En matemáticas elementales , una línea numérica es una representación de una línea recta que sirve como representación espacial de números , generalmente graduada como una regla con un punto de origen particular que representa el número cero y marcas espaciadas uniformemente en cada dirección que representan números enteros , imaginados para extenderse infinitamente. La asociación metafórica entre números y puntos en la línea vincula las operaciones aritméticas sobre números con relaciones geométricas entre puntos y proporciona un andamiaje conceptual para el aprendizaje de las matemáticas.
La línea numérica se utiliza inicialmente para enseñar la suma y resta de números enteros, especialmente los que involucran números negativos . A medida que los estudiantes progresan, se pueden colocar más tipos de números en la línea, incluidas fracciones , fracciones decimales , raíces cuadradas y números trascendentales como la constante circular π : Cada punto de la línea numérica corresponde a un número real único , y cada número real a un punto único. [1]
Utilizando una línea numérica, los conceptos numéricos pueden interpretarse geométricamente y los conceptos geométricos pueden interpretarse numéricamente. Una desigualdad entre números corresponde a una relación de orden izquierda o derecha entre puntos. Los intervalos numéricos están asociados a segmentos geométricos de la línea. Las operaciones y funciones sobre números corresponden a transformaciones geométricas de la línea. Envolver la línea en un círculo relaciona la aritmética modular con la composición geométrica de ángulos . Marcar la línea con graduaciones espaciadas logarítmicamente asocia la multiplicación y la división con traslaciones geométricas , el principio subyacente a la regla de cálculo . En geometría analítica , los ejes de coordenadas son líneas numéricas que asocian puntos en un espacio geométrico con tuplas de números, por lo que las formas geométricas pueden describirse mediante ecuaciones numéricas y las funciones numéricas pueden graficarse .
En matemáticas avanzadas, la recta numérica suele denominarse recta real o recta de números reales , y es una recta geométrica isomorfa al conjunto de números reales, con el que a menudo se confunde; tanto los números reales como la recta real se denotan comúnmente como R o . La recta real es un espacio de coordenadas reales unidimensional , por lo que a veces se denota como R 1 cuando se compara con espacios de dimensiones superiores. La recta real es un espacio euclidiano unidimensional que utiliza la diferencia entre números para definir la distancia entre puntos en la recta. También se puede considerar como un espacio vectorial , un espacio métrico , un espacio topológico , un espacio de medida o un continuo lineal . La recta real se puede incrustar en el plano complejo , utilizado como una representación geométrica bidimensional de los números complejos .
La primera mención de la línea numérica utilizada para fines de operaciones se encuentra en el Tratado de álgebra de John Wallis (1685). [2] En su tratado, Wallis describe la suma y la resta en una línea numérica en términos de movimiento hacia adelante y hacia atrás, bajo la metáfora de una persona caminando.
Sin embargo, una representación anterior sin mención de operaciones se encuentra en A description of the admirable table of logarithmes (1616) de John Napier , que muestra los valores del 1 al 12 alineados de izquierda a derecha. [3]
Contrariamente a la creencia popular, la obra original de René Descartes, La Géométrie , no incluye una línea numérica, tal como la usamos hoy, aunque sí utiliza un sistema de coordenadas. En particular, la obra de Descartes no contiene números específicos representados en líneas, sino solo cantidades abstractas. [4]
Una línea numérica se representa generalmente como horizontal , pero en un plano de coordenadas cartesianas el eje vertical (eje y) también es una línea numérica. [5] Según una convención, los números positivos siempre se encuentran en el lado derecho del cero, los números negativos siempre se encuentran en el lado izquierdo del cero y las puntas de flecha en ambos extremos de la línea tienen la intención de sugerir que la línea continúa indefinidamente en las direcciones positiva y negativa. Otra convención utiliza solo una punta de flecha que indica la dirección en la que crecen los números. [5] La línea continúa indefinidamente en las direcciones positiva y negativa de acuerdo con las reglas de la geometría que definen una línea sin puntos finales como una línea infinita , una línea con un punto final como un rayo y una línea con dos puntos finales como un segmento de línea .
Si un número en particular está más a la derecha en la recta numérica que otro número, entonces el primer número es mayor que el segundo (equivalentemente, el segundo es menor que el primero). La distancia entre ellos es la magnitud de su diferencia, es decir, mide el primer número menos el segundo, o equivalentemente el valor absoluto del segundo número menos el primero. Tomar esta diferencia es el proceso de resta .
