Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( alemán: [ləˈʒœn diʁiˈkleː] ; [1] 13 de febrero de 1805 - 5 de mayo de 1859) fue un matemático alemán que hizo contribuciones a la teoría de números (incluida la creación del campo de la teoría analítica de números ) y a la teoría de Series de Fourier y otros temas de análisis matemático ; se le atribuye ser uno de los primeros matemáticos en dar la definición formal moderna de función .
Aunque su apellido es Lejeune Dirichlet, comúnmente se le conoce por su monónimo Dirichlet , en particular por los resultados que llevan su nombre.
Gustav Lejeune Dirichlet nació el 13 de febrero de 1805 en Düren , una ciudad en la margen izquierda del Rin que en ese momento formaba parte del Primer Imperio Francés , volviendo a Prusia después del Congreso de Viena en 1815. Su padre Johann Arnold Lejeune Dirichlet Fue director de correos, comerciante y concejal de la ciudad. Su abuelo paterno había llegado a Düren desde Richelette (o más probablemente Richelle ), una pequeña comunidad a 5 km (3 millas) al noreste de Lieja en Bélgica , de donde proviene su apellido "Lejeune Dirichlet" (" le jeune de Richelette ", francés para "el joven de Richelette") se derivó. [2]
Aunque su familia no era rica y era el menor de siete hermanos, sus padres apoyaron su educación. Lo matricularon en una escuela primaria y luego en una escuela privada con la esperanza de que más tarde se convirtiera en comerciante. El joven Dirichlet, que mostró un gran interés por las matemáticas antes de los 12 años, convenció a sus padres para que le permitieran continuar sus estudios. En 1817 lo enviaron al Gymnasium Bonn bajo el cuidado de Peter Joseph Elvenich , un estudiante que su familia conocía. En 1820, Dirichlet se trasladó al gimnasio jesuita de Colonia , donde sus lecciones con Georg Ohm le ayudaron a ampliar sus conocimientos en matemáticas. Dejó el gimnasio un año después solo con un certificado, ya que su incapacidad para hablar latín con fluidez le impidió obtener el Abitur . [2]
Dirichlet volvió a persuadir a sus padres para que le proporcionaran más apoyo financiero para sus estudios de matemáticas, en contra de su deseo de seguir la carrera de derecho. Como Alemania ofrecía pocas oportunidades para estudiar matemáticas superiores en ese momento, con solo Gauss en la Universidad de Göttingen , que nominalmente era profesor de astronomía y de todos modos no le gustaba enseñar, Dirichlet decidió ir a París en mayo de 1822. Allí asistió a clases en el Collège. de France y en la Universidad de París , donde aprendió matemáticas con Hachette , entre otros, mientras realizaba estudios privados de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss , un libro que mantuvo cerca durante toda su vida. En 1823 fue recomendado al general Maximilien Foy , quien lo contrató como tutor privado para enseñar alemán a sus hijos ; el salario finalmente permitió a Dirichlet independizarse del apoyo financiero de sus padres. [3]
Su primera investigación original, que comprendía parte de una demostración del último teorema de Fermat para el caso n = 5 , le dio fama inmediata, siendo el primer avance en el teorema desde la prueba del propio Fermat del caso n = 4 y la prueba de Euler . para norte = 3 . Adrien-Marie Legendre , uno de los árbitros, pronto completó la prueba de este caso; Dirichlet completó su propia prueba poco tiempo después de Legendre, y unos años más tarde produjo una prueba completa para el caso n = 14 . [4] En junio de 1825 fue aceptado para dar una conferencia sobre su prueba parcial para el caso n = 5 en la Academia de Ciencias de Francia , una hazaña excepcional para un estudiante de 20 años sin título. [2] Su conferencia en la Academia también había puesto a Dirichlet en estrecho contacto con Fourier y Poisson , quienes despertaron su interés por la física teórica , especialmente la teoría analítica del calor de Fourier .
