En física , específicamente en electromagnetismo , la ley de fuerzas de Lorentz es la combinación de fuerzas eléctricas y magnéticas sobre una carga puntual debido a campos electromagnéticos . La fuerza de Lorentz , por otro lado, es un efecto físico que se produce en las proximidades de conductores eléctricamente neutros que transportan corriente, lo que hace que las cargas eléctricas en movimiento experimenten una fuerza magnética .
La ley de fuerza de Lorentz establece que una partícula de carga q que se mueve con una velocidad v en un campo eléctrico E y un campo magnético B experimenta una fuerza (en unidades SI [1] [2] ) de Dice que la fuerza electromagnética sobre una carga q es una combinación de (1) una fuerza en la dirección del campo eléctrico E (proporcional a la magnitud del campo y la cantidad de carga), y (2) una fuerza en ángulo recto tanto con el campo magnético B como con el Velocidad v de la carga (proporcional a la magnitud del campo, la carga y la velocidad).
Las variaciones de esta fórmula básica describen la fuerza magnética sobre un alambre que transporta corriente (a veces llamada fuerza de Laplace), la fuerza electromotriz en un bucle de alambre que se mueve a través de un campo magnético (un aspecto de la ley de inducción de Faraday ) y la fuerza sobre un alambre en movimiento. partícula cargada. [3]
Los historiadores sugieren que la ley está implícita en un artículo de James Clerk Maxwell , publicado en 1865. [4] Hendrik Lorentz llegó a una derivación completa en 1895, [5] identificando la contribución de la fuerza eléctrica unos años después de que Oliver Heaviside identificara correctamente la contribución de la fuerza magnética. [6]
En muchos libros de texto sobre electromagnetismo clásico, la ley de fuerza de Lorentz se utiliza como definición de los campos eléctrico y magnético E y B. [7] [8] [9] Para ser específicos, se entiende por fuerza de Lorentz la siguiente afirmación empírica:
La fuerza electromagnética F sobre una carga de prueba en un punto y tiempo dados es una función determinada de su carga q y velocidad v , que puede parametrizarse mediante exactamente dos vectores E y B , en la forma funcional :
Esto es válido, incluso para partículas que se acercan a la velocidad de la luz (es decir, magnitud de v , | v | ≈ c ). [10] Así, los dos campos vectoriales E y B quedan definidos en todo el espacio y en el tiempo, y se denominan "campo eléctrico" y "campo magnético". Los campos se definen en todas partes en el espacio y el tiempo con respecto a la fuerza que recibiría una carga de prueba, independientemente de si hay una carga presente para experimentar la fuerza.
Como definición de E y B , la fuerza de Lorentz es sólo una definición en principio porque una partícula real (a diferencia de la hipotética "carga de prueba" de masa y carga infinitamente pequeñas) generaría sus propios campos finitos E y B , que alteraría la fuerza electromagnética que experimenta. [11] Además, si la carga experimenta aceleración, como si fuera forzada a seguir una trayectoria curva, emite radiación que hace que pierda energía cinética. Véase, por ejemplo, Bremsstrahlung y luz sincrotrón . Estos efectos ocurren tanto a través de un efecto directo (llamado fuerza de reacción a la radiación ) como indirectamente (al afectar el movimiento de cargas y corrientes cercanas).
La ley de Coulomb sólo es válida para cargas puntuales en reposo. De hecho, la fuerza electromagnética entre dos cargas puntuales depende no sólo de la distancia sino también de la velocidad relativa . Para velocidades relativas pequeñas y aceleraciones muy pequeñas, en lugar de la fuerza de Coulomb, se puede aplicar la fuerza de Weber . La suma de las fuerzas de Weber de todos los portadores de carga en un circuito cerrado de CC sobre una sola carga de prueba produce, independientemente de la forma del circuito de corriente, la fuerza de Lorentz.
