número alef

número cardinal infinito

Aleph-nada, aleph-cero o aleph-null, el número cardinal infinito más pequeño

En matemáticas , particularmente en teoría de conjuntos , los números aleph son una secuencia de números utilizados para representar la cardinalidad (o tamaño) de conjuntos infinitos que pueden estar bien ordenados . Fueron introducidos por el matemático Georg Cantor ^[1] y reciben su nombre del símbolo que utilizó para designarlos, la letra hebrea aleph ( ). ^{[2] [un]} ${\displaystyle \,\aleph \,}$

La cardinalidad de los números naturales es (léase aleph-cero o aleph-cero ; a veces también se utiliza el término aleph-null ), la siguiente cardinalidad más grande de un conjunto bien ordenado es aleph-uno, luego y así sucesivamente. Siguiendo de esta manera, es posible definir un número cardinal para cada número ordinal como se describe a continuación. ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{1}\;,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{2}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{\alpha }\,}$ ${\displaystyle \,\alpha \;,}$

El concepto y la notación se deben a Georg Cantor , ^[5] quien definió la noción de cardinalidad y se dio cuenta de que conjuntos infinitos pueden tener diferentes cardinalidades .

Los números aleph se diferencian del infinito ( ) que se encuentra comúnmente en álgebra y cálculo, en que los alephs miden los tamaños de conjuntos, mientras que el infinito se define comúnmente como un límite extremo de la recta numérica real (aplicado a una función o secuencia que " diverge hasta el infinito" o "aumenta sin límite"), o como un punto extremo de la recta numérica real extendida . ${\displaystyle \,\infty \,}$

Aleph-cero

${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$(aleph-cero, también aleph-nada o aleph-nulo) es la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales, y es un cardinal infinito . El conjunto de todos los ordinales finitos , llamado o (donde está la letra griega minúscula omega ), tiene cardinalidad . Un conjunto tiene cardinalidad si y sólo si es contablemente infinito , es decir, existe una biyección (correspondencia uno a uno) entre él y los números naturales. Ejemplos de tales conjuntos son ${\displaystyle \,\omega \,}$ ${\displaystyle \,\omega _{0}\,}$ ${\displaystyle \,\omega \,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$

• el conjunto de todos los números enteros ,
• cualquier subconjunto infinito de números enteros, como el conjunto de todos los números cuadrados o el conjunto de todos los números primos ,
• el conjunto de todos los números racionales ,
• el conjunto de todos los números construibles (en el sentido geométrico),
• el conjunto de todos los números algebraicos ,
• el conjunto de todos los números computables ,
• el conjunto de todas las funciones computables ,
• el conjunto de todas las cadenas binarias de longitud finita, y
• el conjunto de todos los subconjuntos finitos de cualquier conjunto contablemente infinito.

Estos infinitos ordinales: y se encuentran entre los conjuntos contablemente infinitos. ^[6] Por ejemplo, la secuencia (con ordinalidad ) de todos los números enteros positivos impares seguida de todos los números enteros positivos pares ${\displaystyle \,\omega \;,}$ ${\displaystyle \,\omega +1\;,}$ ${\displaystyle \,\omega \,\cdot 2\,,\,}$ ${\displaystyle \,\omega ^{2}\,,}$ ${\displaystyle \,\omega ^{\omega }\,}$ ${\displaystyle \,\varepsilon _{0}\,}$ ${\displaystyle \,\omega \,\cdot 2\,}$

${\displaystyle \,\{\,1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10,...\,\}\,}$

es un ordenamiento del conjunto (con cardinalidad ) de números enteros positivos. ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Si se cumple el axioma de elección contable (una versión más débil del axioma de elección ), entonces es más pequeño que cualquier otro cardinal infinito. ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$

Aleph-uno

${\displaystyle \,\aleph _{1}\,}$es la cardinalidad del conjunto de todos los números ordinales contables , llamados o en ocasiones . Éste es en sí mismo un número ordinal mayor que todos los contables, por lo que es un conjunto incontable . Por tanto, es distinto de . La definición de implica (en ZF, teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección) que ningún número cardinal está entre y . Si se utiliza el axioma de elección , se puede demostrar además que la clase de números cardinales está totalmente ordenada y, por tanto, es el segundo número cardinal infinito más pequeño. Se puede mostrar una de las propiedades más útiles del conjunto : cualquier subconjunto contable de tiene un límite superior (esto se desprende del hecho de que la unión de un número contable de conjuntos contables es en sí misma contable). Este hecho es análogo a la situación en  : todo conjunto finito de números naturales tiene un máximo que también es un número natural, y las uniones finitas de conjuntos finitos son finitas. ${\displaystyle \,\omega _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\Omega \,}$ ${\displaystyle \,\omega _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\omega _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\omega _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\omega _{1}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}\;}$