Como el general Foy murió en noviembre de 1825 y no pudo encontrar ningún puesto remunerado en Francia, Dirichlet tuvo que regresar a Prusia. Fourier y Poisson le presentaron a Alejandro von Humboldt , que había sido llamado a unirse a la corte del rey Federico Guillermo III . Humboldt, planeando hacer de Berlín un centro de ciencia e investigación, ofreció inmediatamente su ayuda a Dirichlet, enviando cartas a su favor al gobierno prusiano y a la Academia de Ciencias de Prusia . Humboldt también consiguió una carta de recomendación de Gauss, quien al leer sus memorias sobre el teorema de Fermat escribió con una cantidad inusual de elogios que "Dirichlet mostró un talento excelente". [5] Con el apoyo de Humboldt y Gauss, a Dirichlet se le ofreció un puesto de profesor en la Universidad de Breslau . Sin embargo, como no había aprobado una tesis doctoral, presentó sus memorias sobre el teorema de Fermat como tesis a la Universidad de Bonn . Una vez más, su falta de fluidez en latín le impidió realizar la necesaria disputa pública de su tesis; Después de muchas discusiones, la universidad decidió sortear el problema otorgándole un doctorado honoris causa en febrero de 1827. Además, el Ministro de Educación le concedió una dispensa para la disputa en latín necesaria para la Habilitación . Dirichlet obtuvo la habilitación y dio una conferencia en el año 1827-28 como Privatdozent en Breslau . [2]
Mientras estuvo en Breslau, Dirichlet continuó su investigación en teoría de números, publicando importantes contribuciones a la ley de reciprocidad bicuadrática que en ese momento era un punto central de la investigación de Gauss. Alexander von Humboldt aprovechó estos nuevos resultados, que también habían suscitado entusiastas elogios por parte de Friedrich Bessel , para organizarle el deseado traslado a Berlín. Dada la corta edad de Dirichlet (tenía 23 años en ese momento), Humboldt sólo pudo conseguirle un puesto de prueba en la Academia Militar Prusiana en Berlín, mientras permanecía nominalmente empleado en la Universidad de Breslau. La libertad condicional se extendió por tres años hasta que el puesto quedó definitivo en 1831.
Después del traslado de Dirichlet a Berlín, Humboldt le presentó los grandes salones del banquero Abraham Mendelssohn Bartholdy y su familia. Su casa era un punto de reunión semanal para artistas y científicos berlineses, incluidos los hijos de Abraham, Felix y Fanny Mendelssohn , ambos destacados músicos, y el pintor Wilhelm Hensel (el marido de Fanny). Dirichlet mostró gran interés por la hija de Abraham, Rebecka, con quien se casó en 1832.
Rebecka Henriette Lejeune Dirichlet (de soltera Rebecka Mendelssohn; 11 de abril de 1811 - 1 de diciembre de 1858) era nieta de Moses Mendelssohn y hermana menor de Felix Mendelssohn y Fanny Mendelssohn . [6] [7] Rebecka nació en Hamburgo . [8] En 1816, sus padres hicieron arreglos para que ella fuera bautizada , momento en el que tomó el nombre de Rebecka Henriette Mendelssohn Bartholdy. [9] Se convirtió en parte del notable salón de sus padres, Abraham Mendelssohn y su esposa Lea, teniendo contactos sociales con importantes músicos, artistas y científicos en un período altamente creativo de la vida intelectual alemana. En 1829 cantó un pequeño papel en el estreno, realizado en la casa Mendelssohn, del Singspiel Die Heimkehr aus der Fremde de Felix . Más tarde escribió:
Mi hermano y mi hermana mayores me robaron la reputación como artista. En cualquier otra familia habría sido muy apreciado como músico y quizás habría sido líder de un grupo. Al lado de Félix y Fanny, no podía aspirar a ningún reconocimiento. [10]
En 1832 se casó con Dirichlet, a quien Alexander von Humboldt presentó a la familia Mendelssohn . [11] En 1833 nació su primer hijo, Walter. Murió en Göttingen en 1858. [ cita necesaria ]
