Factorización

Descomposición (matemática) en un producto

El polinomio x ²  +  cx  +  d , donde a + b = c y ab = d , se puede factorizar en ( x + a )( x + b ).

En matemáticas , la factorización (o factorización , ver diferencias ortográficas en inglés ) o factorización consiste en escribir un número u otro objeto matemático como producto de varios factores , generalmente objetos más pequeños o más simples del mismo tipo. Por ejemplo, 3 × 5 es una factorización entera de 15 y ( x – 2)( x + 2) es una factorización polinómica de x ² – 4 .

La factorización no suele considerarse significativa en sistemas numéricos que poseen división , como los números reales o complejos , ya que cualquier puede escribirse trivialmente como cuando no es cero. Sin embargo, se puede obtener una factorización significativa para un número racional o una función racional escribiéndolo en términos mínimos y factorizando por separado su numerador y denominador. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (xy)\times (1/y)}$ ${\displaystyle y}$

La factorización fue considerada por primera vez por los matemáticos de la antigua Grecia en el caso de los números enteros. Demostraron el teorema fundamental de la aritmética , que afirma que todo número entero positivo puede factorizarse en un producto de números primos , que no pueden factorizarse a su vez en números enteros mayores que 1. Además, esta factorización es única hasta el orden de los factores. Aunque la factorización de números enteros es una especie de inversa a la multiplicación, es mucho más difícil algorítmicamente , un hecho que se explota en el criptosistema RSA para implementar la criptografía de clave pública .

La factorización de polinomios también se ha estudiado durante siglos. En álgebra elemental, factorizar un polinomio reduce el problema de encontrar sus raíces a encontrar las raíces de los factores. Los polinomios con coeficientes en los números enteros o en un cuerpo poseen la propiedad de factorización única , una versión del teorema fundamental de la aritmética con números primos reemplazados por polinomios irreducibles . En particular, un polinomio univariante con coeficientes complejos admite una factorización única (hasta el orden) en polinomios lineales : esta es una versión del teorema fundamental del álgebra . En este caso, la factorización se puede realizar con algoritmos de búsqueda de raíces . El caso de los polinomios con coeficientes enteros es fundamental para el álgebra computacional . Existen algoritmos computacionales eficientes para calcular factorizaciones (completas) dentro del anillo de polinomios con coeficientes de números racionales (ver factorización de polinomios ).

Un anillo conmutativo que posee la propiedad de factorización única se denomina dominio de factorización única . Existen sistemas numéricos , como ciertos anillos de números enteros algebraicos , que no son dominios de factorización única. Sin embargo, los anillos de números enteros algebraicos satisfacen la propiedad más débil de los dominios de Dedekind : los ideales se factorizan de manera única en ideales primos .

La factorización también puede referirse a descomposiciones más generales de un objeto matemático en el producto de objetos más pequeños o más simples. Por ejemplo, cada función puede factorizarse en la composición de una función sobreyectiva con una función inyectiva . Las matrices poseen muchos tipos de factorizaciones matriciales . Por ejemplo, cada matriz tiene una factorización LUP única como producto de una matriz triangular inferior L con todas las entradas diagonales iguales a uno, una matriz triangular superior U y una matriz de permutación P ; esta es una formulación matricial de eliminación gaussiana .

Números enteros

Por el teorema fundamental de la aritmética , todo número entero mayor que 1 tiene una factorización única (hasta el orden de los factores) en números primos , que son aquellos números enteros que no pueden ser factorizados posteriormente en el producto de números enteros mayores que uno.

Para calcular la factorización de un entero n , se necesita un algoritmo para encontrar un divisor q de n o decidir que n es primo. Cuando se encuentra dicho divisor, la aplicación repetida de este algoritmo a los factores q y n / q da finalmente la factorización completa de n . ^[1]

Para hallar un divisor q de n , si lo hay, basta con comprobar todos los valores de q tales que 1 < q y q ² ≤ n . De hecho, si r es un divisor de n tal que r ² > n , entonces q = n / r es un divisor de n tal que q ² ≤ n .

Si se prueban los valores de q en orden creciente, el primer divisor que se encuentra es necesariamente un número primo, y el cofactor r = n / q no puede tener ningún divisor menor que q . Para obtener la factorización completa, basta entonces continuar el algoritmo buscando un divisor de r que no sea menor que q ni mayor que √ r .

No es necesario probar todos los valores de q para aplicar el método. En principio, basta con probar solo divisores primos. Para ello, es necesario tener una tabla de números primos que se pueda generar, por ejemplo, con la criba de Eratóstenes . Como el método de factorización hace esencialmente el mismo trabajo que la criba de Eratóstenes, generalmente es más eficiente probar si hay divisores solo en aquellos números para los que no está inmediatamente claro si son primos o no. Por lo general, se puede proceder probando 2, 3, 5 y los números > 5, cuyo último dígito es 1, 3, 7, 9 y la suma de los dígitos no es un múltiplo de 3.

