En matemáticas , una transformación integral es un tipo de transformación que asigna una función de su espacio funcional original a otro espacio funcional mediante integración , donde algunas de las propiedades de la función original podrían caracterizarse y manipularse más fácilmente que en el espacio funcional original. La función transformada generalmente se puede mapear nuevamente al espacio funcional original usando la transformación inversa .
Una transformada integral es cualquier transformada de la siguiente forma:
La entrada de esta transformación es una función y la salida es otra función . Una transformada integral es un tipo particular de operador matemático .
Existen numerosas transformaciones integrales útiles. Cada uno se especifica mediante la elección de la función de dos variables , lo que se denomina núcleo de la transformación.
Algunos núcleos tienen un núcleo inverso asociado que (en términos generales) produce una transformación inversa:
Un núcleo simétrico es aquel que no cambia cuando se permutan las dos variables; es una función del núcleo tal que . En la teoría de ecuaciones integrales, los núcleos simétricos corresponden a operadores autoadjuntos . [1]
Hay muchas clases de problemas que son difíciles de resolver (o al menos bastante difíciles de manejar algebraicamente) en sus representaciones originales. Una transformación integral "mapea" una ecuación desde su "dominio" original a otro dominio, en el que manipular y resolver la ecuación puede ser mucho más fácil que en el dominio original. Luego, la solución se puede trasladar al dominio original con la inversa de la transformada integral.
Hay muchas aplicaciones de probabilidad que se basan en transformaciones integrales, como el "núcleo de precios" o el factor de descuento estocástico , o el suavizado de datos recuperados de estadísticas sólidas; ver kernel (estadísticas) .
Las precursoras de las transformadas fueron las series de Fourier para expresar funciones en intervalos finitos. Posteriormente se desarrolló la transformada de Fourier para eliminar el requisito de intervalos finitos.
Utilizando la serie de Fourier, casi cualquier función práctica del tiempo (el voltaje entre los terminales de un dispositivo electrónico , por ejemplo) se puede representar como una suma de senos y cosenos , cada uno de ellos adecuadamente escalado (multiplicado por un factor constante), desplazado (avanzado). o retardado en el tiempo) y "apretado" o "estirado" (aumentando o disminuyendo la frecuencia). Los senos y cosenos de la serie de Fourier son un ejemplo de base ortonormal .
Como ejemplo de una aplicación de transformadas integrales, considere la transformada de Laplace . Esta es una técnica que transforma ecuaciones diferenciales o integrodiferenciales en el dominio del "tiempo" en ecuaciones polinómicas en lo que se denomina dominio de "frecuencia compleja" . (La frecuencia compleja es similar a la frecuencia física real, pero bastante más general. Específicamente, el componente imaginario ω de la frecuencia compleja s = − σ + iω corresponde al concepto habitual de frecuencia, es decir , la velocidad a la que circula una sinusoide, mientras que la componente real σ de la frecuencia compleja corresponde al grado de "amortiguación", es decir, una disminución exponencial de la amplitud). La ecuación formulada en términos de frecuencia compleja se resuelve fácilmente en el dominio de la frecuencia compleja (raíces de las ecuaciones polinómicas en el dominio de la frecuencia complejo corresponde a valores propios en el dominio del tiempo), lo que lleva a una "solución" formulada en el dominio de la frecuencia. Empleando la transformada inversa , es decir , el procedimiento inverso de la transformada de Laplace original, se obtiene una solución en el dominio del tiempo. En este ejemplo, los polinomios en el dominio de frecuencia complejo (que normalmente ocurren en el denominador) corresponden a series de potencias en el dominio del tiempo, mientras que los desplazamientos axiales en el dominio de frecuencia complejo corresponden a la amortiguación por exponenciales decrecientes en el dominio del tiempo.
La transformada de Laplace encuentra una amplia aplicación en física y particularmente en ingeniería eléctrica, donde las ecuaciones características que describen el comportamiento de un circuito eléctrico en el dominio de frecuencia complejo corresponden a combinaciones lineales de sinusoides amortiguadas con escala exponencial y desplazadas en el tiempo en el dominio del tiempo. Otras transformaciones integrales encuentran una aplicabilidad especial dentro de otras disciplinas científicas y matemáticas.
Otro ejemplo de uso es el kernel en la integral de ruta :
Esto establece que la amplitud total a la que llegar es la suma (la integral) de todos los valores posibles de la amplitud total para llegar al punto multiplicada por la amplitud para ir de a [ es decir ] . [2] A menudo se le conoce como el propagador de un sistema determinado. Este núcleo (físico) es el núcleo de la transformada integral. Sin embargo, para cada sistema cuántico existe un núcleo diferente. [3]
En los límites de integración de la transformada inversa, c es una constante que depende de la naturaleza de la función de transformación. Por ejemplo, para la transformada de Laplace de una y dos caras, c debe ser mayor que la parte real más grande de los ceros de la función de transformación.
Tenga en cuenta que existen notaciones y convenciones alternativas para la transformada de Fourier.
Aquí las transformaciones integrales se definen para funciones sobre números reales, pero se pueden definir de manera más general para funciones sobre un grupo.
Aunque las propiedades de las transformadas integrales varían ampliamente, tienen algunas propiedades en común. Por ejemplo, cada transformación integral es un operador lineal , ya que la integral es un operador lineal y, de hecho, si se permite que el núcleo sea una función generalizada , entonces todos los operadores lineales son transformadas integrales (una versión correctamente formulada de esta afirmación es la de Schwartz teorema del núcleo ).
La teoría general de este tipo de ecuaciones integrales se conoce como teoría de Fredholm . En esta teoría, se entiende que el núcleo es un operador compacto que actúa sobre un espacio de funciones de Banach. Dependiendo de la situación, el núcleo se denomina operador de Fredholm , operador nuclear o núcleo de Fredholm .