Tan pronto como llegó a Berlín, Dirichlet solicitó ser profesor en la Universidad de Berlín , y el ministro de Educación aprobó el traslado y en 1831 lo asignó a la facultad de filosofía . La facultad le exigió que realizara una nueva habilitación y, aunque Dirichlet escribió un Habilitationsschrift según fuera necesario, pospuso dar la conferencia obligatoria en latín por otros 20 años, hasta 1851. Como no había completado este requisito formal, permaneció adscrito a la profesorado con derechos menos que plenos, incluidos emolumentos restringidos, lo que le obligó a mantener paralelamente su puesto docente en la Escuela Militar. En 1832 Dirichlet se convirtió en miembro de la Academia de Ciencias de Prusia , siendo el miembro más joven con sólo 27 años. [2]
Dirichlet tenía una buena reputación entre los estudiantes por la claridad de sus explicaciones y disfrutaba enseñando, especialmente porque sus conferencias universitarias tendían a ser sobre los temas más avanzados en los que investigaba: teoría de números (fue el primer profesor alemán en dar conferencias sobre teoría de números), análisis y física matemática . Aconsejó las tesis doctorales de varios matemáticos alemanes importantes, como Gotthold Eisenstein , Leopold Kronecker , Rudolf Lipschitz y Carl Wilhelm Borchardt , siendo influyente en la formación matemática de muchos otros científicos, entre ellos Elwin Bruno Christoffel , Wilhelm Weber , Eduard Heine , Ludwig von Seidel y Julius Weingarten . En la Academia Militar, Dirichlet logró introducir el cálculo diferencial e integral en el plan de estudios, elevando el nivel de la educación científica allí. Sin embargo, poco a poco empezó a sentir que su doble carga docente, en la academia militar y en la universidad, limitaba el tiempo disponible para sus investigaciones. [2]
Mientras estuvo en Berlín, Dirichlet se mantuvo en contacto con otros matemáticos. En 1829, durante un viaje, conoció a Carl Jacobi , entonces profesor de matemáticas en la Universidad de Königsberg . A lo largo de los años siguieron reuniéndose y manteniendo correspondencia sobre temas de investigación, y con el tiempo se hicieron amigos cercanos. En 1839, durante una visita a París, Dirichlet conoció a Joseph Liouville , los dos matemáticos se hicieron amigos, se mantuvieron en contacto e incluso se visitaron con las familias unos años más tarde. En 1839, Jacobi envió a Dirichlet un artículo de Ernst Kummer , entonces maestro de escuela. Al darse cuenta del potencial de Kummer, lo ayudaron a ser elegido en la Academia de Berlín y, en 1842, le consiguieron un puesto de profesor titular en la Universidad de Breslau. En 1840, Kummer se casó con Ottilie Mendelssohn, prima de Rebecka.
En 1843, cuando Jacobi enfermó, Dirichlet viajó a Königsberg para ayudarlo y luego obtuvo la ayuda del médico personal del rey Federico Guillermo IV . Cuando el médico recomendó que Jacobi pasara una temporada en Italia, Dirichlet lo acompañó en el viaje junto con su familia. Los acompañó a Italia Ludwig Schläfli , que llegó como traductor; Como estaba muy interesado en las matemáticas, tanto Dirichlet como Jacobi le dieron conferencias durante el viaje, y más tarde él mismo se convirtió en un importante matemático. [2] La familia Dirichlet extendió su estancia en Italia hasta 1845, naciendo allí su hija Flora. En 1844, Jacobi se mudó a Berlín como pensionado real y su amistad se hizo aún más estrecha. En 1846, cuando la Universidad de Heidelberg intentó reclutar a Dirichlet, Jacobi proporcionó a von Humboldt el apoyo necesario para obtener una duplicación del salario de Dirichlet en la universidad a fin de mantenerlo en Berlín; sin embargo, ni siquiera entonces le pagaron el salario completo de profesor y no pudo abandonar la Academia Militar. [12]
Con opiniones liberales, Dirichlet y su familia apoyaron la revolución de 1848 ; incluso guardó con un rifle el palacio del Príncipe de Prusia. Después del fracaso de la revolución, la Academia Militar cerró temporalmente, lo que le provocó una gran pérdida de ingresos. Cuando volvió a abrir, el ambiente se volvió más hostil hacia él, ya que se esperaba que los oficiales a los que enseñaba fueran leales al gobierno constituido. Algunos miembros de la prensa que no se habían puesto del lado de la revolución lo señalaron, así como a Jacobi y otros profesores liberales, como "el contingente rojo del personal". [2]
En 1849 Dirichlet participó, junto con su amigo Jacobi, en el jubileo del doctorado de Gauss.