Este método funciona bien para factorizar números enteros pequeños, pero es ineficiente para números enteros mayores. Por ejemplo, Pierre de Fermat no pudo descubrir que el sexto número de Fermat

${\displaystyle 1+2^{2^{5}}=1+2^{32}=4\,294\,967\,297}$

no es un número primo. De hecho, aplicar el método anterior requeriría más de10 000  divisiones , para un número que tiene 10  dígitos decimales .

Existen algoritmos de factorización más eficientes, pero siguen siendo relativamente ineficientes, ya que, con el estado actual de la técnica, no se puede factorizar, ni siquiera con los ordenadores más potentes, un número de 500 dígitos decimales que sea el producto de dos números primos elegidos al azar. Esto garantiza la seguridad del criptosistema RSA , que se utiliza ampliamente para la comunicación segura por Internet .

Ejemplo

Para factorizar n = 1386 en números primos:

• Comience con la división por 2: el número es par y n = 2 · 693. Continúe con 693 y 2 como primer candidato a divisor.
• 693 es impar (2 no es divisor), pero es múltiplo de 3: se tiene 693 = 3 · 231 y n = 2 · 3 · 231. Continúe con 231 y 3 como primer candidato a divisor.
• 231 también es múltiplo de 3: se tiene 231 = 3 · 77 , y por lo tanto n = 2 · 3 ² · 77 . Continúe con 77 y 3 como primer candidato a divisor.
• 77 no es múltiplo de 3, ya que la suma de sus dígitos es 14, no un múltiplo de 3. Tampoco es múltiplo de 5 porque su último dígito es 7. El siguiente divisor impar que se probará es 7. Se tiene 77 = 7 · 11 , y por lo tanto n = 2 · 3 ² · 7 · 11 . Esto demuestra que 7 es primo (fácil de probar directamente). Continúe con 11 y 7 como candidato a primer divisor.
• Como 7 ² > 11 , se ha terminado. Por lo tanto, 11 es primo y la factorización prima es

1386 = 2 · 3 ² · 7 · 11 .

Expresiones

La manipulación de expresiones es la base del álgebra . La factorización es uno de los métodos más importantes para la manipulación de expresiones por varias razones. Si se puede poner una ecuación en forma factorizada E ⋅ F = 0 , entonces el problema de resolver la ecuación se divide en dos problemas independientes (y generalmente más fáciles) E = 0 y F = 0 . Cuando una expresión se puede factorizar, los factores suelen ser mucho más simples y, por lo tanto, pueden ofrecer alguna idea sobre el problema. Por ejemplo,

${\displaystyle x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc}$

teniendo 16 multiplicaciones, 4 restas y 3 adiciones, se puede factorizar en la expresión mucho más simple

${\displaystyle (x-a)(x-b)(x-c),}$

con sólo dos multiplicaciones y tres restas. Además, la forma factorizada da inmediatamente raíces x = a , b , c como raíces del polinomio.

Por otra parte, la factorización no siempre es posible y, cuando lo es, los factores no siempre son más simples. Por ejemplo, se puede factorizar en dos factores irreducibles y . ${\displaystyle x^{10}-1}$ ${\displaystyle x-1}$ ${\displaystyle x^{9}+x^{8}+\cdots +x^{2}+x+1}$

Se han desarrollado varios métodos para encontrar factorizaciones; algunos se describen a continuación.

La resolución de ecuaciones algebraicas puede considerarse un problema de factorización de polinomios . De hecho, el teorema fundamental del álgebra puede enunciarse de la siguiente manera: todo polinomio en x de grado n con coeficientes complejos puede factorizarse en n factores lineales para i = 1, ..., n , donde las a _i son las raíces del polinomio. ^[2] Aunque en estos casos se conoce la estructura de la factorización, las a _i generalmente no pueden calcularse en términos de radicales ( raíces n ^ésimas ), mediante el teorema de Abel-Ruffini . En la mayoría de los casos, lo mejor que se puede hacer es calcular valores aproximados de las raíces con un algoritmo de búsqueda de raíces . ${\displaystyle x-a_{i},}$

Historia de la factorización de expresiones

El uso sistemático de manipulaciones algebraicas para simplificar expresiones (más específicamente ecuaciones ) se puede remontar al siglo IX, con el libro de al-Khwarizmi The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancer , que lleva por título The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancer, que incluye dos tipos de manipulación de este tipo.

