Lógica modal

Tipo de lógica formal

La lógica modal es un tipo de lógica utilizada para representar declaraciones sobre necesidad y posibilidad . Desempeña un papel importante en la filosofía y campos relacionados como herramienta para comprender conceptos como conocimiento , obligación y causalidad . Por ejemplo, en lógica modal epistémica , la fórmula se puede utilizar para representar el enunciado que se conoce. En lógica modal deóntica , esa misma fórmula puede representar que es una obligación moral. ${\displaystyle \Box P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

La lógica modal considera las inferencias a las que dan lugar los enunciados modales. Por ejemplo, la mayoría de las lógicas modales epistémicas tratan la fórmula como una tautología , que representa el principio de que sólo los enunciados verdaderos pueden contar como conocimiento. Sin embargo, esta fórmula no es una tautología en lógica modal deóntica, ya que lo que debería ser verdadero puede ser falso. ${\displaystyle \Box P\rightarrow P}$

Las lógicas modales son sistemas formales que incluyen operadores unarios como y , que representan posibilidad y necesidad respectivamente. Por ejemplo, la fórmula modal se puede leer como "posiblemente ", mientras que se puede leer como "necesariamente ". En la semántica relacional estándar de la lógica modal, a las fórmulas se les asignan valores de verdad relativos a un mundo posible . El valor de verdad de una fórmula en un mundo posible puede depender de los valores de verdad de otras fórmulas en otros mundos posibles accesibles . En particular, es cierto en un mundo si es cierto en algún mundo posible accesible, mientras que es cierto en un mundo si es cierto en todos los mundos posibles accesibles. Existe una variedad de sistemas de prueba que son sólidos y completos con respecto a la semántica que se obtiene al restringir la relación de accesibilidad. Por ejemplo, la lógica modal deóntica D es sólida y completa si se requiere que la relación de accesibilidad sea serial . ${\displaystyle \Diamond }$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Diamond P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Box P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Diamond P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Box P}$ ${\displaystyle P}$

Si bien la intuición detrás de la lógica modal se remonta a la antigüedad, los primeros sistemas axiomáticos modales fueron desarrollados por CI Lewis en 1912. La semántica relacional ahora estándar surgió a mediados del siglo XX a partir del trabajo de Arthur Prior , Jaakko Hintikka y Saul Kripke . Los desarrollos recientes incluyen semántica topológica alternativa , como la semántica de vecindad , así como aplicaciones de la semántica relacional más allá de su motivación filosófica original. ^[1] Tales aplicaciones incluyen la teoría de juegos , ^{[2] teoría} moral y jurídica , ^[2] diseño web , ^[2] teoría de conjuntos basada en multiversos , ^[3] y epistemología social . ^[4]

Sintaxis de operadores modales

La lógica modal se diferencia de otros tipos de lógica en que utiliza operadores modales como y . El primero se lee convencionalmente en voz alta como “necesariamente”, y puede usarse para representar nociones como obligación moral o jurídica , conocimiento , inevitabilidad histórica , entre otras. Este último normalmente se lee como "posiblemente" y puede usarse para representar nociones que incluyen permiso , capacidad y compatibilidad con la evidencia . Si bien las fórmulas bien formadas de lógica modal incluyen fórmulas no modales como , también contienen fórmulas modales como , , etc. ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Diamond }$ ${\displaystyle P\land Q}$ ${\displaystyle \Box (P\land Q)}$ ${\displaystyle P\land \Box Q}$ ${\displaystyle \Box (\Diamond P\land \Diamond Q)}$

Por tanto, el lenguaje de la lógica proposicional básica se puede definir recursivamente de la siguiente manera. ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

1. Si es una fórmula atómica, entonces es una fórmula de . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$
2. Si es una fórmula de , entonces también lo es. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \neg \phi }$
3. Si y son fórmulas de , entonces también lo es. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \phi \land \psi }$
4. Si es una fórmula de , entonces también lo es. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \Diamond \phi }$
5. Si es una fórmula de , entonces también lo es. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \Box \phi }$

Los operadores modales se pueden agregar a otros tipos de lógica introduciendo reglas análogas a las números 4 y 5 anteriores. La lógica de predicados modal es una variante ampliamente utilizada que incluye fórmulas como . En sistemas de lógica modal donde y son duales , puede tomarse como una abreviatura de , eliminando así la necesidad de una regla sintáctica separada para introducirlo. Sin embargo, son necesarias reglas sintácticas separadas en sistemas donde los dos operadores no son interdefinibles. ${\displaystyle \forall x\Diamond P(x)}$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Diamond }$ ${\displaystyle \Box \phi }$ ${\displaystyle \neg \Diamond \neg \phi }$

Las variantes de notación comunes incluyen símbolos como y en sistemas de lógica modal utilizados para representar conocimiento y y en aquellos utilizados para representar creencias. Estas notaciones son particularmente comunes en sistemas que utilizan múltiples operadores modales simultáneamente. Por ejemplo, una lógica epistémica-deóntica combinada podría utilizar la fórmula que se lee como "Sé que P está permitido". Los sistemas de lógica modal pueden incluir infinitos operadores modales distinguidos por índices, es decir , , , etc. ${\displaystyle [K]}$ ${\displaystyle \langle K\rangle }$ ${\displaystyle [B]}$ ${\displaystyle \langle B\rangle }$ ${\displaystyle [K]\langle D\rangle P}$ ${\displaystyle \Box _{1}}$ ${\displaystyle \Box _{2}}$ ${\displaystyle \Box _{3}}$

Semántica

Semántica relacional

Nociones básicas

La semántica estándar de la lógica modal se llama semántica relacional . En este enfoque, la verdad de una fórmula se determina en relación con un punto que a menudo se denomina mundo posible . Para una fórmula que contiene un operador modal, su valor de verdad puede depender de lo que es cierto en otros mundos accesibles . Así, la semántica relacional interpreta fórmulas de lógica modal utilizando modelos definidos a continuación. ^[5]

• Un modelo relacional es una tupla donde: ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle W,R,V\rangle }$

1. ${\displaystyle W}$es un conjunto de mundos posibles
2. ${\displaystyle R}$es una relación binaria en ${\displaystyle W}$
3. ${\displaystyle V}$es una función de valoración que asigna un valor de verdad a cada par de una fórmula atómica y un mundo (es decir, ¿ dónde está el conjunto de fórmulas atómicas)? ${\displaystyle V:W\times F\to \{0,1\}}$ ${\displaystyle F}$