${\displaystyle \,\omega _{1}~}$es en realidad un concepto útil, aunque suene algo exótico. Una aplicación de ejemplo es el "cierre" con respecto a operaciones contables; por ejemplo, intentar describir explícitamente el σ-álgebra generada por una colección arbitraria de subconjuntos (ver, por ejemplo, jerarquía de Borel ). Esto es más difícil que la mayoría de las descripciones explícitas de "generación" en álgebra ( espacios vectoriales , grupos , etc.) porque en esos casos sólo tenemos que cerrar con respecto a operaciones finitas: sumas, productos y similares. El proceso implica definir, para cada ordinal contable, mediante inducción transfinita , un conjunto "incorporando" todas las uniones y complementos contables posibles, y tomando la unión de todo eso sobre todo de . ${\displaystyle \,\omega _{1}}$

Hipótesis del continuo

La cardinalidad del conjunto de números reales ( cardinalidad del continuo ) no se puede determinar a partir de ZFC ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel aumentada con el axioma de elección ) donde este número encaja exactamente en la jerarquía de números aleph, pero se sigue de ZFC que la hipótesis del continuo, CH , es equivalente a la identidad ${\displaystyle \,2^{\aleph _{0}}~.}$

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$^[7]

El CH afirma que no existe ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los números enteros y los reales. ^[8] CH es independiente de ZFC : no puede ser probado ni refutado dentro del contexto de ese sistema de axiomas (siempre que ZFC sea consistente ). Que CH es consistente con ZFC fue demostrado por Kurt Gödel en 1940, cuando demostró que su negación no es un teorema de ZFC . Paul Cohen demostró que es independiente de ZFC en 1963, cuando demostró a la inversa que el CH en sí no es un teorema de ZFC , mediante el (entonces novedoso) método de forzar . ^{[7] [9]}

Aleph-omega

Aleph-omega es

${\displaystyle \aleph _{\omega }=\sup \,\{\,\aleph _{n}:n\in \omega \}=\sup \,\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\}~}$

donde el ordinal infinito más pequeño se denota ω . Es decir, el número cardinal es el límite superior mínimo de ${\displaystyle \,\aleph _{\omega }\,}$

${\displaystyle \left\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\right\}~.}$

${\displaystyle \,\aleph _{\omega }}$es el primer número cardinal incontable que se puede demostrar dentro de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que no es igual a la cardinalidad del conjunto de todos los números reales ; para cualquier entero positivo n podemos asumir consistentemente que y además es posible asumir que es tan grande como queramos. Sólo nos vemos obligados a evitar establecerlo en ciertos cardinales especiales con cofinalidad , lo que significa que hay una función ilimitada desde él (ver el teorema de Easton ). ${\displaystyle \,2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}~,}$ ${\displaystyle \,2^{\aleph _{0}}\,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}~,}$ ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$

Aleph-α para α general

Para definir un número ordinal arbitrario debemos definir la operación cardinal sucesora , que asigna a cualquier número cardinal el siguiente cardinal bien ordenado más grande (si se cumple el axioma de elección , este es el siguiente cardinal más grande). ${\displaystyle \,\aleph _{\alpha }\,}$ ${\displaystyle \,\alpha ~,}$ ${\displaystyle \,\rho \,}$ ${\displaystyle \,\rho ^{+}\,}$

Entonces podemos definir los números aleph de la siguiente manera:

${\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}~}$

y para λ , un ordinal límite infinito ,

${\displaystyle \aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }~.}$

Se escribe el α-ésimo ordinal inicial infinito . Su cardinalidad está escrita ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \,\aleph _{\alpha }~.}$

Informalmente, la función aleph es una biyección de los ordinales a los cardinales infinitos. Formalmente, en ZFC , no es una función , ya que no es un conjunto (debido a la paradoja de Burali-Forti ). ${\displaystyle \,\aleph \,}$ ${\displaystyle \,\aleph \,}$

Puntos fijos de omega

Para cualquier ordinal α tenemos

${\displaystyle \alpha \leq \omega _{\alpha }~.}$

En muchos casos es estrictamente mayor que α . Por ejemplo, para cualquier sucesor ordinal α esto es válido. Sin embargo, existen algunos ordinales límite que son puntos fijos de la función omega, debido al lema de punto fijo para funciones normales . El primero de ellos es el límite de la secuencia. ${\displaystyle \omega _{\alpha }}$

${\displaystyle \omega ,\,\omega _{\omega },\,\omega _{\omega _{\omega }},\,\ldots ~.}$

