Formulación matemática del modelo estándar.

Matemáticas de un modelo de física de partículas.

Modelo estándar de física de partículas. El diagrama muestra las partículas elementales del Modelo Estándar (el bosón de Higgs , las tres generaciones de quarks y leptones , y los bosones calibre ), incluyendo sus nombres, masas, espines, cargas, quiralidades e interacciones con los sistemas fuerte , débil y electromagnético. efectivo. También describe el papel crucial del bosón de Higgs en la ruptura de la simetría electrodébil y muestra cómo las propiedades de las distintas partículas difieren en la fase simétrica (de alta energía) (arriba) y en la fase de simetría rota (de baja energía) (abajo). ).

Este artículo describe las matemáticas del modelo estándar de física de partículas , una teoría cuántica de campos calibre que contiene las simetrías internas del grupo de productos unitarios SU (3) × SU(2) ×  U(1) . Se considera comúnmente que la teoría describe el conjunto fundamental de partículas: los leptones , los quarks , los bosones de calibre y el bosón de Higgs .

El modelo estándar es renormalizable y matemáticamente autoconsistente, ^[1] sin embargo, a pesar de tener éxitos enormes y continuos en proporcionar predicciones experimentales, deja algunos fenómenos sin explicación . ^[2] En particular, aunque se incorpora la física de la relatividad especial , la relatividad general no, y el Modelo Estándar fallará en energías o distancias donde se espera que emerja el gravitón . Por lo tanto, en el contexto de la teoría de campos moderna, se la considera una teoría de campos eficaz .

Teoría cuántica de campos

El patrón de isospín débil T ₃ , hipercarga débil Y _W y carga de color de todas las partículas elementales conocidas, rotados por el ángulo de mezcla débil para mostrar la carga eléctrica Q , aproximadamente a lo largo de la vertical. El campo neutro de Higgs (cuadrado gris) rompe la simetría electrodébil e interactúa con otras partículas para darles masa.

El modelo estándar es una teoría cuántica de campos , lo que significa que sus objetos fundamentales son campos cuánticos que están definidos en todos los puntos del espacio-tiempo. QFT trata las partículas como estados excitados (también llamados cuantos ) de sus campos cuánticos subyacentes , que son más fundamentales que las partículas. Estos campos son

• los campos de fermiones , ψ , que representan las "partículas de materia";
• los campos de bosones electrodébiles , y B ; ${\displaystyle W_{1},W_{2},W_{3}}$
• el campo de gluones , G _a ; y
• el campo de Higgs , φ .

El hecho de que se trate de campos cuánticos en lugar de clásicos tiene la consecuencia matemática de que están valorados por el operador . En particular, los valores de los campos generalmente no conmutan. Como operadores, actúan sobre un estado cuántico ( vector ket ).

Presentaciones alternativas de los campos.

Como es común en la teoría cuántica, hay más de una forma de ver las cosas. Al principio, puede que los campos básicos indicados anteriormente no parezcan corresponderse bien con las "partículas fundamentales" del cuadro anterior, pero existen varias presentaciones alternativas que, en contextos particulares, pueden ser más apropiadas que las que se dan anteriormente.

Fermiones

En lugar de tener un campo de fermiones ψ , se puede dividir en componentes separados para cada tipo de partícula. Esto refleja la evolución histórica de la teoría cuántica de campos, ya que el componente electrónico ψ _e (que describe el electrón y su antipartícula, el positrón ) es entonces el campo ψ original de la electrodinámica cuántica , que luego fue acompañado por los campos ψ _μ y ψ _τ para el muón. y tauon respectivamente (y sus antipartículas). Se añadió la teoría electrodébil , y para los neutrinos correspondientes . Los quarks añaden aún más componentes. Para tener cuatro espinores como el electrón y otros componentes leptónicos , debe haber un componente quark por cada combinación de sabor y color , lo que eleva el total a 24 (3 para leptones cargados, 3 para neutrinos y 2,3,3). = 18 para quarks). Cada uno de ellos es un bispinor de cuatro componentes , para un total de 96 componentes de valores complejos para el campo de fermiones. ${\displaystyle \psi _{\nu _{\mathrm {e} }},\psi _{\nu _{\mu }}}$ ${\displaystyle \psi _{\nu _{\tau }}}$

Una definición importante es el campo de fermiones barrado , que se define como , donde denota el adjunto hermitiano de ψ , y γ ⁰ es la matriz gamma cero . Si se piensa que ψ es una matriz de n  × 1, entonces se debe considerar como una matriz de 1 ×  n . ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$ ${\displaystyle \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$

Una teoría quiral

Una descomposición independiente de ψ es la de componentes de quiralidad :

• Quiralidad "izquierda":   ${\displaystyle \psi ^{\rm {L}}={\frac {1}{2}}(1-\gamma _{5})\psi }$
• Quiralidad "correcta":   ${\displaystyle \psi ^{\rm {R}}={\frac {1}{2}}(1+\gamma _{5})\psi }$

¿Dónde está la quinta matriz gamma ? Esto es muy importante en el modelo estándar porque las interacciones de calibre tratan de manera diferente los componentes de quiralidad izquierda y derecha . ${\displaystyle \gamma _{5}}$

En particular, bajo transformaciones SU(2) de isospin débil , las partículas zurdas son dobletes de isospin débil, mientras que las diestras son singletes, es decir, el isospin débil de ψ _R es cero. Dicho de manera más sencilla, la interacción débil podría convertir, por ejemplo, un electrón zurdo en un neutrino zurdo (con emisión de un W ⁻ ), pero no podría hacerlo con las mismas partículas diestras. Además, el neutrino diestro originalmente no existía en el modelo estándar, pero el descubrimiento de la oscilación de neutrinos implica que los neutrinos deben tener masa , y dado que la quiralidad puede cambiar durante la propagación de una partícula masiva, los neutrinos diestros deben existir. en realidad. Sin embargo, esto no cambia la naturaleza quiral (probada experimentalmente) de la interacción débil.

