En lógica matemática , un esquema de axioma (plural: esquemas de axioma o esquemas de axioma ) generaliza la noción de axioma .
Un esquema de axioma es una fórmula en el metalenguaje de un sistema axiomático , en la que aparecen una o más variables esquemáticas . Estas variables, que son construcciones metalingüísticas, representan cualquier término o subfórmula del sistema, que puede ser necesario o no para satisfacer ciertas condiciones. A menudo, tales condiciones requieren que ciertas variables estén libres o que ciertas variables no aparezcan en la subfórmula o término [ cita requerida ] .
Dado que el número de posibles subfórmulas o términos que se pueden insertar en lugar de una variable esquemática es infinito, un esquema de axioma representa una clase o conjunto infinito de axiomas. Este conjunto a menudo se puede definir de forma recursiva . Se dice que una teoría que puede axiomatizarse sin esquemas es finitamente axiomatizable .
Dos ejemplos bien conocidos de esquemas de axiomas son:
Czesław Ryll-Nardzewski demostró que la aritmética de Peano no puede axiomatizarse de forma finita, y Richard Montague demostró que ZFC no puede axiomatizarse de forma finita. [1] Por lo tanto, los esquemas de axiomas no pueden eliminarse de estas teorías. Este es también el caso de muchas otras teorías axiomáticas en matemáticas, filosofía, lingüística, etc.
Todos los teoremas de ZFC son también teoremas de la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel , pero esta última puede ser axiomatizada de forma finita. La teoría de conjuntos Nuevos Fundamentos puede axiomatizarse finitamente mediante la noción de estratificación .
Las variables esquemáticas en lógica de primer orden suelen ser trivialmente eliminables en lógica de segundo orden , porque una variable esquemática suele ser un marcador de posición para cualquier propiedad o relación sobre los individuos de la teoría. Este es el caso de los esquemas de Inducción y Reemplazo mencionados anteriormente. La lógica de orden superior permite que las variables cuantificadas abarquen todas las propiedades o relaciones posibles.