Cardinalidad del continuo

Cardinalidad del conjunto de números reales.

En teoría de conjuntos , la cardinalidad del continuo es la cardinalidad o "tamaño" del conjunto de números reales , a veces llamado continuo . Es un número cardinal infinito y se denota por ( Fractur "c" minúscula) o . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle |\mathbb {R} |}$

Los números reales son más numerosos que los números naturales . Además, tiene el mismo número de elementos que el conjunto potencia de Simbólicamente, si la cardinalidad de se denota como , la cardinalidad del continuo es ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}\,.}$

Esto fue demostrado por Georg Cantor en su prueba de incontabilidad de 1874, parte de su innovador estudio sobre los diferentes infinitos. La desigualdad se expresó más tarde de manera más simple en su argumento diagonal en 1891. Cantor definió la cardinalidad en términos de funciones biyectivas : dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si, y sólo si, existe una función biyectiva entre ellos.

Entre dos números reales cualesquiera a  <  b , no importa lo cerca que estén uno del otro, siempre hay infinitos otros números reales, y Cantor demostró que son tantos como los contenidos en el conjunto completo de números reales. En otras palabras, el intervalo abierto ( a , b ) es equinumero con Esto también es cierto para varios otros conjuntos infinitos, como cualquier espacio euclidiano de n dimensiones (ver curva de llenado del espacio ). Eso es, ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle |(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.}$

El número cardinal infinito más pequeño es ( aleph-null ). El segundo más pequeño es ( aleph-one ). La hipótesis del continuo , que afirma que no hay conjuntos cuya cardinalidad esté estrictamente entre y , significa eso . ^[2] La verdad o falsedad de esta hipótesis es indecidible y no se puede probar dentro de la ampliamente utilizada teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con axioma de elección (ZFC). ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$

Propiedades

Incontable

Georg Cantor introdujo el concepto de cardinalidad para comparar los tamaños de conjuntos infinitos. Es famoso por demostrar que el conjunto de los números reales es incontablemente infinito . Es decir, es estrictamente mayor que la cardinalidad de los números naturales ,: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle \aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.}$

En la práctica, esto significa que hay estrictamente más números reales que enteros. Cantor demostró esta afirmación de varias maneras diferentes. Para obtener más información sobre este tema, consulte la primera prueba de incontabilidad de Cantor y el argumento diagonal de Cantor .

Igualdades cardinales

Se puede utilizar una variación del argumento diagonal de Cantor para demostrar el teorema de Cantor , que establece que la cardinalidad de cualquier conjunto es estrictamente menor que la de su conjunto de potencias . Es decir, (y de modo que el conjunto potencia de los números naturales sea incontable). De hecho, se puede demostrar ^{[ cita necesaria ]} que la cardinalidad de es igual a la siguiente: ${\displaystyle |A|<2^{|A|}}$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

1. Defina una aplicación de los reales al conjunto potencia de los racionales , enviando cada número real al conjunto de todos los racionales menor o igual que (con los reales vistos como cortes de Dedekind , esto no es otra cosa que la aplicación de inclusión en el conjunto de conjuntos de racionales). Debido a que los racionales son densos en , este mapa es inyectivo , y debido a que los racionales son contables, tenemos eso . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \wp (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{q\in \mathbb {Q} :q\leq x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}\leq 2^{\aleph _{0}}}$
2. Sea el conjunto de secuencias infinitas con valores en set . Este conjunto tiene cardinalidad (la biyección natural entre el conjunto de secuencias binarias y está dada por la función indicadora ). Ahora, asocie a cada una de estas secuencias el número real único en el intervalo con la expansión ternaria dada por los dígitos , es decir, el -ésimo dígito después del punto fraccionario es con respecto a la base . La imagen de este mapa se llama conjunto de Cantor . No es difícil ver que este mapa es inyectivo, porque al evitar puntos con el dígito 1 en su expansión ternaria, evitamos conflictos creados por el hecho de que la expansión ternaria de un número real no es única. Entonces tenemos eso . ${\displaystyle \{0,2\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{0,2\}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}3^{-i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}}$

Por el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder concluimos que

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=|\wp (\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}.}$

La igualdad cardinal se puede demostrar usando aritmética cardinal : ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=(2^{\aleph _{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$

Utilizando las reglas de la aritmética cardinal, también se puede demostrar que

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}=n^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{n}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}},}$

donde n es cualquier cardinal finito ≥ 2, y

${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}},}$

donde es la cardinalidad del conjunto potencia de R , y . ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}}$

Explicación alternativa para 𝔠 = 2 א ‎0

Todo número real tiene al menos una expansión decimal infinita . Por ejemplo,

1/2 = 0,50000...

1/3 = 0,33333...

π = 3,14159....

(Esto es cierto incluso en el caso de que la expansión se repita, como en los dos primeros ejemplos).