La interpretación del magnetismo mediante una ley de Coulomb modificada fue propuesta por primera vez por Carl Friedrich Gauss . En 1835, Gauss supuso que cada segmento de un circuito de CC contiene un número igual de cargas puntuales negativas y positivas que se mueven a diferentes velocidades. [12] Si la ley de Coulomb fuera completamente correcta, ninguna fuerza debería actuar entre dos segmentos cortos de tales bucles de corriente. Sin embargo, hacia 1825, André-Marie Ampère demostró experimentalmente que no es así. Ampère también formuló una ley de fuerza . Basándose en esta ley, Gauss concluyó que la fuerza electromagnética entre dos cargas puntuales depende no sólo de la distancia sino también de la velocidad relativa.
La fuerza de Weber es una fuerza central y cumple con la tercera ley de Newton . Esto permite demostrar que no sólo se aplica la conservación del momento , sino también la conservación de la energía y la conservación del momento angular . La electrodinámica de Weber es sólo una aproximación cuasiestática , es decir, no debe utilizarse para velocidades y aceleraciones más altas. Sin embargo, la fuerza de Weber ilustra que la fuerza de Lorentz se remonta a fuerzas centrales entre numerosos portadores de carga puntuales.
La fuerza F que actúa sobre una partícula de carga eléctrica q con velocidad instantánea v , debido a un campo eléctrico externo E y un campo magnético B , viene dada por ( definición SI de cantidades [1] ): [13]
donde × es el producto vectorial (todas las cantidades en negrita son vectores). En términos de componentes cartesianos, tenemos:
En general, los campos eléctrico y magnético son funciones de la posición y del tiempo. Por lo tanto, explícitamente, la fuerza de Lorentz se puede escribir como: en la que r es el vector de posición de la partícula cargada, t es el tiempo y el sobrepunto es una derivada del tiempo.
Una partícula cargada positivamente será acelerada en la misma orientación lineal que el campo E , pero se curvará perpendicularmente tanto al vector de velocidad instantánea v como al campo B de acuerdo con la regla de la mano derecha (en detalle, si los dedos de la mano derecha se extienden para apuntar en la dirección de v y luego se curvan para apuntar en la dirección de B , luego el pulgar extendido apuntará en la dirección de F ).
El término q E se llama fuerza eléctrica , mientras que el término q ( v × B ) se llama fuerza magnética . [14] Según algunas definiciones, el término "fuerza de Lorentz" se refiere específicamente a la fórmula de la fuerza magnética, [15] y a la fuerza electromagnética total (incluida la fuerza eléctrica) se le da algún otro nombre (no estándar). Este artículo no seguirá esta nomenclatura: en lo que sigue, el término "fuerza de Lorentz" se referirá a la expresión de la fuerza total.
La componente de fuerza magnética de la fuerza de Lorentz se manifiesta como la fuerza que actúa sobre un cable por el que circula corriente en un campo magnético. En ese contexto, también se le llama fuerza de Laplace.
La fuerza de Lorentz es una fuerza ejercida por el campo electromagnético sobre la partícula cargada, es decir, es la velocidad a la que se transfiere impulso lineal del campo electromagnético a la partícula. Asociado a él está el poder, que es la velocidad a la que se transfiere energía del campo electromagnético a la partícula. Esa potencia es Observe que el campo magnético no contribuye a la potencia porque la fuerza magnética siempre es perpendicular a la velocidad de la partícula.
Para una distribución de carga continua en movimiento, la ecuación de fuerza de Lorentz se convierte en: ¿ dónde está la fuerza sobre una pequeña parte de la distribución de carga con carga ? Si ambos lados de esta ecuación se dividen por el volumen de esta pequeña porción de la distribución de carga , el resultado es: donde está la densidad de fuerza (fuerza por unidad de volumen) y es la densidad de carga (carga por unidad de volumen). A continuación, la densidad de corriente correspondiente al movimiento del continuo de carga es, por lo que el análogo continuo de la ecuación es [16]
La fuerza total es la integral de volumen sobre la distribución de carga:
Eliminando y , usando las ecuaciones de Maxwell , y manipulando usando los teoremas del cálculo vectorial , esta forma de ecuación se puede usar para derivar el tensor de tensión de Maxwell , a su vez, esto se puede combinar con el vector de Poynting para obtener el tensor de tensión-energía electromagnética. T usado en relatividad general . [dieciséis]
En términos de y , otra forma de escribir la fuerza de Lorentz (por unidad de volumen) es [16] donde es la velocidad de la luz y ∇ · denota la divergencia de un campo tensorial . En lugar de la cantidad de carga y su velocidad en los campos eléctricos y magnéticos, esta ecuación relaciona el flujo de energía (flujo de energía por unidad de tiempo por unidad de distancia) en los campos con la fuerza ejercida sobre una distribución de carga. Consulte la formulación covariante del electromagnetismo clásico para obtener más detalles.
