora bien, una función que iguala también satisface , por lo tanto, por el diagrama de igualación para , existe una función única tal que . ${\displaystyle b_{1}\,m=b_{2}\,m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u':Y\sqcup _{I}Y\longrightarrow B}$ ${\displaystyle b_{1}=u'\,c_{1},\ b_{2}=u'\,c_{2}}$ ${\displaystyle m':I'\longrightarrow Y}$ ${\displaystyle (c_{1},c_{2})}$ ${\displaystyle b_{1}\,m'=u'\,c_{1}\,m'=u'\,c_{2}\,m'=b_{2}\,m'}$ ${\displaystyle (b_{1},b_{2})}$ ${\displaystyle h':I'\to I}$ ${\displaystyle m'=m\,h'}$

Por último, utilice el diagrama de pares de cokernel (de ) con  : existe un único tal que . Por lo tanto, cualquier mapa que iguala también iguala y, por lo tanto, se factoriza de manera única como . Esto significa exactamente que es el ecualizador de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j_{1}:=c_{1},\ j_{2}:=c_{2},\ Z:=Y\sqcup _{I}Y}$ ${\displaystyle u:Y\sqcup _{X}Y\longrightarrow Y\sqcup _{I}Y}$ ${\displaystyle c_{1}=u\,i_{1},\ c_{2}=u\,i_{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (i_{1},i_{2})}$ ${\displaystyle (c_{1},c_{2})}$ ${\displaystyle g=m\,h'}$ ${\displaystyle (I,m)}$ ${\displaystyle (i_{1},i_{2})}$

La segunda definición implica la primera:

• Factorización: tomando en el diagrama ecualizador ( corresponde a ), se obtiene la factorización . ${\displaystyle m':=f}$ ${\displaystyle m'}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f=m\,h}$
• Universalidad: sea una factorización con monomorfismo regular, es decir, el ecualizador de algún par . ${\displaystyle f=m'\,e'}$ ${\displaystyle m'}$ ${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$

Entonces, de modo que por el diagrama de "par cokernel" (de ), con , existe un único tal que . ${\displaystyle d_{1}\,m'=d_{2}\,m'\ \Rightarrow \ d_{1}\,f=d_{1}\,m'\,e=d_{2}\,m'\,e=d_{2}\,f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j_{1}:=d_{1},\ j_{2}:=d_{2},\ Z:=D}$ ${\displaystyle u'':Y\sqcup _{X}Y\longrightarrow D}$ ${\displaystyle d_{1}=u''\,i_{1},\ d_{2}=u''\,i_{2}}$

Ahora, de ( m del diagrama ecualizador de ( i ₁ , i ₂ )), se obtiene , por lo tanto, por la universalidad en el diagrama (ecualizador de ( d ₁ , d ₂ ), con f reemplazado por m ), existe un único tal que . ${\displaystyle i_{1}\,m=i_{2}\,m}$ ${\displaystyle d_{1}\,m=u''\,i_{1}\,m=u''\,i_{2}\,m=d_{2}\,m}$ ${\displaystyle v:Im\longrightarrow I'}$ ${\displaystyle m=m'\,v}$

Ejemplos

En la categoría de conjuntos la imagen de un morfismo es la inclusión de la imagen ordinaria a . En muchas categorías concretas como grupos , grupos abelianos y módulos (izquierdos o derechos) , la imagen de un morfismo es la imagen del morfismo correspondiente en la categoría de conjuntos. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \{f(x)~|~x\in X\}}$ ${\displaystyle Y}$

En cualquier categoría normal con un objeto cero y núcleos y conúcleos para cada morfismo, la imagen de un morfismo se puede expresar de la siguiente manera: ${\displaystyle f}$

soy f = ker coker f

En una categoría abeliana (que es en particular binormal), si f es un monomorfismo entonces f = ker coker f , y por lo tanto f = im f .

Véase también

• Subobjeto
• Coimage
• Imagen (matemáticas)

Referencias

1. Mitchell, Barry (1965), Teoría de categorías , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 17, Academic Press, ISBN 978-0-12-499250-4, Sr.  0202787Sección I.10 pág.12
2. Mitchell, Barry (1965), Teoría de categorías , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 17, Academic Press, ISBN 978-0-12-499250-4, Sr.  0202787Proposición 10.1 p.12
3. Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2006), "Categorías y gavillas" , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 332, Berlín Heidelberg: Springer, págs. 113-114Definición 5.1.1