Cuadrando el círculo

Problema de construcción de figuras de áreas iguales

Cuadratura del círculo: las áreas de este cuadrado y de este círculo son ambas iguales a π . En 1882 se demostró que esta figura no se puede construir en un número finito de pasos con un compás y una regla idealizados .

La cuadratura del círculo es un problema de geometría propuesto por primera vez en las matemáticas griegas . Se trata del desafío de construir un cuadrado con el área de un círculo dado utilizando solo un número finito de pasos con un compás y una regla . La dificultad del problema planteó la cuestión de si los axiomas específicos de la geometría euclidiana relativos a la existencia de líneas y círculos implicaban la existencia de dicho cuadrado.

En 1882 se demostró que la tarea era imposible, como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass , que demuestra que pi ( ) es un número trascendental . Es decir, no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales . Se sabía desde hacía décadas que la construcción sería imposible si fuera trascendental, pero ese hecho no se demostró hasta 1882. Existen construcciones aproximadas con cualquier precisión no perfecta dada, y se han encontrado muchas de ellas. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

A pesar de las pruebas de que es imposible, los intentos de cuadrar el círculo han sido comunes en las pseudomatemáticas (es decir, el trabajo de los matemáticos excéntricos). La expresión "cuadrar el círculo" se utiliza a veces como metáfora de intentar hacer lo imposible. ^[1]

El término cuadratura del círculo se utiliza a veces como sinónimo de cuadratura del círculo. También puede referirse a métodos aproximados o numéricos para hallar el área de un círculo . En general, la cuadratura o cuadratura también se puede aplicar a otras figuras planas.

Historia

Los métodos para calcular el área aproximada de un círculo dado, que pueden considerarse un problema precursor de la cuadratura del círculo, ya se conocían en muchas culturas antiguas. Estos métodos se pueden resumir indicando la aproximación a π que producen. Alrededor del año 2000 a. C., los matemáticos babilónicos utilizaron la aproximación , y aproximadamente al mismo tiempo los matemáticos egipcios antiguos utilizaron . Más de 1000 años después, los Libros de los Reyes del Antiguo Testamento utilizaron la aproximación más simple . ^[2] Las matemáticas indias antiguas , como se registra en los Shatapatha Brahmana y Shulba Sutras , utilizaron varias aproximaciones diferentes para . ^[3] Arquímedes demostró una fórmula para el área de un círculo, según la cual . ^[2] En las matemáticas chinas , en el siglo III d. C., Liu Hui encontró aproximaciones aún más precisas utilizando un método similar al de Arquímedes, y en el siglo V Zu Chongzhi encontró , una aproximación conocida como Milü . ^[4] ${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {25}{8}}=3.125}$ ${\displaystyle \pi \approx {\tfrac {256}{81}}\approx 3.16}$ ${\displaystyle \pi \approx 3}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 3\,{\tfrac {10}{71}}\approx 3.141<\pi <3\,{\tfrac {1}{7}}\approx 3.143}$ ${\displaystyle \pi \approx 355/113\approx 3.141593}$

El problema de construir un cuadrado cuya área sea exactamente la de un círculo, en lugar de una aproximación a ella, proviene de las matemáticas griegas . Los matemáticos griegos encontraron construcciones con compás y regla para convertir cualquier polígono en un cuadrado de área equivalente. ^[5] Usaron esta construcción para comparar áreas de polígonos geométricamente, en lugar de mediante el cálculo numérico del área que sería más típico en las matemáticas modernas. Como escribió Proclo muchos siglos después, esto motivó la búsqueda de métodos que permitieran comparaciones con formas no poligonales:

Creo que los antiguos, partiendo de este problema, también buscaron la cuadratura del círculo. Pues si se encuentra que un paralelogramo es igual a cualquier figura rectilínea, vale la pena investigar si se puede demostrar que las figuras rectilíneas son iguales a las figuras limitadas por arcos circulares. ^[6]

Algunas aparentes soluciones parciales dieron falsas esperanzas durante mucho tiempo. En esta figura, la figura sombreada es la luna de Hipócrates . Su área es igual al área del triángulo ABC (hallado por Hipócrates de Quíos ).