Así, por ejemplo, la longitud de un segmento de línea entre 0 y algún otro número representa la magnitud de este último número.
Se pueden sumar dos números "tomando" la longitud de 0 a uno de los números y volviéndolo a colocar con el extremo que era 0 encima del otro número.
Dos números pueden multiplicarse como en este ejemplo: Para multiplicar 5 × 3, tenga en cuenta que esto es lo mismo que 5 + 5 + 5, por lo que toma la longitud de 0 a 5 y colóquela a la derecha de 5, y luego tome esa longitud nuevamente y colóquela a la derecha del resultado anterior. Esto da un resultado que son 3 longitudes combinadas de 5 cada una; como el proceso termina en 15, encontramos que 5 × 3 = 15.
La división se puede realizar como en el siguiente ejemplo: para dividir 6 por 2, es decir, para averiguar cuántas veces cabe 2 en 6, observe que la longitud de 0 a 2 se encuentra al principio de la longitud de 0 a 6; tome la longitud anterior y colóquela nuevamente a la derecha de su posición original, con el extremo que antes estaba en 0 ahora ubicado en 2, y luego mueva la longitud a la derecha de su última posición nuevamente. Esto coloca el extremo derecho de la longitud 2 en el extremo derecho de la longitud de 0 a 6. Como tres longitudes de 2 llenaron la longitud 6, 2 cabe en 6 tres veces (es decir, 6 ÷ 2 = 3).
La sección de la recta numérica comprendida entre dos números se denomina intervalo . Si la sección incluye ambos números se dice que es un intervalo cerrado, mientras que si excluye ambos números se llama intervalo abierto. Si incluye uno de los números pero no el otro, se llama intervalo semiabierto.
Todos los puntos que se extienden indefinidamente en una dirección desde un punto en particular se conocen en conjunto como un rayo . Si el rayo incluye el punto en particular, es un rayo cerrado; de lo contrario, es un rayo abierto.
En la recta numérica, la distancia entre dos puntos es la longitud unitaria si y solo si la diferencia de los números representados es igual a 1. Son posibles otras opciones.
Una de las opciones más comunes es la escala logarítmica , que es una representación de los números positivos en una línea, de modo que la distancia de dos puntos es la longitud de la unidad, si la relación de los números representados tiene un valor fijo, típicamente 10. En dicha escala logarítmica, el origen representa 1; una pulgada a la derecha, uno tiene 10, una pulgada a la derecha de 10 uno tiene 10×10 = 100 , luego 10×100 = 1000 = 10 3 , luego 10×1000 = 10,000 = 10 4 , etc. De manera similar, una pulgada a la izquierda de 1, uno tiene 1/10 = 10 –1 , luego 1/100 = 10 –2 , etc.
Este enfoque es útil cuando se desea representar en una misma figura valores de orden de magnitud muy diferente . Por ejemplo, se requiere una escala logarítmica para representar simultáneamente el tamaño de los diferentes cuerpos que existen en el Universo , típicamente un fotón , un electrón , un átomo , una molécula , un ser humano , la Tierra , el Sistema Solar , una galaxia y el Universo visible.
Las escalas logarítmicas se utilizan en reglas de cálculo para multiplicar o dividir números sumando o restando longitudes en escalas logarítmicas.
Una línea trazada a través del origen en ángulo recto con la línea de números reales se puede utilizar para representar los números imaginarios . Esta línea, llamada línea imaginaria , extiende la línea numérica a un plano de números complejos , con puntos que representan números complejos .
Alternativamente, se puede dibujar una línea de números reales horizontalmente para indicar los posibles valores de un número real, comúnmente llamado x , y se puede dibujar otra línea de números reales verticalmente para indicar los posibles valores de otro número real, comúnmente llamado y . Juntas, estas líneas forman lo que se conoce como un sistema de coordenadas cartesianas , y cualquier punto en el plano representa el valor de un par de números reales. Además, el sistema de coordenadas cartesianas se puede ampliar visualizando una tercera línea de números "que sale de la pantalla (o página)", midiendo una tercera variable llamada z . Los números positivos están más cerca de los ojos del espectador que la pantalla, mientras que los números negativos están "detrás de la pantalla"; los números más grandes están más lejos de la pantalla. Entonces, cualquier punto en el espacio tridimensional en el que vivimos representa los valores de un trío de números reales.
