En la filosofía de las matemáticas , el logicismo es un programa que comprende una o más de las tesis de que, para algún significado coherente de " lógica ", las matemáticas son una extensión de la lógica, algunas o todas las matemáticas son reducibles a la lógica, o algunas o todas las matemáticas pueden ser modeladas en la lógica. [1] Bertrand Russell y Alfred North Whitehead defendieron este programa, iniciado por Gottlob Frege y posteriormente desarrollado por Richard Dedekind y Giuseppe Peano .
El camino de Dedekind hacia el logicismo tuvo un punto de inflexión cuando fue capaz de construir un modelo que satisfacía los axiomas que caracterizaban a los números reales utilizando ciertos conjuntos de números racionales . Esta y otras ideas relacionadas lo convencieron de que la aritmética , el álgebra y el análisis eran reducibles a los números naturales más una "lógica" de clases. Además, en 1872 había llegado a la conclusión de que los propios números naturales eran reducibles a conjuntos y aplicaciones . Es probable que otros logicistas, sobre todo Frege, también se guiaran por las nuevas teorías de los números reales publicadas en el año 1872.
El impulso filosófico detrás del programa logicista de Frege desde los Grundlagen der Arithmetik en adelante fue en parte su insatisfacción con los compromisos epistemológicos y ontológicos de las explicaciones entonces existentes sobre los números naturales, y su convicción de que el uso que Kant hacía de las verdades sobre los números naturales como ejemplos de verdad sintética a priori era incorrecto.
Esto dio inicio a un período de expansión del logicismo, con Dedekind y Frege como sus principales exponentes. Sin embargo, esta fase inicial del programa logicista entró en crisis con el descubrimiento de las paradojas clásicas de la teoría de conjuntos ( Cantor, 1896; Zermelo y Russell, 1900-1901). Frege abandonó el proyecto después de que Russell reconociera y comunicara su paradoja, que identificaba una inconsistencia en el sistema de Frege establecido en los Grundgesetze der Arithmetik. Nótese que la teoría de conjuntos ingenua también sufre de esta dificultad.
Por otra parte, Russell escribió Principios de las matemáticas en 1903 utilizando la paradoja y los desarrollos de la escuela de geometría de Giuseppe Peano . Dado que trató el tema de las nociones primitivas en geometría y teoría de conjuntos, así como el cálculo de relaciones , este texto es un parteaguas en el desarrollo del logicismo. La evidencia de la afirmación del logicismo fue recogida por Russell y Whitehead en sus Principia Mathematica . [2]
En la actualidad, se cree que la mayor parte de las matemáticas existentes se pueden derivar lógicamente de un pequeño número de axiomas extralógicos, como los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (o su extensión ZFC ), de los que hasta ahora no se han derivado inconsistencias. Así, los elementos de los programas logicistas han demostrado ser viables, pero en el proceso las teorías de clases, conjuntos y aplicaciones, y las lógicas de orden superior que no tienen semántica de Henkin han llegado a considerarse de naturaleza extralógica, en parte bajo la influencia del pensamiento posterior de Quine .
Los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel muestran que ningún sistema formal del que se puedan derivar los axiomas de Peano para los números naturales –como los sistemas de Russell en PM– puede decidir todas las oraciones bien formadas de ese sistema. [3] Este resultado dañó el programa de David Hilbert para los fundamentos de las matemáticas por el cual las teorías «infinitarias» –como la de PM– debían demostrarse consistentes a partir de teorías finitarias, con el objetivo de que aquellos que se sentían incómodos con los «métodos infinitesimales» pudieran estar seguros de que su uso no debería resultar demostrablemente en la derivación de una contradicción . El resultado de Gödel sugiere que para mantener una posición logicista, al tiempo que se retiene lo más posible de las matemáticas clásicas, uno debe aceptar algún axioma de infinito como parte de la lógica. A primera vista, esto también daña el programa logicista, aunque solo para aquellos que ya dudan sobre los «métodos infinitesimales». Sin embargo, desde la publicación del resultado de Gödel se han seguido planteando posiciones derivadas tanto del logicismo como del finitismo hilbertiano.
Un argumento a favor de que los programas derivados del logicismo siguen siendo válidos podría ser que los teoremas de incompletitud se « prueban con lógica como cualquier otro teorema ». Sin embargo, ese argumento parece no reconocer la distinción entre teoremas de lógica de primer orden y teoremas de lógica de orden superior . Los primeros se pueden demostrar utilizando métodos finísticos, mientras que los segundos, en general, no. El teorema de indefinibilidad de Tarski muestra que la numeración de Gödel se puede utilizar para demostrar construcciones sintácticas , pero no afirmaciones semánticas . Por lo tanto, la afirmación de que el logicismo sigue siendo un programa válido puede comprometer a uno a sostener que un sistema de prueba basado en la existencia y las propiedades de los números naturales es menos convincente que uno basado en algún sistema formal particular. [4]
El logicismo –especialmente a través de la influencia de Frege en Russell y Wittgenstein [5] y más tarde en Dummett– fue un contribuyente significativo al desarrollo de la filosofía analítica durante el siglo XX.
Ivor Grattan-Guinness afirma que la palabra francesa "Logistique" fue "introducida por Couturat y otros en el Congreso Internacional de Filosofía de 1904 , y fue utilizada por Russell y otros desde entonces, en versiones apropiadas para varios idiomas" (GG 2000:501).
Al parecer, el primer (y único) uso por parte de Russell apareció en su ensayo de 1919: "Russell se refirió varias veces a Frege, presentándolo como uno de los 'que primero logró 'logicizar' las matemáticas' (p. 7). Aparte de la tergiversación (que Russell rectificó en parte al explicar su propia visión del papel de la aritmética en las matemáticas), el pasaje es notable por la palabra que puso entre comillas, pero su presencia sugiere nerviosismo, y nunca volvió a usar la palabra, de modo que el 'logicismo' no surgió hasta finales de la década de 1920" (GG 2002:434). [6]
Casi al mismo tiempo que Rudolf Carnap (1929), pero aparentemente de manera independiente, Fraenkel (1928) utilizó la palabra: "Sin comentarios utilizó el nombre 'logicismo' para caracterizar la posición de Whitehead/Russell (en el título de la sección en la p. 244, explicación en la p. 263)" (GG 2002:269). Carnap utilizó una palabra ligeramente diferente, 'Logistik'; Behmann se quejó de su uso en el manuscrito de Carnap, por lo que Carnap propuso la palabra 'Logizismus', pero finalmente se mantuvo fiel a su elección de palabras, 'Logistik' (GG 2002:501). En última instancia, "la difusión se debió principalmente a Carnap, a partir de 1930" (GG 2000:502).
