Friedrich Ludwig Gottlob Frege ( 8 de noviembre de 1848 - 26 de julio de 1925) fue un filósofo, lógico y matemático alemán. Fue profesor de matemáticas en la Universidad de Jena y muchos lo consideran el padre de la filosofía analítica , centrándose en la filosofía del lenguaje , la lógica y las matemáticas . Aunque fue ignorado en gran medida durante su vida, Giuseppe Peano (1858-1932), Bertrand Russell (1872-1970) y, en cierta medida, Ludwig Wittgenstein ( 1889-1951) presentaron su obra a generaciones posteriores de filósofos. Frege es considerado ampliamente como el mayor lógico desde Aristóteles y uno de los filósofos de las matemáticas más profundos de todos los tiempos. [11]
Sus contribuciones incluyen el desarrollo de la lógica moderna en la Begriffsschrift y el trabajo sobre los fundamentos de las matemáticas . Su libro Fundamentos de la aritmética es el texto seminal del proyecto logicista , y es citado por Michael Dummett como el lugar donde señalar el giro lingüístico . Sus artículos filosóficos " Sobre el sentido y la referencia " y " El pensamiento " también son ampliamente citados. El primero aboga por dos tipos diferentes de significado y el descriptivismo . En Fundamentos y "El pensamiento", Frege aboga por el platonismo contra el psicologismo o el formalismo , en relación con los números y las proposiciones respectivamente.
Frege nació en 1848 en Wismar , Mecklemburgo-Schwerin (hoy parte de Mecklemburgo-Pomerania Occidental ). Su padre, Carl (Karl) Alexander Frege (1809-1866), fue cofundador y director de una escuela secundaria para niñas hasta su muerte. Después de la muerte de Carl, la escuela fue dirigida por la madre de Frege, Auguste Wilhelmine Sophie Frege (née Bialloblotzky, 12 de enero de 1815 - 14 de octubre de 1898); su madre era Auguste Amalia Maria Ballhorn, descendiente de Philipp Melanchthon [12] y su padre era Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky, descendiente de una familia noble polaca que abandonó Polonia en el siglo XVII. [13] Frege era luterano. [14]
En su infancia, Frege se topó con filosofías que guiarían su futura carrera científica. Por ejemplo, su padre escribió un libro de texto sobre la lengua alemana para niños de 9 a 13 años, titulado Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren (2.ª ed., Wismar 1850; 3.ª ed., Wismar y Ludwigslust: Hinstorff, 1862) (Libro de ayuda para la enseñanza del alemán a niños de 9 a 13 años), cuya primera sección trataba sobre la estructura y la lógica del lenguaje .
Frege estudió en la Große Stadtschule Wismar y se graduó en 1869. [15] El profesor de matemáticas y ciencias naturales Gustav Adolf Leo Sachse (1843-1909), que también era poeta, jugó un papel importante en la determinación de la futura carrera científica de Frege, alentándolo a continuar sus estudios en su propia alma mater, la Universidad de Jena . [16]
Frege se matriculó en la Universidad de Jena en la primavera de 1869 como ciudadano de la Confederación Alemana del Norte . En los cuatro semestres de sus estudios asistió a aproximadamente veinte cursos de conferencias, la mayoría de ellas sobre matemáticas y física. Su maestro más importante fue Ernst Karl Abbe (1840-1905; físico, matemático e inventor). Abbe dio conferencias sobre teoría de la gravedad, galvanismo y electrodinámica, teoría del análisis complejo de funciones de una variable compleja, aplicaciones de la física, divisiones seleccionadas de la mecánica y mecánica de sólidos. Abbe fue más que un maestro para Frege: fue un amigo de confianza y, como director del fabricante óptico Carl Zeiss AG, estaba en condiciones de impulsar la carrera de Frege. Después de la graduación de Frege, entablaron una correspondencia más estrecha. [ cita requerida ]
Otros profesores universitarios notables fueron Christian Philipp Karl Snell (1806-1886; materias: uso del análisis infinitesimal en geometría, geometría analítica de planos , mecánica analítica, óptica, fundamentos físicos de la mecánica); Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer (1824-1900; geometría analítica, física aplicada, análisis algebraico, sobre el telégrafo y otras máquinas electrónicas ); y el filósofo Kuno Fischer (1824-1907; filosofía kantiana y crítica ). [ cita requerida ]