Al conjunto se le suele llamar universo . La relación binaria se llama relación de accesibilidad y controla qué mundos pueden "verse" entre sí para determinar qué es verdad. Por ejemplo, significa que se puede acceder al mundo desde world . Es decir, la situación conocida como es una posibilidad viva para . Finalmente, la función se conoce como función de valoración. Determina qué fórmulas atómicas son verdaderas en qué mundos. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle wRu}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle V}$

Luego definimos recursivamente la verdad de una fórmula en un mundo en un modelo : ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models P}$si y si ${\displaystyle V(w,P)=1}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \neg P}$si y si ${\displaystyle w\not \models P}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models (P\wedge Q)}$si y si ${\displaystyle w\models P}$ ${\displaystyle w\models Q}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \Box P}$sif para cada elemento de , si entonces ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle wRu}$ ${\displaystyle u\models P}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models \Diamond P}$si para algún elemento de , se cumple que y ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle wRu}$ ${\displaystyle u\models P}$

Según esta semántica, una fórmula es necesaria con respecto a un mundo si se cumple en todos los mundos accesibles desde . Es posible si se mantiene en algún mundo al que se pueda acceder desde . Por tanto, la posibilidad depende de la relación de accesibilidad , que nos permite expresar la naturaleza relativa de la posibilidad. Por ejemplo, podríamos decir que dadas nuestras leyes de la física no es posible que los humanos viajemos más rápido que la velocidad de la luz, pero que en otras circunstancias podría haber sido posible hacerlo. Usando la relación de accesibilidad podemos traducir este escenario de la siguiente manera: en todos los mundos accesibles a nuestro propio mundo, no es el caso que los humanos puedan viajar más rápido que la velocidad de la luz, pero en uno de estos mundos accesibles hay otro mundo. accesible desde esos mundos pero no accesible desde el nuestro en el que los humanos pueden viajar más rápido que la velocidad de la luz. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle R}$

Marcos y completitud.

La elección de la relación de accesibilidad por sí sola puede a veces ser suficiente para garantizar la verdad o falsedad de una fórmula. Por ejemplo, considere un modelo cuya relación de accesibilidad es reflexiva . Debido a que la relación es reflexiva, la tendremos para cualquier independientemente de qué función de valoración se utilice. Por esta razón, los lógicos modales a veces hablan de marcos , que son la parte de un modelo relacional que excluye la función de valoración. ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}},w\models P\rightarrow \Diamond P}$ ${\displaystyle w\in G}$

• Un marco relacional es un par donde hay un conjunto de mundos posibles, es una relación binaria . ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=\langle G,R\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$

Los diferentes sistemas de lógica modal se definen mediante condiciones de marco . Un cuadro se llama:

• reflexivo si w R w , por cada w en G
• simétrico si w R u implica u R w , para todo w y u en G
• transitivo si w R u y u R q juntos implican w R q , para todo w , u , q en G .
• serial si, por cada w en G hay alguna u en G tal que w R u .
• Euclidiano si, para cada u , t y w , w R u y w R t implica u R t (por simetría, también implica t R u , así como t R t y u R u )

Las lógicas que se derivan de estas condiciones marco son:

• K  := sin condiciones
• D  := serie
• T  := reflexivo
• B  := reflexivo y simétrico
• S4  := reflexivo y transitivo
• S5  := reflexivo y euclidiano

La propiedad euclidiana junto con la reflexividad produce simetría y transitividad. (La propiedad euclidiana también se puede obtener a partir de la simetría y la transitividad). Por lo tanto, si la relación de accesibilidad R es reflexiva y euclidiana, R es demostrablemente simétrica y transitiva también. Por tanto, para los modelos de S5, R es una relación de equivalencia , porque R es reflexiva, simétrica y transitiva.

Podemos probar que estos marcos producen el mismo conjunto de oraciones válidas que los marcos donde todos los mundos pueden ver todos los demás mundos de W ( es decir , donde R es una relación "total"). Esto da el gráfico modal correspondiente que está totalmente completo ( es decir , no se pueden agregar más aristas (relaciones)). Por ejemplo, en cualquier lógica modal basada en condiciones de marco:

${\displaystyle w\models \Diamond P}$si y sólo si para algún elemento u de G , se cumple que y w R u . ${\displaystyle u\models P}$

Si consideramos marcos basados ​​en la relación total, podemos decir simplemente que

${\displaystyle w\models \Diamond P}$si y sólo si para algún elemento u de G , se cumple que . ${\displaystyle u\models P}$

Podemos eliminar la cláusula de accesibilidad de la última estipulación porque en tales marcos totales es trivialmente cierto para todos w y u que w R u . Pero este no tiene por qué ser el caso en todos los marcos del S5, que aún pueden constar de varias partes que están completamente conectadas entre sí pero aún desconectadas entre sí.

Todos estos sistemas lógicos también se pueden definir axiomáticamente, como se muestra en la siguiente sección. Por ejemplo, en S5, los axiomas , y (correspondientes a simetría , transitividad y reflexividad , respectivamente) se cumplen, mientras que al menos uno de estos axiomas no se cumple en cada una de las otras lógicas más débiles. ${\displaystyle P\implies \Box \Diamond P}$ ${\displaystyle \Box P\implies \Box \Box P}$ ${\displaystyle \Box P\implies P}$

Semántica topológica

La lógica modal también se ha interpretado utilizando estructuras topológicas. Por ejemplo, la Semántica Interior interpreta fórmulas de lógica modal de la siguiente manera.

Un modelo topológico es una tupla donde es un espacio topológico y es una función de valoración que asigna cada fórmula atómica a algún subconjunto de . La semántica interior básica interpreta fórmulas de lógica modal de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathrm {X} =\langle X,\tau ,V\rangle }$ ${\displaystyle \langle X,\tau \rangle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models P}$si y si ${\displaystyle x\in V(P)}$
• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \neg \phi }$si y si ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\not \models \phi }$
• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \phi \land \chi }$si y si ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \phi }$ ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \chi }$
• ${\displaystyle \mathrm {X} ,x\models \Box \phi }$si para algunos tenemos ambos eso y también eso para todos ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle \mathrm {X} ,y\models \phi }$ ${\displaystyle y\in U}$

Los enfoques topológicos incluyen los relacionales, permitiendo lógicas modales no normales . La estructura adicional que proporcionan también permite una forma transparente de modelar ciertos conceptos como la evidencia o justificación que uno tiene para sus creencias. La semántica topológica se utiliza ampliamente en trabajos recientes en epistemología formal y tiene antecedentes en trabajos anteriores como la lógica de contrafactuales de David Lewis y Angelika Kratzer .

Sistemas axiomáticos

Diagrama de lógicas modales comunes; K4W significa lógica de demostrabilidad y B en la esquina superior representa el sistema KTB de Brouwer .