La intención manifiesta del logicismo es derivar todas las matemáticas de la lógica simbólica (Frege, Dedekind, Peano, Russell). En contraste con la lógica algebraica ( lógica booleana ) que emplea conceptos aritméticos, la lógica simbólica comienza con un conjunto muy reducido de marcas (símbolos no aritméticos), unos pocos axiomas "lógicos" que encarnan las "leyes del pensamiento" y reglas de inferencia que dictan cómo se deben ensamblar y manipular las marcas; por ejemplo, la sustitución y el modus ponens (es decir, de [1] A implica materialmente B y [2] A , se puede derivar B ). El logicismo también adopta del trabajo de base de Frege la reducción de los enunciados del lenguaje natural de "sujeto|predicado" a "átomos" proposicionales o al "argumento|función" de "generalización": las nociones " todo ", " algunos ", "clase" (colección, agregado) y "relación".
En una derivación logicista de los números naturales y sus propiedades, ninguna "intuición" de los números debería "meterse a escondidas" ni como axioma ni por accidente. El objetivo es derivar toda la matemática, empezando por los números contables y luego los números reales, a partir de unas "leyes del pensamiento" elegidas únicamente, sin ninguna suposición tácita de "antes" y "después" o "menos" y "más" o, en concreto: "sucesor" y "predecesor". Gödel 1944 resumió las "construcciones" logicistas de Russell, en comparación con las "construcciones" de los sistemas fundacionales del intuicionismo y el formalismo ("la Escuela de Hilbert") de la siguiente manera: "Ambas escuelas basan sus construcciones en una intuición matemática cuya evitación es exactamente uno de los principales objetivos del constructivismo de Russell " (Gödel 1944 en Collected Works 1990:119).
Gödel 1944 resumió el contexto histórico desde Leibniz en Characteristica universalis , pasando por Frege y Peano hasta Russell: "Frege estaba principalmente interesado en el análisis del pensamiento y utilizó su cálculo en primer lugar para derivar la aritmética de la lógica pura", mientras que Peano "estaba más interesado en sus aplicaciones dentro de las matemáticas". Pero "fue sólo en Principia Mathematica [de Russell] donde se hizo pleno uso del nuevo método para derivar realmente grandes partes de las matemáticas a partir de unos pocos conceptos lógicos y axiomas. Además, la joven ciencia se enriqueció con un nuevo instrumento, la teoría abstracta de las relaciones" (p. 120-121).
Kleene 1952 lo expresa de esta manera: "Leibniz (1666) concibió por primera vez la lógica como una ciencia que contiene las ideas y principios subyacentes a todas las demás ciencias. Dedekind (1888) y Frege (1884, 1893, 1903) se dedicaron a definir nociones matemáticas en términos de nociones lógicas, y Peano (1889, 1894-1908) a expresar teoremas matemáticos en un simbolismo lógico" (p. 43); en el párrafo anterior incluye a Russell y Whitehead como ejemplos de la "escuela logicista", siendo las otras dos escuelas "fundacionales" la intuicionista y la "escuela formalista o axiomática" (p. 43).
Frege 1879 describe su intención en el prefacio a su Begriffsschrift de 1879 : Comenzó con una consideración de la aritmética: ¿derivaba de la "lógica" o de los "hechos de la experiencia"?
Dedekind 1887 describe su intención en el Prefacio de 1887 a la Primera Edición de su obra La naturaleza y el significado de los números . Creía que no se habían argumentado adecuadamente los "fundamentos de la ciencia más simple, es decir, la parte de la lógica que trata de la teoría de los números" - "nada que pueda probarse debe aceptarse sin pruebas":
Peano 1889 establece su intención en su prefacio a sus Principios de aritmética de 1889 :
Russell 1903 describe su intención en el prefacio de sus Principios de Matemáticas de 1903 :
Las epistemologías de Dedekind y de Frege parecen menos definidas que la de Russell, pero ambas parecen aceptar como a priori las "leyes del pensamiento" habituales concernientes a enunciados proposicionales simples (generalmente de creencias); estas leyes serían suficientes en sí mismas si se aumentaran con teoría de clases y relaciones (por ejemplo, x R y ) entre individuos x e y vinculados por la generalización R.
El argumento de Dedekind comienza con "1. En lo que sigue entiendo por cosa todo objeto de nuestro pensamiento"; nosotros los humanos usamos símbolos para hablar de estas "cosas" de nuestras mentes; "Una cosa está completamente determinada por todo lo que puede afirmarse o pensarse acerca de ella" (p. 44). En un párrafo posterior, Dedekind analiza qué es un "sistema S : es un agregado, una variedad, una totalidad de elementos asociados (cosas) a , b , c "; afirma que "tal sistema S ... como objeto de nuestro pensamiento es asimismo una cosa (1); está completamente determinado cuando con respecto a cada cosa se determina si es un elemento de S o no.*" (p. 45, cursiva añadida). El * indica una nota al pie donde afirma que:
De hecho, espera que Kronecker "publique sus razones sobre la necesidad o meramente la conveniencia de estas limitaciones" (p. 45).
Kronecker, famoso por su afirmación de que « Dios hizo los números enteros , todo lo demás es obra del hombre» [7], tenía sus enemigos, entre ellos Hilbert, quien llamó a Kronecker « dogmático , en la medida en que acepta el número entero con sus propiedades esenciales como dogma y no mira atrás» [8] y equiparó su postura constructivista extrema con la del intuicionismo de Brouwer , acusando a ambos de «subjetivismo»: «Es parte de la tarea de la ciencia liberarnos de la arbitrariedad, el sentimiento y el hábito y protegernos del subjetivismo que ya se hizo sentir en las opiniones de Kronecker y, me parece, encuentra su culminación en el intuicionismo». [9] Hilbert afirma entonces que «las matemáticas son una ciencia sin presuposiciones. Para fundarla no necesito a Dios, como lo hace Kronecker...» (p. 479).