El primer griego conocido que estudió el problema fue Anaxágoras , que trabajó en él mientras estaba en prisión. Hipócrates de Quíos atacó el problema encontrando una forma limitada por arcos circulares, la luna de Hipócrates , que podía ser cuadrada. Antifón el Sofista creía que inscribir polígonos regulares dentro de un círculo y duplicar el número de lados eventualmente llenaría el área del círculo (este es el método de agotamiento ). Dado que cualquier polígono puede ser cuadrado, ^[5] argumentó, el círculo puede ser cuadrado. Por el contrario, Eudemo argumentó que las magnitudes pueden dividirse sin límite, por lo que el área del círculo nunca se agotaría. ^[7] Contemporáneamente con Antifón, Bryson de Heraclea argumentó que, dado que existen círculos más grandes y más pequeños, debe haber un círculo de área igual; este principio puede verse como una forma del teorema del valor intermedio moderno . ^[8] El objetivo más general de llevar a cabo todas las construcciones geométricas utilizando únicamente un compás y una regla se ha atribuido a menudo a Enópides , pero la evidencia de esto es circunstancial. ^[9]

El problema de hallar el área bajo una curva arbitraria, ahora conocido como integración en cálculo , o cuadratura en análisis numérico , se conocía como cuadratura antes de la invención del cálculo. ^[10] Dado que las técnicas del cálculo eran desconocidas, generalmente se suponía que una cuadratura debía hacerse mediante construcciones geométricas, es decir, con compás y regla. Por ejemplo, Newton le escribió a Oldenburg en 1676: "Creo que a M. Leibnitz no le desagradará el teorema hacia el comienzo de mi carta en la página 4 para cuadrar líneas curvas geométricamente". ^[11] En las matemáticas modernas, los términos han divergido en significado, y la cuadratura generalmente se usa cuando se permiten métodos del cálculo, mientras que la cuadratura de la curva conserva la idea de usar solo métodos geométricos restringidos.

Un intento de 1647 de cuadrar el círculo, Opus Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni Decem Libris Comprehensum de Grégoire de Saint-Vincent , fue duramente criticado por Vincent Léotaud . ^[12] Sin embargo, de Saint-Vincent tuvo éxito en su cuadratura de la hipérbola , y al hacerlo fue uno de los primeros en desarrollar el logaritmo natural . ^[13] James Gregory , siguiendo a de Saint-Vincent, intentó otra prueba de la imposibilidad de cuadrar el círculo en Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (La verdadera cuadratura del círculo y de la hipérbola) en 1667. Aunque su prueba era defectuosa, fue el primer artículo en intentar resolver el problema usando propiedades algebraicas de . ^{[14] [15]} Johann Heinrich Lambert demostró en 1761 que es un número irracional . ^{[16] [17]} No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann logró demostrar con más fuerza que π es un número trascendental , y al hacerlo también demostró la imposibilidad de cuadrar el círculo con compás y regla. ^{[18] [19]} ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Después de la prueba de imposibilidad de Lindemann, el problema fue considerado resuelto por matemáticos profesionales, y su historia matemática posterior está dominada por intentos pseudomatemáticos de construcciones de cuadratura del círculo, en gran parte por aficionados, y por el desacreditamiento de estos esfuerzos. ^[20] Además, varios matemáticos posteriores, incluido Srinivasa Ramanujan, desarrollaron construcciones con compás y regla que aproximan el problema con precisión en unos pocos pasos. ^{[21] [22]}

Otros dos problemas clásicos de la antigüedad, famosos por su imposibilidad, eran la duplicación del cubo y la trisección del ángulo . Al igual que la cuadratura del círculo, estos no pueden resolverse con compás y regla. Sin embargo, tienen un carácter diferente a la cuadratura del círculo, en el sentido de que su solución implica la raíz de una ecuación cúbica , en lugar de ser trascendental. Por lo tanto, se pueden utilizar métodos más potentes que las construcciones con compás y regla, como la construcción neusis o el plegado matemático de papel , para construir soluciones a estos problemas. ^{[23] [24]}

