En teoría de conjuntos, una relación serial es una relación homogénea que expresa la conexión de un elemento de una secuencia con el elemento siguiente. La función sucesora utilizada por Peano para definir los números naturales es el prototipo de una relación serial.
Bertrand Russell utilizó relaciones seriales en Principios de las matemáticas [1] (1903) cuando exploró los fundamentos de la teoría del orden y sus aplicaciones. BA Bernstein también utilizó el término relación serial en un artículo que mostraba que ciertos axiomas comunes en la teoría del orden son casi incompatibles: conectividad , irreflexividad y transitividad . [2]
Una relación serial R es una endorrelación en un conjunto U . Como afirma Russell, donde los cuantificadores universal y existencial se refieren a U . En el lenguaje contemporáneo de las relaciones , esta propiedad define una relación total . Pero una relación total puede ser heterogénea. Las relaciones seriales son de interés histórico.
Para una relación R , sea { y : xRy } el "vecindario sucesor" de x . Una relación serial puede caracterizarse de manera equivalente como una relación en la que cada elemento tiene un "vecindario sucesor" no vacío. De manera similar, una relación serial inversa es una relación en la que cada elemento tiene un "vecindario predecesor" no vacío. [3]
En la lógica modal normal , la extensión del conjunto de axiomas fundamentales K por la propiedad serial da como resultado el conjunto de axiomas D. [4 ]
Las relaciones se utilizan para desarrollar series en Principios de las matemáticas . El prototipo es la función sucesora de Peano como una relación biunívoca sobre los números naturales . La serie de Russell puede ser finita o generada por una relación que dé orden cíclico . En ese caso, se utiliza la relación de separación de pares de puntos para la descripción. Para definir una progresión, requiere que la relación generadora sea una relación conexa . Entonces los números ordinales se derivan de progresiones, los finitos son ordinales finitos. [1] : Capítulo 28: Progresiones y números ordinales Distinguir series abiertas y cerradas [1] : 234 da como resultado cuatro órdenes totales: finito, un extremo, sin extremo y abierto, y sin extremo y cerrado. [1] : 202
A diferencia de otros autores, Russell admite ordinales negativos. Para motivarnos, pensemos en las escalas de medida que utilizan la notación científica , donde una potencia de diez representa una década de medida. De manera informal, este parámetro corresponde a los órdenes de magnitud que se utilizan para cuantificar unidades físicas. El parámetro adopta valores tanto negativos como positivos.
Russell adoptó el término estiramiento de Meinong , quien había contribuido a la teoría de la distancia. [5] El estiramiento se refiere a los términos intermedios entre dos puntos en una serie, y el "número de términos mide la distancia y la divisibilidad del todo". [1] : 181 Para explicar Meinong, Russell se refiere a la métrica de Cayley-Klein , que utiliza coordenadas de estiramiento en proporciones anarmónicas que determinan la distancia mediante el uso del logaritmo. [1] : 255 [6]