Además, U(1) actúa de manera diferente sobre y (porque tienen diferentes hipercargas débiles ). ${\displaystyle \psi _{\mathrm {e} }^{\rm {L}}}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {e} }^{\rm {R}}}$

Estados propios de masa e interacción

De este modo se puede hacer una distinción entre, por ejemplo, los estados propios de masa y de interacción del neutrino. El primero es el estado que se propaga en el espacio libre, mientras que el segundo es el estado diferente que participa en las interacciones. ¿Cuál es la partícula "fundamental"? Para el neutrino, es convencional definir el "sabor" (vmi,vµ, ovτ) por el estado propio de interacción, mientras que para los quarks definimos el sabor (arriba, abajo, etc.) por el estado de masa. Podemos cambiar entre estos estados usando la matriz CKM para los quarks, o la matriz PMNS para los neutrinos (los leptones cargados, por otro lado, son estados propios tanto de masa como de sabor).

Además, si existe un término de fase complejo dentro de cualquiera de estas matrices, dará lugar a una violación directa del CP , lo que podría explicar el dominio de la materia sobre la antimateria en nuestro universo actual. Esto se ha demostrado para la matriz CKM y se espera para la matriz PMNS.

Energías positivas y negativas.

Finalmente, los campos cuánticos a veces se descomponen en partes energéticas "positivas" y "negativas": ψ = ψ ⁺ + ψ ⁻ . Esto no es tan común cuando se ha establecido una teoría cuántica de campos, pero a menudo ocupa un lugar destacado en el proceso de cuantificación de una teoría de campos.

bosones

Ángulo de Weinberg θ _W y relación entre las constantes de acoplamiento g, g' y e . Adaptado del libro de TD Lee Física de partículas e introducción a la teoría de campos (1981).

Debido al mecanismo de Higgs , los campos de bosones electrodébiles se "mezclan" para crear estados que son físicamente observables. Para conservar la invariancia del calibre, los campos subyacentes deben carecer de masa, pero los estados observables pueden ganar masa en el proceso. Estos estados son: ${\displaystyle W_{1},W_{2},W_{3}}$ ${\displaystyle B}$

El bosón neutro masivo (Z) :

$${\displaystyle Z=\cos \theta _{\rm {W}}W_{3}-\sin \theta _{\rm {W}}B}$$

$${\displaystyle A=\sin \theta _{\rm {W}}W_{3}+\cos \theta _{\rm {W}}B}$$

Los bosones W

$${\displaystyle W^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(W_{1}\mp iW_{2}\right)}$$

θ _Wángulo de Weinberg

El campo A es el fotón , que corresponde clásicamente al conocido campo electromagnético de cuatro potenciales  , es decir, los campos eléctrico y magnético. En realidad, el campo Z contribuye en cada proceso que realiza el fotón, pero debido a su gran masa, la contribución suele ser insignificante.

QFT perturbativo y la imagen de interacción

Gran parte de las descripciones cualitativas del modelo estándar en términos de "partículas" y "fuerzas" provienen de la visión del modelo de la teoría cuántica de campos perturbativa. En esto, el lagrangiano se descompone en lagrangianos de campo libre y de interacción separados . Los campos libres se ocupan de las partículas de forma aislada, mientras que los procesos que involucran a varias partículas surgen a través de interacciones. La idea es que el vector de estado sólo debería cambiar cuando las partículas interactúan, lo que significa que una partícula libre es aquella cuyo estado cuántico es constante. Esto corresponde al cuadro de interacción en la mecánica cuántica. ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {I} }}$

En la imagen más común de Schrödinger , incluso los estados de las partículas libres cambian con el tiempo: normalmente la fase cambia a un ritmo que depende de su energía. En la imagen alternativa de Heisenberg , los vectores de estado se mantienen constantes, al precio de que los operadores (en particular los observables ) sean dependientes del tiempo. La imagen de interacción constituye un intermedio entre los dos, donde cierta dependencia del tiempo se coloca en los operadores (los campos cuánticos) y otra en el vector de estado. En QFT, la primera se denomina parte de campo libre del modelo y la segunda se denomina parte de interacción. El modelo de campo libre se puede resolver exactamente y luego las soluciones del modelo completo se pueden expresar como perturbaciones de las soluciones de campo libre, por ejemplo utilizando la serie de Dyson .

Cabe señalar que la descomposición en campos libres e interacciones es, en principio, arbitraria. Por ejemplo, la renormalización en QED modifica la masa del electrón de campo libre para que coincida con la de un electrón físico (con un campo electromagnético) y, al hacerlo, agregará un término al campo libre lagrangiano que debe cancelarse mediante un contratérmino en el interacción lagrangiana, que luego aparece como un vértice de dos líneas en los diagramas de Feynman . Así es también como se cree que el campo de Higgs da masa a las partículas : la parte del término de interacción que corresponde al valor esperado de vacío distinto de cero del campo de Higgs se mueve de la interacción al campo libre lagrangiano, donde parece una masa. término que no tiene nada que ver con el campo de Higgs.

Campos libres

Bajo la descomposición libre/interacción habitual, que es adecuada para bajas energías, los campos libres obedecen a las siguientes ecuaciones:

• El campo de fermiones ψ satisface la ecuación de Dirac ; para cada tipo de fermión. ${\displaystyle (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{\rm {f}}c)\psi _{\rm {f}}=0}$ ${\displaystyle f}$
• El campo de fotones A satisface la ecuación de onda . ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0}$
• El campo de Higgs φ satisface la ecuación de Klein-Gordon .
• Los campos de interacción débiles Z , W ^± satisfacen la ecuación de Proca .

Estas ecuaciones se pueden resolver exactamente. Generalmente se hace considerando primeras soluciones que son periódicas con algún período L a lo largo de cada eje espacial; tomando luego el límite: L → ∞ eliminará esta restricción de periodicidad.