Sin embargo, incluso para resolver ecuaciones cuadráticas , el método de factorización no se utilizó antes del trabajo de Harriot publicado en 1631, diez años después de su muerte. ^[3] En su libro Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas , Harriot dibujó tablas para la suma, resta, multiplicación y división de monomios , binomios y trinomios . Luego, en una segunda sección, planteó la ecuación aa − ba + ca = + bc , y demostró que esto coincide con la forma de multiplicación que había proporcionado previamente, dando la factorización ( a − b )( a + c ) . ^[4]

Métodos generales

Los siguientes métodos se aplican a cualquier expresión que sea una suma o que pueda transformarse en una suma. Por lo tanto, se aplican con mayor frecuencia a polinomios , aunque también pueden aplicarse cuando los términos de la suma no son monomios , es decir, los términos de la suma son un producto de variables y constantes.

Factor común

Puede ocurrir que todos los términos de una suma sean productos y que algunos factores sean comunes a todos los términos. En este caso, la ley distributiva permite factorizar este factor común. Si hay varios de estos factores comunes, es preferible dividir el mayor de ellos. Además, si hay coeficientes enteros, se puede factorizar el máximo común divisor de estos coeficientes.

Por ejemplo, ^[5] ya que 2 es el máximo común divisor de 6, 8 y 10, y divide todos los términos. $${\displaystyle 6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=2x^{3}y^{2}(3+4xy-5x^{2}y),}$$ ${\displaystyle x^{3}y^{2}}$

Agrupamiento

La agrupación de términos puede permitir utilizar otros métodos para obtener una factorización.

Por ejemplo, para factorizar se puede observar que los dos primeros términos tienen un factor común x , y los dos últimos términos tienen el factor común y . Por lo tanto, una simple inspección muestra el factor común x + 5 , lo que lleva a la factorización $${\displaystyle 4x^{2}+20x+3xy+15y,}$$ $${\displaystyle 4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x^{2}+20x)+(3xy+15y)=4x(x+5)+3y(x+5).}$$ $${\displaystyle 4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x+3y)(x+5).}$$

En general, esto funciona para sumas de 4 términos que se han obtenido como producto de dos binomios . Aunque no es frecuente, esto también puede funcionar para ejemplos más complicados.

Sumando y restando términos

A veces, la agrupación de algunos términos revela parte de un patrón reconocible. En ese caso, resulta útil sumar y restar términos para completar el patrón.

Un uso típico de esto es el método de completar el cuadrado para obtener la fórmula cuadrática .

Otro ejemplo es la factorización de Si se introduce la raíz cuadrada no real de –1 , comúnmente denotada i , entonces se tiene una diferencia de cuadrados Sin embargo, también se puede querer una factorización con coeficientes de números reales . Sumando y restando y agrupando tres términos, se puede reconocer el cuadrado de un binomio : Restar y sumar también produce la factorización: Estas factorizaciones funcionan no solo sobre los números complejos, sino también sobre cualquier campo , donde –1, 2 o –2 es un cuadrado. En un campo finito , el producto de dos no cuadrados es un cuadrado; esto implica que el polinomio que es irreducible sobre los números enteros, es reducible módulo cada número primo . Por ejemplo, ya que ya que ${\displaystyle x^{4}+1.}$ $${\displaystyle x^{4}+1=(x^{2}+i)(x^{2}-i).}$$ ${\displaystyle 2x^{2},}$ $${\displaystyle x^{4}+1=(x^{4}+2x^{2}+1)-2x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-\left(x{\sqrt {2}}\right)^{2}=\left(x^{2}+x{\sqrt {2}}+1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {2}}+1\right).}$$ ${\displaystyle 2x^{2}}$ $${\displaystyle x^{4}+1=(x^{4}-2x^{2}+1)+2x^{2}=(x^{2}-1)^{2}+\left(x{\sqrt {2}}\right)^{2}=\left(x^{2}+x{\sqrt {-2}}-1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {-2}}-1\right).}$$ ${\displaystyle x^{4}+1,}$ $${\displaystyle x^{4}+1\equiv (x+1)^{4}{\pmod {2}};}$$ $${\displaystyle x^{4}+1\equiv (x^{2}+x-1)(x^{2}-x-1){\pmod {3}},}$$ ${\displaystyle 1^{2}\equiv -2{\pmod {3}};}$ $${\displaystyle x^{4}+1\equiv (x^{2}+2)(x^{2}-2){\pmod {5}},}$$ ${\displaystyle 2^{2}\equiv -1{\pmod {5}};}$ $${\displaystyle x^{4}+1\equiv (x^{2}+3x+1)(x^{2}-3x+1){\pmod {7}},}$$ ${\displaystyle 3^{2}\equiv 2{\pmod {7}}.}$

Patrones reconocibles

Muchas identidades proporcionan una igualdad entre una suma y un producto. Los métodos anteriores se pueden utilizar para permitir que el lado de la suma de alguna identidad aparezca en una expresión, que, por lo tanto, se puede reemplazar por un producto.

