Solomon Grigor'evich Mikhlin (ruso: Соломо́н Григо́рьевич Ми́хлин , nombre real Zalman Girshevich Mikhlin) (el apellido también se transcribe como Mihlin o Michlin ) (23 de abril de 1908 - 29 de agosto de 1990 [1] ) fue un matemático soviético que trabajó en los campos de la elasticidad lineal , las integrales singulares y el análisis numérico : es mejor conocido por la introducción del símbolo de un operador integral singular , que eventualmente condujo a la fundación y desarrollo de la teoría de los operadores pseudodiferenciales . [2]
Nació en Kholmech , distrito de Rechytsa , gobernación de Minsk (en la actual Bielorrusia ) el 23 de abril de 1908; El propio Mikhlin (1968) afirma en su currículum que su padre era comerciante, pero esta afirmación podría ser falsa ya que, en aquella época, a veces se mentía sobre la profesión de los padres para superar las limitaciones políticas en el acceso a la educación superior. Según una versión diferente, su padre era un melamed , en una escuela religiosa primaria ( kheder ), y que la familia era de medios modestos: según la misma fuente, Zalman era el menor de cinco hermanos. [ cita necesaria ] Su primera esposa fue Victoria Isaevna Libina: el libro de Mikhlin (Mikhlin 1965) está dedicado a su memoria. Murió de peritonitis en 1961 durante un viaje en barco por el Volga . En 1940 adoptaron un hijo, Grigory Zalmanovich Mikhlin, quien luego emigró a Haifa , Israel . Su segunda esposa fue Eugenia Yakovlevna Rubinova, nacida en 1918, que fue su compañera durante el resto de su vida.
Se graduó de una escuela secundaria en Gomel en 1923 y ingresó en el Instituto Pedagógico Estatal Herzen en 1925. [ cita necesaria ] En 1927 fue transferido al Departamento de Matemáticas y Mecánica de la Universidad Estatal de Leningrado como estudiante de segundo año, aprobando todos los exámenes. del primer año sin asistir a clases. [ cita necesaria ] Entre sus profesores universitarios estaban Nikolai Maximovich Günther y Vladimir Ivanovich Smirnov . Este último se convirtió en su director de tesis de maestría: el tema de la tesis era la convergencia de series dobles , [3] y fue defendida en 1929. Sergei Lvovich Sobolev estudió en la misma clase que Mikhlin. En 1930 comenzó su carrera docente, trabajando en algunos institutos de Leningrado durante breves períodos, como el propio Mikhlin registra en el documento (Mikhlin 1968). En 1932 consiguió un puesto en el Instituto Sismológico de la Academia de Ciencias de la URSS , donde trabajó hasta 1941: en 1935 obtuvo el título de " Doktor nauk " en Matemáticas y Física , sin tener que obtener el título de " kandidat nauk ", y finalmente en 1937 fue ascendido al rango de profesor. Durante la Segunda Guerra Mundial se convirtió en profesor de la Universidad de Kazajstán en Alma Ata . Desde 1944 SG Mikhlin es profesor en la Universidad Estatal de Leningrado . De 1964 a 1986 dirigió el Laboratorio de Métodos Numéricos del Instituto de Investigaciones en Matemáticas y Mecánica de la misma universidad: desde 1986 hasta su muerte fue investigador titular de ese laboratorio.
Recibió la orden de la Insignia de Honor (en ruso: Орден Знак Почёта ) en 1961: [4] el nombre de los destinatarios de este premio solía publicarse en los periódicos. Fue galardonado con la Laurea honoris causa por el Politécnico Karl-Marx-Stadt (actualmente Chemnitz ) en 1968 y fue elegido miembro de la Academia Alemana de Ciencias Leopoldina en 1970 y de la Accademia Nazionale dei Lincei en 1981. Como Fichera (1994, p. 51) afirma, en su país no recibió honores comparables a su talla científica, principalmente a causa de la política racial del régimen comunista , que se describe brevemente en el siguiente apartado.