En el caso periódico, la solución de un campo F (cualquiera de los anteriores) se puede expresar como una serie de Fourier de la forma

$${\displaystyle F(x)=\beta \sum _{\mathbf {p} }\sum _{r}E_{\mathbf {p} }^{-{\frac {1}{2}}}\left(a_{r}(\mathbf {p} )u_{r}(\mathbf {p} )e^{-{\frac {ipx}{\hbar }}}+b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )v_{r}(\mathbf {p} )e^{\frac {ipx}{\hbar }}\right)}$$

• β es un factor de normalización; para el campo de fermiones es , donde se considera el volumen de la célula fundamental; para el campo de fotones A ^μ es . ${\displaystyle \psi _{\rm {f}}}$ ${\textstyle {\sqrt {m_{\rm {f}}c^{2}/V}}}$ ${\displaystyle V=L^{3}}$ ${\displaystyle \hbar c/{\sqrt {2V}}}$
• La suma sobre p es sobre todos los momentos consistentes con el período L , es decir, sobre todos los vectores donde son números enteros. ${\displaystyle {\frac {2\pi \hbar }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}$
• La suma de r cubre otros grados de libertad específicos del campo, como la polarización o el espín; normalmente sale como una suma de 1 a 2 o de 1 a 3 .
• Ep es la energía relativista para un cuanto de momento _p del campo,cuando la masa en reposo es m . ${\textstyle ={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}\mathbf {p} ^{2}}}}$
• a _r ( p ) yson operadores de aniquilación y creación respectivamente para "partículas a" y "partículas b" respectivamente de impulso p ; Las "partículas b" son las antipartículas de las "partículas a". Diferentes campos tienen diferentes partículas "a" y "b". Para algunos campos, a y b son iguales. ${\displaystyle b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$
• u _r ( p ) y v _r ( p ) son no operadores que llevan los aspectos vectoriales o espinores del campo (cuando sea relevante).
• ${\displaystyle p=(E_{\mathbf {p} }/c,\mathbf {p} )}$es el cuatro momento de un cuanto con momento p . denota un producto interno de cuatro vectores . ${\displaystyle px=p_{\mu }x^{\mu }}$

En el límite L → ∞ , la suma se convertiría en una integral con la ayuda de la V escondida dentro de β . El valor numérico de β también depende de la normalización elegida para y . ${\displaystyle u_{r}(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle v_{r}(\mathbf {p} )}$

Técnicamente, es el adjunto hermitiano del operador ar ( p ) en el espacio _producto interno de los vectores ket . La identificación de y ar ( p ) como operadores _de creación y aniquilación proviene de comparar cantidades conservadas para un estado antes y después de que uno de estos haya actuado sobre él. Por ejemplo, se puede ver que agrega una partícula, porque agregará 1 al valor propio del operador de número de partícula a , y el impulso de esa partícula debería ser p ya que el valor propio del operador de impulso con valor vectorial aumenta en esa cantidad. . Para estas derivaciones, se comienza con expresiones para los operadores en términos de campos cuánticos. Que los operadores con sean operadores de creación y el que no tenga operadores de aniquilación es una convención, impuesta por el signo de las relaciones de conmutación postuladas para ellos. ${\displaystyle a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle \dagger }$

Un paso importante en la preparación para el cálculo en la teoría cuántica de campos perturbativa es separar los factores "operadores" a y b anteriores de sus correspondientes factores vectoriales o de espinor u y v . Los vértices de los gráficos de Feynman provienen de la forma en que u y v de diferentes factores en la interacción lagrangiana encajan, mientras que los bordes provienen de la forma en que a s y b s deben moverse para colocar términos en la serie de Dyson. en forma normal.

Términos de interacción y el enfoque integral de ruta.

El lagrangiano también se puede derivar sin utilizar operadores de creación y aniquilación (el formalismo "canónico") mediante el uso de una formulación integral de trayectoria , iniciada por Feynman basándose en el trabajo anterior de Dirac. Los diagramas de Feynman son representaciones pictóricas de términos de interacción. De hecho, en el artículo sobre diagramas de Feynman se presenta una derivación rápida .

Formalismo lagrangiano

Interacciones en el modelo estándar. Todos los diagramas de Feynman del modelo se construyen a partir de combinaciones de estos vértices. q es cualquier quark, g es un gluón, X es cualquier partícula cargada, γ es un fotón, f es cualquier fermión, m es cualquier partícula con masa (con la posible excepción de los neutrinos), m _B es cualquier bosón con masa. En diagramas con múltiples etiquetas de partículas separadas por / se elige una etiqueta de partícula. En diagramas con etiquetas de partículas separadas por | las etiquetas deben elegirse en el mismo orden. Por ejemplo, en el caso electrodébil de cuatro bosones los diagramas válidos son WWWW, WWZZ, WWγγ, WWZγ. También se permite el conjugado de cada vértice listado (invirtiendo la dirección de las flechas). ^[3]

Ahora podemos dar más detalles sobre los términos libres y de interacción antes mencionados que aparecen en la densidad lagrangiana del modelo estándar . Cualquier término de este tipo debe ser invariante tanto de calibre como de marco de referencia; de lo contrario, las leyes de la física dependerían de una elección arbitraria o del marco de un observador. Por lo tanto, debe aplicarse la simetría global de Poincaré , que consta de simetría traslacional , simetría rotacional y la invariancia del marco de referencia inercial central para la teoría de la relatividad especial . La simetría de calibre local SU(3) × SU(2) × U(1) es la simetría interna . Los tres factores de la simetría de calibre juntos dan lugar a las tres interacciones fundamentales, después de que se hayan definido algunas relaciones apropiadas, como veremos.

Términos cinéticos

Una partícula libre puede representarse mediante un término de masa y un término cinético que se relaciona con el "movimiento" de los campos.

Campos de fermiones

El término cinético para un fermión de Dirac es

$${\displaystyle i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }$$

donde las anotaciones se llevan desde antes en el artículo. ψ puede representar cualquiera o todos los fermiones de Dirac en el modelo estándar. Generalmente, como se muestra a continuación, este término se incluye dentro de los acoplamientos (creando un término "dinámico" general).