A continuación se presentan identidades cuyos lados izquierdos se utilizan comúnmente como patrones (esto significa que las variables E y F que aparecen en estas identidades pueden representar cualquier subexpresión de la expresión que se debe factorizar). ^[6]

Prueba visual de las diferencias entre dos cuadrados y dos cubos

• Diferencia de dos cuadrados

${\displaystyle E^{2}-F^{2}=(E+F)(E-F)}$

Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+&2ab+b^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}\\&=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=(a+b)^{2}-(x-y)^{2}\\&=(a+b+x-y)(a+b-x+y).\end{aligned}}}$

• Suma/diferencia de dos cubos

${\displaystyle E^{3}+F^{3}=(E+F)(E^{2}-EF+F^{2})}$

${\displaystyle E^{3}-F^{3}=(E-F)(E^{2}+EF+F^{2})}$

• Diferencia de dos cuartas potencias

${\displaystyle {\begin{aligned}E^{4}-F^{4}&=(E^{2}+F^{2})(E^{2}-F^{2})\\&=(E^{2}+F^{2})(E+F)(E-F)\end{aligned}}}$

• Suma/diferencia de dos potencias n

En las siguientes identidades, los factores a menudo pueden factorizarse aún más:

• Diferencia, exponente par

${\displaystyle E^{2n}-F^{2n}=(E^{n}+F^{n})(E^{n}-F^{n})}$

• Diferencia, exponente par o impar

${\displaystyle E^{n}-F^{n}=(E-F)(E^{n-1}+E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}+\cdots +EF^{n-2}+F^{n-1})}$

Este es un ejemplo que muestra que los factores pueden ser mucho mayores que la suma factorizada.

• Suma, exponente impar

${\displaystyle E^{n}+F^{n}=(E+F)(E^{n-1}-E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}-\cdots -EF^{n-2}+F^{n-1})}$

(obtenido al cambiar F por – F en la fórmula anterior)

• Suma, exponente par

Si el exponente es una potencia de dos, entonces la expresión no puede, en general, factorizarse sin introducir números complejos (si E y F contienen números complejos, puede que no sea el caso). Si n tiene un divisor impar, es decir, si n = pq con p impar, se puede utilizar la fórmula precedente (en "Suma, exponente impar") aplicada a ${\displaystyle (E^{q})^{p}+(F^{q})^{p}.}$

• Trinomios y fórmulas cúbicas

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^{2}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz=(x+y+z)^{3}\\&x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2}).\end{aligned}}}$

• Expansiones binomiales

Visualización del desarrollo binomial hasta la 4ª potencia

El teorema del binomio proporciona patrones que pueden reconocerse fácilmente a partir de los números enteros que aparecen en ellos.

En grado bajo:

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}}$

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}}$

${\displaystyle a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}}$

${\displaystyle a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}}$

De manera más general, los coeficientes de las formas desarrolladas de y son los coeficientes binomiales , que aparecen en la n- ésima fila del triángulo de Pascal . ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ ${\displaystyle (a-b)^{n}}$

Raíces de la unidad

Las raíces n -ésimas de la unidad son los números complejos, cada uno de los cuales es una raíz del polinomio. Son por tanto los números para ${\displaystyle x^{n}-1.}$ $${\displaystyle e^{2ik\pi /n}=\cos {\tfrac {2\pi k}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi k}{n}}}$$ ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1.}$

De ello se deduce que para cualesquiera dos expresiones E y F , se tiene: $${\displaystyle E^{n}-F^{n}=(E-F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E-Fe^{2ik\pi /n}\right)}$$ $${\displaystyle E^{n}+F^{n}=\prod _{k=0}^{n-1}\left(E-Fe^{(2k+1)i\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is even}}}$$ $${\displaystyle E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E+Fe^{2ik\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is odd}}}$$

Si E y F son expresiones reales y se quieren factores reales, hay que sustituir cada par de factores complejos conjugados por su producto. Como el conjugado complejo de es y se tienen las siguientes factorizaciones reales (se pasa de una a la otra cambiando k por n – k o n + 1 – k , y aplicando las fórmulas trigonométricas habituales : ${\displaystyle e^{i\alpha }}$ ${\displaystyle e^{-i\alpha },}$ $${\displaystyle \left(a-be^{i\alpha }\right)\left(a-be^{-i\alpha }\right)=a^{2}-ab\left(e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right)+b^{2}e^{i\alpha }e^{-i\alpha }=a^{2}-2ab\cos \,\alpha +b^{2},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E^{2n}-F^{2n}&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\\&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E^{2n}+F^{2n}&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}}$$

Los cosenos que aparecen en estas factorizaciones son números algebraicos y pueden expresarse en términos de radicales (esto es posible porque su grupo de Galois es cíclico); sin embargo, estas expresiones radicales son demasiado complicadas para ser utilizadas, excepto para valores bajos de n . Por ejemplo, $${\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2}).}$$ $${\displaystyle a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),}$$ $${\displaystyle a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{2}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),}$$

