Ecuación diferencial parcial elíptica

Clase de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden.

Las ecuaciones diferenciales parciales lineales (PDE) de segundo orden se clasifican como elípticas , hiperbólicas o parabólicas . Cualquier PDE lineal de segundo orden en dos variables se puede escribir en la forma

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}$

donde A , B , C , D , E , F y G son funciones de xey y donde , y de manera similar para . Una PDE escrita en esta forma es elíptica si ${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}}$ ${\displaystyle u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}}$ ${\displaystyle u_{xx},u_{y},u_{yy}}$

${\displaystyle B^{2}-AC<0,}$

con esta convención de nomenclatura inspirada en la ecuación de una elipse plana .

Los ejemplos más simples de PDE elípticas son la ecuación de Laplace , y la ecuación de Poisson . En cierto sentido, cualquier otra PDE elíptica en dos variables puede considerarse como una generalización de una de estas ecuaciones, ya que siempre se puede poner en la forma canónica. forma ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0}$ ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).}$

${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}$

mediante un cambio de variables. ^{[1] [2]}

Comportamiento cualitativo

Las ecuaciones elípticas no tienen curvas características reales , curvas a lo largo de las cuales no es posible eliminar al menos una segunda derivada de las condiciones del problema de Cauchy . ^[1] Dado que las curvas características son las únicas curvas a lo largo de las cuales las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales con parámetros suaves pueden tener derivadas discontinuas, las soluciones de ecuaciones elípticas no pueden tener derivadas discontinuas en ninguna parte. Esto significa que las ecuaciones elípticas son muy adecuadas para describir estados de equilibrio, donde ya se han suavizado las discontinuidades. Por ejemplo, podemos obtener la ecuación de Laplace a partir de la ecuación del calor estableciendo . Esto significa que la ecuación de Laplace describe un estado estacionario de la ecuación del calor. ^[2] ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{t}=\Delta u}$ ${\displaystyle u_{t}=0}$

En las ecuaciones parabólicas e hiperbólicas, las características describen líneas a lo largo de las cuales viaja la información sobre los datos iniciales. Dado que las ecuaciones elípticas no tienen curvas características reales, no existe un sentido significativo de propagación de información para las ecuaciones elípticas. Esto hace que las ecuaciones elípticas sean más adecuadas para describir procesos estáticos que dinámicos. ^[2]

Derivación de la forma canónica

Derivamos la forma canónica para ecuaciones elípticas en dos variables . ${\displaystyle u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}$

${\displaystyle \xi =\xi (x,y)}$y . ${\displaystyle \eta =\eta (x,y)}$

Si , aplicando la regla de la cadena una vez se obtiene ${\displaystyle u(\xi ,\eta )=u[\xi (x,y),\eta (x,y)]}$

${\displaystyle u_{x}=u_{\xi }\xi _{x}+u_{\eta }\eta _{x}}$y , ${\displaystyle u_{y}=u_{\xi }\xi _{y}+u_{\eta }\eta _{y}}$

una segunda aplicación da

${\displaystyle u_{xx}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{x}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{x}+2u_{\xi \eta }\xi _{x}\eta _{x}+u_{\xi }\xi _{xx}+u_{\eta }\eta _{xx},}$

${\displaystyle u_{yy}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{y}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{y}+2u_{\xi \eta }\xi _{y}\eta _{y}+u_{\xi }\xi _{yy}+u_{\eta }\eta _{yy},}$y

${\displaystyle u_{xy}=u_{\xi \xi }\xi _{x}\xi _{y}+u_{\eta \eta }\eta _{x}\eta _{y}+u_{\xi \eta }(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+u_{\xi }\xi _{xy}+u_{\eta }\eta _{xy}.}$

Podemos reemplazar nuestra PDE en x e y con una ecuación equivalente en y ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle au_{\xi \xi }+2bu_{\xi \eta }+cu_{\eta \eta }{\text{ + (lower-order terms)}}=0,\,}$

dónde

${\displaystyle a=A{\xi _{x}}^{2}+2B\xi _{x}\xi _{y}+C{\xi _{y}}^{2},}$

${\displaystyle b=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},}$y

${\displaystyle c=A{\eta _{x}}^{2}+2B\eta _{x}\eta _{y}+C{\eta _{y}}^{2}.}$

Para transformar nuestro PDE en la forma canónica deseada, buscamos y tal que y . Esto nos da el sistema de ecuaciones. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle a=c}$ ${\displaystyle b=0}$

${\displaystyle a-c=A({\xi _{x}}^{2}-{\eta _{x}}^{2})+2B(\xi _{x}\xi _{y}-\eta _{x}\eta _{y})+C({\xi _{y}}^{2}-{\eta _{y}}^{2})=0}$

${\displaystyle b=0=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},}$

Sumar la segunda ecuación a la primera y establecerla da la ecuación cuadrática ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \phi =\xi +i\eta }$

${\displaystyle A{\phi _{x}}^{2}+2B\phi _{x}\phi _{y}+C{\phi _{y}}^{2}=0.}$

Dado que el discriminante , esta ecuación tiene dos soluciones distintas, ${\displaystyle B^{2}-AC<0}$

${\displaystyle {\phi _{x}},{\phi _{y}}={\frac {B\pm i{\sqrt {AC-B^{2}}}}{A}}}$

que son conjugados complejos. Al elegir cualquiera de las soluciones, podemos resolver y recuperar y con las transformaciones y . Puesto que y satisfará y , entonces con un cambio de variables de x e y a y transformará la PDE ${\displaystyle \phi (x,y)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi =\operatorname {Re} \phi }$ ${\displaystyle \eta =\operatorname {Im} \phi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle a-c=0}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}$

en la forma canónica

${\displaystyle u_{\xi \xi }+u_{\eta \eta }+{\text{ (lower-order terms)}}=0,}$

como se desee.

En dimensiones superiores

Una ecuación diferencial parcial general de segundo orden en n variables toma la forma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;{\text{ + (lower-order terms)}}=0.}$

Esta ecuación se considera elíptica si no existen superficies características, es decir, superficies a lo largo de las cuales no es posible eliminar al menos una segunda derivada de u de las condiciones del problema de Cauchy . ^[1]

A diferencia del caso bidimensional, esta ecuación en general no puede reducirse a una forma canónica simple. ^[2]

Ver también

• Operador elíptico
• Ecuación diferencial parcial hiperbólica
• Ecuación diferencial parcial parabólica
• PDE de segundo orden (para una discusión más completa)

Referencias

1. Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob (2005). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-84886-2.
2. Zauderer, Erich (1989). Ecuaciones diferenciales parciales de Matemática Aplicada . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-61298-7.

enlaces externos

• "Ecuación diferencial parcial elíptica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Ecuación diferencial parcial elíptica, métodos numéricos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial parcial elíptica". MundoMatemático .