El realismo de Russell le sirvió como antídoto al idealismo británico , [10] con porciones tomadas del racionalismo europeo y del empirismo británico . [11] Para empezar, "Russell era realista en dos cuestiones clave: los universales y los objetos materiales" (Russell 1912:xi). Para Russell, las mesas son cosas reales que existen independientemente de Russell, el observador. El racionalismo aportaría la noción de conocimiento a priori , [12] mientras que el empirismo aportaría el papel del conocimiento experiencial (inducción a partir de la experiencia). [13] Russell atribuiría a Kant la idea del conocimiento "a priori", pero ofrece una objeción a Kant que considera "fatal": "Los hechos [del mundo] siempre deben ajustarse a la lógica y la aritmética. Decir que la lógica y la aritmética son aportaciones nuestras no explica esto" (1912:87); Russell concluye que el conocimiento a priori que poseemos es "sobre cosas, y no meramente sobre pensamientos" (1912:89). Y en esto la epistemología de Russell parece diferente de la creencia de Dedekind de que "los números son creaciones libres de la mente humana" (Dedekind 1887:31) [14]
Pero su epistemología sobre lo innato (prefiere la palabra a priori cuando se aplica a principios lógicos, cf. 1912:74) es intrincada. Expresaría con firmeza e inequívoca su apoyo a los "universales" platónicos (cf. 1912:91-118) y concluiría que la verdad y la falsedad están "ahí afuera"; las mentes crean creencias y lo que hace que una creencia sea verdadera es un hecho, "y este hecho no involucra (excepto en casos excepcionales) la mente de la persona que tiene la creencia" (1912:130).
¿De dónde sacó Russell estas nociones epistémicas? Nos lo dice en el prefacio de su obra Principles of Mathematics (Principios de las matemáticas) de 1903. Nótese que afirma que la creencia: "Emily es un conejo" es inexistente, y sin embargo la verdad de esta proposición inexistente es independiente de cualquier mente que la conozca; si Emily es realmente un conejo, el hecho de esta verdad existe independientemente de que Russell o cualquier otra mente estén vivos o muertos, y la relación de Emily con la condición de conejo es "última":
En 1902, Russell descubrió un "círculo vicioso" ( la paradoja de Russell ) en los Grundgesetze der Arithmetik de Frege , derivado de la Ley Básica V de Frege, y estaba decidido a no repetirlo en sus Principios de Matemáticas de 1903. En dos apéndices añadidos en el último minuto, dedicó 28 páginas tanto a un análisis detallado de la teoría de Frege contrastada con la suya propia, como a una solución para la paradoja. Pero no era optimista sobre el resultado:
Gödel en su ensayo de 1944 estaría en desacuerdo con el joven Russell de 1903 ("[mis premisas] permiten que las matemáticas sean verdaderas") pero probablemente estaría de acuerdo con la declaración de Russell citada anteriormente ("algo anda mal"); la teoría de Russell no había logrado llegar a una base satisfactoria de las matemáticas: el resultado era "esencialmente negativo; es decir, las clases y conceptos introducidos de esta manera no tienen todas las propiedades requeridas para el uso de las matemáticas" (Gödel 1944:132).
¿Cómo llegó Russell a esta situación? Gödel observa que Russell es un "realista" sorprendente con un giro: cita la frase de Russell de 1919:169: "La lógica se ocupa del mundo real tan verdaderamente como la zoología" (Gödel 1944:120). Pero observa que "cuando se puso a analizar un problema concreto, los objetos a analizar (por ejemplo, las clases o proposiciones) pronto se convirtieron en su mayor parte en "ficciones lógicas"... [lo que significa] solamente que no tenemos una percepción directa de ellos" (Gödel 1944:120).
En una observación pertinente al tipo de logicismo de Russell, Perry señala que Russell pasó por tres fases de realismo: extremo, moderado y constructivo (Perry 1997:xxv). En 1903 estaba en su fase extrema; en 1905 estaría en su fase moderada. En pocos años "prescindiría de los objetos físicos o materiales como elementos básicos del mobiliario del mundo. Intentaría construirlos a partir de datos sensoriales" en su siguiente libro Nuestro conocimiento del mundo externo [1914]" (Perry 1997:xxvi).
Estas construcciones, en lo que Gödel 1944 llamaría " constructivismo nominalista ... que podría llamarse mejor ficcionalismo ", derivaban de la "idea más radical de Russell, la teoría de no clases" (p. 125):
Ver más en las secciones de Crítica, a continuación.
El logicismo de Frege y Dedekind es similar al de Russell, pero con diferencias en los detalles (ver Críticas, más abajo). En general, las derivaciones logicistas de los números naturales son diferentes de las derivaciones a partir de, por ejemplo, los axiomas de Zermelo para la teoría de conjuntos ('Z'). Mientras que, en las derivaciones a partir de Z, una definición de "número" utiliza un axioma de ese sistema -el axioma de emparejamiento- que conduce a la definición de " par ordenado " - no existe ningún axioma numérico manifiesto en los diversos sistemas axiomáticos logicistas que permitan la derivación de los números naturales. Nótese que los axiomas necesarios para derivar la definición de un número pueden diferir entre los sistemas axiomáticos para la teoría de conjuntos en cualquier caso. Por ejemplo, en ZF y ZFC, el axioma de emparejamiento, y por lo tanto en última instancia la noción de par ordenado, se puede derivar del axioma de infinito y del axioma de reemplazo y se requiere en la definición de los numerales de von Neumann (pero no de los numerales de Zermelo), mientras que en NFU los numerales de Frege se pueden derivar de manera análoga a su derivación en los Grundgesetze.
Los Principia , al igual que su precursor los Grundgesetze , comienzan su construcción de los números a partir de proposiciones primitivas como "clase", "función proposicional" y, en particular, relaciones de "similitud" (" equinumerosidad ": colocar los elementos de colecciones en correspondencia uno a uno) y "ordenación" (usando la relación "el sucesor de" para ordenar las colecciones de las clases equinumerosas)". [15] La derivación logicista equipara los números cardinales construidos de esta manera a los números naturales, y estos números terminan siendo todos del mismo "tipo" -como clases de clases- mientras que en algunas construcciones teóricas de conjuntos -por ejemplo, los numerales de von Neumann y Zermelo- cada número tiene su predecesor como un subconjunto . Kleene observa lo siguiente. (Los supuestos de Kleene (1) y (2) establecen que 0 tiene la propiedad P y n +1 tiene la propiedad P siempre que n tenga la propiedad P ).
La importancia que tiene para el programa logicista la construcción de los números naturales se deriva de la afirmación de Russell de que «el hecho de que toda la matemática pura tradicional pueda derivarse de los números naturales es un descubrimiento bastante reciente, aunque se había sospechado desde hacía mucho tiempo» (1919:4). Una derivación de los números reales se deriva de la teoría de los cortes de Dedekind sobre los números racionales, que a su vez se derivan de los naturales. Aunque un ejemplo de cómo se hace esto es útil, se basa primero en la derivación de los números naturales. Por lo tanto, si aparecen dificultades filosóficas en una derivación logicista de los números naturales, estos problemas deberían ser suficientes para detener el programa hasta que se resuelvan (ver Críticas, más adelante).