A menudo se desea una factorización con coeficientes racionales. Dicha factorización implica polinomios ciclotómicos . Para expresar factorizaciones racionales de sumas y diferencias o potencias, necesitamos una notación para la homogeneización de un polinomio : si su homogeneización es el polinomio bivariado Entonces, se tiene donde los productos se toman sobre todos los divisores de n , o todos los divisores de 2 n que no dividen a n , y es el n º polinomio ciclotómico. ${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}+\cdots +a_{n},}$ ${\displaystyle {\overline {P}}(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}.}$ $${\displaystyle E^{n}-F^{n}=\prod _{k\mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),}$$ $${\displaystyle E^{n}+F^{n}=\prod _{k\mid 2n,k\not \mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),}$$ ${\displaystyle Q_{n}(x)}$

Por ejemplo, como los divisores de 6 son 1, 2, 3, 6, y los divisores de 12 que no dividen a 6 son 4 y 12. $${\displaystyle a^{6}-b^{6}={\overline {Q}}_{1}(a,b){\overline {Q}}_{2}(a,b){\overline {Q}}_{3}(a,b){\overline {Q}}_{6}(a,b)=(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2}),}$$ $${\displaystyle a^{6}+b^{6}={\overline {Q}}_{4}(a,b){\overline {Q}}_{12}(a,b)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}),}$$

Polinomios

En el caso de los polinomios, la factorización está estrechamente relacionada con el problema de la resolución de ecuaciones algebraicas . Una ecuación algebraica tiene la forma

${\displaystyle P(x)\ \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \,a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=0,}$

donde P ( x ) es un polinomio en x con Una solución de esta ecuación (también llamada raíz del polinomio) es un valor r de x tal que ${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$

${\displaystyle P(r)=0.}$

Si es una factorización de P ( x ) = 0 como producto de dos polinomios, entonces las raíces de P ( x ) son la unión de las raíces de Q ( x ) y las raíces de R ( x ) . Por lo tanto, resolver P ( x ) = 0 se reduce a los problemas más simples de resolver Q ( x ) = 0 y R ( x ) = 0 . ${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)}$

Por el contrario, el teorema del factor afirma que, si r es una raíz de P ( x ) = 0 , entonces P ( x ) puede factorizarse como

${\displaystyle P(x)=(x-r)Q(x),}$

donde Q ( x ) es el cociente de la división euclidiana de P ( x ) = 0 por el factor lineal (de grado uno) x – r .

Si los coeficientes de P ( x ) son números reales o complejos , el teorema fundamental del álgebra afirma que P ( x ) tiene una raíz real o compleja. Utilizando el teorema del factor de forma recursiva, resulta que

${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$

donde están las raíces reales o complejas de P , con algunas de ellas posiblemente repetidas. Esta factorización completa es única hasta el orden de los factores. ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$

Si los coeficientes de P ( x ) son reales, generalmente se desea una factorización donde los factores tengan coeficientes reales. En este caso, la factorización completa puede tener algunos factores cuadráticos (de grado dos). Esta factorización se puede deducir fácilmente de la factorización completa anterior. De hecho, si r = a + ib es una raíz no real de P ( x ) , entonces su conjugado complejo s = a - ib también es una raíz de P ( x ) . Por lo tanto, el producto

${\displaystyle (x-r)(x-s)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}}$

es un factor de P ( x ) con coeficientes reales. Repitiendo esto para todos los factores no reales se obtiene una factorización con factores reales lineales o cuadráticos.

Para calcular estas factorizaciones reales o complejas, se necesitan las raíces del polinomio, que no pueden calcularse con exactitud, y solo pueden aproximarse mediante algoritmos de búsqueda de raíces .

En la práctica, la mayoría de las ecuaciones algebraicas de interés tienen coeficientes enteros o racionales , y es posible que se desee una factorización con factores del mismo tipo. El teorema fundamental de la aritmética se puede generalizar a este caso, afirmando que los polinomios con coeficientes enteros o racionales tienen la propiedad única de factorización . Más precisamente, cada polinomio con coeficientes racionales se puede factorizar en un producto

${\displaystyle P(x)=q\,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),}$

donde q es un número racional y son polinomios no constantes con coeficientes enteros que son irreducibles y primitivos ; esto significa que ninguno de los puede escribirse como el producto de dos polinomios (con coeficientes enteros) que no sean ni 1 ni –1 (los enteros se consideran polinomios de grado cero). Además, esta factorización es única hasta el orden de los factores y los signos de los factores. ${\displaystyle P_{1}(x),\ldots ,P_{k}(x)}$ ${\displaystyle P_{i}(x)}$

Existen algoritmos eficientes para calcular esta factorización, que se implementan en la mayoría de los sistemas de álgebra computacional . Véase Factorización de polinomios . Desafortunadamente, estos algoritmos son demasiado complicados para utilizarlos en cálculos con papel y lápiz. Además de las heurísticas anteriores, solo unos pocos métodos son adecuados para los cálculos manuales, que generalmente funcionan solo para polinomios de grado bajo, con pocos coeficientes distintos de cero. Los principales métodos de este tipo se describen en las siguientes subsecciones.