A pesar de la experiencia de Dirichlet y los honores que recibió, y aunque, en 1851, finalmente había completado todos los requisitos formales para ser profesor titular, la cuestión del aumento de su salario en la universidad aún se prolongaba y todavía no podía abandonar la Academia Militar. . En 1855, tras la muerte de Gauss, la Universidad de Göttingen decidió nombrar a Dirichlet como su sucesor. Dadas las dificultades que atravesó en Berlín, decidió aceptar la oferta e inmediatamente se mudó a Göttingen con su familia. Kummer fue llamado para asumir su puesto de profesor de matemáticas en Berlín. [3]
Dirichlet disfrutó de su estancia en Gotinga, ya que la carga docente más ligera le permitió más tiempo para la investigación y entró en estrecho contacto con la nueva generación de investigadores, especialmente con Richard Dedekind y Bernhard Riemann . Después de mudarse a Göttingen, pudo obtener un pequeño estipendio anual para que Riemann lo retuviera en el personal docente allí. Dedekind, Riemann, Moritz Cantor y Alfred Enneper , aunque todos ya habían obtenido su doctorado, asistieron a las clases de Dirichlet para estudiar con él. Dedekind, que sentía que había lagunas en su educación matemática, consideró que la ocasión de estudiar con Dirichlet le convertía en "un nuevo ser humano". [2] Posteriormente editó y publicó las conferencias de Dirichlet y otros resultados en teoría de números bajo el título Vorlesungen über Zahlentheorie ( Conferencias sobre teoría de números ).
En el verano de 1858, durante un viaje a Montreux , Dirichlet sufrió un infarto. El 5 de mayo de 1859 murió en Gotinga, varios meses después de la muerte de su esposa Rebecka. [3] El cerebro de Dirichlet se conserva en el departamento de fisiología de la Universidad de Göttingen, junto con el cerebro de Gauss. [ dudoso ] La Academia de Berlín lo honró con un discurso conmemorativo formal presentado por Kummer en 1860, y luego ordenó la publicación de sus obras completas editadas por Kronecker y Lazarus Fuchs .
La teoría de números fue el principal interés de investigación de Dirichlet, [13] un campo en el que encontró varios resultados profundos y, al demostrarlos, introdujo algunas herramientas fundamentales, muchas de las cuales más tarde recibieron su nombre. En 1837, Dirichlet demostró su teorema sobre las progresiones aritméticas utilizando conceptos del análisis matemático para abordar un problema algebraico, creando así la rama de la teoría analítica de números . Al demostrar el teorema, introdujo los caracteres de Dirichlet y las funciones L. [13] [14] En ese artículo, también señaló la diferencia entre la convergencia absoluta y condicional de series y su impacto en lo que más tarde se llamó el teorema de la serie de Riemann . En 1841, generalizó su teorema de progresiones aritméticas desde números enteros al anillo de números enteros gaussianos . [2]
En un par de artículos de 1838 y 1839, demostró la fórmula numérica de primera clase para formas cuadráticas (posteriormente refinada por su alumno Kronecker). La fórmula, que Jacobi llamó un resultado "que toca la máxima perspicacia humana", abrió el camino para resultados similares con respecto a campos numéricos más generales . [2] Basándose en su investigación de la estructura del grupo unitario de campos cuadráticos , demostró el teorema unitario de Dirichlet , un resultado fundamental en la teoría algebraica de números . [14]
Primero utilizó el principio del casillero , un argumento básico de conteo, en la demostración de un teorema de aproximación diofántica , que más tarde recibió su nombre como teorema de aproximación de Dirichlet . Publicó importantes contribuciones al último teorema de Fermat , para el cual demostró los casos n = 5 y n = 14 , y a la ley de reciprocidad bicuadrática . [2] El problema del divisor de Dirichlet , para el que encontró los primeros resultados, sigue siendo un problema sin resolver en la teoría de números a pesar de las contribuciones posteriores de otros matemáticos.
