En matemáticas y lógica , un sistema axiomático es cualquier conjunto de nociones y axiomas primitivos para derivar lógicamente teoremas . Una teoría es un cuerpo de conocimiento consistente y relativamente autónomo que generalmente contiene un sistema axiomático y todos sus teoremas derivados. Un sistema axiomático que está completamente descrito es un tipo especial de sistema formal . Una teoría formal es un sistema axiomático (generalmente formulado dentro de la teoría de modelos ) que describe un conjunto de oraciones que se cierran bajo implicación lógica. [1] Una prueba formal es una interpretación completa de una prueba matemática dentro de un sistema formal.
Un sistema axiomático se dice que es consistente si carece de contradicción . Es decir, es imposible derivar tanto un enunciado como su negación a partir de los axiomas del sistema. La coherencia es un requisito clave para la mayoría de los sistemas axiomáticos, ya que la presencia de contradicción permitiría probar cualquier afirmación ( principio de explosión ).
En un sistema axiomático, un axioma se llama independiente si no puede ser probado o refutado a partir de otros axiomas del sistema. Un sistema se llama independiente si cada uno de sus axiomas subyacentes es independiente. A diferencia de la coherencia, la independencia no es un requisito necesario para que un sistema axiomático funcione, aunque normalmente se busca para minimizar el número de axiomas del sistema.
Un sistema axiomático se llama completo si para cada enunciado, él mismo o su negación es derivable de los axiomas del sistema (de manera equivalente, cada enunciado puede demostrarse como verdadero o falso). [2]
Más allá de la coherencia, la coherencia relativa es también la marca de un sistema de axiomas que vale la pena. Esto describe el escenario donde los términos indefinidos de un primer sistema de axiomas reciben definiciones de un segundo, de modo que los axiomas del primero son teoremas del segundo.
Un buen ejemplo es la consistencia relativa de la geometría absoluta con respecto a la teoría del sistema de números reales . Las líneas y los puntos son términos indefinidos (también llamados nociones primitivas ) en geometría absoluta, pero se les asignan significados en la teoría de los números reales de una manera que es consistente con ambos sistemas de axiomas. [ cita necesaria ]
Un modelo para un sistema axiomático es un conjunto bien definido , que asigna significado a los términos indefinidos presentados en el sistema, de una manera que sea correcta con las relaciones definidas en el sistema. La existencia de un modelo concreto prueba la consistencia de un sistema [ disputado ] . Un modelo se llama concreto si los significados asignados son objetos y relaciones del mundo real [ se necesita aclaración ] , a diferencia de un modelo abstracto que se basa en otros sistemas axiomáticos.
También se pueden utilizar modelos para mostrar la independencia de un axioma en el sistema. Al construir un modelo válido para un subsistema sin un axioma específico, demostramos que el axioma omitido es independiente si su corrección no se deriva necesariamente del subsistema.
Se dice que dos modelos son isomorfos si se puede encontrar una correspondencia uno a uno entre sus elementos, de manera que se preserve su relación. [3] Un sistema axiomático en el que cada modelo es isomorfo a otro se llama categorial (a veces categórico ). La propiedad de categorización (categoricidad) garantiza la integridad de un sistema, sin embargo, lo contrario no es cierto: la integridad no garantiza la categorización (categoricidad) de un sistema, ya que dos modelos pueden diferir en propiedades que no pueden expresarse mediante la semántica del sistema.
Como ejemplo, observe el siguiente sistema axiomático, basado en lógica de primer orden con semántica adicional de los siguientes infinitos axiomas contables agregados (estos pueden formalizarse fácilmente como un esquema de axioma ):
De manera informal, este conjunto infinito de axiomas establece que hay infinitos elementos diferentes. Sin embargo, el concepto de conjunto infinito no puede definirse dentro del sistema, y mucho menos la cardinalidad de dicho conjunto.
El sistema tiene al menos dos modelos diferentes: uno son los números naturales (isomorfos a cualquier otro conjunto contablemente infinito) y otro son los números reales (isomorfos a cualquier otro conjunto con cardinalidad del continuo ). De hecho, tiene un número infinito de modelos, uno para cada cardinalidad de un conjunto infinito. Sin embargo, la propiedad que distingue a estos modelos es su cardinalidad, una propiedad que no puede definirse dentro del sistema. Por tanto, el sistema no es categorial. Sin embargo, se puede demostrar que está completo.
Enunciar definiciones y proposiciones de manera tal que cada nuevo término pueda ser eliminado formalmente por los términos introducidos anteriormente requiere nociones primitivas (axiomas) para evitar la regresión infinita . Esta forma de hacer matemáticas se llama método axiomático . [4]
Una actitud común hacia el método axiomático es el logicismo . En su libro Principia Mathematica , Alfred North Whitehead y Bertrand Russell intentaron demostrar que toda teoría matemática podía reducirse a una colección de axiomas. De manera más general, la reducción de un conjunto de proposiciones a una colección particular de axiomas subyace al programa de investigación del matemático. Esto fue muy destacado en las matemáticas del siglo XX, en particular en materias basadas en el álgebra homológica .