Factorización de contenido y partes primitivas

Todo polinomio con coeficientes racionales , puede factorizarse, de forma única, como el producto de un número racional por un polinomio con coeficientes enteros, que sea primitivo (es decir, el máximo común divisor de los coeficientes sea 1), y tenga un coeficiente principal positivo (coeficiente del término de mayor grado). Por ejemplo:

${\displaystyle -10x^{2}+5x+5=(-5)\cdot (2x^{2}-x-1)}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}x^{5}+{\frac {7}{2}}x^{2}+2x+1={\frac {1}{6}}(2x^{5}+21x^{2}+12x+6)}$

En esta factorización, el número racional se llama contenido y el polinomio primitivo es la parte primitiva . El cálculo de esta factorización se puede hacer de la siguiente manera: en primer lugar, se reducen todos los coeficientes a un denominador común, para obtener el cociente por un entero q de un polinomio con coeficientes enteros. Luego se divide el máximo común divisor p de los coeficientes de este polinomio para obtener la parte primitiva, siendo el contenido Finalmente, si es necesario, se cambian los signos de p y de todos los coeficientes de la parte primitiva. ${\displaystyle p/q.}$

Esta factorización puede producir un resultado mayor que el polinomio original (normalmente cuando hay muchos denominadores coprimos ), pero, incluso cuando este es el caso, la parte primitiva es generalmente más fácil de manipular para una factorización posterior.

Utilizando el teorema del factor

El teorema del factor establece que, si r es una raíz de un polinomio

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},}$

es decir P ( r ) = 0 , entonces hay una factorización

${\displaystyle P(x)=(x-r)Q(x),}$

dónde

${\displaystyle Q(x)=b_{0}x^{n-1}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1},}$

con . Entonces la división larga de polinomios o división sintética da: ${\displaystyle a_{0}=b_{0}}$

${\displaystyle b_{i}=a_{0}r^{i}+\cdots +a_{i-1}r+a_{i}\ {\text{ for }}\ i=1,\ldots ,n{-}1.}$

Esto puede ser útil cuando uno conoce o puede adivinar la raíz del polinomio.

Por ejemplo, se puede ver fácilmente que la suma de sus coeficientes es 0, por lo que r = 1 es una raíz. Como r + 0 = 1 , y se tiene ${\displaystyle P(x)=x^{3}-3x+2,}$ ${\displaystyle r^{2}+0r-3=-2,}$

${\displaystyle x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).}$

Raíces racionales

En el caso de polinomios con coeficientes de números racionales, se pueden buscar raíces que sean números racionales. La factorización de contenido parcial primitivo (véase más arriba) reduce el problema de la búsqueda de raíces racionales al caso de polinomios con coeficientes enteros que no tienen un divisor común no trivial .

Si es una raíz racional de tal polinomio ${\displaystyle x={\tfrac {p}{q}}}$

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},}$

El teorema del factor muestra que uno tiene una factorización

${\displaystyle P(x)=(qx-p)Q(x),}$

donde ambos factores tienen coeficientes enteros (el hecho de que Q tenga coeficientes enteros resulta de la fórmula anterior para el cociente de P ( x ) por ). ${\displaystyle x-p/q}$

La comparación de los coeficientes de grado n y los coeficientes constantes en la igualdad anterior muestra que, si es una raíz racional en forma reducida , entonces q es un divisor de y p es un divisor de Por lo tanto, hay un número finito de posibilidades para p y q , que pueden examinarse sistemáticamente. ^[7] ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle a_{0},}$ ${\displaystyle a_{n}.}$

Por ejemplo, si el polinomio

${\displaystyle P(x)=2x^{3}-7x^{2}+10x-6}$

tiene una raíz racional con q > 0 , entonces p debe dividir a 6; es decir y q debe dividir a 2, es decir Además, si x < 0 , todos los términos del polinomio son negativos y, por lo tanto, una raíz no puede ser negativa. Es decir, se debe tener ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\},}$ ${\displaystyle q\in \{1,2\}.}$

${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\in \{1,2,3,6,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}}\}.}$

Un cálculo directo muestra que sólo es una raíz, por lo que no puede haber otra raíz racional. La aplicación del teorema del factor conduce finalmente a la factorización ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$ ${\displaystyle 2x^{3}-7x^{2}+10x-6=(2x-3)(x^{2}-2x+2).}$

Método de CA cuadrático

El método anterior se puede adaptar para polinomios cuadráticos , lo que conduce al método ac de factorización. ^[8]