En cualquier caso dado, el número de dígitos es contable ya que se pueden poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales . Esto hace que sea sensato hablar de, digamos, el primero, el centésimo o el millonésimo dígito de π. Como los números naturales tienen cardinalidad cada número real tiene dígitos en su desarrollo. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \aleph _{0},}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Como cada número real se puede descomponer en una parte entera y una fracción decimal, obtenemos:

${\displaystyle {\mathfrak {c}}\leq \aleph _{0}\cdot 10^{\aleph _{0}}\leq 2^{\aleph _{0}}\cdot {(2^{4})}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}}$

donde usamos el hecho de que

${\displaystyle \aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}=\aleph _{0}\,.}$

Por otro lado, si asignamos y consideramos que las fracciones decimales que contienen solo 3 o 7 son solo una parte de los números reales, entonces obtenemos ${\displaystyle 2=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \{3,7\}}$

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}\,.}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}\,.}$

números de beth

La secuencia de números Beth se define configurando y . También lo es el segundo número de Beth, Beth-One : ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\beth _{1}.}$

El tercer número beth, beth-dos , es la cardinalidad del conjunto potencia de (es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de la línea real ): ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}.}$

La hipótesis del continuo

La famosa hipótesis del continuo afirma que también es el segundo número aleph . ^[2] En otras palabras, la hipótesis del continuo establece que no existe un conjunto cuya cardinalidad se encuentre estrictamente entre y ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

${\displaystyle \nexists A\quad :\quad \aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.}$

Ahora se sabe que esta afirmación es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC), como lo muestran Kurt Gödel y Paul Cohen . ^{[3] [4] [5]} Es decir, tanto la hipótesis como su negación son consistentes con estos axiomas. De hecho, para cada número natural distinto de cero n , la igualdad = es independiente de ZFC (el caso es la hipótesis del continuo). Lo mismo es cierto para la mayoría de las otras alephs, aunque en algunos casos, el teorema de König puede descartar la igualdad por motivos de cofinalidad (p. ej., ). En particular, podría ser o , donde está el primer ordinal incontable , por lo que podría ser un cardenal sucesor o un cardenal límite , y un cardenal regular o un cardenal singular . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{n}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega _{1}}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Conjuntos con cardinalidad del continuo.

Muchos conjuntos estudiados en matemáticas tienen cardinalidad igual a . Algunos ejemplos comunes son los siguientes: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

• los numeros reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• cualquier intervalo cerrado o abierto ( no degenerado ) en (como el intervalo unitario ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1]}$
• los numeros irracionales
• los números trascendentales
  Observamos que el conjunto de números algebraicos reales es infinitamente numerable (asigne a cada fórmula su número de Gödel ). Entonces la cardinalidad de los números algebraicos reales es . Además, los números algebraicos reales y los números trascendentales reales son conjuntos disjuntos cuya unión es . Así, dado que la cardinalidad de es , la cardinalidad de los números trascendentales reales es . Se sigue un resultado similar para los números trascendentales complejos, una vez que hemos demostrado que . ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}-\aleph _{0}={\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \left\vert \mathbb {C} \right\vert ={\mathfrak {c}}}$
• el conjunto de cantor
• Espacio euclidiano ^[6] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$

  Observamos que, según la prueba de Cantor de la cardinalidad del espacio euclidiano, ^[6] . Por definición, cualquiera puede expresarse de forma única como para algunos . Por tanto definimos la biyección ${\displaystyle \left\vert \mathbb {R} ^{2}\right\vert ={\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} ^{2}&\to \mathbb {C} \\(a,b)&\mapsto a+bi\end{aligned}}}$
• el conjunto potencia de los números naturales (el conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales) ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$
• el conjunto de secuencias de números enteros (es decir, todas las funciones , a menudo denotadas ) ${\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$
• el conjunto de secuencias de números reales, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$
• el conjunto de todas las funciones continuas desde hasta ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• la topología euclidiana en (es decir, el conjunto de todos los conjuntos abiertos en ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• el álgebra σ de Borel ( es decir, el conjunto de todos los conjuntos de Borel en ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Conjuntos con mayor cardinalidad

Conjuntos con cardinalidad mayor que incluyen: ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

• el conjunto de todos los subconjuntos de (es decir, conjunto de potencias ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$
• el conjunto 2 R de funciones indicadoras definidas en subconjuntos de los reales (el conjunto es isomorfo :  la función indicadora elige elementos de cada subconjunto para incluir) ${\displaystyle 2^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$
• el conjunto de todas las funciones desde hasta ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• el σ-álgebra de Lebesgue de , es decir, el conjunto de todos los conjuntos medibles de Lebesgue en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• el conjunto de todas las funciones integrables de Lebesgue desde hasta ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• el conjunto de todas las funciones medibles de Lebesgue desde hasta ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• las compactaciones Stone-Čech de , y ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• el conjunto de todos los automorfismos del campo (discreto) de números complejos.

Todos estos tienen cardinalidad ( beth dos ). ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}}$

Ver también

• Característica cardinal del continuo

Referencias

1. "Número transfinito | matemáticas". Enciclopedia Británica . Consultado el 12 de agosto de 2020 .
2. Weisstein, Eric W. "Continuo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 12 de agosto de 2020 .
3. Gödel, Kurt (31 de diciembre de 1940). Consistencia de la Hipótesis del Continuo. (AM-3). doi :10.1515/9781400881635. ISBN 9781400881635.
4. Cohen, Paul J. (diciembre de 1963). "La independencia de la hipótesis del continuo". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 50 (6): 1143–1148. Código bibliográfico : 1963PNAS...50.1143C. doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 . ISSN  0027-8424. PMC 221287 . PMID  16578557. 
5. Cohen, Paul J. (enero de 1964). "La independencia de la hipótesis del continuo, Ii". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 51 (1): 105-110. Código bibliográfico : 1964PNAS...51..105C. doi : 10.1073/pnas.51.1.105 . ISSN  0027-8424. PMC 300611 . PMID  16591132. 
6. Se sorprendió Cantor?, Fernando Q. Gouvêa , American Mathematical Monthly , marzo de 2011.

Bibliografía

• Paul Halmos , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag). 
• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Saltador. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 

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