La densidad de potencia asociada con la fuerza de Lorentz en un medio material es
Si separamos la carga total y la corriente total en sus partes libres y ligadas, obtenemos que la densidad de la fuerza de Lorentz es
donde: es la densidad de carga libre; es la densidad de polarización ; es la densidad de la corriente libre; y es la densidad de magnetización . De esta forma, la fuerza de Lorentz puede explicar el par aplicado a un imán permanente por el campo magnético. La densidad de la potencia asociada es
Las fórmulas antes mencionadas utilizan las convenciones para la definición del campo eléctrico y magnético utilizadas con el SI , que es la más común. Sin embargo, son posibles y utilizadas otras convenciones con la misma física (es decir, fuerzas sobre, por ejemplo, un electrón). En las convenciones utilizadas con las unidades CGS-Gaussianas más antiguas , que son algo más comunes entre algunos físicos teóricos y experimentadores de materia condensada, se tiene en cambio donde c es la velocidad de la luz . Aunque esta ecuación parece ligeramente diferente, es equivalente, ya que se tienen las siguientes relaciones: [1] donde ε 0 es la permitividad del vacío y μ 0 la permeabilidad al vacío . En la práctica, los subíndices "G" y "SI" se omiten y la convención (y unidad) utilizada debe determinarse a partir del contexto.
Los primeros intentos de describir cuantitativamente la fuerza electromagnética se realizaron a mediados del siglo XVIII. Se propuso que la fuerza sobre los polos magnéticos, por Johann Tobias Mayer y otros en 1760, [17] y los objetos cargados eléctricamente, por Henry Cavendish en 1762, [18] obedecían una ley del cuadrado inverso . Sin embargo, en ambos casos la prueba experimental no fue completa ni concluyente. No fue hasta 1784 cuando Charles-Augustin de Coulomb , utilizando una balanza de torsión , pudo demostrar definitivamente mediante experimentos que esto era cierto. [19] Poco después del descubrimiento en 1820 por Hans Christian Ørsted de que una corriente voltaica actúa sobre una aguja magnética, André-Marie Ampère ese mismo año pudo idear mediante experimentación la fórmula para la dependencia angular de la fuerza entre dos corrientes. elementos. [20] [21] En todas estas descripciones, la fuerza siempre se describió en términos de las propiedades de la materia involucrada y las distancias entre dos masas o cargas en lugar de en términos de campos eléctricos y magnéticos. [22]
El concepto moderno de campos eléctricos y magnéticos surgió por primera vez en las teorías de Michael Faraday , en particular su idea de líneas de fuerza , que más tarde recibió una descripción matemática completa de Lord Kelvin y James Clerk Maxwell . [23] Desde una perspectiva moderna es posible identificar en la formulación de Maxwell de 1865 de sus ecuaciones de campo una forma de la ecuación de fuerza de Lorentz en relación con las corrientes eléctricas, [4] aunque en la época de Maxwell no era evidente cómo se relacionaban sus ecuaciones a las fuerzas sobre objetos cargados en movimiento. JJ Thomson fue el primero en intentar derivar de las ecuaciones de campo de Maxwell las fuerzas electromagnéticas sobre un objeto cargado en movimiento en términos de las propiedades del objeto y los campos externos. Interesado en determinar el comportamiento electromagnético de las partículas cargadas en los rayos catódicos , Thomson publicó un artículo en 1881 en el que dio la fuerza sobre las partículas debida a un campo magnético externo como [6] [24] Thomson derivó la forma básica correcta de la fórmula. , pero, debido a algunos errores de cálculo y una descripción incompleta de la corriente de desplazamiento , se incluyó un factor de escala incorrecto de la mitad delante de la fórmula. Oliver Heaviside inventó la notación vectorial moderna y la aplicó a