Las primeras formalizaciones de la lógica modal fueron axiomáticas . Se han propuesto numerosas variaciones con propiedades muy diferentes desde que CI Lewis comenzó a trabajar en el área en 1912. Hughes y Cresswell (1996), por ejemplo, describen 42 lógicas modales normales y 25 no normales. Zeman (1973) describe algunos sistemas que Hughes y Cresswell omiten.

Los tratamientos modernos de la lógica modal comienzan aumentando el cálculo proposicional con dos operaciones unarias, una que denota "necesidad" y la otra "posibilidad". La notación de CI Lewis , muy utilizada desde entonces, denota "necesariamente p " mediante un "cuadro" prefijado (□ p ) cuyo alcance se establece entre paréntesis. Del mismo modo, un "diamante" con el prefijo (◇ p ) denota "posiblemente p ". De manera similar a los cuantificadores en la lógica de primer orden , "necesariamente p " (□ p ) no supone que el rango de cuantificación (el conjunto de mundos posibles accesibles en la semántica de Kripke ) no esté vacío, mientras que "posiblemente p " (◇ p ) a menudo asume implícitamente (es decir, el conjunto de mundos posibles accesibles no está vacío). Independientemente de la notación, cada uno de estos operadores se puede definir en términos del otro en la lógica modal clásica: ${\displaystyle \Diamond \top }$

• □ p (necesariamente p ) equivale a ¬◇¬ p ("no es posible que no- p ")
• ◇ p (posiblemente p ) es equivalente a ¬□¬ p ("no necesariamente no- p ")

Por tanto, □ y ◇ forman un par dual de operadores.

En muchas lógicas modales, los operadores de necesidad y posibilidad satisfacen los siguientes análogos de las leyes de Morgan del álgebra de Boole :

" No es necesario que X " es lógicamente equivalente a "Es posible que no X ".

"No es posible que X " es lógicamente equivalente a "Es necesario que no X ".

Precisamente qué axiomas y reglas deben agregarse al cálculo proposicional para crear un sistema utilizable de lógica modal es una cuestión de opinión filosófica, a menudo impulsada por los teoremas que uno desea probar; o, en informática, se trata de qué tipo de sistema computacional o deductivo se desea modelar. Muchas lógicas modales, conocidas colectivamente como lógicas modales normales , incluyen la siguiente regla y axioma:

• N , regla de necesidad : si p es un teorema / tautología (de cualquier sistema/modelo que invoque N ), entonces □ p es también un teorema (es decir ). ${\displaystyle (\models p)\implies (\models \Box p)}$
• K , Axioma de distribución : □( p → q ) → (□ p → □ q ).

La lógica modal normal más débil , denominada " K " en honor a Saul Kripke , es simplemente el cálculo proposicional aumentado por □, la regla N y el axioma K. K es débil porque no logra determinar si una proposición puede ser necesaria pero sólo contingentemente necesaria. Es decir, no es un teorema de K que si □ p es verdadero entonces □□ p es verdadero, es decir, que las verdades necesarias son "necesariamente necesarias". Si tales perplejidades se consideran forzadas y artificiales, este defecto de K no es grande. En cualquier caso, diferentes respuestas a tales preguntas producen diferentes sistemas de lógica modal.

Agregar axiomas a K da lugar a otros sistemas modales bien conocidos. No se puede probar en K que si " p es necesario", entonces p es verdadero. El axioma T soluciona este defecto:

• T , Axioma de reflexividad : □ p → p (Si p es necesario, entonces p es el caso).

T se cumple en la mayoría, pero no en todas, las lógicas modales. Zeman (1973) describe algunas excepciones, como S1 ⁰ .

Otros axiomas elementales muy conocidos son:

• 4 : ${\displaystyle \Box p\to \Box \Box p}$
• B : ${\displaystyle p\to \Box \Diamond p}$
• D : ${\displaystyle \Box p\to \Diamond p}$
• 5 : ${\displaystyle \Diamond p\to \Box \Diamond p}$

Estos producen los sistemas (axiomas en negrita, sistemas en cursiva):

• K  := K + N
• T  := K + T
• S4  := T + 4
• T5  := T + 5
• D  := K + D .

K a S5 forman una jerarquía anidada de sistemas, constituyendo el núcleo de la lógica modal normal . Pero reglas específicas o conjuntos de reglas pueden ser apropiados para sistemas específicos. Por ejemplo, en lógica deóntica , (si debería ser que p , entonces está permitido que p ) parece apropiado, pero probablemente no deberíamos incluir eso . De hecho, hacerlo es cometer la falacia naturalista (es decir, afirmar que lo que es natural también es bueno, diciendo que si p es el caso, p debería permitirse). ${\displaystyle \Box p\to \Diamond p}$ ${\displaystyle p\to \Box \Diamond p}$

El sistema comúnmente empleado S5 simplemente hace necesarias todas las verdades modales. Por ejemplo, si p es posible, entonces es "necesario" que p sea posible. Además, si p es necesario, entonces es necesario que p sea necesario. Se han formulado otros sistemas de lógica modal, en parte porque S5 no describe todos los tipos de modalidad de interés.

Teoría de la prueba estructural

Se han desarrollado cálculos secuenciales y sistemas de deducción natural para varias lógicas modales, pero ha resultado difícil combinar la generalidad con otras características que se esperan de buenas teorías de prueba estructurales , como la pureza (la teoría de la prueba no introduce nociones extralógicas como etiquetas ) y analiticidad (las reglas lógicas apoyan una noción limpia de prueba analítica ). Se han aplicado cálculos más complejos a la lógica modal para lograr generalidad.

Métodos de decisión

Los cuadros analíticos proporcionan el método de decisión más popular para la lógica modal. ^{[ cita necesaria ]}

Lógicas modales en filosofía.

Lógica alética

Las modalidades de necesidad y posibilidad se denominan modalidades aléticas . También se les llama a veces modalidades especiales , del latín especie . La lógica modal se desarrolló por primera vez para abordar estos conceptos y sólo después se extendió a otros. Por esta razón, o quizás por su familiaridad y simplicidad, la necesidad y la posibilidad a menudo se tratan casualmente como temas de la lógica modal. Además, es más fácil dar sentido a relativizar la necesidad, por ejemplo, a lo jurídico, físico, nomológico , epistémico , etc., que relativizar otras nociones.

En lógica modal clásica , se dice que una proposición es

• posible si no es necesariamente falso (independientemente de si es realmente verdadero o realmente falso);
• necesario si no es posiblemente falso (es decir, verdadero y necesariamente verdadero);
• contingente si no es necesariamente falso ni necesariamente verdadero (es decir, posible pero no necesariamente verdadero);
• imposible si no es posiblemente verdadero (es decir, falso y necesariamente falso).