Vivió uno de los períodos más difíciles de la historia rusa contemporánea. Lorentz (2002) describe bien el estado de las ciencias matemáticas durante este período: el ascenso de la ideología marxista en las universidades y la academia de la URSS fue uno de los temas principales de ese período. Los administradores locales y los funcionarios del partido comunista interfirieron con los científicos por motivos étnicos o ideológicos . De hecho, durante la guerra y durante la creación de un nuevo sistema académico, Mikhlin no experimentó las mismas dificultades que los científicos soviéticos más jóvenes de origen judío: por ejemplo, fue incluido en la delegación soviética en 1958, en el Congreso Internacional. de Matemáticos de Edimburgo. [5] Sin embargo, Fichera (1994, págs. 56-60), al examinar la vida de Mikhlin, la encuentra sorprendentemente similar a la vida de Vito Volterra bajo el régimen fascista . Señala que el antisemitismo en los países comunistas adoptó formas diferentes en comparación con su homólogo nazi : el régimen comunista no pretendía el brutal homicidio de judíos, sino que les impuso una serie de restricciones, a veces muy crueles, para hacerles la vida más difícil. Durante el período de 1963 a 1981, conoció a Mikhlin, asistiendo a varias conferencias en la Unión Soviética , y se dio cuenta de que se encontraba en un estado de aislamiento, casi marginado dentro de su comunidad natal: Fichera describe varios episodios que revelan este hecho. [6] Quizás la más esclarecedora es la elección de Mikhlin como miembro de la Accademia Nazionale dei Lincei : en junio de 1981, Solomon G. Mikhlin fue elegido miembro extranjero de la promoción de ciencias matemáticas y físicas de Lincei. Al principio fue propuesto como ganador del Premio Antonio Feltrinelli , pero la confiscación casi segura del premio por parte de las autoridades soviéticas indujo a los miembros del Lincei a elegirlo como miembro: decidieron honrarlo de una manera que ningún político la autoridad podría enajenar . [7] Sin embargo, las autoridades soviéticas no permitieron a Mikhlin visitar Italia, [8] por lo que Fichera y su esposa llevaron el pequeño lince dorado , el símbolo de la membresía Lincei, directamente al departamento de Mikhlin en Leningrado el 17 de octubre de 1981: el Los únicos invitados a esa "ceremonia" fueron Vladimir Maz'ya.y su esposa Tatyana Shaposhnikova .
Ellos simplemente tienen poder, pero nosotros tenemos teoremas. ¡Por eso somos más fuertes!
— Solomon G. Mikhlin, citado por Vladimir Maz'ya (2014, p. 142)
Según Fichera (1994, págs. 60-61), que refiere una conversación con Mark Vishik y Olga Oleinik , el 29 de agosto de 1990 Mikhlin salió de casa para comprar medicinas para su esposa Eugenia. En un transporte público sufrió un derrame cerebral letal. No llevaba documentos consigo, por lo que fue identificado sólo algún tiempo después de su muerte: esta puede ser la causa de la diferencia en la fecha de muerte indicada en varias biografías y necrológicas. [9] Fichera también escribe que la esposa de Mikhlin, Eugenia, le sobrevivió sólo unos meses.