las ecuaciones de campo de Maxwell; él también (en 1885 y 1889) corrigió los errores de la derivación de Thomson y llegó a la forma correcta de la fuerza magnética sobre un objeto cargado en movimiento. [6] [25] [26] Finalmente, en 1895, [5] [27] Hendrik Lorentz derivó la forma moderna de la fórmula para la fuerza electromagnética que incluye las contribuciones a la fuerza total tanto del campo eléctrico como del magnético. Lorentz empezó por abandonar las descripciones maxwellianas del éter y la conducción. En cambio, Lorentz hizo una distinción entre materia y éter luminífero y buscó aplicar las ecuaciones de Maxwell a escala microscópica. Utilizando la versión de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell para un éter estacionario y aplicando la mecánica lagrangiana (ver más abajo), Lorentz llegó a la forma correcta y completa de la ley de fuerza que ahora lleva su nombre. [28] [29]
En muchos casos de interés práctico, el movimiento en un campo magnético de una partícula cargada eléctricamente (como un electrón o un ion en un plasma ) puede tratarse como la superposición de un movimiento circular relativamente rápido alrededor de un punto llamado centro guía y un deriva relativamente lenta de este punto. Las velocidades de deriva pueden diferir para varias especies dependiendo de sus estados de carga, masas o temperaturas, lo que posiblemente resulte en corrientes eléctricas o separación química.
Mientras que las ecuaciones modernas de Maxwell describen cómo las partículas cargadas eléctricamente y las corrientes o partículas cargadas en movimiento dan lugar a campos eléctricos y magnéticos, la ley de fuerza de Lorentz completa ese cuadro al describir la fuerza que actúa sobre una carga puntual en movimiento q en presencia de campos electromagnéticos. [13] [30] La ley de fuerzas de Lorentz describe el efecto de E y B sobre una carga puntual, pero tales fuerzas electromagnéticas no son el panorama completo. Las partículas cargadas posiblemente estén acopladas a otras fuerzas, en particular la gravedad y las fuerzas nucleares. Por tanto, las ecuaciones de Maxwell no están separadas de otras leyes físicas, sino que están acopladas a ellas a través de las densidades de carga y corriente. La respuesta de una carga puntual a la ley de Lorentz es un aspecto; la generación de E y B por corrientes y cargas es otra.
En materiales reales, la fuerza de Lorentz es inadecuada para describir el comportamiento colectivo de las partículas cargadas, tanto en principio como como cuestión de cálculo. Las partículas cargadas en un medio material no sólo responden a los campos E y B sino que también generan estos campos. Se deben resolver ecuaciones de transporte complejas para determinar la respuesta temporal y espacial de las cargas, por ejemplo, la ecuación de Boltzmann o la ecuación de Fokker-Planck o las ecuaciones de Navier-Stokes . Por ejemplo, véase magnetohidrodinámica , dinámica de fluidos , electrohidrodinámica , superconductividad , evolución estelar . Se ha desarrollado todo un aparato físico para tratar estos asuntos. Véase, por ejemplo, las relaciones Green-Kubo y la función de Green (teoría de muchos cuerpos) .
Cuando un cable que transporta una corriente eléctrica se coloca en un campo magnético, cada una de las cargas en movimiento, que componen la corriente, experimenta la fuerza de Lorentz y juntas pueden crear una fuerza macroscópica sobre el cable (a veces llamada fuerza de Laplace ). Al combinar la ley de fuerza de Lorentz anterior con la definición de corriente eléctrica, se obtiene la siguiente ecuación, en el caso de un alambre estacionario recto en un campo homogéneo: [31] donde ℓ es un vector cuya magnitud es la longitud del alambre, y cuya dirección es a lo largo del alambre, alineada con la dirección de la corriente convencional I.
