Compactación de piedra-Čech

En la disciplina matemática de la topología general , la compactificación de Stone–Čech (o compactificación de Čech–Stone ^[1] ) es una técnica para construir una función universal de un espacio topológico X a un espacio compacto de Hausdorff βX . La compactificación de Stone–Čech βX de un espacio topológico X es el espacio compacto de Hausdorff más grande y general "generado" por X , en el sentido de que cualquier función continua de X a un espacio compacto de Hausdorff se factoriza a través de βX (de una manera única). Si X es un espacio de Tichonoff , entonces la función de X a su imagen en βX es un homeomorfismo , por lo que X puede considerarse como un subespacio ( denso ) de βX ; cualquier otro espacio compacto de Hausdorff que contenga densamente a X es un cociente de βX . Para espacios topológicos generales X , la función de X a βX no necesita ser inyectiva .

Se requiere una forma del axioma de elección para demostrar que todo espacio topológico tiene una compactificación de Stone-Čech. Incluso para espacios muy simples X , una descripción concreta y accesible de βX a menudo resulta difícil de alcanzar. En particular, las pruebas de que βX  \  X no es vacío no dan una descripción explícita de ningún punto particular en βX  \  X .

La compactificación de Stone-Čech aparece implícitamente en un artículo de Andrey Nikolayevich Tychonoff  (1930) y fue dada explícitamente por Marshall Stone  (1937) y Eduard Čech  (1937).

Historia

Andrey Nikolayevich Tikhonov introdujo espacios completamente regulares en 1930 para evitar la situación patológica de los espacios de Hausdorff cuyas únicas funciones continuas de valor real son mapas constantes. ^[2]

En el mismo artículo de 1930 donde Tichonoff definió espacios completamente regulares, también demostró que cada espacio de Tichonoff (es decir, espacio completamente regular de Hausdorff ) tiene una compactificación de Hausdorff (en este mismo artículo, también demostró el teorema de Tichonoff ). En 1937, Čech extendió la técnica de Tichonoff e introdujo la notación β X para esta compactificación. Stone también construyó β X en un artículo de 1937, aunque usando un método muy diferente. A pesar de que el artículo de Tichonoff es el primer trabajo sobre el tema de la compactificación de Stone-Čech y a pesar de que el artículo de Tichonoff es citado tanto por Stone como por Čech, el nombre de Tichonoff rara vez se asocia con β X. [ ^3]

Propiedad universal y funcionalidad

La compactificación de Stone-Čech del espacio topológico X es un espacio de Hausdorff compacto βX junto con una función continua i _X  : X → βX que tiene la siguiente propiedad universal : cualquier función continua f  : X → K , donde K es un espacio de Hausdorff compacto, se extiende únicamente a una función continua βf  : βX → K , es decir ( βf ) i _X = f . ^[4]

La propiedad universal de la compactificación de Stone-Cech expresada en forma de diagrama.

Como es habitual en las propiedades universales, esta propiedad universal caracteriza a βX hasta el homeomorfismo .

Como se describe en § Construcciones, a continuación, se puede demostrar (utilizando el axioma de elección) que tal compactificación de Stone–Čech i _X  : X → βX existe para cada espacio topológico X . Además, la imagen i _X ( X ) es densa en βX .

Algunos autores añaden el supuesto de que el espacio inicial X sea Tichonoff (o incluso Hausdorff localmente compacto ), por las siguientes razones:

• La función de X en su imagen en βX es un homeomorfismo si y sólo si X es Tichonoff.
• La función de X a su imagen en βX es un homeomorfismo a un subespacio abierto si y sólo si X es Hausdorff localmente compacto.

La construcción de Stone-Čech se puede realizar para espacios más generales X , pero en ese caso la función X → βX no necesita ser un homeomorfismo a la imagen de X (y a veces ni siquiera es inyectiva).

Como es habitual en construcciones universales como esta, la propiedad de extensión hace de β un funtor de Top (la categoría de espacios topológicos ) a CHaus (la categoría de espacios compactos de Hausdorff). Además, si dejamos que U sea el funtor de inclusión de CHaus en Top , las funciones de βX en K (para K en CHaus ) corresponden biyectivamente a funciones de X en UK (considerando su restricción a X y usando la propiedad universal de βX ). es decir

Hom( βX , K ) ≅ Hom( X , Reino Unido ),

lo que significa que β es adjunto izquierdo a U . Esto implica que CHaus es una subcategoría reflexiva de Top con reflector β .