Campos de calibre

Para los campos spin-1, primero defina el tensor de intensidad de campo

$${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}$$

para un campo de calibre dado (aquí usamos A ), con constante de acoplamiento de calibre g . La cantidad f  ^abc es la constante de estructura del grupo de calibre particular, definido por el conmutador 

$${\displaystyle [t_{a},t_{b}]=if^{abc}t_{c},}$$

donde ti _son los generadores del grupo. En un grupo abeliano (conmutativo) (como el U(1) que usamos aquí), las constantes de estructura desaparecen, ya que todos los generadores _t conmutan entre sí. Por supuesto, este no es el caso en general: el modelo estándar incluye los grupos no abelianos SU(2) y SU(3) (tales grupos conducen a lo que se llama una teoría del calibre de Yang-Mills ).

Necesitamos introducir tres campos de calibre correspondientes a cada uno de los subgrupos SU(3) × SU(2) ×  U(1) .

• El tensor de campo de gluones se denotará por , donde el índice a etiqueta los elementos de la representación 8 del color SU(3) . La constante de acoplamiento fuerte se denomina convencionalmente g _s (o simplemente g donde no hay ambigüedad). Las observaciones que llevaron al descubrimiento de esta parte del modelo estándar se analizan en el artículo sobre cromodinámica cuántica . ${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}}$
• La notación se utilizará para el tensor de campo calibre de SU(2) donde a pasa por los 3 generadores de este grupo. El acoplamiento puede denominarse g _w o simplemente g . El campo de calibre se indicará con . ${\displaystyle W_{\mu \nu }^{a}}$ ${\displaystyle W_{\mu }^{a}}$
• El tensor de campo de calibre para la U(1) de hipercarga débil se indicará con B _μν , el acoplamiento con g′ y el campo de calibre con B _μ .

El término cinético ahora se puede escribir como

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {kin}}=-{1 \over 4}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} W_{\mu \nu }W^{\mu \nu }-{1 \over 2}\mathrm {tr} G_{\mu \nu }G^{\mu \nu }}$$

donde las trazas están sobre los índices SU(2) y SU(3) ocultos en W y G respectivamente. Los objetos de dos índices son las intensidades de campo derivadas de W y G , los campos vectoriales. También hay dos parámetros ocultos adicionales: los ángulos theta para SU(2) y SU(3) .

Términos de acoplamiento

El siguiente paso es "acoplar" los campos calibre a los fermiones, permitiendo interacciones.

Sector electrodébil

El sector electrodébil interactúa con el grupo de simetría U(1) × SU(2) _L , donde el subíndice L indica acoplamiento solo a fermiones zurdos.

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {EW} }=\sum _{\psi }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\left(i\partial _{\mu }-g^{\prime }{1 \over 2}Y_{\mathrm {W} }B_{\mu }-g{1 \over 2}{\boldsymbol {\tau }}\mathbf {W} _{\mu }\right)\psi }$$

donde B _μ es el campo de calibre U(1) ; Y _W es la hipercarga débil (el generador del grupo U(1) ); W _μ es el campo calibre SU(2) de tres componentes ; y los componentes de τ son las matrices de Pauli (generadores infinitesimales del grupo SU(2) ) cuyos valores propios dan el isospin débil. Tenga en cuenta que tenemos que redefinir una nueva simetría U(1) de hipercarga débil , diferente de QED, para lograr la unificación con la fuerza débil. La carga eléctrica Q , tercer componente del isospin débil T ₃ (también llamado T _z , I ₃ o I _z ) y la hipercarga débil Y _W están relacionadas por

$${\displaystyle Q=T_{3}+{\tfrac {1}{2}}Y_{\rm {W}},}$$

convención alternativa Q = T ₃ + Y _Wfórmula anterior de Gell-Mann-Nishijima

Entonces se puede definir la corriente conservada para isospin débil como

$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mu }={1 \over 2}{\bar {\psi }}_{\rm {L}}\gamma _{\mu }{\boldsymbol {\tau }}\psi _{\rm {L}}}$$

$${\displaystyle j_{\mu }^{Y}=2(j_{\mu }^{\rm {em}}-j_{\mu }^{3})~,}$$

estas corrientes se mezclan ${\displaystyle j_{\mu }^{\rm {em}}}$ ${\displaystyle j_{\mu }^{3}}$

Para explicar esto de una manera más sencilla, podemos ver el efecto de la interacción electrodébil seleccionando términos del lagrangiano. Vemos que la simetría SU(2) actúa sobre cada doblete de fermión (zurdo) contenido en ψ , por ejemplo

$${\displaystyle -{g \over 2}({\bar {\nu }}_{e}\;{\bar {e}})\tau ^{+}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }{\begin{pmatrix}{\nu _{e}}\\e\end{pmatrix}}=-{g \over 2}{\bar {\nu }}_{e}\gamma _{\mu }(W^{+})^{\mu }e}$$

$${\displaystyle \tau ^{+}\equiv {1 \over 2}(\tau ^{1}{+}i\tau ^{2})={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$$

Se trata de una interacción correspondiente a una "rotación en un espacio de isospin débil" o, en otras palabras, una transformación entre e _L y ν _eL mediante la emisión de un bosón W ⁻ . La simetría U(1) , por otro lado, es similar al electromagnetismo, pero actúa sobre todos los fermiones " débiles hipercargados " (tanto zurdos como diestros) a través del neutro Z ⁰ , así como sobre los fermiones cargados a través del fotón. .

Sector de la cromodinámica cuántica

_{El sector de} la cromodinámica cuántica (QCD) define las interacciones entre quarks y gluones , con simetría SU(3) , generada por Ta . Dado que los leptones no interactúan con los gluones, este sector no los afecta. El Lagrangiano de Dirac de los quarks acoplados a los campos de gluones viene dado por

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=i{\overline {U}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }U+i{\overline {D}}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a}T^{a}\right)\gamma ^{\mu }D.}$$

donde U y D son los espinores de Dirac asociados con quarks de tipo arriba y abajo, y otras notaciones continúan de la sección anterior.

