Adjunto a Dirac

Dual al espinor de Dirac

En la teoría cuántica de campos , el adjunto de Dirac define la operación dual de un espinor de Dirac . El adjunto de Dirac está motivado por la necesidad de formar cantidades medibles y de buen comportamiento a partir de espinores de Dirac, reemplazando el papel habitual del adjunto hermitiano .

Posiblemente para evitar confusión con el adjunto hermitiano habitual , algunos libros de texto no proporcionan un nombre para el adjunto de Dirac sino que simplemente lo llaman " ψ -bar".

Definición

Sea un espinor de Dirac . Entonces su adjunto de Dirac se define como ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

donde denota el adjunto hermitiano del espinor y es la matriz gamma similar al tiempo . ${\displaystyle \psi ^{\dagger }}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \gamma ^{0}}$

Spinors bajo las transformaciones de Lorentz

El grupo de Lorentz de la relatividad especial no es compacto , por lo tanto, las representaciones de espinores de las transformaciones de Lorentz generalmente no son unitarias . Es decir, si es una representación proyectiva de alguna transformación de Lorentz, ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \psi \mapsto \lambda \psi }$,

entonces, en general,

${\displaystyle \lambda ^{\dagger }\neq \lambda ^{-1}}$.

El adjunto hermitiano de un espinor se transforma según

${\displaystyle \psi ^{\dagger }\mapsto \psi ^{\dagger }\lambda ^{\dagger }}$.

Por tanto, no es un escalar de Lorentz y ni siquiera es hermitiano . ${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$ ${\displaystyle \psi ^{\dagger }\gamma ^{\mu }\psi }$

Los adjuntos de Dirac, por el contrario, se transforman según

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto \left(\lambda \psi \right)^{\dagger }\gamma ^{0}}$.

Usando la identidad , la transformación se reduce a ${\displaystyle \gamma ^{0}\lambda ^{\dagger }\gamma ^{0}=\lambda ^{-1}}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}\lambda ^{-1}}$,

Por tanto, se transforma en un escalar de Lorentz y en un cuatro vectores . ${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi }$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$

Uso

Usando el adjunto de Dirac, la probabilidad de cuatro corrientes J para un campo de partículas de espín 1/2 se puede escribir como

${\displaystyle J^{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$

donde c es la velocidad de la luz y los componentes de J representan la densidad de probabilidad ρ y la probabilidad 3-actual j :

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}=(c\rho ,{\boldsymbol {j}})}$.

Tomando μ = 0 y usando la relación para matrices gamma

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I}$,

la densidad de probabilidad se convierte en

${\displaystyle \rho =\psi ^{\dagger }\psi }$.

Ver también

• ecuación de dirac
• Ecuación de Rarita-Schwinger

Referencias

• B. Bransden y C. Joachain (2000). Mecánica cuántica , 2e, Pearson. ISBN  0-582-35691-1 .
• M. Peskin y D. Schroeder (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos , Westview Press. ISBN 0-201-50397-2 . 
• A. Zee (2003). Teoría cuántica de campos en pocas palabras , Princeton University Press. ISBN 0-691-01019-6 .