Bernays 1930–1931 resume un intento de construir los números naturales. [16] Pero en lugar de utilizar el resumen de Bernays, que es incompleto en algunos detalles, se presenta a continuación un intento de paráfrasis de la construcción de Russell, incorporando algunas ilustraciones finitas:
Para Russell, las colecciones (clases) son agregados de "cosas" especificadas por nombres propios, que surgen como resultado de proposiciones (afirmaciones de hecho sobre una cosa o cosas). Russell analizó esta noción general. Comienza con los "términos" en las oraciones, que analizó de la siguiente manera:
Para Russell, los "términos" son o bien "cosas" o bien "conceptos": "Lo que sea que pueda ser objeto de pensamiento, o que pueda aparecer en cualquier proposición verdadera o falsa, o que pueda contarse como uno, lo llamo término . Ésta es, pues, la palabra más amplia del vocabulario filosófico. Utilizaré como sinónimos de ella las palabras unidad, individuo y entidad. Las dos primeras enfatizan el hecho de que todo término es uno, mientras que la tercera se deriva del hecho de que todo término tiene ser, es decir, es en algún sentido. Un hombre, un momento, un número, una clase, una relación, una quimera o cualquier otra cosa que pueda mencionarse, es seguro que será un término; y negar que tal o cual cosa sea un término debe ser siempre falso" (Russell 1903:43).
"Entre los términos, es posible distinguir dos clases, que llamaré respectivamente cosas y conceptos ; los primeros son los términos indicados por nombres propios, los segundos los indicados por todas las demás palabras... Entre los conceptos, a su vez, deben distinguirse al menos dos clases, a saber, los indicados por adjetivos y los indicados por verbos" (1903:44).
"Los primeros se denominarán a menudo predicados o conceptos de clase; los segundos son siempre o casi siempre relaciones." (1903:44)
"Hablaré de los términos de una proposición como aquellos términos, por numerosos que sean, que aparecen en una proposición y pueden ser considerados como sujetos sobre los que trata la proposición. Es una característica de los términos de una proposición que cualquiera de ellos puede ser reemplazado por cualquier otra entidad sin que dejemos de tener una proposición. Así, diremos que "Sócrates es humano" es una proposición que tiene sólo un término; de los componentes restantes de la proposición, uno es el verbo, el otro es un predicado... Los predicados, entonces, son conceptos, distintos de los verbos, que aparecen en proposiciones que tienen sólo un término o sujeto." (1903:45)
Supongamos que alguien señalara un objeto y dijera: «Este objeto que tengo delante llamado 'Emily' es una mujer». Se trata de una proposición, una afirmación de la creencia del hablante, que debe ser puesta a prueba frente a los «hechos» del mundo exterior: «Las mentes no crean la verdad o la falsedad. Crean creencias... lo que hace que una creencia sea verdadera es un hecho , y este hecho no involucra (excepto en casos excepcionales) de ninguna manera a la mente de la persona que tiene la creencia» (1912:130). Si mediante la investigación del enunciado y la correspondencia con el «hecho», Russell descubre que Emily es un conejo, entonces su enunciado se considera «falso»; si Emily es una mujer humana (una mujer «bípeda sin plumas», como a Russell le gusta llamar a los humanos, siguiendo la anécdota de Diógenes Laërtius sobre Platón ), entonces su enunciado se considera «verdadero».
"La clase, a diferencia del concepto de clase, es la suma o conjunción de todos los términos que tienen el predicado dado" (1903, pág. 55). Las clases pueden especificarse por extensión (enumerando sus miembros) o por intensión, es decir, por una "función proposicional" como " x es u " o " x es v ". Pero "si tomamos la extensión pura, nuestra clase se define por la enumeración de sus términos, y este método no nos permitirá tratar, como lo hace la lógica simbólica, con clases infinitas. Por lo tanto, nuestras clases deben considerarse en general como objetos denotados por conceptos, y en esta medida el punto de vista de la intensión es esencial" (1909, pág. 66).
"La característica de un concepto de clase, a diferencia de los términos en general, es que " x es una u " es una función proposicional cuando, y sólo cuando, u es un concepto de clase". (1903:56)
"71. La clase puede definirse extensional o intencionalmente. Es decir, podemos definir el tipo de objeto que es una clase, o el tipo de concepto que denota una clase: éste es el significado preciso de la oposición entre extensión e intensión en este contexto. Pero aunque la noción general puede definirse de esta doble manera, las clases particulares, excepto cuando son finitas, sólo pueden definirse intencionalmente, es decir, como los objetos denotados por tales y tales conceptos... lógicamente; la definición extensional parece ser igualmente aplicable a clases infinitas, pero prácticamente, si lo intentáramos, la Muerte interrumpiría nuestro loable esfuerzo antes de que hubiera alcanzado su objetivo." (1903:69)
En los Prinicipia, los números naturales se derivan de todas las proposiciones que pueden afirmarse sobre cualquier conjunto de entidades. Russell lo deja claro en la segunda oración (en cursiva) que aparece a continuación.
Para ilustrar esto, considere el siguiente ejemplo finito: supongamos que hay 12 familias en una calle. Algunas tienen hijos, otras no. Para analizar los nombres de los niños en estos hogares se requieren 12 proposiciones que afirmen " nombredelniño es el nombre de un niño en la familia F n " aplicadas a esta colección de hogares en la calle particular de familias con nombres F1, F2, . . . F12. Cada una de las 12 proposiciones se refiere a si el "argumento" nombredelniño se aplica o no a un niño en un hogar particular. Los nombres de los niños ( nombredelniño ) pueden considerarse como la x en una función proposicional f ( x ), donde la función es "nombre de un niño en la familia con nombre F n ". [17] [ ¿Investigación original? ]
Mientras que el ejemplo precedente es finito sobre la función proposicional finita " nombres de los niños de la familia F n' " en la calle finita de un número finito de familias, Russell aparentemente pretendía que lo siguiente se extendiera a todas las funciones proposicionales que se extendieran sobre un dominio infinito para permitir la creación de todos los números.
Kleene considera que Russell ha establecido una definición impredicativa que tendrá que resolver, o correrá el riesgo de derivar algo parecido a la paradoja de Russell . “Aquí, en cambio, presuponemos la totalidad de todas las propiedades de los números cardinales, tal como existen en la lógica, antes de la definición de la secuencia de números naturales” (Kleene 1952:44). El problema aparecerá, incluso en el ejemplo finito presentado aquí, cuando Russell trate la clase unidad (cf. Russell 1903:517).