Ejemplos

Si X es un espacio de Hausdorff compacto, entonces coincide con su compactificación de Stone-Čech. ^[5]

La compactificación de Stone–Čech del primer ordinal incontable , con la topología de orden , es el ordinal . La compactificación de Stone–Čech de la tabla de Tichonoff eliminada es la tabla de Tichonoff. ^[6] ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}+1}$

Construcciones

Construcción utilizando productos

Un intento de construir la compactificación de Stone-Čech de X es tomar el cierre de la imagen de X en

${\displaystyle \prod \nolimits _{f:X\to K}K}$

donde el producto es sobre todos los mapas de X a espacios de Hausdorff compactos K (o, equivalentemente, la imagen de X por la extensión Kan derecha del funtor identidad de la categoría CHaus de espacios de Hausdorff compactos a lo largo del funtor de inclusión de CHaus en la categoría Top de espacios topológicos generales). Por el teorema de Tichonoff este producto de espacios compactos es compacto, y la clausura de X en este espacio es por lo tanto también compacta. Esto funciona intuitivamente pero falla por la razón técnica de que la colección de todos esos mapas es una clase propia en lugar de un conjunto. Hay varias formas de modificar esta idea para que funcione; por ejemplo, uno puede restringir los espacios de Hausdorff compactos K para que tengan un conjunto subyacente P ( P ( X )) (el conjunto potencia del conjunto potencia de X ), que es suficientemente grande como para tener cardinalidad al menos igual a la de cada espacio de Hausdorff compacto al que X puede mapearse con imagen densa.

Construcción utilizando el intervalo unitario

Una forma de construir βX es dejar que C sea el conjunto de todas las funciones continuas desde X hasta [0, 1] y considerar la función donde ${\displaystyle e:X\to [0,1]^{C}}$

${\displaystyle e(x):f\mapsto f(x)}$

Esto puede verse como una función continua sobre su imagen, si a [0, 1] ^C se le da la topología de producto . Por el teorema de Tichonoff tenemos que [0, 1] ^C es compacto ya que [0, 1] lo es. En consecuencia, la clausura de X en [0, 1] ^C es una compactificación de X .

De hecho, este cierre es la compactificación de Stone–Čech. Para verificar esto, solo necesitamos verificar que el cierre satisface la propiedad universal apropiada. Hacemos esto primero para K = [0, 1], donde la extensión deseada de f  : X → [0, 1] es solo la proyección sobre la coordenada f en [0, 1] ^C . Para luego obtener esto para Hausdorff K compacto general, usamos lo anterior para notar que K puede ser incrustado en algún cubo, extender cada una de las funciones de coordenadas y luego tomar el producto de estas extensiones.

La propiedad especial del intervalo unitario necesario para que funcione esta construcción es que es un cogenerador de la categoría de espacios de Hausdorff compactos: esto significa que si A y B son espacios de Hausdorff compactos, y f y g son funciones distintas de A a B , entonces existe una función h  : B → [0, 1] tal que hf y hg son distintas. En esta construcción se puede utilizar cualquier otro cogenerador (o conjunto cogenerador).

Construcción mediante ultrafiltros

Alternativamente, si es discreto , entonces es posible construir como el conjunto de todos los ultrafiltros en con los elementos de correspondientes a los ultrafiltros principales . La topología en el conjunto de ultrafiltros, conocida como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$La topología de piedra se genera mediante conjuntos de la formaparaun subconjunto de ${\displaystyle \{F:U\in F\}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$

Nuevamente verificamos la propiedad universal: Para con Hausdorff compacto y un ultrafiltro en tenemos una base de ultrafiltro en el empuje hacia adelante de Esto tiene un límite único porque es Hausdorff compacto, digamos y definimos Esto puede verificarse como una extensión continua de ${\displaystyle f:X\to K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(F)}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \beta f(F)=x.}$ ${\displaystyle f.}$

De manera equivalente, se puede tomar el espacio de Stone del álgebra de Boole completa de todos los subconjuntos de como la compactificación de Stone-Čech. Esta es realmente la misma construcción, ya que el espacio de Stone de esta álgebra de Boole es el conjunto de ultrafiltros (o equivalentemente ideales primos u homomorfismos del álgebra de Boole de 2 elementos) del álgebra de Boole, que es el mismo que el conjunto de ultrafiltros en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

La construcción se puede generalizar a espacios de Tichonoff arbitrarios utilizando filtros máximos de conjuntos cero en lugar de ultrafiltros. ^[7] (Los filtros de conjuntos cerrados son suficientes si el espacio es normal ).

Construcción utilizando C*-álgebras

La compactificación de Stone–Čech es naturalmente homeomorfa al espectro de C _b ( X ). ^[8] Aquí C _b ( X ) denota el C*-álgebra de todas las funciones complejas acotadas y continuas en X con sup-norma . Nótese que C _b ( X ) es canónicamente isomorfa al álgebra multiplicativa de C ₀ ( X ).