A partir de 1871, Frege continuó sus estudios en Gotinga, la universidad líder en matemáticas en los territorios de habla alemana, donde asistió a las conferencias de Rudolf Friedrich Alfred Clebsch (1833-1872; geometría analítica), Ernst Christian Julius Schering (1824-1897; teoría de funciones), Wilhelm Eduard Weber (1804-1891; estudios físicos, física aplicada), Eduard Riecke (1845-1915; teoría de la electricidad) y Hermann Lotze (1817-1881; filosofía de la religión). Muchas de las doctrinas filosóficas del Frege maduro tienen paralelos en Lotze; ha sido objeto de debate académico si hubo o no una influencia directa en las opiniones de Frege derivada de su asistencia a las conferencias de Lotze. [ cita requerida ]
En 1873, Frege obtuvo su doctorado con Ernst Christian Julius Schering, con una disertación titulada "Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene" ("Sobre una representación geométrica de formas imaginarias en un plano"), en la que pretendía resolver problemas tan fundamentales en geometría como la interpretación matemática de los puntos infinitamente distantes (imaginarios) de la geometría proyectiva . [ cita requerida ]
Frege se casó con Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg (15 de febrero de 1856 – 25 de junio de 1904) el 14 de marzo de 1887. [15] La pareja tuvo al menos dos hijos, que lamentablemente murieron cuando eran jóvenes. Años más tarde adoptaron un hijo, Alfred. Sin embargo, poco más se sabe sobre la vida familiar de Frege. [17]
Aunque su educación y sus primeros trabajos matemáticos se centraron principalmente en la geometría, el trabajo de Frege pronto giró hacia la lógica. Su Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens [ Guión conceptual: un lenguaje formal para el pensamiento puro inspirado en el de la aritmética ], Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879marcó un punto de inflexión en la historia de la lógica. La Begriffsschrift abrió nuevos caminos, incluyendo un tratamiento riguroso de las ideas de funciones y variables . El objetivo de Frege era demostrar que las matemáticas surgen de la lógica y, al hacerlo, ideó técnicas que lo separaron de la silogística aristotélica pero lo acercaron bastante a la lógica proposicional estoica. [18]
En efecto, Frege inventó la lógica de predicados axiomáticos , en gran parte gracias a su invención de las variables cuantificadas , que con el tiempo se volvieron omnipresentes en las matemáticas y la lógica, y que resolvieron el problema de la generalidad múltiple . La lógica anterior había tratado con las constantes lógicas y , o , si... entonces... , no , y algunos y todos , pero las iteraciones de estas operaciones, especialmente "algunos" y "todos", eran poco comprendidas: incluso la distinción entre una oración como "todo chico ama a alguna chica" y "alguna chica es amada por todos los chicos" podía representarse solo de manera muy artificial, mientras que el formalismo de Frege no tenía dificultad en expresar las diferentes lecturas de "todo chico ama a alguna chica que ama a algún chico que ama a alguna chica" y oraciones similares, en completo paralelo con su tratamiento de, digamos, "todo chico es tonto".
Un ejemplo que se observa con frecuencia es que la lógica de Aristóteles es incapaz de representar enunciados matemáticos como el teorema de Euclides , una afirmación fundamental de la teoría de números que sostiene que hay un número infinito de números primos . Sin embargo, la "notación conceptual" de Frege puede representar tales inferencias. [19] El análisis de los conceptos lógicos y la maquinaria de formalización que es esencial para Principia Mathematica (3 vols., 1910-13, de Bertrand Russell , 1872-1970, y Alfred North Whitehead , 1861-1947), para la teoría de las descripciones de Russell , para los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel (1906-1978) y para la teoría de la verdad de Alfred Tarski (1901-1983), se debe en última instancia a Frege.
Uno de los propósitos declarados de Frege era aislar principios genuinamente lógicos de inferencia, de modo que en la representación adecuada de la prueba matemática, uno no apelara en ningún momento a la "intuición". Si había un elemento intuitivo, debía aislarse y representarse por separado como un axioma: de ahí en adelante, la prueba debía ser puramente lógica y sin lagunas. Habiendo exhibido esta posibilidad, el propósito más amplio de Frege era defender la visión de que la aritmética es una rama de la lógica, una visión conocida como logicismo : a diferencia de la geometría, se debía demostrar que la aritmética no tenía base en la "intuición" y no necesitaba axiomas no lógicos. Ya en la Begriffsschrift de 1879 se derivaron teoremas preliminares importantes, por ejemplo, una forma generalizada de la ley de tricotomía , dentro de lo que Frege entendía como lógica pura.