Se plantea la cuestión de qué es o debería ser exactamente una "clase" . Para Dedekind y Frege, una clase es una entidad distinta por derecho propio, una "unidad" que puede identificarse con todas aquellas entidades x que satisfacen alguna función proposicional F . (Este simbolismo aparece en Russell, atribuido allí a Frege: "La esencia de una función es lo que queda cuando se quita x , es decir, en el ejemplo anterior, 2( ) 3 + ( ). El argumento x no pertenece a la función, pero los dos juntos forman un todo (ib. p. 6 [es decir, Function und Begriff de Frege de 1891 ]" (Russell 1903:505).) Por ejemplo, a una "unidad" particular se le podría dar un nombre; supongamos que una familia Fα tiene hijos con los nombres Annie, Barbie y Charles:
Esta noción de colección o clase como objeto, cuando se utiliza sin restricción, da como resultado la paradoja de Russell ; véase más adelante sobre definiciones impredicativas . La solución de Russell fue definir la noción de una clase como solo aquellos elementos que satisfacen la proposición, siendo su argumento que, de hecho, los argumentos x no pertenecen a la función proposicional también conocida como "clase" creada por la función. La clase en sí no debe considerarse como un objeto unitario por derecho propio, existe solo como una especie de ficción útil: "Hemos evitado la decisión sobre si una clase de cosas tiene en algún sentido una existencia como un objeto. Una decisión sobre esta cuestión en cualquier sentido es indiferente a nuestra lógica" (Primera edición de Principia Mathematica 1927:24).
Russell sigue manteniendo esta opinión en su libro de 1919; observe las palabras "ficciones simbólicas": [ ¿ investigación original? ]
Y en la segunda edición de PM (1927) Russell sostiene que "las funciones sólo se dan a través de sus valores... todas las funciones de las funciones son extensionales... [y] en consecuencia no hay razón para distinguir entre funciones y clases... Así, las clases, en tanto que distintas de las funciones, pierden incluso ese ser vago que conservan en *20" (p. xxxix). En otras palabras, las clases como noción separada han desaparecido por completo.
Paso 2: Recopilar clases "similares" en "haces" : Estas colecciones anteriores se pueden poner en una "relación binaria" (comparando por) similitud por "equinumerosidad", simbolizada aquí por ≈ , es decir, correspondencia uno a uno de los elementos, [18] y de ese modo crear clases russellianas de clases o lo que Russell llamó "haces". "Podemos suponer todas las parejas en un haz, todos los tríos en otro, y así sucesivamente. De esta manera obtenemos varios haces de colecciones, cada haz consistente en todas las colecciones que tienen un cierto número de términos. Cada haz es una clase cuyos miembros son colecciones, es decir, clases; por lo tanto, cada uno es una clase de clases" (Russell 1919:14).
Paso 3: Defina la clase nula : Observe que una determinada clase de clases es especial porque sus clases no contienen elementos, es decir, ningún elemento satisface los predicados cuya afirmación definió esta clase/colección en particular.
La entidad resultante puede llamarse "la clase nula" o "la clase vacía". Russell simbolizó la clase nula/vacía con Λ. Entonces, ¿qué es exactamente la clase nula russelliana? En PM, Russell dice que "se dice que una clase existe cuando tiene al menos un miembro... la clase que no tiene miembros se llama "clase nula"... "α es la clase nula" es equivalente a "α no existe". Naturalmente, surge la pregunta de si la clase nula en sí misma "existe". Las dificultades relacionadas con esta pregunta aparecen en el trabajo de Russell de 1903. [19] Después de descubrir la paradoja en los Grundgesetze de Frege , agregó el Apéndice A a su obra de 1903, donde a través del análisis de la naturaleza de las clases nulas y unitarias, descubrió la necesidad de una "doctrina de tipos"; vea más sobre la clase unitaria, el problema de las definiciones impredicativas y el "principio del círculo vicioso" de Russell a continuación. [19]
Paso 4: Asignar un "número" a cada paquete : Para fines de abreviación e identificación, a cada paquete se le asigna un símbolo único (también conocido como "número"). Estos símbolos son arbitrarios.
Paso 5: Definir "0" Siguiendo a Frege, Russell eligió la clase de clases vacía o nula como la clase adecuada para cumplir esta función, siendo esta la clase de clases que no tiene miembros. Esta clase de clases nula puede etiquetarse como "0"
Paso 6: Definir la noción de "sucesor" : Russell definió una nueva característica "hereditaria" (cf. "ancestral" de Frege), una propiedad de ciertas clases con la capacidad de "heredar" una característica de otra clase (que puede ser una clase de clases), es decir, "Se dice que una propiedad es "hereditaria" en la serie de los números naturales si, siempre que pertenece a un número n , también pertenece a n + 1, el sucesor de n ". (1903:21). Afirma que "los números naturales son la posteridad - los "hijos", los herederos del "sucesor" - de 0 con respecto a la relación "el predecesor inmediato de (que es el inverso de "sucesor")" (1919:23).
Nótese que Russell ha usado aquí algunas palabras sin definición, en particular "serie numérica", "número n " y "sucesor". Las definirá a su debido tiempo. Obsérvese en particular que Russell no usa la clase unidad de clases "1" para construir el sucesor . La razón es que, en el análisis detallado de Russell, [20] si una clase unidad se convierte en una entidad por derecho propio, entonces también puede ser un elemento en su propia proposición; esto hace que la proposición se vuelva "impredicativa" y resulte en un "círculo vicioso". Más bien, afirma: "Vimos en el Capítulo II que un número cardinal debe definirse como una clase de clases, y en el Capítulo III que el número 1 debe definirse como la clase de todas las clases unidad, de todas las que tienen un solo miembro, como diríamos si no fuera por el círculo vicioso. Por supuesto, cuando el número 1 se define como la clase de todas las clases unidad, las clases unidad deben definirse de manera que no se asuma que sabemos lo que se quiere decir con uno" (1919:181).
Para su definición de sucesor, Russell utilizará para su "unidad" una sola entidad o "término" de la siguiente manera:
La definición de Russell requiere un nuevo "término" que se "agrega a" las colecciones dentro de los paquetes.
Paso 7: Construya el sucesor de la clase nula .
Paso 8: Para cada clase de clases equinumerosas, crea su sucesora .