Si el alambre no es recto, la fuerza sobre él se puede calcular aplicando esta fórmula a cada segmento infinitesimal de alambre y luego sumando todas estas fuerzas por integración . Esto da como resultado la misma expresión formal, pero ℓ ahora debe entenderse como el vector que conecta los puntos finales del cable curvo con la dirección desde el punto inicial hasta el final de la corriente convencional. Por lo general, también habrá un par neto .
Si, además, el campo magnético no es homogéneo, la fuerza neta sobre un alambre rígido estacionario que transporta una corriente constante I viene dada por la integración a lo largo del alambre,
Una aplicación de esto es la ley de fuerza de Ampère , que describe cómo dos cables portadores de corriente pueden atraerse o repelerse, ya que cada uno experimenta una fuerza de Lorentz procedente del campo magnético del otro.
El componente de fuerza magnética ( q v × B ) de la fuerza de Lorentz es responsable de la fuerza electromotriz en movimiento (o EMF en movimiento ), el fenómeno subyacente a muchos generadores eléctricos. Cuando un conductor se mueve a través de un campo magnético, el campo magnético ejerce fuerzas opuestas sobre los electrones y los núcleos del cable, y esto crea la FEM. El término "CEM de movimiento" se aplica a este fenómeno, ya que el CEM se debe al movimiento del cable.
En otros generadores eléctricos, los imanes se mueven, mientras que los conductores no. En este caso, la FEM se debe al término de fuerza eléctrica ( q E ) en la ecuación de la fuerza de Lorentz. El campo eléctrico en cuestión se crea mediante el cambio del campo magnético, lo que da como resultado un campo electromagnético inducido , como se describe en la ecuación de Maxwell-Faraday (una de las cuatro ecuaciones modernas de Maxwell ). [32]
Ambos EMF, a pesar de sus orígenes aparentemente distintos, se describen mediante la misma ecuación, es decir, el EMF es la tasa de cambio del flujo magnético a través del cable. (Esta es la ley de inducción de Faraday, ver más abajo). La teoría especial de la relatividad de Einstein fue parcialmente motivada por el deseo de comprender mejor este vínculo entre los dos efectos. [32] De hecho, los campos eléctrico y magnético son facetas diferentes del mismo campo electromagnético, y al pasar de un marco inercial a otro, la porción del campo vectorial solenoidal del campo E puede cambiar total o parcialmente a un campo B. -campo o viceversa . [33]
Dada una espira de alambre en un campo magnético , la ley de inducción de Faraday establece que la fuerza electromotriz inducida (EMF) en el alambre es: dónde está el flujo magnético a través de la espira, B es el campo magnético, Σ( t ) es una superficie limitada por el contorno cerrado ∂Σ( t ) , en el tiempo t , d A es un elemento de área vectorial infinitesimal de Σ( t ) (la magnitud es el área de un parche de superficie infinitesimal, la dirección es ortogonal a ese parche de superficie).
El signo de la FEM está determinado por la ley de Lenz . Tenga en cuenta que esto es válido no sólo para un cable estacionario , sino también para un cable en movimiento .
A partir de la ley de inducción de Faraday (que es válida para un cable en movimiento, por ejemplo en un motor) y las ecuaciones de Maxwell , se puede deducir la fuerza de Lorentz. Lo contrario también es cierto: la fuerza de Lorentz y las ecuaciones de Maxwell se pueden utilizar para derivar la ley de Faraday .
Sea Σ( t ) el alambre en movimiento, moviéndose juntos sin rotación y con velocidad constante v y Σ( t ) sea la superficie interna del alambre. La FEM alrededor del camino cerrado ∂Σ( t ) viene dada por: [34] donde es el campo eléctrico y d ℓ es un elemento vectorial infinitesimal del contorno ∂Σ( t ) .
NB: Tanto d ℓ como d A tienen un signo de ambigüedad; para obtener el signo correcto se utiliza la regla de la mano derecha , como se explica en el artículo Teorema de Kelvin-Stokes .