Por lo tanto, en la lógica modal clásica, la noción de posibilidad o necesidad puede considerarse básica, donde estas otras nociones se definen en términos de ella a la manera de la dualidad de De Morgan . La lógica modal intuicionista considera que la posibilidad y la necesidad no son perfectamente simétricas.

Por ejemplo, supongamos que mientras caminamos hacia la tienda pasamos por la casa de Friedrich y observamos que las luces están apagadas. A la vuelta observamos que han sido encendidos.

• "Alguien o algo encendió las luces" es necesario .
• "Friedrich encendió las luces", "Max, el compañero de cuarto de Friedrich, encendió las luces" y "Un ladrón llamado Adolf irrumpió en la casa de Friedrich y encendió las luces" son contingentes .
• Todas las afirmaciones anteriores son posibles .
• Es imposible que Sócrates (que lleva más de dos mil años muerto) encendiera las luces.

(Por supuesto, esta analogía no aplica la modalidad alética de una manera verdaderamente rigurosa; para hacerlo, tendría que hacer axiomáticamente afirmaciones tales como "los seres humanos no pueden resucitar de entre los muertos", "Sócrates era un ser humano y no un vampiro inmortal", y "no tomamos drogas alucinógenas que nos hicieran creer falsamente que las luces estaban encendidas", ad infinitum . La certeza absoluta de la verdad o la falsedad existe sólo en el sentido de conceptos abstractos construidos lógicamente como "es imposible dibujar un triángulo de cuatro lados" y "todos los solteros son solteros").

Para aquellos que tienen dificultades con el concepto de que algo es posible pero no verdadero, el significado de estos términos puede hacerse más comprensible pensando en múltiples "mundos posibles" (en el sentido de Leibniz ) o "universos alternativos"; algo "necesario" es verdadero en todos los mundos posibles, algo "posible" es verdadero en al menos un mundo posible. Estas "posibles semánticas del mundo" se formalizan con la semántica de Kripke .

posibilidad fisica

Algo es física o nómicamente posible si lo permiten las leyes de la física . ^{[ cita necesaria ]} Por ejemplo, se cree que la teoría actual permite que haya un átomo con un número atómico de 126, ^[6] incluso si no existen tales átomos. Por el contrario, si bien es lógicamente posible acelerar más allá de la velocidad de la luz , ^[7] la ciencia moderna estipula que no es físicamente posible para las partículas materiales o la información. ^[8]

posibilidad metafísica

Filósofos ^{[ ¿quién? ]} debate si los objetos tienen propiedades independientes de las dictadas por las leyes científicas. Por ejemplo, podría ser metafísicamente necesario, como han pensado algunos defensores del fisicalismo , que todos los seres pensantes tengan cuerpos ^[9] y puedan experimentar el paso del tiempo . Saul Kripke ha sostenido que cada persona tiene necesariamente los padres que tiene: cualquiera que tenga padres diferentes no sería la misma persona. ^[10]

Se ha pensado que la posibilidad metafísica es más restrictiva que la simple posibilidad lógica ^[11] (es decir, son menos cosas metafísicamente posibles que lógicamente posibles). Sin embargo, su relación exacta (si la hay) con la posibilidad lógica o con la posibilidad física es motivo de controversia. Filósofos ^{[ ¿quién? ]} tampoco están de acuerdo sobre si las verdades metafísicas son necesarias simplemente "por definición", o si reflejan algunos hechos profundos subyacentes sobre el mundo, o algo completamente distinto.

Lógica epistémica

Las modalidades epistémicas (del griego episteme , conocimiento), tratan de la certeza de las oraciones. El operador □ se traduce como "x está seguro de que...", y el operador ◇ se traduce como "Por lo que x sabe, puede ser cierto que..." En el habla ordinaria, tanto las modalidades metafísicas como epistémicas a menudo se expresan en palabras similares; Los siguientes contrastes pueden ayudar:

Una persona, Jones, podría razonablemente decir ambas cosas : (1) "No, no es posible que Pie Grande exista; estoy bastante seguro de ello"; y (2) "Claro, es posible que Bigfoots exista". Lo que Jones quiere decir con (1) es que, dada toda la información disponible, no queda ninguna duda sobre si Bigfoot existe. Esta es una afirmación epistémica. Mediante (2) hace la afirmación metafísica de que es posible que Bigfoot exista, aunque no es así : no hay ninguna razón física o biológica para que criaturas grandes, bípedas, sin plumas y con pelo espeso no puedan existir en los bosques de América del Norte. (independientemente de si lo hacen o no). De manera similar, "es posible que la persona que lee esta oración mida catorce pies de alto y se llame Chad" es metafísicamente cierto (tal persona no se vería impedida de hacerlo debido a su altura y nombre), pero no es cierto éticamente a menos que coincides con esa descripción, y no es epistémicamente cierto si se sabe que los seres humanos de catorce pies de altura nunca han existido.

Desde el otro sentido, Jones podría decir: (3) "Es posible que la conjetura de Goldbach sea verdadera; pero también es posible que sea falsa", y también (4) "si es verdadera , entonces es necesariamente verdadera, y no posiblemente falso". Aquí Jones quiere decir que es epistémicamente posible que sea verdadera o falsa, por lo que él sabe (no se ha demostrado que la conjetura de Goldbach sea verdadera o falsa), pero si hay una prueba (hasta ahora no descubierta), entonces demostraría que es No es lógicamente posible que la conjetura de Goldbach sea falsa: no podría haber ningún conjunto de números que la violara. La posibilidad lógica es una forma de posibilidad alética ; (4) hace una afirmación sobre si es posible (es decir, lógicamente hablando) que una verdad matemática haya sido falsa, pero (3) sólo hace una afirmación sobre si es posible, por lo que Jones sabe, (es decir, hablando de certeza) de que la afirmación matemática es específicamente verdadera o falsa, por lo que, una vez más, Jones no se contradice. Vale la pena observar que Jones no tiene necesariamente razón: es posible (epistémicamente) que la conjetura de Goldbach sea verdadera e indemostrable.

Las posibilidades epistémicas también influyen en el mundo real de una manera que no lo hacen las posibilidades metafísicas. Las posibilidades metafísicas influyen en cómo podría haber sido el mundo, pero las posibilidades epistémicas influyen en cómo podría ser el mundo (por lo que sabemos). Supongamos, por ejemplo, que quiero saber si debo llevar o no un paraguas antes de salir. Si me dices "es posible que esté lloviendo afuera" -en el sentido de posibilidad epistémica- entonces eso influiría en si tomo o no el paraguas. Pero si simplemente me dices que "es posible que llueva afuera" –en el sentido de posibilidad metafísica– entonces no estoy en mejor situación con este poco de iluminación modal.