La explicación de los axiomas particulares utilizados en una teoría puede ayudar a aclarar un nivel adecuado de abstracción con el que al matemático le gustaría trabajar. Por ejemplo, los matemáticos optaron por que los anillos no tuvieran por qué ser conmutativos , lo que difería de la formulación original de Emmy Noether . Los matemáticos decidieron considerar los espacios topológicos de manera más general sin el axioma de separación que formuló originalmente Felix Hausdorff .
La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , resultado del método axiomático aplicado a la teoría de conjuntos, permitió la formulación "adecuada" de los problemas de la teoría de conjuntos y ayudó a evitar las paradojas de la teoría de conjuntos ingenua . Uno de esos problemas fue la hipótesis del continuo . La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, que incluye el históricamente controvertido axioma de elección , se abrevia comúnmente como ZFC , donde "C" significa "elección". Muchos autores utilizan ZF para referirse a los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel excluyendo el axioma de elección. [5] Hoy en día, ZFC es la forma estándar de teoría de conjuntos axiomática y, como tal, es la base más común de las matemáticas .
Los métodos matemáticos se desarrollaron hasta cierto grado de sofisticación en el antiguo Egipto, Babilonia, India y China, aparentemente sin emplear el método axiomático.
Euclides de Alejandría fue el autor de la presentación axiomática más antigua que se conserva de la geometría euclidiana y la teoría de números . Su idea comienza con cinco supuestos geométricos innegables llamados axiomas . Luego, utilizando estos axiomas, estableció mediante pruebas la verdad de otras proposiciones , de ahí el método axiomático. [6]
En el siglo XIX se desarrollaron muchos sistemas axiomáticos, incluida la geometría no euclidiana , los fundamentos del análisis real , la teoría de conjuntos de Cantor , el trabajo de Frege sobre los fundamentos y el "nuevo" uso del método axiomático por parte de Hilbert como herramienta de investigación. . Por ejemplo, la teoría de grupos se planteó por primera vez sobre una base axiomática hacia finales de ese siglo. Una vez aclarados los axiomas (que deberían requerirse elementos inversos , por ejemplo), el sujeto podría proceder de forma autónoma, sin referencia a los orígenes del grupo de transformación de esos estudios.
No todo conjunto consistente de proposiciones puede ser capturado por una colección descriptible de axiomas. En la teoría de la recursividad, una colección de axiomas se llama recursiva si un programa de computadora puede reconocer si una proposición dada en el lenguaje es un teorema. El primer teorema de incompletitud de Gödel nos dice entonces que existen ciertos cuerpos consistentes de proposiciones sin axiomatización recursiva. Normalmente, la computadora puede reconocer los axiomas y las reglas lógicas para derivar teoremas, y la computadora puede reconocer si una prueba es válida, pero determinar si existe una prueba para un enunciado sólo se puede resolver "esperando" a que se presente la prueba o refutación. generado. El resultado es que no se sabrá qué proposiciones son teoremas y el método axiomático fracasa. Un ejemplo de tal cuerpo de proposiciones es la teoría de los números naturales , que está sólo parcialmente axiomatizada por los axiomas de Peano (descritos más adelante).
En la práctica, no todas las demostraciones se remontan a los axiomas. A veces ni siquiera está claro a qué conjunto de axiomas apela una demostración. Por ejemplo, un enunciado de teoría de números podría expresarse en el lenguaje de la aritmética (es decir, el lenguaje de los axiomas de Peano) y podría ofrecerse una demostración que apele a la topología o al análisis complejo . Puede que no quede inmediatamente claro si se puede encontrar otra prueba que se derive únicamente de los axiomas de Peano.
Cualquier sistema de axiomas elegido más o menos arbitrariamente es la base de alguna teoría matemática, pero un sistema axiomático tan arbitrario no necesariamente estará libre de contradicciones, e incluso si lo estuviera, no es probable que arroje luz sobre nada. Los filósofos de las matemáticas a veces afirman que los matemáticos eligen axiomas "arbitrariamente", pero es posible que, aunque parezcan arbitrarios cuando se los considera sólo desde el punto de vista de los cánones de la lógica deductiva, esa apariencia se deba a una limitación de los propósitos que la lógica deductiva puede alcanzar. La lógica sirve.
El sistema matemático de los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, ... se basa en un sistema axiomático ideado por primera vez por el matemático Giuseppe Peano en 1889. Eligió los axiomas, en el lenguaje de una única función unaria, símbolo S. (abreviatura de " sucesor "), para que el conjunto de números naturales sea:
En matemáticas , la axiomatización es el proceso de tomar un conjunto de conocimientos y trabajar hacia atrás hacia sus axiomas. Es la formulación de un sistema de enunciados (es decir, axiomas ) que relacionan una serie de términos primitivos, a fin de que a partir de estos enunciados pueda derivarse deductivamente un cuerpo consistente de proposiciones . A partir de entonces, la prueba de cualquier proposición debería, en principio, remontarse a estos axiomas.