Esta idea fue formulada en términos no simbólicos en sus Fundamentos de la aritmética ( Die Grundlagen der Arithmetik , 1884). Más tarde, en sus Leyes básicas de la aritmética ( Grundgesetze der Arithmetik , vol. 1, 1893; vol. 2, 1903; el vol. 2 fue publicado a sus expensas), Frege intentó derivar, mediante el uso de su simbolismo, todas las leyes de la aritmética a partir de axiomas que él afirmaba como lógicos. La mayoría de estos axiomas fueron tomados de su Begriffsschrift , aunque no sin algunos cambios significativos. El único principio verdaderamente nuevo fue uno que él llamó la Ley básica V : el "rango de valores" de la función f ( x ) es el mismo que el "rango de valores" de la función g ( x ) si y solo si ∀ x [ f ( x ) = g ( x )].
El caso crucial de la ley puede formularse en notación moderna de la siguiente manera. Sea { x | Fx } la extensión del predicado Fx , es decir, el conjunto de todos los F, y lo mismo para Gx . Entonces la Ley Básica V dice que los predicados Fx y Gx tienen la misma extensión si y sólo si ∀x[ Fx ↔ Gx ]. El conjunto de F es el mismo que el conjunto de G sólo en el caso de que cada F sea un G y cada G sea un F. (El caso es especial porque lo que aquí se llama la extensión de un predicado, o un conjunto, es sólo un tipo de "rango de valores" de una función.)
En un episodio famoso, Bertrand Russell escribió a Frege, justo cuando el vol. 2 de las Grundgesetze estaba a punto de ser impreso en 1903, demostrando que la paradoja de Russell podía derivarse de la Ley Básica V de Frege. Es fácil definir la relación de pertenencia de un conjunto o extensión en el sistema de Frege; Russell luego llamó la atención sobre "el conjunto de cosas x que son tales que x no es un miembro de x ". El sistema de las Grundgesetze implica que el conjunto así caracterizado es y no es un miembro de sí mismo, y por lo tanto es inconsistente. Frege escribió un apéndice apresurado de último momento al vol. 2. Frege deduce la contradicción y propone eliminarla modificando la Ley Fundamental V. Frege abre el Apéndice con el comentario excepcionalmente honesto: "Casi nada más desafortunado puede sucederle a un escritor científico que ver uno de los cimientos de su edificio tambalearse después de terminar su trabajo. Esta fue la situación en la que me encontraba cuando una carta del Sr. Bertrand Russell, justo cuando la impresión de este volumen estaba a punto de terminarse". (Esta carta y la respuesta de Frege están traducidas en Jean van Heijenoort 1967.)
Posteriormente se demostró que el remedio propuesto por Frege implicaba que sólo hay un objeto en el universo del discurso y, por lo tanto, no tiene valor (de hecho, esto sería una contradicción en el sistema de Frege si hubiera axiomatizado la idea, fundamental para su discusión, de que lo Verdadero y lo Falso son objetos distintos; véase, por ejemplo, Dummett 1973), pero trabajos recientes han demostrado que gran parte del programa de los Grundgesetze podría salvarse de otras maneras:
El trabajo de Frege en lógica recibió poca atención internacional hasta 1903, cuando Russell escribió un apéndice a Los principios de las matemáticas en el que exponía sus diferencias con Frege. La notación diagramática que Frege utilizaba no tenía antecedentes (y no ha tenido imitadores desde entonces). Además, hasta que aparecieron los Principia Mathematica (3 vols.) de Russell y Whitehead en 1910-1913, el enfoque dominante de la lógica matemática seguía siendo el de George Boole (1815-1864) y sus descendientes intelectuales, especialmente Ernst Schröder (1841-1902). No obstante, las ideas lógicas de Frege se difundieron a través de los escritos de su alumno Rudolf Carnap (1891-1970) y otros admiradores, en particular Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein (1889-1951).
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Frege es uno de los fundadores de la filosofía analítica , cuyos trabajos sobre lógica y lenguaje dieron origen al giro lingüístico en la filosofía. Entre sus contribuciones a la filosofía del lenguaje se encuentran:
Como filósofo de las matemáticas, Frege atacó la apelación psicologista a las explicaciones mentales del contenido del juicio sobre el significado de las oraciones. Su propósito original estaba muy lejos de responder a preguntas generales sobre el significado; en cambio, ideó su lógica para explorar los fundamentos de la aritmética, y se propuso responder a preguntas como "¿Qué es un número?" o "¿A qué objetos se refieren las palabras que designan los números ('uno', 'dos', etc.)?". Pero al investigar estas cuestiones, finalmente se encontró analizando y explicando qué es el significado, y así llegó a varias conclusiones que resultaron muy importantes para el curso posterior de la filosofía analítica y la filosofía del lenguaje.