Términos de masa y el mecanismo de Higgs

términos de masa

El término de masa que surge del Lagrangiano de Dirac (para cualquier fermión ψ ) es el que no es invariante bajo la simetría electrodébil. Esto se puede ver escribiendo ψ en términos de componentes diestros y zurdos (omitiendo el cálculo real): ${\displaystyle -m{\bar {\psi }}\psi }$

$${\displaystyle -m{\bar {\psi }}\psi =-m({\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {R}}+{\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {L}})}$$

es decir, la contribución de y los términos no aparecen. Vemos que la interacción generadora de masa se logra mediante un cambio constante de la quiralidad de las partículas. Las partículas de mitad de espín no tienen un par de quiralidad derecha/izquierda con las mismas representaciones SU(2) e hipercargas débiles iguales y opuestas, por lo que suponiendo que estas cargas calibre se conserven en el vacío, ninguna de las partículas de mitad de espín podría jamás intercambiar quiralidad. y debe permanecer sin masa. Además, sabemos experimentalmente que los bosones W y Z son masivos, pero un término de masa de bosón contiene la combinación, por ejemplo, A ^μ A _μ , que claramente depende de la elección del calibre. Por lo tanto, ninguno de los fermiones o bosones del modelo estándar puede "comenzar" con masa, sino que debe adquirirla mediante algún otro mecanismo. ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}}$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}}$

El mecanismo de Higgs

La solución a ambos problemas proviene del mecanismo de Higgs , que involucra campos escalares (cuyo número depende de la forma exacta del mecanismo de Higgs) que (para dar la descripción más breve posible) son "absorbidos" por los bosones masivos como grados de libertad, y qué se acoplan a los fermiones mediante el acoplamiento de Yukawa para crear lo que parecen términos de masa.

En el modelo estándar, el campo de Higgs es un campo escalar complejo del grupo SU(2) _L :

$${\displaystyle \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\phi ^{+}\\\phi ^{0}\end{pmatrix}},}$$

donde los superíndices + y 0 indican la carga eléctrica ( Q ) de los componentes. La hipercarga débil ( Y _W ) de ambos componentes es 1 .

La parte de Higgs del lagrangiano es

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {H}}=\left[\left(\partial _{\mu }-igW_{\mu }^{a}t^{a}-ig'Y_{\phi }B_{\mu }\right)\phi \right]^{2}+\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2},}$$

donde λ > 0 y μ ² > 0 , de modo que se puede utilizar el mecanismo de ruptura espontánea de simetría . Hay aquí un parámetro, al principio oculto dentro de la forma del potencial, que es muy importante. En un medidor unitario se puede establecer y hacer real. Entonces es el valor esperado de vacío que no desaparece del campo de Higgs. tiene unidades de masa y es el único parámetro en el modelo estándar que no es adimensional. También es mucho más pequeña que la escala de Planck y aproximadamente el doble de la masa del Higgs, lo que establece la escala de masa de todas las demás partículas en el Modelo Estándar. Este es el único ajuste real a un valor pequeño distinto de cero en el modelo estándar. Surgen términos cuadráticos en W _μ y B _μ , que dan masas a los bosones W y Z: ${\displaystyle \phi ^{+}=0}$ ${\displaystyle \phi ^{0}}$ ${\displaystyle \langle \phi ^{0}\rangle =v}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\rm {W}}&={\tfrac {1}{2}}vg\\M_{\rm {Z}}&={\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {g^{2}+{g'}^{2}}}\end{aligned}}}$$

La masa del bosón de Higgs está dada por ${\textstyle M_{\rm {H}}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}.}$

La interacción Yukawa

Los términos de interacción de Yukawa son

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{Yukawa}}=(Y_{u})_{mn}({\bar {q}}_{L})_{m}{\tilde {\varphi }}(u_{R})_{n}+(Y_{d})_{mn}({\bar {q}}_{L})_{m}\varphi (d_{R})_{n}+(Y_{e})_{mn}({\bar {L}}_{L})_{m}{\tilde {\varphi }}(e_{R})_{n}+\mathrm {h.c.} }$$

donde , y son matrices de 3 × 3 de acoplamientos de Yukawa, donde el término mn da el acoplamiento de las generaciones myn , y hc significa conjugado hermitiano de los términos anteriores . Los campos y son dobletes de quarks y leptones zurdos. Asimismo, y son quarks diestros de tipo arriba, quarks de tipo abajo y singletes de leptones. Finalmente está el doblete de Higgs y ${\displaystyle Y_{u}}$ ${\displaystyle Y_{d}}$ ${\displaystyle Y_{e}}$ ${\displaystyle q_{L}}$ ${\displaystyle L_{L}}$ ${\displaystyle u_{R},d_{R}}$ ${\displaystyle e_{R}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}=i\tau _{2}\varphi ^{*}}$

Masas de neutrinos

Como se mencionó anteriormente, la evidencia muestra que los neutrinos deben tener masa. Pero en el modelo estándar el neutrino diestro no existe, por lo que incluso con un acoplamiento Yukawa los neutrinos permanecen sin masa. Una solución obvia ^[4] es simplemente agregar un neutrino diestro ν _R , lo que requiere la adición de un nuevo término de masa de Dirac en el sector Yukawa:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Dir}}=(Y_{\nu })_{mn}({\bar {L}}_{L})_{m}\varphi (\nu _{R})_{n}+\mathrm {h.c.} }$$

Sin embargo, este campo debe ser un neutrino estéril , ya que al ser diestro pertenece experimentalmente a un singlete de isospin ( T ₃ = 0 ) y también tiene carga Q = 0 , lo que implica Y _W = 0 (ver arriba), es decir, ni siquiera participa. en la interacción débil. Actualmente, la evidencia experimental sobre neutrinos estériles no es concluyente. ^[5]

