En la filosofía de las matemáticas , el formalismo es la visión que sostiene que los enunciados de las matemáticas y la lógica pueden considerarse enunciados sobre las consecuencias de la manipulación de cadenas (secuencias alfanuméricas de símbolos, generalmente como ecuaciones) utilizando reglas de manipulación establecidas . Una idea central del formalismo "es que las matemáticas no son un conjunto de proposiciones que representan un sector abstracto de la realidad, sino que son mucho más parecidas a un juego, que no conlleva más compromiso con una ontología de objetos o propiedades que el parchís o el ajedrez ". [1] Según el formalismo, las verdades expresadas en lógica y matemáticas no se refieren a números, conjuntos o triángulos ni a ningún otro tema coextensivo; de hecho, no "se trata" de nada en absoluto. Más bien, los enunciados matemáticos son formas sintácticas cuyas formas y ubicaciones no tienen significado a menos que se les dé una interpretación (o semántica ). A diferencia del realismo matemático , el logicismo o el intuicionismo , los contornos del formalismo están menos definidos debido a enfoques amplios que pueden catalogarse como formalistas.
Junto con el realismo y el intuicionismo, el formalismo es una de las principales teorías de la filosofía de las matemáticas que se desarrolló a finales del siglo XIX y principios del XX. Entre los formalistas, David Hilbert fue el defensor más destacado. [2]
Los primeros formalistas matemáticos intentaron "bloquear, evitar o eludir (de alguna manera) cualquier compromiso ontológico con un reino problemático de objetos abstractos". [1] Los matemáticos alemanes Eduard Heine y Carl Johannes Thomae son considerados los primeros defensores del formalismo matemático. [1] El formalismo de Heine y Thomae se puede encontrar en las críticas de Gottlob Frege en The Foundations of Arithmetic .
Según Alan Weir, el formalismo de Heine y Thomae que ataca Frege puede "describirse como formalismo de términos o formalismo de juego". [1] El término formalismo es la opinión de que las expresiones matemáticas se refieren a símbolos, no a números. Heine expresó esta opinión de la siguiente manera: "En lo que respecta a la definición, adopto una posición puramente formal: llamo números a ciertos signos tangibles, de modo que la existencia de estos números no está en duda". [3]
Thomae se caracteriza como un formalista de juegos que afirmaba que "[p]ara el formalista, la aritmética es un juego con signos que se llaman vacíos. Eso significa que no tienen otro contenido (en el juego de cálculo) que el que les asigna su comportamiento". con respecto a ciertas reglas de combinación (reglas del juego)". [4]
Frege ofrece tres críticas al formalismo de Heine y Thomae: "que [el formalismo] no puede explicar la aplicación de las matemáticas; que confunde la teoría formal con la metateoría; [y] que no puede dar una explicación coherente del concepto de secuencia infinita". [5] La crítica de Frege al formalismo de Heine es que su formalismo no puede dar cuenta de secuencias infinitas. Dummett sostiene que explicaciones del formalismo más desarrolladas que la de Heine podrían evitar las objeciones de Frege al afirmar que se ocupan de símbolos abstractos más que de objetos concretos. [6] Frege se opone a la comparación del formalismo con el de un juego, como el ajedrez. [7] Frege sostiene que el formalismo de Thomae no distingue entre juego y teoría.
Una figura importante del formalismo fue David Hilbert , cuyo programa pretendía ser una axiomatización completa y consistente de todas las matemáticas. [8] Hilbert pretendía mostrar la consistencia de los sistemas matemáticos a partir del supuesto de que la "aritmética finita" (un subsistema de la aritmética habitual de los números enteros positivos , elegido para ser filosóficamente no controvertido) era consistente (es decir, no se pueden derivar contradicciones de la sistema).
La forma en que Hilbert intentó demostrar que un sistema axiomático era consistente fue formalizándolo utilizando un lenguaje particular. [9] Para formalizar un sistema axiomático, primero debe elegir un lenguaje en el que pueda expresar y realizar operaciones dentro de ese sistema. Este lenguaje debe incluir cinco componentes:
Al adoptar este lenguaje, Hilbert pensó que podríamos demostrar todos los teoremas dentro de cualquier sistema axiomático utilizando nada más que los propios axiomas y el lenguaje formal elegido.
La conclusión de Gödel en sus teoremas de incompletitud fue que no se puede probar la coherencia dentro de ningún sistema axiomático consistente lo suficientemente rico como para incluir la aritmética clásica. Por un lado, se debe utilizar únicamente el lenguaje formal elegido para formalizar este sistema axiomático; por otra parte, es imposible probar la coherencia de este lenguaje en sí mismo. [9] Inicialmente, Hilbert se sintió frustrado por el trabajo de Gödel porque destrozó el objetivo de su vida de formalizar completamente todo en la teoría de números. [10] Sin embargo, Gödel no sintió que contradijera todo el punto de vista formalista de Hilbert . [11] Después de que Gödel publicó su trabajo, se hizo evidente que la teoría de la prueba todavía tenía alguna utilidad, la única diferencia es que no podía usarse para probar la consistencia de toda la teoría de números como Hilbert había esperado. [10]
Hilbert fue inicialmente un deductivista, [ cita necesaria ] pero consideró que ciertos métodos metamatemáticos producían resultados intrínsecamente significativos y era realista con respecto a la aritmética finita. Más tarde sostuvo la opinión de que no había ninguna otra matemática significativa, independientemente de la interpretación.
Otros formalistas, como Rudolf Carnap , consideraban las matemáticas como la investigación de sistemas de axiomas formales . [12]
Haskell Curry define las matemáticas como "la ciencia de los sistemas formales". [13] El formalismo de Curry es diferente al de los formalistas de términos, los formalistas de juegos o el formalismo de Hilbert. Para Curry, el formalismo matemático trata de la estructura formal de las matemáticas y no de un sistema formal. [13] Stewart Shapiro describe el formalismo de Curry partiendo de la "tesis histórica de que a medida que se desarrolla una rama de las matemáticas, se vuelve cada vez más rigurosa en su metodología, siendo el resultado final la codificación de la rama en sistemas deductivos formales". [14]
Kurt Gödel señaló uno de los puntos débiles del formalismo al abordar la cuestión de la coherencia en los sistemas axiomáticos.
Bertrand Russell ha argumentado que el formalismo no logra explicar lo que se entiende por aplicación lingüística de números en afirmaciones como "hay tres hombres en la habitación". [15]
Medios relacionados con el formalismo (deductivo) en Wikimedia Commons