Compactificación de Stone-Čech de los números naturales

En el caso en que X es localmente compacto , p. ej. N o R , la imagen de X forma un subconjunto abierto de βX , o de hecho de cualquier compactificación (esta también es una condición necesaria, ya que un subconjunto abierto de un espacio de Hausdorff compacto es localmente compacto). En este caso, a menudo se estudia el resto del espacio, βX  \  X. Este es un subconjunto cerrado de βX y, por lo tanto, es compacto. Consideramos N con su topología discreta y escribimos β N  \  N = N * (pero esta no parece ser la notación estándar para X general ).

Como se explicó anteriormente, se puede considerar β N como el conjunto de ultrafiltros en N , con la topología generada por conjuntos de la forma para U un subconjunto de N . El conjunto N corresponde al conjunto de ultrafiltros principales , y el conjunto N * al conjunto de ultrafiltros libres . ${\displaystyle \{F:U\in F\}}$

El estudio de β N , y en particular de N *, es un área importante de la topología de la teoría de conjuntos moderna . Los principales resultados que lo motivan son los teoremas de Parovicenko , que caracterizan esencialmente su comportamiento bajo el supuesto de la hipótesis del continuo .

Estos establecen:

• Todo espacio de Hausdorff compacto de peso como máximo (ver número Aleph ) es la imagen continua de N * (esto no necesita la hipótesis del continuo, pero es menos interesante en su ausencia). ${\displaystyle \aleph _{1}}$
• Si se cumple la hipótesis del continuo, entonces N * es el único espacio de Parovicenko , salvo isomorfismo.

Estos se demostraron originalmente considerando álgebras de Boole y aplicando la dualidad de Stone .

Jan van Mill ha descrito a β N como un "monstruo de tres cabezas" —las tres cabezas son una cabeza sonriente y amistosa (el comportamiento bajo el supuesto de la hipótesis del continuo), la cabeza fea de la independencia que constantemente intenta confundirte (determinando qué comportamiento es posible en diferentes modelos de teoría de conjuntos), y la tercera cabeza es la más pequeña de todas (lo que puedes probar sobre ella en ZFC ). ^[9] Se ha observado relativamente recientemente que esta caracterización no es del todo correcta— de hecho hay una cuarta cabeza de β N , en la que los axiomas de forzamiento y los axiomas de tipo Ramsey dan propiedades de β N casi diametralmente opuestas a las de la hipótesis del continuo, dando muy pocos mapas de N * de hecho. Ejemplos de estos axiomas incluyen la combinación del axioma de Martin y el axioma de coloración abierta que, por ejemplo, prueban que ( N *) ² ≠ N *, mientras que la hipótesis del continuo implica lo opuesto.

Una aplicación: el espacio dual del espacio de sucesiones acotadas de números reales

La compactificación de Stone-Čech β N se puede utilizar para caracterizar (el espacio de Banach de todas las secuencias acotadas en el campo escalar R o C , con norma suprema ) y su espacio dual . ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$

Dada una sucesión acotada existe una bola cerrada B en el campo escalar que contiene la imagen de . es entonces una función de N a B . Como N es discreto y B es compacto y Hausdorff, a es continuo. Según la propiedad universal, existe una única extensión βa  : β N → B . Esta extensión no depende de la bola B que consideremos. ${\displaystyle a\in \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Hemos definido un mapa de extensión desde el espacio de secuencias escalares acotadas al espacio de funciones continuas sobre β N .

${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )\to C(\beta \mathbf {N} )}$

Este mapa es biyectivo ya que cada función en C ( β N ) debe estar acotada y luego puede restringirse a una secuencia escalar acotada.

Si consideramos además ambos espacios con la norma sup, la función de extensión se convierte en una isometría . De hecho, si en la construcción anterior tomamos la bola más pequeña posible B , vemos que la norma sup de la secuencia extendida no crece (aunque la imagen de la función extendida puede ser más grande).

Por lo tanto, se puede identificar con C ( β N ). Esto nos permite utilizar el teorema de representación de Riesz y encontrar que el espacio dual de se puede identificar con el espacio de medidas finitas de Borel en β N . ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbf {N} )}$

Finalmente, debe notarse que esta técnica se generaliza al espacio L ^{∞ de un} espacio de medida arbitrario X . Sin embargo, en lugar de simplemente considerar el espacio βX de ultrafiltros en X , la forma correcta de generalizar esta construcción es considerar el espacio de Stone Y del álgebra de medida de X : los espacios C ( Y ) y L ^∞ ( X ) son isomorfos como C*-álgebras siempre que X satisfaga una condición de finitud razonable (que cualquier conjunto de medida positiva contenga un subconjunto de medida positiva finita).