El resultado anterior se puede comparar con la versión de la ley de inducción de Faraday que aparece en las ecuaciones modernas de Maxwell, denominada aquí ecuación de Maxwell-Faraday :
La ecuación de Maxwell-Faraday también se puede escribir en forma integral utilizando el teorema de Kelvin-Stokes . [35]
Entonces tenemos la ecuación de Maxwell Faraday: y la ley de Faraday,
Los dos son equivalentes si el cable no se mueve. Usando la regla integral de Leibniz y que div B = 0 , se obtiene y usando la ecuación de Maxwell Faraday, dado que esto es válido para cualquier posición del cable, implica que,
La ley de inducción de Faraday se cumple tanto si la espira de alambre es rígida y estacionaria, como si está en movimiento o en proceso de deformación, y se aplica tanto si el campo magnético es constante en el tiempo como si cambia. Sin embargo, hay casos en los que la ley de Faraday es inadecuada o difícil de utilizar, y es necesaria la aplicación de la ley de fuerza de Lorentz subyacente. Véase inaplicabilidad de la ley de Faraday .
Si el campo magnético se fija en el tiempo y la espira conductora se mueve a través del campo, el flujo magnético Φ B que une la espira puede cambiar de varias maneras. Por ejemplo, si el campo B varía con la posición y el bucle se mueve a una ubicación con un campo B diferente , Φ B cambiará. Alternativamente, si el bucle cambia de orientación con respecto al campo B , el elemento diferencial B ⋅ d A cambiará debido al ángulo diferente entre B y d A , cambiando también Φ B. Como tercer ejemplo, si una parte del circuito se barre a través de un campo B uniforme e independiente del tiempo , y otra parte del circuito se mantiene estacionaria, el flujo que une todo el circuito cerrado puede cambiar debido al cambio en la posición relativa. de los componentes del circuito con el tiempo (superficie ∂Σ( t ) dependiente del tiempo). En los tres casos, la ley de inducción de Faraday predice la FEM generada por el cambio en Φ B.
Tenga en cuenta que la ecuación de Maxwell Faraday implica que el campo eléctrico E no es conservador cuando el campo magnético B varía en el tiempo y no se puede expresar como el gradiente de un campo escalar y no está sujeto al teorema del gradiente ya que su curvatura no es cero. [34] [36]
Los campos E y B pueden reemplazarse por el potencial del vector magnético A y el potencial electrostático ( escalar ) ϕ por donde ∇ es el gradiente, ∇⋅ es la divergencia y ∇× es el rizo .
La fuerza se convierte
Usando una identidad para el producto triple, esto se puede reescribir como,
(Observe que las coordenadas y los componentes de la velocidad deben tratarse como variables independientes, por lo que el operador del actúa sólo sobre , no sobre ; por lo tanto, no es necesario utilizar la notación de subíndice de Feynman en la ecuación anterior). Usando la regla de la cadena, la derivada total de es: de modo que la expresión anterior se convierte en:
Con v = ẋ , podemos poner la ecuación en la conveniente forma de Euler-Lagrange
dónde y
El lagrangiano para una partícula cargada de masa m y carga q en un campo electromagnético describe de manera equivalente la dinámica de la partícula en términos de su energía , en lugar de la fuerza ejercida sobre ella. La expresión clásica viene dada por: [37] donde A y ϕ son los campos potenciales como se indicó anteriormente. La cantidad puede considerarse como una función potencial dependiente de la velocidad. [38] Utilizando las ecuaciones de Lagrange , se puede obtener nuevamente la ecuación para la fuerza de Lorentz dada anteriormente.
Para un campo A , una partícula que se mueve con velocidad v = ṙ tiene momento potencial , por lo que su energía potencial es . Para un campo ϕ , la energía potencial de la partícula es .
La energía potencial total es entonces: y la energía cinética es: de ahí el lagrangiano:
Las ecuaciones de Lagrange son (lo mismo para y y z ). Entonces, calcular las derivadas parciales: igualar y simplificar: y lo mismo para las direcciones y y z . Por tanto la ecuación de fuerza es:
La energía potencial depende de la velocidad de la partícula, por lo que la fuerza depende de la velocidad, por lo que no es conservadora.