Otra posibilidad a considerar es que el neutrino satisfaga la ecuación de Majorana , lo que en un principio parece posible debido a su carga eléctrica nula. En este caso se añade un nuevo término de masa Majorana al Sector Yukawa:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\nu }^{\text{Maj}}=-{\frac {1}{2}}m\left({\overline {\nu }}^{C}\nu +{\overline {\nu }}\nu ^{C}\right)}$$

donde C denota una partícula con carga conjugada (es decir, anti-), y los términos son consistentemente todos de quiralidad izquierda (o completamente derecha) (tenga en cuenta que una proyección de quiralidad izquierda de una antipartícula es un campo diestro; se debe tener cuidado aquí debido a diferentes notaciones utilizadas a veces). Aquí esencialmente estamos cambiando entre neutrinos zurdos y antineutrinos diestros (además, es posible, pero no necesario, que los neutrinos sean su propia antipartícula, por lo que estas partículas son iguales). Sin embargo, para los neutrinos de quiralidad izquierda, este término cambia la hipercarga débil en 2 unidades (lo que no es posible con la interacción estándar de Higgs, lo que requiere que el campo de Higgs se extienda para incluir un triplete adicional con hipercarga débil = 2 ^[4] ), mientras que para los neutrinos de quiralidad neutrinos quirales, no son necesarias extensiones de Higgs. Tanto para los casos de quiralidad izquierda como derecha, los términos de Majorana violan el número de leptones , pero posiblemente a un nivel más allá de la sensibilidad actual de los experimentos para detectar tales violaciones. ${\displaystyle \nu }$

Es posible incluir los términos de masa de Dirac y Majorana en la misma teoría, lo que (a diferencia del enfoque de masa de Dirac únicamente) puede proporcionar una explicación "natural" para la pequeñez de las masas de neutrinos observadas, al vincular las masas derecha- entregó neutrinos a una física aún desconocida en torno a la escala GUT ^[6] (ver mecanismo de balancín ).

Dado que en cualquier caso deben postularse nuevos campos para explicar los resultados experimentales, los neutrinos son una puerta de entrada obvia para buscar física más allá del Modelo Estándar .

Información detallada

Esta sección proporciona más detalles sobre algunos aspectos y algún material de referencia. Aquí también se proporcionan términos lagrangianos explícitos .

Contenido del campo en detalle

El Modelo Estándar tiene los siguientes campos. Estos describen una generación de leptones y quarks, y hay tres generaciones, por lo que hay tres copias de cada campo fermiónico. Por simetría CPT, existe un conjunto de fermiones y antifermiones con paridad y cargas opuestas. Si un fermión zurdo abarca alguna representación, su antipartícula (antifermión diestro) abarca la representación dual ^[7] (tenga en cuenta que para SU(2), porque es pseudo-real ). La columna " representación " indica bajo qué representaciones de los grupos de calibre transforma cada campo, en el orden (SU(3), SU(2), U(1)) y para el grupo U(1), el valor de la Se enumera una hipercarga débil . Hay el doble de componentes de campo leptónicos zurdos que de campos leptónicos diestros en cada generación, pero un número igual de componentes de campos de quarks zurdos y diestros. ${\displaystyle {\bar {\mathbf {2} }}={\mathbf {2} }}$

Contenido de fermiones

Esta tabla se basa en parte en datos recopilados por Particle Data Group . ^[9]

Parámetros libres

Al escribir el lagrangiano más general con neutrinos sin masa, se encuentra que la dinámica depende de 19 parámetros, cuyos valores numéricos se establecen experimentalmente. Las extensiones sencillas del modelo estándar con neutrinos masivos necesitan 7 parámetros más (3 masas y 4 parámetros de matriz PMNS) para un total de 26 parámetros. ^[10] Los valores de los parámetros de neutrinos aún son inciertos. Los 19 parámetros determinados se resumen aquí.

La elección de parámetros libres es algo arbitraria. En la tabla anterior, los acoplamientos de calibre se enumeran como parámetros libres; por lo tanto, con esta elección el ángulo de Weinberg no es un parámetro libre: se define como . Asimismo, la constante de estructura fina de QED es . En lugar de masas de fermiones, se pueden elegir como parámetros libres acoplamientos Yukawa adimensionales. Por ejemplo, la masa del electrón depende del acoplamiento Yukawa del electrón al campo de Higgs, y su valor es . En lugar de la masa de Higgs, se puede elegir como parámetro libre la fuerza de autoacoplamiento de Higgs , que es de aproximadamente 0,129. En lugar del valor esperado del vacío de Higgs, se puede elegir el parámetro directamente del término de autointeracción de Higgs . Su valor es , o aproximadamente GeV. ${\displaystyle \tan \theta _{\rm {W}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}}$ ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {(g_{1}g_{2})^{2}}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}}}}$ ${\displaystyle m_{\rm {e}}={\frac {y_{\rm {e}}}{\sqrt {2}}}v}$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {m_{\rm {H}}^{2}}{2v^{2}}}}$ ${\displaystyle \mu ^{2}}$ ${\displaystyle \mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}}$ ${\displaystyle \mu ^{2}=\lambda v^{2}={\frac {m_{\rm {H}}^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle \mu =88.45}$

El valor de la energía del vacío (o más precisamente, la escala de renormalización utilizada para calcular esta energía) también puede tratarse como un parámetro libre adicional. La escala de renormalización puede identificarse con la escala de Planck o ajustarse para que coincida con la constante cosmológica observada . Sin embargo, ambas opciones son problemáticas . ^[11]

Simetrías adicionales del modelo estándar

Desde el punto de vista teórico, el Modelo Estándar exhibe cuatro simetrías globales adicionales, no postuladas al inicio de su construcción, denominadas colectivamente simetrías accidentales , que son simetrías globales U(1) continuas . Las transformaciones que salen del invariante lagrangiano son:

$${\displaystyle \psi _{\text{q}}(x)\to e^{i\alpha /3}\psi _{\text{q}}}$$

$${\displaystyle E_{\rm {L}}\to e^{i\beta }E_{\rm {L}}{\text{ and }}(e_{\rm {R}})^{c}\to e^{i\beta }(e_{\rm {R}})^{c}}$$

$${\displaystyle M_{\rm {L}}\to e^{i\beta }M_{\rm {L}}{\text{ and }}(\mu _{\rm {R}})^{c}\to e^{i\beta }(\mu _{\rm {R}})^{c}}$$

$${\displaystyle T_{\rm {L}}\to e^{i\beta }T_{\rm {L}}{\text{ and }}(\tau _{\rm {R}})^{c}\to e^{i\beta }(\tau _{\rm {R}})^{c}}$$

La primera regla de transformación es abreviada, lo que significa que todos los campos de quarks de todas las generaciones deben rotarse en una fase idéntica simultáneamente. Los campos M _L , T _L y son los análogos de segunda (muón) y tercera (tau) generación de los campos E _L y . ${\displaystyle (\mu _{\rm {R}})^{c},(\tau _{\rm {R}})^{c}}$ ${\displaystyle (e_{\rm {R}})^{c}}$