Paso 9: Ordenar los números : El proceso de creación de un sucesor requiere la relación "... es el sucesor de...", que puede denotarse como " S ", entre los diversos "numerales". "Ahora debemos considerar el carácter serial de los números naturales en el orden 0, 1, 2, 3... Normalmente pensamos en los números como si estuvieran en este orden, y es una parte esencial del trabajo de análisis de nuestros datos buscar una definición de "orden" o "serie" en términos lógicos... El orden no reside en la clase de términos, sino en una relación entre los miembros de la clase, respecto de la cual algunos aparecen como anteriores y otros como posteriores". (1919:31)
Russell aplica a la noción de "relación de ordenamiento" tres criterios: primero, define la noción de asimetría , es decir, dada la relación tal como S ("... es el sucesor de...") entre dos términos x e y : x S y ≠ y S x . Segundo, define la noción de transitividad para tres numerales x , y y z : si x S y e y S z entonces x S z . En tercer lugar, define la noción de conexo : "Dados dos términos cualesquiera de la clase que se ha de ordenar, debe haber uno que preceda y el otro que siga... Una relación es conexa cuando, dados dos términos diferentes de su campo [tanto el dominio como el dominio inverso de una relación, por ejemplo, maridos versus esposas en la relación de casados] la relación se mantiene entre el primero y el segundo o entre el segundo y el primero (sin excluir la posibilidad de que ambos puedan suceder, aunque ambos no pueden suceder si la relación es asimétrica) (1919:32).
Concluye: "... se dice que el número [natural] m es menor que otro número n cuando n posee todas las propiedades hereditarias que posee el sucesor de m . Es fácil ver, y no difícil probar, que la relación "menor que", así definida, es asimétrica, transitiva y conexa, y tiene a los números [naturales] como su campo [es decir, tanto el dominio como el dominio inverso son los números]". (1919:35)
La presunción de una noción "extralógica" de iteración : Kleene señala que "la tesis logicista puede ser cuestionada finalmente sobre la base de que la lógica ya presupone ideas matemáticas en su formulación. En la visión intuicionista, un núcleo matemático esencial está contenido en la idea de iteración" (Kleene 1952:46)
Bernays 1930-1931 observa que esta noción de "dos cosas" ya presupone algo, incluso sin la afirmación de la existencia de dos cosas, y también sin referencia a un predicado, que se aplica a las dos cosas; significa, simplemente, "una cosa y una cosa más... Con respecto a esta definición simple, el concepto de Número resulta ser un concepto estructural elemental ... la afirmación de los logicistas de que las matemáticas son conocimiento puramente lógico resulta borrosa y engañosa tras una observación más atenta de la lógica teórica... [se puede ampliar la definición de "lógico"] sin embargo, a través de esta definición se oculta lo que es epistemológicamente esencial y se pasa por alto lo que es peculiar de las matemáticas" (en Mancosu 1998:243).
Hilbert 1931:266-7, como Bernays, considera que hay "algo extra-lógico" en las matemáticas: "Además de la experiencia y el pensamiento, hay una tercera fuente de conocimiento. Incluso si hoy ya no podemos estar de acuerdo con Kant en los detalles, sin embargo, la idea más general y fundamental de la epistemología kantiana conserva su significado: determinar el modo intuitivo a priori de pensamiento, y de ese modo investigar la condición de posibilidad de todo conocimiento. En mi opinión, esto es esencialmente lo que sucede en mis investigaciones de los principios de las matemáticas. El a priori no es aquí nada más y nada menos que un modo fundamental de pensamiento, que también llamo el modo finito de pensamiento: algo ya se nos da de antemano en nuestra facultad de representación: ciertos objetos concretos extra-lógicos que existen intuitivamente como una experiencia inmediata antes de todo pensamiento. Si la inferencia lógica ha de ser cierta, entonces estos objetos deben ser completamente examinables en todas sus partes, y su presentación, sus diferencias, su sucederse unos a otros o su estar dispuestos uno al lado del otro se nos da inmediata e intuitivamente, junto con la experiencia. con los objetos, como algo que no puede reducirse a nada más, ni necesita tal reducción." (Hilbert 1931 en Mancosu 1998: 266, 267).
En resumen, según Hilbert y Bernays, la noción de “secuencia” o “sucesor” es una noción a priori que está fuera de la lógica simbólica.
Hilbert descartó el logicismo como un "camino falso": "Algunos intentaron definir los números de manera puramente lógica; otros simplemente tomaron como evidentes los modos habituales de inferencia de la teoría de números . En ambos caminos encontraron obstáculos que resultaron insuperables" (Hilbert 1931 en Mancoso 1998:267). Se podría decir que los teoremas de incompletitud constituyen un obstáculo similar para el finitismo hilbertiano.
Mancosu afirma que Brouwer concluyó que: "las leyes o principios clásicos de la lógica son parte de [la] regularidad percibida [en la representación simbólica]; se derivan del registro post factum de construcciones matemáticas... La lógica teórica... [es] una ciencia empírica y una aplicación de las matemáticas" (Brouwer citado por Mancosu 1998:9).
Respecto a los aspectos técnicos del logicismo russelliano tal como aparece en Principia Mathematica (en ambas ediciones), Gödel en 1944 se mostró decepcionado:
En particular, señaló que "la cuestión es especialmente dudosa en lo que respecta a la regla de sustitución y de reemplazo de símbolos definidos por sus definiens " (Russell 1944:120).
En cuanto a la filosofía que podría sustentar estos fundamentos, Gödel consideró que la "teoría de la no-clase" de Russell encarnaba "un tipo de constructivismo nominalista... que podría llamarse mejor ficcionalismo" (cf. nota 1 en Gödel 1944:119) y que era defectuosa. Véase más en "Críticas y sugerencias de Gödel" más abajo.