Considere el polinomio cuadrático

${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$

con coeficientes enteros. Si tiene raíz racional, su denominador debe dividir a de manera exacta y puede escribirse como una fracción posiblemente reducible . Por las fórmulas de Vieta , la otra raíz es ${\displaystyle r_{1}={\tfrac {r}{a}}.}$ ${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle r_{2}=-{\frac {b}{a}}-r_{1}=-{\frac {b}{a}}-{\frac {r}{a}}=-{\frac {b+r}{a}}={\frac {s}{a}},}$

Por lo tanto, la segunda raíz también es racional, y la segunda fórmula de Vieta da ${\displaystyle s=-(b+r).}$ ${\displaystyle r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle {\frac {s}{a}}{\frac {r}{a}}={\frac {c}{a}},}$

eso es

${\displaystyle rs=ac\quad {\text{and}}\quad r+s=-b.}$

Al comprobar todos los pares de números enteros cuyo producto es ac se obtienen las raíces racionales, si las hay.

En resumen, si tiene raíces racionales existen números enteros r y s tales que y (un número finito de casos para probar), y las raíces son y En otras palabras, se tiene la factorización ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle rs=ac}$ ${\displaystyle r+s=-b}$ ${\displaystyle {\tfrac {r}{a}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {s}{a}}.}$

${\displaystyle a(ax^{2}+bx+c)=(ax-r)(ax-s).}$

Por ejemplo, consideremos el polinomio cuadrático

${\displaystyle 6x^{2}+13x+6.}$

La inspección de los factores de ac = 36 conduce a 4 + 9 = 13 = b , lo que da las dos raíces

${\displaystyle r_{1}=-{\frac {4}{6}}=-{\frac {2}{3}}\quad {\text{and}}\quad r_{2}=-{\frac {9}{6}}=-{\frac {3}{2}},}$

y la factorización

${\displaystyle 6x^{2}+13x+6=6(x+{\tfrac {2}{3}})(x+{\tfrac {3}{2}})=(3x+2)(2x+3).}$

Uso de fórmulas para raíces polinómicas

Cualquier polinomio cuadrático univariante se puede factorizar utilizando la fórmula cuadrática : ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),}$

donde y son las dos raíces del polinomio. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Si a, b, c son todos reales , los factores son reales si y solo si el discriminante no es negativo. De lo contrario, el polinomio cuadrático no se puede factorizar en factores reales no constantes. ${\displaystyle b^{2}-4ac}$

La fórmula cuadrática es válida cuando los coeficientes pertenecen a cualquier campo de característica diferente de dos y, en particular, para coeficientes de un campo finito con un número impar de elementos. ^[9]

También existen fórmulas para las raíces de polinomios cúbicos y cuárticos , que, en general, son demasiado complicadas para su uso práctico. El teorema de Abel-Ruffini muestra que no existen fórmulas generales para las raíces de polinomios de grado cinco o superior.

Utilizando relaciones entre raíces

Puede suceder que se conozca alguna relación entre las raíces de un polinomio y sus coeficientes. El uso de este conocimiento puede ayudar a factorizar el polinomio y hallar sus raíces. La teoría de Galois se basa en un estudio sistemático de las relaciones entre raíces y coeficientes, que incluyen las fórmulas de Vieta .

Aquí, consideramos el caso más simple donde dos raíces y de un polinomio satisfacen la relación ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle x_{2}=Q(x_{1}),}$

donde Q es un polinomio.

Esto implica que es una raíz común de y Por lo tanto es una raíz del máximo común divisor de estos dos polinomios. De ello se deduce que este máximo común divisor es un factor no constante de El algoritmo euclidiano para polinomios permite calcular este máximo común divisor. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle P(Q(x))}$ ${\displaystyle P(x).}$ ${\displaystyle P(x).}$

Por ejemplo, ^[10] si uno sabe o adivina que: tiene dos raíces que suman cero, se puede aplicar el algoritmo euclidiano a y El primer paso de división consiste en sumar a dando el resto de ${\displaystyle P(x)=x^{3}-5x^{2}-16x+80}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P(-x).}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P(-x),}$

${\displaystyle -10(x^{2}-16).}$

Luego, al dividir por se obtiene cero como nuevo resto y x – 5 como cociente, lo que conduce a la factorización completa. ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x^{2}-16}$

${\displaystyle x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4).}$

Dominios de factorización única

Los números enteros y los polinomios sobre un cuerpo comparten la propiedad de factorización única, es decir, cada elemento distinto de cero puede factorizarse en un producto de un elemento invertible (una unidad , ±1 en el caso de los números enteros) y un producto de elementos irreducibles ( números primos , en el caso de los números enteros), y esta factorización es única hasta que se reordenen los factores y se desplacen las unidades entre los factores. Los dominios integrales que comparten esta propiedad se denominan dominios de factorización única (UFD).