Fue autor de monografías y libros de texto que se convierten en clásicos por su estilo. Su investigación se dedica principalmente a los siguientes campos. [10]
En la teoría matemática de la elasticidad , Mikhlin se ocupó de tres temas: el problema del plano (principalmente de 1932 a 1935), la teoría de las capas (de 1954) y el espectro de Cosserat (de 1967 a 1973). [11] Al abordar el problema de la elasticidad plana, propuso dos métodos para su solución en dominios múltiples conexos . El primero se basa en la llamada función compleja de Green y la reducción del problema de valores límite relacionado a ecuaciones integrales . El segundo método es una cierta generalización del algoritmo clásico de Schwarz para la solución del problema de Dirichlet en un dominio determinado dividiéndolo en problemas más simples en dominios más pequeños cuya unión es la original. Mikhlin estudió su convergencia y dio aplicaciones a problemas aplicados especiales. Demostró teoremas de existencia para los problemas fundamentales de elasticidad plana que involucran medios anisotrópicos no homogéneos : estos resultados se recogen en el libro (Mikhlin 1957). En cuanto a la teoría de las conchas, hay varios artículos de Mikhlin que la tratan. Estudió el error de la solución aproximada para conchas similares a las placas planas y descubrió que este error es pequeño para el llamado estado de tensión puramente rotacional . Como resultado de su estudio de este problema, Mikhlin también dio una nueva forma ( invariante ) de las ecuaciones básicas de la teoría. También demostró un teorema sobre las perturbaciones de operadores positivos en un espacio de Hilbert que le permitió obtener una estimación del error para el problema de aproximar una capa inclinada mediante una placa plana. [12] Mikhlin estudió también el espectro del operador lápiz del operador elastostático lineal clásico u operador de Navier-Cauchy.
donde es el vector de desplazamiento , es el vector laplaciano , es el gradiente , es la divergencia y es un valor propio de Cosserat. La descripción completa del espectro y la prueba de la integridad del sistema de funciones propias se deben también a Mikhlin, y en parte a VG Maz'ya en su único trabajo conjunto. [13]
Es uno de los fundadores de la teoría multidimensional de las integrales singulares , junto con Francesco Tricomi y Georges Giraud , y también uno de los principales contribuyentes. Por integral singular nos referimos a un operador integral de la siguiente forma
donde es un punto en el espacio euclidiano de n dimensiones , =| | y son las coordenadas hiperesféricas (o las coordenadas polares o las coordenadas esféricas respectivamente cuando o ) del punto con respecto al punto . Estos operadores se denominan singulares porque la singularidad del núcleo del operador es tan fuerte que la integral no existe en el sentido ordinario, sino sólo en el sentido del valor principal de Cauchy . [14] Mikhlin fue el primero en desarrollar una teoría de ecuaciones integrales singulares como teoría de ecuaciones de operadores en espacios funcionales . En los artículos (Mikhlin 1936a) y (Mikhlin 1936b) encontró una regla para la composición de integrales singulares dobles (es decir, en espacios euclidianos bidimensionales ) e introdujo la noción muy importante de símbolo de una integral singular. Esto le permitió demostrar que el álgebra de operadores integrales singulares acotados es isomorfa al álgebra de funciones escalares o matriciales . Demostró los teoremas de Fredholm para ecuaciones integrales singulares y sistemas de tales ecuaciones bajo la hipótesis de no degeneración del símbolo: también demostró que el índice de una única ecuación integral singular en el espacio euclidiano es cero . En 1961 Mikhlin desarrolló una teoría de ecuaciones integrales singulares multidimensionales en espacios de Lipschitz . Estos espacios se utilizan ampliamente en la teoría de ecuaciones integrales singulares unidimensionales: sin embargo, la extensión directa de la teoría relacionada al caso multidimensional encuentra algunas dificultades técnicas, y Mikhlin sugirió otro enfoque para este problema. Precisamente, obtuvo las propiedades básicas de este tipo de ecuaciones integrales singulares como subproducto de la teoría del espacio L p de estas ecuaciones. Mikhlin también demostró [15] un teorema ahora clásico sobre los multiplicadores de la transformada de Fourier en el espacio L p , basado en un teorema análogo de Józef Marcinkiewicz sobre la serie de Fourier. . Una colección completa de sus resultados en este campo hasta 1965, así como las contribuciones de otros matemáticos como Tricomi , Giraud , Calderón y Zygmund , [16] está contenida en la monografía (Mikhlin 1965). [17]
A mediados de los años sesenta del siglo XX, se logró una síntesis de las teorías de integrales singulares y operadores diferenciales parciales lineales mediante la teoría de operadores pseudodiferenciales : Joseph J. Kohn , Louis Nirenberg , Lars Hörmander y otros realizaron esta síntesis, pero esta La teoría debe su ascenso a los descubrimientos de Mikhlin, como es universalmente reconocido. [2] Esta teoría tiene numerosas aplicaciones a la física matemática . El teorema del multiplicador de Mikhlin es ampliamente utilizado en diferentes ramas del análisis matemático , particularmente en la teoría de ecuaciones diferenciales . El análisis de los multiplicadores de Fourier fue posteriormente presentado por Lars Hörmander , Walter Littman, Elias Stein , Charles Fefferman y otros.