Algunas características de la lógica modal epistémica están en debate. Por ejemplo, si x sabe que p , ¿sabe x que sabe que p ? Es decir, ¿debería ser □ P → □□ P un axioma en estos sistemas? Si bien la respuesta a esta pregunta no está clara, ^[12] hay al menos un axioma que generalmente se incluye en la lógica modal epistémica, porque es mínimamente cierto para todas las lógicas modales normales (ver la sección sobre sistemas axiomáticos):

• K , Axioma de distribución : . ${\displaystyle \Box (p\to q)\to (\Box p\to \Box q)}$

Se ha cuestionado si las modalidades epistémica y alética deberían considerarse distintas entre sí. La crítica afirma que no existe una diferencia real entre "la verdad en el mundo" (alethic) y "la verdad en la mente de un individuo" (epistémica). ^[13] Una investigación no ha encontrado una sola lengua en la que se distingan formalmente modalidades aléticas y epistémicas, como por medio de un modo gramatical . ^[14]

Lógica temporal

La lógica temporal es una aproximación a la semántica de expresiones con tiempo , es decir, expresiones con calificaciones de cuándo. Algunas expresiones, como '2 + 2 = 4', son verdaderas en todo momento, mientras que expresiones en tiempo tenso como 'John es feliz' sólo son verdaderas a veces.

En lógica temporal, las construcciones de tiempo se tratan en términos de modalidades, donde un método estándar para formalizar el habla de tiempo es utilizar dos pares de operadores, uno para el pasado y otro para el futuro (P simplemente significará 'es el caso actual'). que P'). Por ejemplo:

F P  : A veces sucederá que P

G P  : Siempre será el caso que P

P P  : En algún momento se dio el caso de que P

H P  : Siempre ha sido así que P

Hay entonces al menos tres lógicas modales que podemos desarrollar. Por ejemplo, podemos estipular que,

${\displaystyle \Diamond P}$= P es el caso en algún momento t

${\displaystyle \Box P}$= P es el caso en cada momento t

O podemos intercambiar estos operadores para ocuparnos sólo del futuro (o del pasado). Por ejemplo,

${\displaystyle \Diamond _{1}P}$= FP​

${\displaystyle \Box _{1}P}$= GP​

o,

${\displaystyle \Diamond _{2}P}$= P y/o F P

${\displaystyle \Box _{2}P}$= P y G P

Los operadores F y G pueden parecer inicialmente extraños, pero crean sistemas modales normales . F P es lo mismo que ¬ G ¬ P . Podemos combinar los operadores anteriores para formar declaraciones complejas. Por ejemplo, P P → □ P P dice (efectivamente): Todo lo que es pasado y verdadero es necesario .

Parece razonable decir que posiblemente mañana llueva, y posiblemente no; por otro lado, como no podemos cambiar el pasado, si es cierto que ayer llovió, no puede ser cierto que ayer no haya llovido. Parece que el pasado es "fijo", o necesario, en una forma en que el futuro no lo es. A esto a veces se le llama necesidad accidental . Pero si el pasado es "fijo", y todo lo que está en el futuro eventualmente estará en el pasado, entonces parece plausible decir que los eventos futuros también son necesarios.

De manera similar, el problema de los contingentes futuros considera la semántica de las afirmaciones sobre el futuro: ¿es ahora cierta alguna de las proposiciones “mañana habrá una batalla naval” o “mañana no habrá una batalla naval”? La consideración de esta tesis llevó a Aristóteles a rechazar el principio de bivalencia para las afirmaciones relativas al futuro.

Los operadores binarios adicionales también son relevantes para la lógica temporal (consulte Lógica temporal lineal ).

Se pueden utilizar versiones de la lógica temporal en informática para modelar operaciones informáticas y demostrar teoremas sobre ellas. En una versión, ◇ P significa "en un momento futuro del cálculo, es posible que el estado de la computadora sea tal que P sea verdadero"; □ P significa "en todos los momentos futuros del cálculo, P será verdadero". En otra versión, ◇ P significa "en el siguiente estado inmediato del cálculo, P podría ser verdadero"; □ P significa "en el siguiente estado inmediato del cálculo, P será verdadero". Estos se diferencian en la elección de la relación de Accesibilidad . (P siempre significa "P es verdadera en el estado actual de la computadora".) Estos dos ejemplos involucran cálculos no deterministas o no completamente entendidos; Existen muchas otras lógicas modales especializadas en diferentes tipos de análisis de programas. Naturalmente, cada uno conduce a axiomas ligeramente diferentes.

lógica deóntica

De la misma manera, hablar de moralidad, o de obligación y normas en general, parece tener una estructura modal. La diferencia entre "Debes hacer esto" y "Puedes hacer esto" se parece mucho a la diferencia entre "Esto es necesario" y "Esto es posible". Estas lógicas se denominan deónticas , del griego "deber".

Las lógicas deónticas comúnmente carecen del axioma T que corresponde semánticamente a la reflexividad de la relación de accesibilidad en la semántica de Kripke : en símbolos ,. Al interpretar □ como "es obligatorio que", T dice informalmente que toda obligación es verdadera. Por ejemplo, si es obligatorio no matar a otros (es decir, matar está moralmente prohibido), entonces T implica que las personas en realidad no matan a otros. La consecuencia es evidentemente falsa. ${\displaystyle \Box \phi \to \phi }$

En cambio, usando la semántica de Kripke , decimos que aunque nuestro propio mundo no cumple con todas las obligaciones, los mundos accesibles a él sí lo hacen (es decir, T se cumple en estos mundos). Estos mundos se llaman mundos idealizados . P es obligatorio con respecto a nuestro propio mundo, si es que hay mundos idealizados accesibles a nuestro mundo, P se cumple. Aunque ésta fue una de las primeras interpretaciones de la semántica formal, recientemente ha sido objeto de críticas. ^[15]

Otro principio que a menudo (al menos tradicionalmente) se acepta como principio deóntico es D ,, que corresponde a la serialidad (o extensibilidad o ilimitación) de la relación de accesibilidad. Es una encarnación de la idea kantiana de que "deber implica poder". (Claramente, el "poder" puede interpretarse en varios sentidos, por ejemplo, en un sentido moral o alético). ${\displaystyle \Box \phi \to \Diamond \phi }$

Problemas intuitivos con lógica deóntica.