Inspirado por el trabajo de su mentor en París, Dirichlet publicó en 1829 una famosa memoria en la que expone las condiciones y muestra para qué funciones se cumple la convergencia de la serie de Fourier . [15] Antes de la solución de Dirichlet, no sólo Fourier, sino también Poisson y Cauchy habían intentado sin éxito encontrar una prueba rigurosa de la convergencia. Las memorias señalaron el error de Cauchy e introdujeron la prueba de Dirichlet para la convergencia de series. También introdujo la función de Dirichlet como ejemplo de una función que no es integrable (la integral definida todavía era un tema en desarrollo en ese momento) y, en la demostración del teorema de la serie de Fourier, introdujo el núcleo de Dirichlet y la integral de Dirichlet. . [dieciséis]
Dirichlet también estudió el primer problema de valores en la frontera , para la ecuación de Laplace , demostrando la unicidad de la solución; Este tipo de problema en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales recibió más tarde el nombre de problema de Dirichlet en su honor. Una función que satisface una ecuación diferencial parcial sujeta a las condiciones de frontera de Dirichlet debe tener valores fijos en la frontera. [13] En la prueba utilizó en particular el principio de que la solución es la función que minimiza la llamada energía de Dirichlet . Más tarde, Riemann denominó a este enfoque principio de Dirichlet , aunque sabía que también lo habían utilizado Gauss y Lord Kelvin . [2]
Al intentar medir el rango de funciones para las cuales se puede mostrar la convergencia de la serie de Fourier, Dirichlet define una función mediante la propiedad de que "a cualquier x corresponde una única y finita ", pero luego restringe su atención a funciones continuas por partes . En base a esto, se le atribuye la introducción del concepto moderno de función, en contraposición a la antigua comprensión vaga de una función como fórmula analítica. [2] Imre Lakatos cita a Hermann Hankel como el origen temprano de esta atribución, pero cuestiona la afirmación diciendo que "hay amplia evidencia de que no tenía idea de este concepto [...] por ejemplo, cuando analiza funciones continuas por partes, dice que en los puntos de discontinuidad la función tiene dos valores". [17]
Dirichlet también trabajó en física matemática , dando conferencias y publicando investigaciones sobre teoría del potencial (incluido el problema de Dirichlet y el principio de Dirichlet mencionados anteriormente), la teoría del calor y la hidrodinámica . [13] Mejoró el trabajo de Lagrange sobre sistemas conservadores al mostrar que la condición para el equilibrio es que la energía potencial sea mínima. [18]
Dirichlet también dio conferencias sobre teoría de la probabilidad y mínimos cuadrados , presentando algunos métodos y resultados originales, en particular para los teoremas de límites y una mejora del método de aproximación de Laplace relacionado con el teorema del límite central . [19] La distribución de Dirichlet y el proceso de Dirichlet , basado en la integral de Dirichlet , llevan su nombre.
Dirichlet fue elegido miembro de varias academias: [20]
En 1855, Dirichlet recibió la medalla de clase civil de la orden Pour le Mérite por recomendación de Alexander von Humboldt . El cráter Dirichlet de la Luna y el asteroide 11665 Dirichlet llevan su nombre.
Una bibliografía completa de las obras publicadas de Dirichlet, incluidas sus traducciones y conferencias no contenidas en Werke , está disponible en:
Medios relacionados con Peter Gustav Lejeune Dirichlet en Wikimedia Commons![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)