En cuatro artículos, publicados en el período 1940-1942, Mikhlin aplica el método de los potenciales al problema mixto de la ecuación de onda . En particular, resuelve el problema mixto de la ecuación de onda bidimensional en el semiplano reduciéndolo a la ecuación integral plana de Abel . Para dominios planos con un límite curvilíneo suficientemente suave, reduce el problema a una ecuación integro-diferencial , que también puede resolver cuando el límite del dominio dado es analítico . En 1951, Mikhlin demostró la convergencia del método alterno de Schwarz para ecuaciones elípticas de segundo orden . [18] También aplicó los métodos de análisis funcional , al mismo tiempo que Mark Vishik pero independientemente de él, a la investigación de problemas de valores en la frontera para ecuaciones diferenciales parciales elípticas degeneradas de segundo orden.
Su trabajo en este campo se puede dividir en varias ramas: [19] en el siguiente texto se describen cuatro ramas principales y también se ofrece un bosquejo de sus últimas investigaciones. Los artículos de la primera rama se resumen en la monografía (Mikhlin 1964), que contiene el estudio de la convergencia de métodos variacionales para problemas relacionados con operadores positivos , en particular, para algunos problemas de física matemática . Se demuestran estimaciones tanto "a priori" como "a posteriori" de los errores relativos a la aproximación dada por estos métodos. La segunda rama trata de la noción de estabilidad de un proceso numérico introducida por el propio Mikhlin. Aplicada al método variacional, esta noción le permite enunciar condiciones necesarias y suficientes para minimizar los errores en la solución del problema dado cuando el error que surge en la construcción numérica del sistema algebraico resultante de la aplicación del método en sí es suficientemente pequeño, sin importar cuán grande sea el orden del sistema. La tercera rama es el estudio de los métodos de diferencias variacionales y de elementos finitos . Mikhlin estudió la integridad de las funciones de coordenadas utilizadas en este método en el espacio de Sobolev W 1, p , derivando el orden de aproximación en función de las propiedades de suavidad de las funciones que se van a aproximar . También caracterizó la clase de funciones de coordenadas que dan el mejor orden de aproximación y ha estudiado la estabilidad del proceso de diferencia variacional y el crecimiento del número de condición de la matriz de variación-diferencia . Mikhlin también estudió la aproximación de elementos finitos en espacios ponderados de Sobolev relacionados con la solución numérica de ecuaciones elípticas degeneradas . Encontró el orden óptimo de aproximación para algunos métodos de solución de desigualdades variacionales . La cuarta rama de su investigación en matemáticas numéricas es un método para la solución de ecuaciones integrales de Fredholm al que llamó método resolutivo : su esencia se basa en la posibilidad de sustituir el núcleo del operador integral.por su aproximación en diferencia variacional, de modo que el resolutivo del nuevo núcleo pueda expresarse mediante relaciones de recurrencia simples . Esto elimina la necesidad de construir y resolver grandes sistemas de ecuaciones . [20] Durante sus últimos años, Mikhlin contribuyó a la teoría de los errores en los procesos numéricos, [21] proponiendo la siguiente clasificación de errores .
Esta clasificación es útil ya que permite desarrollar métodos computacionales ajustados para disminuir los errores de cada tipo en particular, siguiendo el principio divide et impera (divide y vencerás).
Fue el asesor " kandidat nauk " de Tatyana O. Shaposhnikova . También fue mentor y amigo de Vladimir Maz'ya : nunca fue su supervisor oficial , pero su amistad con el joven estudiante Maz'ya tuvo una gran influencia en la configuración de su estilo matemático.
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