El lagrangiano relativista es
La acción es la longitud de arco relativista de la trayectoria de la partícula en el espacio-tiempo , menos la contribución de energía potencial, más una contribución adicional que mecánicamente cuánticamente es una fase adicional que obtiene una partícula cargada cuando se mueve a lo largo de un potencial vectorial.
Las ecuaciones de movimiento derivadas de la extremación de la acción (ver cálculo matricial para la notación): son las mismas que las ecuaciones de movimiento de Hamilton : ambas son equivalentes a la forma no canónica: Esta fórmula es la fuerza de Lorentz, que representa la velocidad a la que el campo EM añade impulso relativista a la partícula.
Usando la firma métrica (1, −1, −1, −1) , la fuerza de Lorentz para una carga q se puede escribir en [39] forma covariante :
donde p α es el momento de cuatro , definido como τ el tiempo propio de la partícula, F αβ el tensor electromagnético contravariante y U es la velocidad de cuatro covariante de la partícula, definida como: en el cual está el factor de Lorentz .
Los campos se transforman en un marco que se mueve con velocidad relativa constante mediante: donde Λ μ α es el tensor de transformación de Lorentz .
La componente α = 1 ( componente x ) de la fuerza es
Sustituyendo los componentes del tensor electromagnético covariante F se obtiene
Usando los componentes de los rendimientos covariantes de cuatro velocidades
El cálculo para α = 2, 3 (componentes de fuerza en las direcciones y y z ) produce resultados similares, por lo que se reúnen las 3 ecuaciones en una: y dado que los diferenciales en el tiempo coordenado dt y el tiempo propio dτ están relacionados por el factor de Lorentz, entonces llegar a
Esta es precisamente la ley de fuerzas de Lorentz, sin embargo, es importante señalar que p es la expresión relativista,
Los campos eléctrico y magnético dependen de la velocidad de un observador , por lo que la forma relativista de la ley de fuerza de Lorentz se puede exhibir mejor a partir de una expresión independiente de las coordenadas para los campos electromagnético y magnético , y una dirección temporal arbitraria . Esto se puede resolver mediante el álgebra espacio-temporal (o el álgebra geométrica del espacio-tiempo), un tipo de álgebra de Clifford definida en un espacio pseudoeuclidiano , [40] como y es un bivector espacio-temporal (un segmento plano orientado, al igual que un vector es un segmento de línea orientado), que tiene seis grados de libertad correspondientes a impulsos (rotaciones en planos espacio-temporales) y rotaciones (rotaciones en planos espacio-espaciales). El producto escalar con el vector extrae un vector (en el álgebra espacial) de la parte traslacional, mientras que el producto de cuña crea un trivector (en el álgebra espacial) que es dual a un vector que es el vector de campo magnético habitual. La velocidad relativista está dada por los cambios (temporales) en un vector tiempo-posición , donde (lo que muestra nuestra elección de la métrica) y la velocidad es
La forma adecuada (invariante es un término inadecuado porque no se ha definido ninguna transformación) de la ley de fuerza de Lorentz es simplemente
Tenga en cuenta que el orden es importante porque entre un bivector y un vector el producto escalar es antisimétrico. Al dividir el espacio-tiempo como se puede obtener la velocidad, y los campos como los anteriores producen la expresión habitual.
En la teoría general de la relatividad, la ecuación del movimiento de una partícula con masa y carga , que se mueve en un espacio con tensor métrico y campo electromagnético , se da como donde ( se toma a lo largo de la trayectoria) , y .
La ecuación también se puede escribir como dónde está el símbolo de Christoffel (de la conexión métrica sin torsión en la relatividad general), o como dónde está el diferencial covariante en la relatividad general (métrica, sin torsión).
La fuerza de Lorentz ocurre en muchos dispositivos, incluidos:
En su manifestación como fuerza de Laplace sobre una corriente eléctrica en un conductor, esta fuerza ocurre en muchos dispositivos, incluidos:
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: CS1 maint: location missing publisher (link)Las referencias numeradas se refieren en parte a la lista que aparece inmediatamente a continuación.