Cuando intentamos formalizar la ética con una lógica modal estándar, nos topamos con algunos problemas. Supongamos que tenemos una proposición K : has robado algo de dinero, y otra, Q : has robado una pequeña cantidad de dinero. Supongamos ahora que queremos expresar el pensamiento de que "si has robado algo de dinero, debería ser una pequeña cantidad de dinero". Hay dos candidatos probables,

(1) ${\displaystyle (K\to \Box Q)}$

(2) ${\displaystyle \Box (K\to Q)}$

Pero (1) y K juntos implican □ Q , lo que dice que debería darse el caso de que hayas robado una pequeña cantidad de dinero. Seguramente esto no está bien, porque no deberías haber robado nada en absoluto. Y (2) tampoco funciona: si la representación correcta de "si has robado algo de dinero, debería ser una cantidad pequeña" es (2), entonces la representación correcta de (3) "si has robado algo de dinero, entonces debería ser una cantidad grande" es . Supongamos ahora (como parece razonable) que no debes robar nada, o ... Pero entonces podemos deducir vía y (el contrapositivo de ); entonces la oración (3) se sigue de nuestra hipótesis (por supuesto, la misma lógica muestra la oración (2)). Pero eso no puede ser correcto, y no lo es cuando utilizamos el lenguaje natural. Decirle a alguien que no debe robar ciertamente no implica que deba robar grandes cantidades de dinero si se dedica a robar. ^[dieciséis] ${\displaystyle \Box (K\to (K\land \lnot Q))}$ ${\displaystyle \Box \lnot K}$ ${\displaystyle \Box (K\to (K\land \lnot Q))}$ ${\displaystyle \Box (\lnot K)\to \Box (K\to K\land \lnot K)}$ ${\displaystyle \Box (K\land \lnot K\to (K\land \lnot Q))}$ ${\displaystyle Q\to K}$

lógica doxástica

La lógica doxástica se refiere a la lógica de la creencia (de algún conjunto de agentes). El término doxástico se deriva del griego antiguo doxa que significa "creencia". Por lo general, una lógica doxástica usa □, a menudo escrito "B", para significar "Se cree que", o cuando se relativiza a un agente en particular, "Se cree que".

Preguntas metafísicas

En la interpretación más común de la lógica modal, se consideran " mundos lógicamente posibles ". Si una afirmación es verdadera en todos los mundos posibles , entonces es una verdad necesaria. Si una afirmación resulta ser cierta en nuestro mundo, pero no lo es en todos los mundos posibles, entonces es una verdad contingente. Una afirmación que es verdadera en algún mundo posible (no necesariamente el nuestro) se llama verdad posible.

Bajo este "idioma de mundos posibles", para mantener que la existencia de Bigfoot es posible pero no real, se dice: "Existe un mundo posible en el que Bigfoot existe; pero en el mundo real, Bigfoot no existe". Sin embargo, no está claro a qué nos compromete esta afirmación. ¿Estamos realmente alegando la existencia de mundos posibles, tan reales como nuestro mundo real, pero no reales? Saul Kripke cree que "mundo posible" es un nombre poco apropiado: que el término "mundo posible" es sólo una forma útil de visualizar el concepto de posibilidad. ^[17] Para él, las frases "podrías haber sacado un 4 en lugar de un 6" y "hay un mundo posible en el que sacaste un 4, pero sacaste un 6 en el mundo real" no son afirmaciones significativamente diferentes, y ni nos comprometen con la existencia de un mundo posible. ^[18] David Lewis , por otro lado, se hizo famoso al hacer de tripas corazón, afirmando que todos los mundos simplemente posibles son tan reales como el nuestro, y que lo que distingue a nuestro mundo como real es simplemente que es de hecho nuestro mundo: este mundo. ^[19] Esa posición es un principio importante del " realismo modal ". Algunos filósofos se niegan a respaldar cualquier versión del realismo modal, considerándola ontológicamente extravagante, y prefieren buscar diversas formas de parafrasear estos compromisos ontológicos. Robert Adams sostiene que es mejor considerar los "mundos posibles" como "historias del mundo", o conjuntos consistentes de proposiciones. Por lo tanto, es posible que hayas sacado un 4 si tal situación se puede describir de forma coherente. ^[20]

Los informáticos generalmente elegirán una interpretación muy específica de los operadores modales especializados en el tipo particular de cálculo que se analiza. En lugar de "todos los mundos", es posible que tenga "todos los próximos estados posibles de la computadora" o "todos los posibles estados futuros de la computadora".

Otras aplicaciones

Las lógicas modales han comenzado a utilizarse en áreas de las humanidades como la literatura, la poesía, el arte y la historia. ^{[21] [22]}

Historia

Las ideas básicas de la lógica modal se remontan a la antigüedad. Aristóteles desarrolló una silogística modal en el Libro I de sus Análisis previos (capítulos 8-22), que Teofrasto intentó mejorar. ^[23] También hay pasajes en la obra de Aristóteles, como el famoso argumento de la batalla naval en De Interpretatione §9, que ahora se ven como anticipaciones de la conexión de la lógica modal con la potencialidad y el tiempo. En el período helenístico, los lógicos Diodoro Cronos , Filón el Dialéctico y el estoico Crisipo desarrollaron cada uno un sistema modal que daba cuenta de la interdefinibilidad de posibilidad y necesidad, aceptaron el axioma T (ver más abajo) y combinaron elementos de lógica modal y lógica temporal en intenta resolver el famoso Argumento Maestro . ^[24] El primer sistema formal de lógica modal fue desarrollado por Avicena , quien finalmente desarrolló una teoría de la silogística " temporalmente modal". ^[25] La lógica modal como materia autoconsciente debe mucho a los escritos de los escolásticos , en particular Guillermo de Ockham y John Duns Escoto , quienes razonaron informalmente de manera modal, principalmente para analizar enunciados sobre esencia y accidente .

En el siglo XIX, Hugh MacColl hizo contribuciones innovadoras a la lógica modal, pero no encontró mucho reconocimiento. ^[26] CI Lewis fundó la lógica modal moderna en una serie de artículos académicos que comenzaron en 1912 con "Implication and the Algebra of Logic". ^{[27] [28]} Lewis se vio llevado a inventar la lógica modal, y específicamente la implicación estricta , sobre la base de que la lógica clásica concede paradojas de implicación material como el principio de que una falsedad implica cualquier proposición . ^[29] Este trabajo culminó en su libro de 1932 Lógica simbólica (con CH Langford ), ^[30] que introdujo los cinco sistemas S1 a S5 .