La línea real es un continuo lineal bajo el ordenamiento estándar < . Específicamente, la línea real está ordenada linealmente por < , y este ordenamiento es denso y tiene la propiedad de límite superior mínimo .
Además de las propiedades anteriores, la recta real no tiene ningún elemento máximo ni mínimo . También tiene un subconjunto denso numerable , es decir, el conjunto de los números racionales . Es un teorema que cualquier continuo lineal con un subconjunto denso numerable y ningún elemento máximo o mínimo es isomorfo en orden a la recta real.
La línea real también satisface la condición de cadena contable : cada colección de intervalos abiertos no vacíos y mutuamente disjuntos en R es contable. En la teoría del orden , el famoso problema de Suslin pregunta si cada continuo lineal que satisface la condición de cadena contable que no tiene ningún elemento máximo o mínimo es necesariamente isomorfo en orden a R. Se ha demostrado que esta afirmación es independiente del sistema axiomático estándar de la teoría de conjuntos conocido como ZFC .
La recta real forma un espacio métrico , con la función distancia dada por diferencia absoluta:
El tensor métrico es claramente la métrica euclidiana unidimensional . Dado que la métrica euclidiana ndimensional se puede representar en forma matricial como la matriz identidad n por n , la métrica en la línea real es simplemente la matriz identidad 1 por 1, es decir, 1.
Si p ∈ R y ε > 0 , entonces la bola ε en R centrada en p es simplemente el intervalo abierto ( p − ε , p + ε ) .
Esta línea real tiene varias propiedades importantes como espacio métrico:
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La línea real tiene una topología estándar , que puede introducirse de dos maneras diferentes y equivalentes. En primer lugar, dado que los números reales están totalmente ordenados , tienen una topología de orden . En segundo lugar, los números reales heredan una topología métrica de la métrica definida anteriormente. La topología de orden y la topología métrica en R son la misma. Como espacio topológico, la línea real es homeomorfa al intervalo abierto (0, 1) .
La línea real es trivialmente una variedad topológica de dimensión 1. Hasta el homeomorfismo, es una de las dos únicas variedades 1-conexas sin borde , siendo la otra el círculo . También tiene una estructura diferenciable estándar, lo que la convierte en una variedad diferenciable . (Hasta el difeomorfismo , solo hay una estructura diferenciable que admite el espacio topológico).
La línea real es un espacio localmente compacto y un espacio paracompacto , así como segundo-contable y normal . También es conexa por trayectorias y, por lo tanto, también es conexa , aunque puede desconectarse eliminando cualquier punto. La línea real también es contráctil y, como tal, todos sus grupos de homotopía y grupos de homología reducidos son cero.
Como espacio localmente compacto, la línea real se puede compactificar de varias maneras diferentes. La compactificación de un punto de R es un círculo (es decir, la línea proyectiva real ), y el punto adicional se puede considerar como un infinito sin signo. Alternativamente, la línea real tiene dos extremos , y la compactificación de los extremos resultante es la línea real extendida [−∞, +∞] . También existe la compactificación de Stone–Čech de la línea real, que implica agregar un número infinito de puntos adicionales.
En algunos contextos, resulta útil colocar otras topologías en el conjunto de números reales, como la topología del límite inferior o la topología de Zariski . Para los números reales, esta última es la misma que la topología del complemento finito .
La recta real es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de números reales (es decir, sobre sí misma) de dimensión 1. Tiene como producto interno la multiplicación habitual , lo que la convierte en un espacio vectorial euclidiano . La norma definida por este producto interno es simplemente el valor absoluto .
La recta real lleva una medida canónica , es decir, la medida de Lebesgue . Esta medida se puede definir como la terminación de una medida de Borel definida en R , donde la medida de cualquier intervalo es la longitud del intervalo.
La medida de Lebesgue en la línea real es uno de los ejemplos más simples de una medida de Haar en un grupo localmente compacto .
Cuando A es un álgebra real unitaria , los productos de números reales con 1 son una recta real dentro del álgebra. Por ejemplo, en el plano complejo z = x + i y , el subespacio { z : y = 0} es una recta real. De manera similar, el álgebra de cuaterniones
tiene una recta real en el subespacio { q : x = y = z = 0 }.
Cuando el álgebra real es una suma directa entonces se introduce una conjugación en A mediante la aplicación del subespacio V. De esta manera la línea real consta de los puntos fijos de la conjugación.
Para una dimensión n , las matrices cuadradas forman un anillo que tiene una línea real en forma de productos reales con la matriz identidad en el anillo.
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