Cualquier cardinal débilmente inaccesible es también un punto fijo de la función aleph. ^[10] Esto se puede mostrar en ZFC de la siguiente manera. Supongamos que es un cardenal débilmente inaccesible. Si fuera un sucesor ordinal , entonces sería un sucesor cardenal y, por tanto, no débilmente inaccesible. Si un límite ordinal fuera menor que entonces su cofinalidad (y por lo tanto la cofinalidad de ) sería menor que y por lo tanto no sería regular y, por lo tanto, no sería débilmente inaccesible. Así y en consecuencia lo que lo convierte en un punto fijo. ${\displaystyle \,\kappa =\aleph _{\lambda }\,}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \,\aleph _{\lambda }\,}$ ${\displaystyle \,\lambda \,}$ ${\displaystyle \,\kappa ~,}$ ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$ ${\displaystyle \,\kappa \,}$ ${\displaystyle \,\kappa \,}$ ${\displaystyle \,\lambda \geq \kappa \,}$ ${\displaystyle \,\lambda =\kappa \,}$

Papel del axioma de elección

La cardinalidad de cualquier número ordinal infinito es un número aleph. Cada aleph es la cardinalidad de algún ordinal. El menor de ellos es su ordinal inicial . Cualquier conjunto cuya cardinalidad sea una aleph es equinumero con un ordinal y, por tanto, es bien ordenable .

Cada conjunto finito se puede ordenar bien, pero no tiene un aleph como cardinalidad.

La suposición de que la cardinalidad de cada conjunto infinito es un número aleph equivale sobre ZF a la existencia de un buen ordenamiento de cada conjunto, lo que a su vez equivale al axioma de elección . La teoría de conjuntos ZFC, que incluye el axioma de elección, implica que cada conjunto infinito tiene un número aleph como cardinalidad (es decir, es equinumero con su ordinal inicial) y, por lo tanto, los ordinales iniciales de los números aleph sirven como una clase de representantes para todos posibles infinitos números cardinales.

Cuando se estudia la cardinalidad en ZF sin el axioma de elección, ya no es posible demostrar que cada conjunto infinito tiene algún número aleph como cardinalidad; los conjuntos cuya cardinalidad es un número aleph son exactamente los conjuntos infinitos que pueden estar bien ordenados. El método del truco de Scott se utiliza a veces como una forma alternativa de construir representantes de números cardinales en el contexto de ZF. Por ejemplo, se puede definir card( S ) como el conjunto de conjuntos con la misma cardinalidad que S de rango mínimo posible. Esto tiene la propiedad de que card( S ) = card( T ) si y sólo si S y T tienen la misma cardinalidad. (La carta del conjunto ( S ) no tiene la misma cardinalidad de S en general, pero todos sus elementos sí la tienen.)

Ver también

• número de beth
• función gimel
• Cardenal regular
• número transfinito
• Número ordinal

Notas

1. En libros de matemáticas más antiguos, la letra aleph a menudo se imprime al revés por accidente; por ejemplo, en Sierpiński (1958) ^{[3] : 402} la letra aleph aparece tanto hacia arriba como al revés, en parte porque una matriz monotipo para aleph se construyó por error al revés. ^[4]

Citas

1. "Aleph". Enciclopedia de Matemáticas .
2. Weisstein, Eric W. "Aleph". mathworld.wolfram.com . Consultado el 12 de agosto de 2020 .
3. Sierpiński, Wacław (1958). Números cardinales y ordinales . Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne. vol. 34. Varsovia, PL: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. SEÑOR  0095787.
4. Swanson, Elena; O'Sean, Arlene Ann; Schleyer, Antonieta Tingley (1999) [1979]. Matemáticas en tipografía: edición y corrección de textos de matemáticas para asistentes editoriales y autores (edición actualizada). Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas . pag. 16.ISBN _ 0-8218-0053-1. SEÑOR  0553111.
5. Molinero, Jeff. "Primeros usos de los símbolos de la teoría y la lógica de conjuntos". jeff560.tripod.com . Consultado el 5 de mayo de 2016 ;quien cita a Dauben, Joseph Warren (1990). Georg Cantor: Sus matemáticas y filosofía del infinito . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 9780691024479. Sus nuevos números merecían algo único. ... No deseando inventar un nuevo símbolo él mismo, eligió el aleph, la primera letra del alfabeto hebreo... el aleph podría considerarse como un símbolo de nuevos comienzos...
6. Jech, Thomas (2003). Teoría de conjuntos . Monografías de Springer en Matemáticas. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag .
7. Szudzik, Mattew (31 de julio de 2018). "Hipótesis del continuo". Wolfram MathWorld . Recursos web de Wolfram . Consultado el 15 de agosto de 2018 .
8. Weisstein, Eric W. "Hipótesis del continuo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 12 de agosto de 2020 .
9. Chow, Timothy Y. (2007). "Una guía para principiantes sobre el forzamiento". arXiv : 0712.1320 [matemáticas.LO].
10. Harris, Kenneth A. (6 de abril de 2009). "Conferencia 31" (PDF) . Departamento de Matemáticas. kaharris.org . Introducción a la teoría de conjuntos. Universidad de Michigan . Matemáticas 582. Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 1 de septiembre de 2012 .

enlaces externos

• "Aleph-zero", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Aleph-0". MundoMatemático .