Después de Lewis, la lógica modal recibió poca atención durante varias décadas. Nicholas Rescher ha argumentado que esto se debió a que Bertrand Russell lo rechazó. ^[31] Sin embargo, Jan Dejnozka ha argumentado en contra de este punto de vista, afirmando que un sistema modal que Dejnozka llama "MDL" se describe en las obras de Russell, aunque Russell creía que el concepto de modalidad "proviene de confundir proposiciones con funciones proposicionales ", como escribió en El análisis de la materia . ^[32]

Ruth C. Barcan (más tarde Ruth Barcan Marcus ) desarrolló los primeros sistemas axiomáticos de lógica modal cuantificada: extensiones de primer y segundo orden de S2 , S4 y S5 de Lewis . ^{[33] [34] [35]} Arthur Norman Prior le advirtió que se preparara bien en los debates sobre la lógica modal cuantificada con Willard Van Orman Quine , debido al sesgo contra la lógica modal. ^[36]

La era contemporánea de la semántica modal comenzó en 1959, cuando Saul Kripke (entonces un estudiante de 18 años de la Universidad de Harvard ) introdujo la ahora estándar semántica de Kripke para la lógica modal. Estos se conocen comúnmente como semántica de "mundos posibles". Kripke y AN Prior habían mantenido correspondencia anteriormente con cierta extensión. La semántica de Kripke es básicamente simple, pero las pruebas se facilitan utilizando cuadros semánticos o cuadros analíticos , como lo explica EW Beth .

AN Prior creó la lógica temporal moderna , estrechamente relacionada con la lógica modal, en 1957 añadiendo los operadores modales [F] y [P] que significan "eventualmente" y "previamente". Vaughan Pratt introdujo la lógica dinámica en 1976. En 1977, Amir Pnueli propuso utilizar la lógica temporal para formalizar el comportamiento de programas concurrentes que operan continuamente . Los tipos de lógica temporal incluyen lógica dinámica proposicional (PDL), lógica temporal lineal (proposicional) ( LTL ), lógica de árbol de cálculo (CTL), lógica de Hennessy-Milner y T. ^{[ se necesita aclaración ]}

La estructura matemática de la lógica modal, es decir, las álgebras booleanas aumentadas con operaciones unarias (a menudo llamadas álgebras modales ), comenzó a surgir con la demostración de JCC McKinsey en 1941 de que S2 y S4 son decidibles, ^[37] y alcanzó su máximo florecimiento en el trabajo de Alfred. Tarski y su alumno Bjarni Jónsson (Jónsson y Tarski 1951-1952). Este trabajo reveló que S4 y S5 son modelos de álgebra interior , una extensión adecuada del álgebra booleana diseñada originalmente para capturar las propiedades de los operadores interiores y de cierre de la topología . Los textos sobre lógica modal normalmente hacen poco más que mencionar sus conexiones con el estudio de las álgebras booleanas y la topología . Para un estudio exhaustivo de la historia de la lógica modal formal y de las matemáticas asociadas, consulte Robert Goldblatt (2006). ^[38]

Ver también

• Portal de filosofía
• Portal de psicología

• Relación de accesibilidad
• Necesidad conceptual
• Teoría de la contraparte
• David Kellogg Lewis
• De dicto y de re
• Lógica de descripción
• lógica doxástica
• Lógica dinámica
• entimema
• Inferencia de libre elección
• Lógica híbrida
• Álgebra interior
• Lógica de interpretabilidad
• Semántica de Kripke
• Necesidad metafísica
• Verbo modal
• Lógica multimodal
• Lógica multivalor
• Semántica del barrio
• Lógica de demostrabilidad
• Lógica modal regular
• Lógica de relevancia
• Condicional estricto
• bidimensionalismo

Notas

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2. van Benthem, Johan (2010). Lógica modal para mentes abiertas (PDF) . CSLI. S2CID  62162288. Archivado desde el original (PDF) el 19 de febrero de 2020.
3. Hamkins, Joel (2012). "El multiverso de la teoría de conjuntos". La revisión de la lógica simbólica . 5 (3): 416–449. arXiv : 1108.4223 . doi :10.1017/S1755020311000359. S2CID  33807508.
4. Baltag, Alexandru; Christoff, Zoé; Rendsvig, Rasmus; Smets, Sonja (2019). "Lógicas epistémicas dinámicas de difusión y predicción en redes sociales". Estudios Lógica . 107 (3): 489–531. doi : 10.1007/s11225-018-9804-x . S2CID  13968166.
5. Montaje y Mendelsohn. Lógica modal de primer orden . Kluwer Academic Publishers, 1998. Sección 1.6
6. "Comunicado de prensa: Elemento superpesado 114 confirmado: un trampolín hacia la isla de la estabilidad". Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley . 24 de septiembre de 2009.
7. Feinberg, G. (1967). "Posibilidad de partículas más rápidas que la luz". Revisión física . 159 (5): 1089-1105. Código bibliográfico : 1967PhRv..159.1089F. doi : 10.1103/PhysRev.159.1089.Véase también el artículo posterior de Feinberg: Phys. Rev. D 17, 1651 (1978)
8. Einstein, Albert (30 de junio de 1905). "Zur Elektrodynamik bewegter Körper". Annalen der Physik . 17 (10): 891–921. Código bibliográfico : 1905AnP...322..891E. doi : 10.1002/andp.19053221004 .
9. Stoljar, Daniel. "Fisicalismo". La Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Consultado el 16 de diciembre de 2014 .
10. Saul Kripke Denominación y necesidad Harvard University Press, 1980, p. 113.
11. Thomson, Judith y Alex Byrne (2006). Contenido y Modalidad: Temas de la Filosofía de Robert Stalnaker. Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 107.ISBN​ 9780191515736. Consultado el 16 de diciembre de 2014 .
12. cf. Vista ciega y percepción subliminal de la evidencia empírica negativa
13. Eschenroeder, Erin; Sara Mills; Thao Nguyen (30 de septiembre de 2006). William Frawley (ed.). La expresión de la modalidad. La expresión de categorías cognitivas. Mouton de Gruyter. págs. 8–9. ISBN 978-3-11-018436-5. Consultado el 3 de enero de 2010 .
14. Nuyts, enero (noviembre de 2000). Modalidad epistémica, lenguaje y conceptualización: una perspectiva cognitivo-pragmática . Procesamiento cognitivo humano. John Benjamins Publishing Co. pág. 28.ISBN​ 978-90-272-2357-9.
15. Véase, por ejemplo, Hansson, Sven (2006). "Mundos ideales: ilusiones en lógica deóntica". Estudios Lógica . 82 (3): 329–336. doi :10.1007/s11225-006-8100-3. S2CID  40132498.
16. Lógica para la filosofía de Ted Sider , página desconocida. http://tedsider.org/books/lfp.html
17. Kripke, Saúl. Denominación y Necesidad . (1980; Harvard UP), págs. 43–5.
18. Kripke, Saúl. Denominación y Necesidad . (1980; Harvard UP), págs. 15-6.
19. David Lewis, Sobre la pluralidad de mundos (1986; Blackwell).
20. Adams, Robert M. Teorías de la actualidad. Noûs, vol. 8, núm. 3 (septiembre de 1974), en particular págs.
21. Ver [1] y [2]
22. Andrew H. Miller, "Lives Unled in Realist Fiction", Representations 98, primavera de 2007, The Regents of the University of California, ISSN  0734-6018, págs.
23. Bobzien, Susanne. "Lógica antigua". En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
24. Bobzien, S. (1993). "La lógica modal de Crisipo y su relación con Filón y Diodoro", en K. Doering & Th. Ebert (eds), Dialektiker und Stoiker , Stuttgart 1993, págs. 63–84.
25. Historia de la lógica: lógica árabe, Encyclopædia Britannica .
26. Lukas M. Verburgt (2020). "La disputa Venn-MacColl en la naturaleza". Historia y Filosofía de la Lógica . 41 (3): 244–251. doi : 10.1080/01445340.2020.1758387 . S2CID  219928989.Aquí: p.244.
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29. Lewis, CI (1917). "Las cuestiones relativas a las implicaciones materiales". Revista de Filosofía, Psicología y Métodos Científicos , 14 :350–356.
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32. Dejnozka, enero (1990). "Fundamentos ontológicos de la teoría de la modalidad de Russell" (PDF) . Erkenntnis . 32 (3): 383–418. doi :10.1007/bf00216469. S2CID  121002878 . Consultado el 22 de octubre de 2012 .; La cita procede de Russell, Bertrand (1927). El Análisis de la Materia. págs.173.
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34. Ruth C. Barcan (diciembre de 1946). "El teorema de la deducción en un cálculo funcional de primer orden basado en implicaciones estrictas". Revista de Lógica Simbólica . 11 (4): 115-118. doi :10.2307/2268309. JSTOR  2268309. S2CID  31880455.
35. Ruth C. Barcan (marzo de 1947). "La identidad de los individuos en un cálculo funcional estricto de segundo orden". Revista de Lógica Simbólica . 12 (1): 12-15. doi :10.2307/2267171. JSTOR  2267171. S2CID  43450340.
36. Ruth Barcan Marcus , Modalidades: ensayos filosóficos , Oxford University Press, 1993, px
37. McKinsey, JCC (1941). "Una solución al problema de decisión para los sistemas Lewis S2 y S4, con una aplicación a la topología". J. Symb. Registro . 6 (4): 117-134. doi :10.2307/2267105. JSTOR  2267105. S2CID  3241516.
38. Robert Goldbaltt, Lógica modal matemática: una visión de su evolución

