Los fundamentos de la aritmética ( en alemán : Die Grundlagen der Arithmetik ) es un libro de Gottlob Frege , publicado en 1884, que investiga los fundamentos filosóficos de la aritmética . Frege refuta otrasteorías idealistas y materialistas de los números y desarrolla su propia teoría platónica de los números. Los Grundlagen también ayudaron a motivar los trabajos posteriores de Frege en el logicismo .
El libro también fue fundamental en la filosofía del lenguaje . Michael Dummett rastrea el giro lingüístico a partir de los fundamentos de Frege y su principio de contexto .
El libro no tuvo una buena acogida y no fue leído por muchos cuando se publicó. Sin embargo, atrajo la atención de Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein , ambos muy influenciados por la filosofía de Frege. Una traducción al inglés fue publicada (Oxford, 1950) por JL Austin , con una segunda edición en 1960. [1]
Para responder a la pregunta kantiana sobre los números , "¿Cómo se nos dan los números, si no tenemos idea ni intuición de ellos?", Frege invoca su " principio de contexto ", enunciado al principio del libro, según el cual las palabras sólo tienen significado en el contexto de una proposición, y por tanto encuentra que la solución está en definir "el sentido de una proposición en la que aparece una palabra numérica". Así pues, un problema ontológico y epistemológico , tradicionalmente resuelto según líneas idealistas , se resuelve en cambio según líneas lingüísticas .
Frege se opone a cualquier explicación de las matemáticas basada en el psicologismo , es decir, la visión de que las matemáticas y los números son relativos a los pensamientos subjetivos de las personas que piensan en ellos. Según Frege, las explicaciones psicológicas apelan a lo que es subjetivo, mientras que las matemáticas son puramente objetivas : las matemáticas son completamente independientes del pensamiento humano. Las entidades matemáticas, según Frege, tienen propiedades objetivas independientemente de que los humanos piensen en ellas: no es posible pensar en los enunciados matemáticos como algo que evolucionó naturalmente a través de la historia y la evolución humanas . Ve una distinción fundamental entre la lógica (y su extensión, según Frege, las matemáticas) y la psicología. La lógica explica hechos necesarios, mientras que la psicología estudia ciertos procesos de pensamiento en las mentes individuales. [2] Las ideas son privadas, por lo que el idealismo sobre las matemáticas implica que existe "mis dos" y "tus dos" en lugar de simplemente el número dos.
Frege aprecia enormemente el trabajo de Immanuel Kant . Sin embargo, lo critica principalmente porque los enunciados numéricos no son sintéticos -a priori- , sino analíticos -a priori-. [3] Kant afirma que 7+5=12 es un enunciado sintético indemostrable. [4] Por mucho que analicemos la idea de 7+5 no encontraremos allí la idea de 12. Debemos llegar a la idea de 12 por aplicación a objetos en la intuición. Kant señala que esto se vuelve aún más claro con números mayores. Frege, precisamente en este punto, argumenta en la dirección opuesta. Kant supone erróneamente que en una proposición que contiene números "grandes" debemos contar puntos o algo similar para afirmar su valor de verdad . Frege argumenta que sin tener nunca ninguna intuición sobre ninguno de los números en la siguiente ecuación: 654.768+436.382=1.091.150 podemos, no obstante, afirmar que es verdadera. Esto se presenta como evidencia de que tal proposición es analítica. Si bien Frege está de acuerdo en que la geometría es, en efecto, sintética a priori, la aritmética debe ser analítica. [5]
Frege critica rotundamente el empirismo de John Stuart Mill . [6] [7] Afirma que la idea de Mill de que los números corresponden a las diversas formas de dividir conjuntos de objetos en subconjuntos es incompatible con la confianza en los cálculos que involucran números grandes. [8] [9] Además, bromea diciendo: "¡Gracias a Dios que no todo está resuelto!". Frege también niega que la filosofía de Mill aborde adecuadamente el concepto de cero . [10]
Continúa argumentando que la operación de adición no puede entenderse como una referencia a cantidades físicas, y que la confusión de Mill en este punto es un síntoma de un problema mayor de confusión de las aplicaciones de la aritmética con la aritmética misma.