Operación monoide sobre la compactificación de Stone-Čech de los naturales

Los números naturales forman un monoide bajo la adición . Resulta que esta operación puede extenderse (generalmente de más de una manera, pero únicamente bajo una condición adicional) a β N , convirtiendo este espacio también en un monoide, aunque sorprendentemente no conmutativo.

Para cualquier subconjunto, A , de N y un entero positivo n en N , definimos

${\displaystyle A-n=\{k\in \mathbf {N} \mid k+n\in A\}.}$

Dados dos ultrafiltros F y G en N , definimos su suma por

${\displaystyle F+G={\Big \{}A\subseteq \mathbf {N} \mid \{n\in \mathbf {N} \mid A-n\in F\}\in G{\Big \}};}$

se puede comprobar que se trata de nuevo de un ultrafiltro, y que la operación + es asociativa (pero no conmutativa) sobre β N y extiende la adición sobre N ; 0 sirve como elemento neutro para la operación + sobre β N . La operación también es continua por la derecha, en el sentido de que para cada ultrafiltro F , la función

${\displaystyle {\begin{cases}\beta \mathbf {N} \to \beta \mathbf {N} \\G\mapsto F+G\end{cases}}}$

es continua

De manera más general, si S es un semigrupo con topología discreta, la operación de S puede extenderse a βS , obteniendo una operación asociativa continua por la derecha. ^[10]

Véase también

• Compactificación (matemáticas)  : Incorporación de un espacio topológico en un espacio compacto como un subconjunto denso
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Compactificación de un punto  : una forma de extender un espacio topológico no compactoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Compactificación de Wallman  : compactificación de espacios topológicos T ₁

Notas

1. M. Henriksen, "Anillos de funciones continuas en la década de 1950", en Handbook of the History of General Topology , editado por CE Aull, R. Lowen, Springer Science & Business Media, 2013, pág. 246
2. Narici y Beckenstein 2011, pág. 240.
3. Narici y Beckenstein 2011, págs. 225-273.
4. Munkres 2000, págs. 239, Teorema 38.4.
5. Munkres 2000, págs. 241.
6. Walker, RC (1974). La compactificación de Stone-Čech. Springer. pp. 95–97. ISBN 978-3-642-61935-9.
7. WW Comfort, S. Negrepontis, La teoría de los ultrafiltros , Springer, 1974.
8. Esta es la construcción original de Stone.
9. van Mill, Jan (1984), "Una introducción a βω", en Kunen, Kenneth; Vaughan, Jerry E. (eds.), Handbook of Set-Theoretic Topology , Holanda Septentrional, págs. 503–560, ISBN 978-0-444-86580-9
10. Hindman, Neil; Strauss, Dona (21 de enero de 2011). Álgebra en la compactificación de Stone-Cech . Berlín, Boston: DE GRUYTER. doi :10.1515/9783110258356. ISBN 978-3-11-025835-6.

Referencias

• Čech, Eduard (1937), "Sobre espacios bicompactos", Anales de Matemáticas , 38 (4): 823–844, doi :10.2307/1968839, hdl : 10338.dmlcz/100420 , JSTOR  1968839
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988). Operadores lineales , vol. I: teoría general (edición Wiley Classics). John Wiley & Sons. pág. 276.
• Hindman, Neil ; Strauss, Dona (1998), Álgebra en la compactificación de Stone–Cech. Teoría y aplicaciones , de Gruyter Expositions in Mathematics, vol. 27 (2.ª edición revisada y ampliada de 2012), Berlín: Walter de Gruyter & Co., pp. xiv+485 pp, doi :10.1515/9783110809220, ISBN 978-3-11-015420-7, Sr.  1642231
• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .
• Koshevnikova, IG (2001) [1994], "Compactificación de Stone-Čech", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Shields, Allen (1987), "Hace años", Mathematical Intelligencer , 9 (2): 61–63, doi :10.1007/BF03025901, S2CID  189886579
• Stone, Marshall H. (1937), "Aplicaciones de la teoría de anillos booleanos a la topología general", Transactions of the American Mathematical Society , 41 (3): 375–481, doi : 10.2307/1989788 , JSTOR  1989788
• Tychonoff, Andrey (1930), "Über die topologische Erweiterung von Räumen", Mathematische Annalen , 102 : 544–561, doi :10.1007/BF01782364, ISSN  0025-5831, S2CID  124737286

Enlaces externos

• Compactación de Stone-Čech en Planet Math
• Dror Bar-Natan, ultrafiltros, compacidad y compactación de Stone-Čech