Referencias

• Este artículo incluye material del Diccionario gratuito de informática en línea , utilizado con permiso de la GFDL .
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• Beth, Evert W., "Métodos formales: una introducción a la lógica simbólica y al estudio de operaciones efectivas en aritmética y lógica", D. Reidel, 1962 (métodos de prueba de cuadros semánticos).
• Blackburn, P.; van Benthem, J .; y Wolter, Frank; Editores. (2006) Manual de lógica modal . Holanda del Norte.
• Blackburn, Patricio; de Rijke, Martín; y Venema, Yde (2001) Lógica modal . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-80200-8 
• Chagrov, Aleksandr; y Zakharyaschev, Michael (1997) Lógica modal . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853779-4 
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• Cresswell, MJ (2001) "Lógica modal" en Goble, Lou; Ed., La guía Blackwell de lógica filosófica . Albahaca Blackwell: 136–58. ISBN 0-631-20693-0 
• Ajuste, Melvin; y Mendelsohn, RL (1998) Lógica modal de primer orden . Kluwer. ISBN 0-7923-5335-8 
• James Garson (2006) Lógica modal para filósofos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-68229-0 . Una introducción completa a la lógica modal, con cobertura de varios sistemas de derivación y un enfoque distintivo para el uso de diagramas para ayudar a la comprensión. 
• Girle, Rod (2000) Lógica y filosofía modales . Perspicacia (Reino Unido). ISBN 0-7735-2139-9 . Prueba por árboles de refutación . Una buena introducción a las variadas interpretaciones de la lógica modal. 
• Goldblatt, Robert (1992) "Lógica del tiempo y computación", 2ª ed., CSLI Lecture Notes No. 7. University of Chicago Press.
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• Snyder, D. Paul "Lógica modal y sus aplicaciones", Van Nostrand Reinhold Company, 1971 (métodos de árbol de prueba).
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• "Historia de la lógica", Britannica Online .

Otras lecturas

• Ruth Barcan Marcus, Modalidades , Oxford University Press, 1993.
• DM Gabbay, A. Kurucz, F. Wolter y M. Zakharyaschev, Lógicas modales multidimensionales: teoría y aplicaciones , Elsevier, Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, volumen 148, 2003, ISBN 0-444-50826-0 . [Abarca muchas variedades de lógicas modales, por ejemplo, temporal, epistémica, dinámica, descriptiva y espacial desde una perspectiva unificada con énfasis en aspectos de la informática, por ejemplo, decidibilidad y complejidad.] 
• Andrea Borghini, Una introducción crítica a la metafísica de la modalidad, Nueva York: Bloomsbury, 2016.

enlaces externos

• Enciclopedia de Filosofía de Internet :
  • "Lógica modal: una visión contemporánea" - por Johan van Benthem .
  • "La lógica modal de Rudolf Carnap" - por MJ Cresswell.
• Enciclopedia de Filosofía de Stanford :
  • "Lógica modal" - por James Garson .
  • "Orígenes modernos de la lógica modal" - por Roberta Ballarin.
  • "Lógica de demostrabilidad" - por Rineke Verbrugge .
• Edward N. Zalta , 1995, "Conceptos básicos de lógica modal".
• John McCarthy , 1996, "Lógica modal".
• Molle, un probador de Java para experimentar con lógicas modales
• Suber, Peter, 2002, "Bibliografía de lógica modal".
• Lista de sistemas lógicos Lista de muchas lógicas modales con fuentes, por John Halleck.
• Avances en lógica modal. Conferencia internacional bienal y serie de libros sobre lógica modal.
• S4prover Un probador de cuadros para la lógica S4
• "Algunas observaciones sobre lógica y topología" - por Richard Moot; expone una semántica topológica para la lógica modal S4.
• LoTREC El probador más genérico para lógica modal de IRIT/Universidad de Toulouse