Según el teorema de Noether , cada simetría anterior tiene una ley de conservación asociada : la conservación del número bariónico , ^[12] del número de electrones , del número de muones y del número tau . A cada quark se le asigna un número bariónico de , mientras que a cada antiquark se le asigna un número bariónico de . La conservación del número bariónico implica que el número de quarks menos el número de antiquarks es una constante. Dentro de los límites experimentales, no se ha encontrado ninguna violación de esta ley de conservación. ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ${\textstyle -{\frac {1}{3}}}$

De manera similar, a cada electrón y su neutrino asociado se le asigna un número de electrón de +1, mientras que el antielectrón y el antineutrino asociado tienen un número de electrón de -1. De manera similar, a los muones y sus neutrinos se les asigna un número de muón de +1 y a los leptones tau se les asigna un número de leptón tau de +1. El modelo estándar predice que cada uno de estos tres números debe conservarse por separado de una manera similar a como se conserva el número bariónico. Estos números se conocen colectivamente como números de la familia de leptones (LF). (Este resultado depende de la suposición hecha en el Modelo Estándar de que los neutrinos no tienen masa. Experimentalmente, las oscilaciones de neutrinos demuestran que los números individuales de electrones, muones y tau no se conservan ^{) .}

Además de las simetrías accidentales (pero exactas) descritas anteriormente, el modelo estándar exhibe varias simetrías aproximadas . Estas son la " simetría de custodia SU(2) " y la "simetría de sabor de quark SU(2) o SU(3).

La simetría U(1)

Para los leptones , el grupo calibre se puede escribir SU(2) _l  × U(1) _L  × U(1 ) _R. Los dos factores U(1) se pueden combinar en U(1) _Y  × U(1) _l donde l es el número leptónico . Experimentalmente se descarta la medición del número de leptones, dejando solo el posible grupo de calibre SU(2) _L  × U(1 ) _Y. Un argumento similar en el sector de los quarks también da el mismo resultado para la teoría electrodébil.

Los acoplamientos de corriente cargada y neutra y la teoría de Fermi.

Las corrientes cargadas son ${\displaystyle j^{\mp }=j^{1}\pm ij^{2}}$

$${\displaystyle j_{\mu }^{-}={\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} }.}$$

teoría de Fermi de la desintegración beta

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {CC}}={\frac {g}{\sqrt {2}}}(j_{\mu }^{+}W^{-\mu }+j_{\mu }^{-}W^{+\mu }).}$$

de Fermi ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}G_{\rm {F}}~~J_{\mu }^{+}J^{\mu ~~-}}$

Sin embargo, la invariancia de calibre ahora requiere que el componente del campo de calibre también esté acoplado a una corriente que se encuentra en el triplete de SU(2). Sin embargo, esta se mezcla con la U(1), y se necesita otra corriente en ese sector. Estas corrientes deben descargarse para conservar la carga. Entonces también se requieren corrientes neutras , ${\displaystyle W^{3}}$

$${\displaystyle j_{\mu }^{3}={\frac {1}{2}}\left({\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }U_{i\mathrm {L} }-{\overline {D}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }\nu _{i\mathrm {L} }-{\overline {l}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} }\right)}$$

$${\displaystyle j_{\mu }^{\rm {em}}={\frac {2}{3}}{\overline {U}}_{i}\gamma _{\mu }U_{i}-{\frac {1}{3}}{\overline {D}}_{i}\gamma _{\mu }D_{i}-{\overline {l}}_{i}\gamma _{\mu }l_{i}.}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\rm {NC}}=ej_{\mu }^{\rm {em}}A^{\mu }+{\frac {g}{\cos \theta _{\rm {W}}}}(J_{\mu }^{3}-\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}J_{\mu }^{\rm {em}})Z^{\mu }.}$$

Física más allá del modelo estándar

La física más allá del modelo estándar (BSM) se refiere a los desarrollos teóricos necesarios para explicar las deficiencias del modelo estándar , como la incapacidad de explicar los parámetros fundamentales del modelo estándar, el fuerte problema CP , las oscilaciones de neutrinos , la asimetría materia-antimateria , y la naturaleza de la materia oscura y la energía oscura . ^[15] Otro problema radica en el marco matemático del propio Modelo Estándar: el Modelo Estándar es inconsistente con el de la relatividad general , y una o ambas teorías fallan bajo ciertas condiciones, como singularidades espacio-temporales como el Big Bang y el evento del agujero negro. horizontes .

Las teorías que se encuentran más allá del modelo estándar incluyen varias extensiones del modelo estándar a través de la supersimetría , como el modelo estándar supersimétrico mínimo (MSSM) y el modelo estándar supersimétrico próximo al mínimo (NMSSM), y explicaciones completamente novedosas, como la teoría de cuerdas . Teoría M y dimensiones extra . Como estas teorías tienden a reproducir la totalidad de los fenómenos actuales, la cuestión de cuál teoría es la correcta, o al menos el "mejor paso" hacia una Teoría del Todo , sólo puede resolverse mediante experimentos y es una de las más activas. Áreas de investigación tanto en física teórica como experimental . ^[dieciséis]

Ver también

• Descripción general del modelo estándar de física de partículas
• Interacción fundamental
• Modelo estándar no conmutativo
• Preguntas abiertas: violación de CP , masas de neutrinos , materia de quarks
• Física más allá del modelo estándar
• Interacciones fuertes
  • Sabor
  • Cromodinámica cuántica
  • modelo de quarks
• Interacciones débiles
  • Interacción electrodébil
  • La interacción de Fermi
• ángulo de weinberg
• Simetría en mecánica cuántica
• La teoría cuántica de campos en pocas palabras por A. Zee