Una complicada teoría de las relaciones siguió estrangulando la explicación de Russell en su Introducción a la filosofía matemática de 1919 y su segunda edición de los Principia de 1927. Mientras tanto, la teoría de conjuntos había avanzado con su reducción de la relación al par ordenado de conjuntos. Grattan-Guinness observa que en la segunda edición de los Principia Russell ignoró esta reducción que había logrado su propio alumno Norbert Wiener (1914). Quizás debido a una "molestia residual, Russell no reaccionó en absoluto". [21] En 1914, Hausdorff proporcionaría otra definición equivalente, y Kuratowski en 1921 proporcionaría la que se utiliza hoy en día . [22]
Supongamos que una bibliotecaria quiere indexar su colección en un solo libro (llamémoslo Ι por "índice"). Su índice enumerará todos los libros y sus ubicaciones en la biblioteca. Resulta que solo hay tres libros, y estos tienen títulos Ά, β y Γ. Para formar su índice I, sale y compra un libro de 200 páginas en blanco y lo etiqueta "I". Ahora tiene cuatro libros: I, Ά, β y Γ. Su tarea no es difícil. Cuando termina, el contenido de su índice I son 4 páginas, cada una con un título único y una ubicación única (cada entrada abreviada como Título.Ubicación T ):
Poincaré consideró que este tipo de definición de I era " impredicativa ". Parece que consideraba que en matemáticas sólo se pueden permitir definiciones predicativas:
Según la definición de Poincaré, el índice del bibliotecario es "impredicativo" porque la definición de I depende de la definición de la totalidad I, Ά, β y Γ. Como se señala a continuación, algunos comentaristas insisten en que la impredicatividad en las versiones de sentido común es inofensiva, pero como muestran los ejemplos a continuación, hay versiones que no lo son. En respuesta a estas dificultades, Russell abogó por una prohibición estricta, su "principio del círculo vicioso":
Para ilustrar lo que podría ser un ejemplo pernicioso de impredicatividad, consideremos la consecuencia de introducir el argumento α en la función f con salida ω = 1−α. Esto puede verse como la expresión de "lógica algebraica" equivalente a la expresión de "lógica simbólica" ω = NOT -α, con valores de verdad 1 y 0. Cuando la entrada α = 0, la salida ω = 1; cuando la entrada α = 1, la salida ω = 0.
Para hacer que la función sea "impredicativa", identifique la entrada con la salida, obteniendo α = 1−α
En el álgebra de números racionales, por ejemplo, la ecuación se cumple cuando α = 0,5. Pero, por ejemplo, en el álgebra de Boole, donde sólo se permiten los "valores verdaderos" 0 y 1, la igualdad no se puede cumplir.
Algunas de las dificultades del programa logicista pueden derivar de la paradoja α = NOT-α [25] Russell descubrió en la Begriffsschrift de Frege de 1879 [26] que Frege había permitido que una función derivara su entrada "funcional" (valor de su variable) no sólo de un objeto (cosa, término), sino también de la propia salida de la función. [27]
Como se ha descrito anteriormente, tanto la construcción de los números naturales de Frege como la de Russell comienzan con la formación de clases equinumerosas de clases ("haces"), seguida de la asignación de un "numeral" único a cada haz y, a continuación, de la colocación de los haces en un orden mediante una relación S que es asimétrica: x S y ≠ y S x . Pero Frege, a diferencia de Russell, permitió que la clase de clases unitarias se identificara como una unidad en sí misma:
Pero, como la clase con el numeral 1 es un objeto o unidad individual por derecho propio, también debe incluirse en la clase de clases unitarias. Esta inclusión da como resultado una regresión infinita de tipo creciente y contenido creciente.
Russell evitó este problema al declarar que una clase es algo más que una "ficción". Con esto quería decir que una clase podía designar sólo aquellos elementos que satisfacían su función proposicional y nada más. Como "ficción", una clase no puede ser considerada una cosa: una entidad, un "término", una singularidad, una "unidad". Es un conjunto , pero no es, en la opinión de Russell, "digna de ser una cosa":
Esto supone que "en la parte inferior" se puede enumerar cada "término" solitario (especificado por un predicado "predicativo") para cualquier clase, para cualquier clase de clases, para la clase de clases de clases, etc., pero introduce un nuevo problema: una jerarquía de "tipos" de clases.
Gödel 1944:131 observa que "Russell aduce dos razones contra la visión extensional de las clases, a saber, la existencia de (1) la clase nula, que no puede ser una colección, y (2) las clases unitarias, que tendrían que ser idénticas a sus elementos individuales". Sugiere que Russell debería haberlas considerado ficticias, pero no haber derivado la conclusión adicional de que todas las clases (como la clase de clases que define los números 2, 3, etc.) son ficciones.
Pero Russell no hizo esto. Después de un análisis detallado en el Apéndice A: Las doctrinas lógicas y aritméticas de Frege en su libro de 1903, Russell concluye:
En la nota siguiente se utiliza la expresión "la clase como muchas" —una clase es un agregado de aquellos términos (cosas) que satisfacen la función proposicional, pero una clase no es una cosa en sí misma— :
Es como si un ganadero reuniera todo su ganado (ovejas, vacas y caballos) en tres corrales ficticios (uno para las ovejas, otro para las vacas y otro para los caballos) que se encuentran en su rancho ficticio. Lo que en realidad existen son las ovejas, las vacas y los caballos (las extensiones), pero no los "conceptos" ficticios de corral y rancho. [ ¿ Investigación original? ]
Cuando Russell proclamó que todas las clases son ficciones útiles, resolvió el problema de la clase "unidad", pero el problema global no desapareció; más bien, llegó en una nueva forma: "Ahora será necesario distinguir (1) términos, (2) clases, (3) clases de clases, y así sucesivamente hasta el infinito ; tendremos que sostener que ningún miembro de un conjunto es miembro de ningún otro conjunto, y que x ε u requiere que x sea de un conjunto de un grado inferior en uno al conjunto al que pertenece u . Así, x ε x se convertirá en una proposición sin sentido; y de esta manera se evita la contradicción" (1903:517).
Esta es la "doctrina de los tipos" de Russell. Para garantizar que expresiones impredicativas como x ε x puedan ser tratadas en su lógica, Russell propuso, como una especie de hipótesis de trabajo, que todas esas definiciones impredicativas tienen definiciones predicativas. Esta suposición requiere las nociones de "órdenes" de funciones y "tipos" de argumentos. Primero, las funciones (y sus clases como extensiones, es decir, "matrices") deben clasificarse por su "orden", donde las funciones de los individuos son de orden 1, las funciones de funciones (clases de clases) son de orden 2, y así sucesivamente. A continuación, define el "tipo" de los argumentos de una función (las "entradas" de la función) como su "rango de significancia", es decir, cuáles son esas entradas α (¿individuos? ¿clases? ¿clases de clases? etc.) que, cuando se introducen en f ( x ), producen una salida significativa ω. Nótese que esto significa que un "tipo" puede ser de orden mixto, como lo muestra el siguiente ejemplo:
Esta oración se puede descomponer en dos cláusulas: " x ganó la Serie Mundial de 1947" + " y ganó la Serie Mundial de 1947". La primera oración toma como entrada un individuo "Joe DiMaggio" para x , la otra toma como entrada un agregado "Yankees" para y . Por lo tanto, la oración compuesta tiene un tipo (mixto) de 2, mixto en cuanto al orden (1 y 2).