En su artículo de 1892, " Sobre el sentido y la referencia " ("Über Sinn und Bedeutung"), Frege introdujo su influyente distinción entre sentido ("Sinn") y referencia ("Bedeutung", que también se ha traducido como "significado" o "denotación"). Mientras que las teorías convencionales sobre el significado consideraban que las expresiones tenían una sola característica (la referencia), Frege introdujo la idea de que las expresiones tienen dos aspectos diferentes de significación: su sentido y su referencia.
Referencia (o "Bedeutung") aplicada a nombres propios , donde una expresión dada (por ejemplo, la expresión "Tom") simplemente se refiere a la entidad que lleva el nombre (la persona llamada Tom). Frege también sostuvo que las proposiciones tenían una relación referencial con su valor de verdad (en otras palabras, un enunciado "se refiere" al valor de verdad que asume). Por el contrario, el sentido (o "Sinn") asociado con una oración completa es el pensamiento que expresa. Se dice que el sentido de una expresión es el "modo de presentación" del elemento al que se hace referencia, y puede haber múltiples modos de representación para el mismo referente.
La distinción puede ilustrarse así: en sus usos ordinarios, el nombre "Charles Philip Arthur George Mountbatten-Windsor", que para fines lógicos es un todo inanalizable, y la expresión funcional "el Rey del Reino Unido", que contiene las partes significativas "el Rey de ξ" y "Reino Unido", tienen el mismo referente , a saber, la persona mejor conocida como el Rey Carlos III . Pero el sentido de la palabra " Reino Unido " es una parte del sentido de esta última expresión, pero no una parte del sentido del "nombre completo" del Rey Carlos.
Estas distinciones fueron cuestionadas por Bertrand Russell, especialmente en su artículo " Sobre la denotación "; la controversia ha continuado hasta el presente, alimentada especialmente por las famosas conferencias de Saul Kripke " Nombrar y necesidad ".
Los escritos filosóficos publicados de Frege eran de naturaleza muy técnica y estaban divorciados de las cuestiones prácticas, tanto que el estudioso de Frege, Dummett, expresó su "sorpresa al descubrir, mientras leía el diario de Frege, que su héroe era un antisemita". [22] Después de la Revolución alemana de 1918-19 , sus opiniones políticas se volvieron más radicales. En el último año de su vida, a la edad de 76 años, su diario contenía opiniones políticas que se oponían al sistema parlamentario, a los demócratas, liberales, católicos, los franceses y los judíos, a quienes creía que se les debía privar de sus derechos políticos y, preferiblemente, expulsarlos de Alemania. [23] Frege confesó "que alguna vez se había considerado un liberal y era un admirador de Bismarck ", pero luego simpatizó con el general Ludendorff . En una entrada fechada el 5 de mayo de 1924, Frege expresó su acuerdo con un artículo publicado en Deutschlands Erneuerung de Houston Stewart Chamberlain que elogiaba a Adolf Hitler . [24] Frege dejó constancia de su creencia de que lo mejor sería que los judíos de Alemania "se perdieran, o mejor aún, que desaparecieran de Alemania". [24] Se han escrito algunas interpretaciones sobre esa época. [25] El diario contiene una crítica al sufragio universal y al socialismo. Frege tuvo relaciones amistosas con los judíos en la vida real: entre sus estudiantes estaba Gershom Scholem , [26] [27] que valoraba mucho su enseñanza, y fue él quien animó a Ludwig Wittgenstein a partir hacia Inglaterra para estudiar con Bertrand Russell . [28] El diario de 1924 se publicó póstumamente en 1994. [29]
Sus alumnos describían a Frege como una persona muy introvertida, que rara vez dialogaba con los demás y que, durante sus clases, pasaba la mayor parte del tiempo frente al pizarrón. Sin embargo, era conocido por mostrar ocasionalmente ingenio e incluso un sarcasmo amargo. [30]
Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (1879), Halle an der Saale: Verlag von Louis Nebert (versión en línea).
Die Grundlagen der Arithmetik: Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (1884), Breslau: Verlag von Wilhelm Koebner (versión en línea).
Grundgesetze der Arithmetik , Banda I (1893); Band II (1903), Jena: Verlag Hermann Pohle (versión online).
“ Función y concepto ” (1891)
" Sobre el sentido y la referencia " (1892)
“ Concepto y objeto ” (1892)
“¿Qué es una función?” (1904)
Investigaciones lógicas (1918-1923). Frege pretendía que los tres artículos siguientes se publicaran juntos en un libro titulado Logische Untersuchungen ( Investigaciones lógicas ). Aunque el libro en alemán nunca apareció, los artículos se publicaron juntos en Logische Untersuchungen , ed. G. Patzig, Vandenhoeck & Ruprecht, 1966, y las traducciones al inglés aparecieron juntas en Logical Investigations , ed. Peter Geach, Blackwell, 1975.
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