Frege utiliza el ejemplo de una baraja de cartas para demostrar que los números no son inherentes a los objetos. Preguntar "cuántos" es una tontería sin una aclaración adicional sobre las cartas o los palos o qué, demostrando que los números pertenecen a conceptos, no a objetos.
El libro contiene el famoso problema antiestructuralista de Julio César de Frege . Frege sostiene que una teoría adecuada de las matemáticas explicaría por qué Julio César no es un número. [11] [12]
Frege hace una distinción entre enunciados numéricos particulares, como 1+1=2, y enunciados generales, como a+b=b+a. Estos últimos son enunciados válidos para los números, al igual que los primeros. Por lo tanto, es necesario pedir una definición del concepto de número en sí. Frege investiga la posibilidad de que el número esté determinado por cosas externas. Demuestra cómo los números funcionan en el lenguaje natural, al igual que los adjetivos. "Este escritorio tiene 5 cajones" es similar en forma a "Este escritorio tiene cajones verdes". El hecho de que los cajones sean verdes es un hecho objetivo, basado en el mundo externo. Pero no es el caso del 5. Frege sostiene que cada cajón tiene su propio color verde, pero no todos los cajones tienen 5. [13] Frege nos insta a recordar que de esto no se sigue que los números puedan ser subjetivos. De hecho, los números son similares a los colores, al menos en que ambos son completamente objetivos. Frege nos dice que podemos convertir enunciados numéricos en los que las palabras numéricas aparecen como adjetivos (por ejemplo, 'hay cuatro caballos') en enunciados en los que los términos numéricos aparecen como términos singulares ('el número de caballos es cuatro'). [14] Frege recomienda tales traducciones porque considera que los números son objetos. No tiene sentido preguntar si hay objetos que caen bajo 4. Después de que Frege da algunas razones para pensar que los números son objetos, concluye que los enunciados numéricos son aserciones sobre conceptos.
Frege considera que esta observación es el pensamiento fundamental de Grundlagen . Por ejemplo, la oración "el número de caballos en el establo es cuatro" significa que cuatro objetos caen bajo el concepto caballo en el establo . Frege intenta explicar nuestra comprensión de los números a través de una definición contextual de la operación de cardinalidad ('el número de...', o ). Intenta construir el contenido de un juicio que involucra identidad numérica apoyándose en el principio de Hume (que establece que el número de F es igual al número de G si y solo si F y G son equinumerosos , es decir, en correspondencia uno a uno). [15] Rechaza esta definición porque no fija el valor de verdad de los enunciados de identidad cuando un término singular que no tiene la forma 'el número de F' flanquea el signo de identidad. Frege continúa dando una definición explícita de número en términos de extensiones de conceptos, pero expresa algunas dudas.
Frege sostiene que los números son objetos y afirman algo sobre un concepto. Frege define los números como extensiones de conceptos. 'El número de F' se define como la extensión del concepto G es un concepto que es equinumeroso a F. El concepto en cuestión conduce a una clase de equivalencia de todos los conceptos que tienen el número de F (incluido F). Frege define 0 como la extensión del concepto que no es autoidéntico . Por lo tanto, el número de este concepto es la extensión del concepto de todos los conceptos que no tienen objetos que caigan bajo ellos. El número 1 es la extensión de ser idéntico a 0. [16]
El libro fue fundamental en el desarrollo de dos disciplinas principales, los fundamentos de las matemáticas y la filosofía. Aunque Bertrand Russell encontró posteriormente un fallo importante en la Ley Básica V de Frege (este fallo se conoce como paradoja de Russell , que se resuelve mediante la teoría axiomática de conjuntos ), el libro fue influyente en desarrollos posteriores, como Principia Mathematica . El libro también puede considerarse el punto de partida de la filosofía analítica , ya que gira principalmente en torno al análisis del lenguaje, con el objetivo de aclarar el concepto de número. Las opiniones de Frege sobre las matemáticas son también un punto de partida en la filosofía de las matemáticas , ya que introduce una explicación innovadora sobre la epistemología de los números y las matemáticas en general, conocida como logicismo.