Referencias y enlaces externos

1. De hecho, todavía hay cuestiones matemáticas relacionadas con las teorías cuánticas de campos que se están debatiendo (ver, por ejemplo, el polo de Landau ), pero las predicciones extraídas del modelo estándar mediante los métodos actuales son todas autoconsistentes. Para una discusión más detallada, ver, por ejemplo, R. Mann, capítulo 25.
2. Adiós, Dennis (11 de septiembre de 2023). "No espere que una 'teoría del todo' lo explique todo. Ni siquiera la física más avanzada puede revelar todo lo que queremos saber sobre la historia y el futuro del cosmos, o sobre nosotros mismos". Los New York Times . Archivado desde el original el 11 de septiembre de 2023 . Consultado el 11 de septiembre de 2023 .
3. Lindon, Jack (2020). Sondas de colisionador de partículas de energía oscura, materia oscura y firmas genéricas más allá del modelo estándar en eventos con un chorro energético y un gran momento transversal faltante utilizando el detector ATLAS en el LHC (PhD). CERN.
4. Raby, Stuart; Slansky, Richard. "Masas de neutrinos: cómo agregarlas al modelo estándar" (PDF) . Proyecto FAS sobre Secreto Gubernamental . Consultado el 3 de noviembre de 2023 .
5. "Oscilaciones de neutrinos hoy". t2k-experiment.org .
6. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 26 de febrero de 2014 . Consultado el 26 de febrero de 2014 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
7. "2.3.1 Isospin y SU (2), Redux". matemáticas.ucr.edu . Consultado el 9 de agosto de 2020 .
8. McCabe, Gordon. (2007). La estructura e interpretación del modelo estándar . Ámsterdam: Elsevier. págs. 160-161. ISBN 978-0-444-53112-4. OCLC  162131565.
9. W.-M. Yao y col . ( Grupo de datos de partículas ) (2006). "Revisión de Física de Partículas: Quarks" (PDF) . Revista de Física G. 33 (1): 1. arXiv : astro-ph/0601168 . Código Bib : 2006JPhG...33....1Y. doi :10.1088/0954-3899/33/1/001. S2CID  117958297.
10. Mark Thomson (5 de septiembre de 2013). Física de partículas moderna. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 499–500. ISBN 978-1-107-29254-3.
11. Martín, Jérôme (julio de 2012). "Todo lo que siempre quisiste saber sobre el problema cosmológico constante (pero temías preguntar)". Cuentas Rendus Physique . 13 (6–7): 566–665. arXiv : 1205.3365 . Código Bib : 2012CRPhy..13..566M. doi :10.1016/j.crhy.2012.04.008. S2CID  119272967.
12. El número bariónico en SM sólo se conserva en el nivel clásico. Hay efectos no perturbativos que no conservan el número bariónico: Baryon Number Violation, informe preparado para el Estudio de Planificación Comunitaria – Snowmass 2013
13. El número leptónico en SM sólo se conserva en el nivel clásico. Hay efectos no perturbativos que no conservan el número de leptones: ver Fuentes-Martín, J.; Portolés, J.; Ruiz-Femenía, P. (enero 2015). "Violación del número bariónico mediada por Instanton en modelos extendidos de calibre no universal". Revista de Física de Altas Energías . 2015 (1): 134. arXiv : 1411.2471 . Código Bib : 2015JHEP...01..134F. doi : 10.1007/JHEP01(2015)134 . ISSN  1029-8479.o Números bariónicos y leptónicos en física de partículas más allá del modelo estándar
14. La violación del número de leptones y del número de bariones se cancela entre sí y, de hecho, B - L es una simetría exacta del modelo estándar. La extensión del modelo estándar con neutrinos masivos de Majorana rompe la simetría BL, pero la extensión con neutrinos masivos de Dirac no: ver Ma, Ernest; Srivastava, Rahul (30 de agosto de 2015). "Masas de neutrinos de Dirac o balancín inverso a partir de simetría B-L calibrada". Letras de Física Moderna A. 30 (26): 1530020. arXiv : 1504.00111 . Código Bib : 2015MPLA...3030020M. doi :10.1142/S0217732315300207. ISSN  0217-7323. S2CID  119111538., Heeck, Julian (diciembre de 2014). "Simetría B - L ininterrumpida". Letras de Física B. 739 : 256–262. arXiv : 1408.6845 . Código Bib : 2014PhLB..739..256H. doi : 10.1016/j.physletb.2014.10.067 ., Vissani, Francesco (3 de marzo de 2021). "Qué es la materia según la física de partículas y por qué intentar observar su creación en el laboratorio". Universo . 7 (3): 61. arXiv : 2103.02642 . Código Bib : 2021Univ....7...61V. doi : 10.3390/universo7030061 .
15. Womersley, J. (febrero de 2005). "Más allá del modelo estándar" (PDF) . Revista Simetría . Archivado desde el original (PDF) el 17 de octubre de 2007 . Consultado el 23 de noviembre de 2010 .
16. Adiós, Dennis (11 de septiembre de 2023). "No espere que una 'teoría del todo' lo explique todo. Ni siquiera la física más avanzada puede revelar todo lo que queremos saber sobre la historia y el futuro del cosmos, o sobre nosotros mismos". Los New York Times . Archivado desde el original el 11 de septiembre de 2023 . Consultado el 11 de septiembre de 2023 .

• Una introducción a la teoría cuántica de campos , por ME Peskin y DV Schroeder (HarperCollins, 1995) ISBN 0-201-50397-2 . 
• Teoría de calibres de la física de partículas elementales , por TP Cheng y LF Li (Oxford University Press, 1982) ISBN 0-19-851961-3 . 
• Modelo estándar lagrangiano con términos explícitos de Higgs (TD Gutiérrez, ca 1999) (versión PDF, PostScript y LaTeX)
• La teoría cuántica de campos (vol 2), de S. Weinberg (Cambridge University Press, 1996) ISBN 0-521-55002-5 . 
• Teoría cuántica de campos en pocas palabras (segunda edición), por A. Zee (Princeton University Press, 2010) ISBN 978-1-4008-3532-4 . 
• Introducción a la física de partículas y el modelo estándar , por R. Mann (CRC Press, 2010) ISBN 978-1420082982 
• Física desde la simetría por J. Schwichtenberg (Springer, 2015) ISBN 3319192000 . Especialmente la página 86.