Por "predicativo", Russell quería decir que la función debe ser de un orden superior al "tipo" de su(s) variable(s). Por lo tanto, una función (de orden 2) que crea una clase de clases solo puede aceptar argumentos para su(s) variable(s) que sean clases (tipo 1) e individuos (tipo 0), ya que estos son tipos inferiores. El tipo 3 solo puede aceptar los tipos 2, 1 o 0, y así sucesivamente. Pero estos tipos pueden ser mixtos (por ejemplo, para que esta oración sea (más o menos) verdadera: " z ganó la Serie Mundial de 1947" podría aceptar el individuo (tipo 0) "Joe DiMaggio" y/o los nombres de sus otros compañeros de equipo, y podría aceptar la clase (tipo 1) de jugadores individuales "Los Yankees".
El axioma de reducibilidad es la hipótesis de que cualquier función de cualquier orden puede ser reducida a (o reemplazada por) una función predicativa equivalente del orden apropiado. [28] Una lectura cuidadosa de la primera edición indica que una función predicativa de orden n no necesita ser expresada "hasta el final" como una enorme "matriz" o agregado de proposiciones atómicas individuales. "Pues en la práctica sólo son relevantes los tipos relativos de variables; así, el tipo más bajo que ocurre en un contexto dado puede ser llamado el de los individuos" (p. 161). Pero el axioma de reducibilidad propone que en teoría es posible una reducción "hasta el final".
Sin embargo, en la segunda edición de PM de 1927, Russell había abandonado el axioma de reducibilidad y concluyó que, de hecho, forzaría cualquier orden de función "hasta el final" hasta sus proposiciones elementales, vinculadas entre sí con operadores lógicos:
(El "trazo" es el trazo de Sheffer , adoptado para la segunda edición de PM, una única función lógica de dos argumentos a partir de la cual se pueden definir todas las demás funciones lógicas).
El resultado neto, sin embargo, fue el colapso de su teoría. Russell llegó a esta desalentadora conclusión: “la teoría de los ordinales y cardinales sobrevive... pero los irracionales , y los números reales en general, ya no pueden ser tratados adecuadamente... Tal vez algún otro axioma, menos objetable que el axioma de reducibilidad, podría dar estos resultados, pero no hemos logrado encontrar tal axioma” ( PM 1927:xiv).
Gödel 1944 está de acuerdo en que el proyecto logicista de Russell quedó frustrado; parece estar en desacuerdo con que incluso los números enteros sobrevivieran:
Gödel afirma, sin embargo, que este procedimiento parece presuponer la aritmética en una forma u otra (p. 134). Deduce que "se obtienen números enteros de órdenes diferentes" (p. 134-135); la prueba en el Apéndice B de Russell 1927 PM de que "los números enteros de cualquier orden mayor que 5 son los mismos que los de orden 5" "no es concluyente" y "la cuestión de si (o en qué medida) la teoría de los números enteros puede obtenerse sobre la base de la jerarquía ramificada [clases más tipos] debe considerarse como no resuelta en el momento actual". Gödel concluyó que no importaría de todos modos porque las funciones proposicionales de orden n (cualquier n ) deben describirse mediante combinaciones finitas de símbolos (todas las citas y el contenido se derivan de la página 135).
Gödel, en su obra de 1944, identifica el punto en el que considera que falla el logicismo de Russell y ofrece sugerencias para rectificar los problemas. Somete el "principio del círculo vicioso" a un nuevo examen, dividiéndolo en tres partes "definibles sólo en términos de", "que implica" y "que presupone". Es la primera parte la que "hace imposibles las definiciones impredicativas y, por lo tanto, destruye la derivación de las matemáticas a partir de la lógica, efectuada por Dedekind y Frege, y una buena parte de las matemáticas mismas". Dado que, argumenta, las matemáticas tienden a depender de sus impredicatividades inherentes (por ejemplo, "números reales definidos por referencia a todos los números reales"), concluye que lo que ha ofrecido es "una prueba de que el principio del círculo vicioso es falso [en lugar de] que las matemáticas clásicas son falsas" (todas las citas son de Gödel 1944:127).
La teoría de no-clases de Russell es la raíz del problema : Gödel cree que la impredicatividad no es "absurda", como parece a lo largo de toda la matemática. El problema de Russell deriva de su "punto de vista constructivista (o nominalista" [29] ) hacia los objetos de la lógica y la matemática, en particular hacia las proposiciones, clases y nociones... una noción siendo un símbolo... de modo que un objeto separado denotado por el símbolo aparece como una mera ficción" (p. 128).
De hecho, en la teoría de la "no clase" de Russell, Gödel concluye:
Concluye su ensayo con las siguientes sugerencias y observaciones:
El neologicismo describe una gama de puntos de vista considerados por sus defensores como sucesores del programa logicista original. [30] Más específicamente, el neologicismo puede verse como el intento de rescatar algunos o todos los elementos del programa de Frege mediante el uso de una versión modificada del sistema de Frege en los Grundgesetze (que puede verse como una especie de lógica de segundo orden ).
Por ejemplo, se podría reemplazar la Ley Básica V (análoga al esquema axiomático de comprensión irrestricta en la teoría de conjuntos ingenua ) con algún axioma "más seguro" para evitar la derivación de las paradojas conocidas. El candidato más citado para reemplazar la Ley Básica V es el principio de Hume , la definición contextual de "#" dada por "# F = # G si y solo si hay una biyección entre F y G" . [31] Este tipo de neologicismo a menudo se conoce como neofregeanismo . [32] Los defensores del neofregeanismo incluyen a Crispin Wright y Bob Hale , a veces también llamados la Escuela Escocesa o platonismo abstraccionista , [33] quienes defienden una forma de fundacionalismo epistémico . [34]
Otros grandes defensores del neologicismo son Bernard Linsky y Edward N. Zalta , a veces llamados la Escuela de Stanford-Edmonton , el estructuralismo abstracto o el neologicismo modal , que defienden una forma de metafísica axiomática . [34] [32] El neologicismo modal deriva los axiomas de Peano dentro de la teoría de objetos modales de segundo orden . [35] [36]
Otro enfoque cuasi-neologicista ha sido sugerido por M. Randall Holmes. En este tipo de enmienda a la Grundgesetze , la BLV permanece intacta, salvo por una restricción a fórmulas estratificables a la manera de la NF de Quine y sistemas relacionados. Esencialmente, toda la Grundgesetze "pasa a través de". El sistema resultante tiene la misma fuerza de consistencia que la NFU de Jensen + el Axioma de Conteo de Rosser . [37]