Los máximos comunes divisores existen en los diseños unidimensionales, pero no todos los dominios integrales en los que existen máximos comunes divisores (conocidos como dominios MCD ) son diseños unidimensionales. Todo dominio ideal principal es un diseño unidimensional.

Un dominio euclidiano es un dominio integral en el que se define una división euclidiana similar a la de los números enteros. Todo dominio euclidiano es un dominio de ideales principales y, por lo tanto, un dominio funcional unitario.

En un dominio euclidiano, la división euclidiana permite definir un algoritmo euclidiano para calcular máximos comunes divisores. Sin embargo, esto no implica la existencia de un algoritmo de factorización. Existe un ejemplo explícito de un cuerpo F tal que no puede existir ningún algoritmo de factorización en el dominio euclidiano F [ x ] de los polinomios univariados sobre F .

Ideales

En la teoría de números algebraicos , el estudio de las ecuaciones diofánticas llevó a los matemáticos, durante el siglo XIX, a introducir generalizaciones de los números enteros llamados números enteros algebraicos . El primer anillo de números enteros algebraicos que se han considerado fueron los números enteros de Gauss y los números enteros de Eisenstein , que comparten con los números enteros habituales la propiedad de ser dominios ideales principales y tienen, por tanto, la propiedad de factorización única .

Desafortunadamente, pronto se demostró que la mayoría de los anillos de números enteros algebraicos no son principales y no tienen factorización única. El ejemplo más simple es el siguiente: ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}],}$

${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),}$

y todos estos factores son irreductibles .

Esta falta de factorización única es una dificultad importante para resolver ecuaciones diofánticas. Por ejemplo, muchas demostraciones erróneas del último teorema de Fermat ( probablemente incluida la "demostración verdaderamente maravillosa de esto, que este margen es demasiado estrecho para contener" ) se basaban en el supuesto implícito de la factorización única.

Esta dificultad fue resuelta por Dedekind , quien demostró que los anillos de números enteros algebraicos tienen una factorización única de ideales : en estos anillos, cada ideal es un producto de ideales primos , y esta factorización es única en el orden de los factores. Los dominios integrales que tienen esta propiedad de factorización única ahora se denominan dominios de Dedekind . Tienen muchas propiedades interesantes que los hacen fundamentales en la teoría de números algebraicos.

Matrices

Los anillos de matrices no son conmutativos y no tienen factorización única: en general, existen muchas formas de escribir una matriz como producto de matrices. Por lo tanto, el problema de factorización consiste en encontrar factores de tipos específicos. Por ejemplo, la descomposición LU da como resultado una matriz como el producto de una matriz triangular inferior por una matriz triangular superior . Como esto no siempre es posible, generalmente se considera la "descomposición LUP" que tiene como tercer factor una matriz de permutación .

Consulte Descomposición matricial para conocer los tipos más comunes de factorizaciones matriciales.

Una matriz lógica representa una relación binaria y la multiplicación de matrices corresponde a la composición de relaciones . La descomposición de una relación mediante factorización sirve para perfilar la naturaleza de la relación, como una relación difuncional .

Véase también

• Método de factorización de Euler para números enteros
• Método de factorización de Fermat para números enteros
• Factorización monoide
• Partición multiplicativa
• Tabla de factorizaciones de números enteros gaussianos

Notas

1. Hardy; Wright (1980), Introducción a la teoría de números (5.ª ed.), Oxford Science Publications, ISBN 978-0198531715
2. Klein 1925, págs. 101-102
3. En Sanford, Vera (2008) [1930], Una breve historia de las matemáticas , Leer libros, ISBN 9781409727101, el autor señala: "En vista del énfasis actual dado a la solución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización, es interesante notar que este método no se utilizó hasta el trabajo de Harriot de 1631".
4. Harriot, T. (1631), Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas (en latín), Apud Robertum Barker, typographum regium
5. Fite 1921, pág. 19
6. Selby 1970, pág. 101
7. Dickson 1922, pág. 27
8. Stover, Christopher, "Método AC", Mathworld , archivado desde el original el 12 de noviembre de 2014
9. En un campo de característica 2, se tiene 2 = 0, y la fórmula produce una división por cero.
10. Burnside y Panton 1960, pág. 38

Referencias

• Burnside, William Snow ; Panton, Arthur William (1960) [1912], La teoría de ecuaciones con una introducción a la teoría de formas algebraicas binarias (volumen uno) , Dover
• Dickson, Leonard Eugene (1922), Primer curso de teoría de ecuaciones , Nueva York: John Wiley & Sons
• Fite, William Benjamin (1921), Álgebra universitaria (revisada) , Boston: DC Heath & Co.
• Klein, Felix (1925), Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado; Aritmética, Álgebra, Análisis , Dover
• Selby, Samuel M. (1970), Tablas matemáticas estándar CRC (18.ª ed.), The Chemical Rubber Co.

Enlaces externos

• Wolfram Alpha también puede factorizar.