Imposibilidad

La solución del problema de la cuadratura del círculo con compás y regla requiere la construcción del número , la longitud del lado de un cuadrado cuya área es igual a la de un círculo unitario. Si fuera un número construible , se seguiría de las construcciones estándar con compás y regla que también serían construibles. En 1837, Pierre Wantzel demostró que las longitudes que podían construirse con compás y regla tenían que ser soluciones de ciertas ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. ^{[25] [26]} Por lo tanto, las longitudes construibles deben ser números algebraicos . Si el círculo pudiera ser cuadrado usando solo compás y regla, entonces tendría que ser un número algebraico. No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann demostró la trascendencia de y, por lo tanto, mostró la imposibilidad de esta construcción. La idea de Lindemann era combinar la prueba de trascendencia del número de Euler , mostrada por Charles Hermite en 1873, con la identidad de Euler . Esta identidad muestra inmediatamente que es un número irracional , porque una potencia racional de un número trascendental sigue siendo trascendental. Lindemann fue capaz de extender este argumento, a través del teorema de Lindemann-Weierstrass sobre la independencia lineal de las potencias algebraicas de , para mostrar que es trascendental y, por lo tanto, que la cuadratura del círculo es imposible. ^{[18] [19]} ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle e^{i\pi }=-1.}$$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \pi }$

Flexionar las reglas introduciendo una herramienta suplementaria, permitiendo un número infinito de operaciones con compás y regla o realizando las operaciones en ciertas geometrías no euclidianas hace posible en cierto sentido la cuadratura del círculo. Por ejemplo, el teorema de Dinostratus usa la cuadrátriz de Hipias para cuadrar el círculo, lo que significa que si esta curva ya está dada de alguna manera, entonces se puede construir a partir de ella un cuadrado y un círculo de áreas iguales. La espiral de Arquímedes se puede usar para otra construcción similar. ^[27] Aunque el círculo no se puede cuadrar en el espacio euclidiano , a veces puede serlo en geometría hiperbólica bajo interpretaciones adecuadas de los términos. El plano hiperbólico no contiene cuadrados (cuadriláteros con cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales), sino que contiene cuadriláteros regulares , formas con cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales más agudos que los ángulos rectos. Existen en el plano hiperbólico ( contablemente ) infinitos pares de círculos construibles y de cuadriláteros regulares construibles de igual área, que, sin embargo, se construyen simultáneamente. No existe ningún método para empezar con un cuadrilátero regular arbitrario y construir el círculo de igual área. Simétricamente, no existe ningún método para empezar con un círculo arbitrario y construir un cuadrilátero regular de igual área, y para círculos suficientemente grandes no existe tal cuadrilátero. ^{[28] [29]}

Construcciones aproximadas

Aunque es imposible cuadrar el círculo exactamente con regla y compás, se pueden dar aproximaciones para cuadrar el círculo construyendo longitudes cercanas a . Solo se necesita geometría elemental para convertir cualquier aproximación racional dada de en una construcción correspondiente con regla y compás , pero tales construcciones tienden a ser muy prolijas en comparación con la precisión que logran. Después de que se demostró que el problema exacto era irresoluble, algunos matemáticos aplicaron su ingenio para encontrar aproximaciones para cuadrar el círculo que fueran particularmente simples entre otras construcciones imaginables que dieran una precisión similar. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Construcción de Kochański

Una de las primeras construcciones aproximadas históricas con regla y compás proviene de un artículo de 1685 del jesuita polaco Adam Adamandy Kochański , que produce una aproximación que diverge de en el quinto decimal. Aunque ya se conocían aproximaciones numéricas mucho más precisas a, la construcción de Kochański tiene la ventaja de ser bastante simple. ^[30] En el diagrama de la izquierda En el mismo trabajo, Kochański también derivó una secuencia de aproximaciones racionales cada vez más precisas para . ^[31] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle |P_{3}P_{9}|=|P_{1}P_{2}|{\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}\approx 3.141\,5{\color {red}33\,338}\cdot |P_{1}P_{2}|\approx \pi r.}$$ ${\displaystyle \pi }$

Construcciones utilizando 355/113

Jacob de Gelder publicó en 1849 una construcción basada en la aproximación Este valor es preciso hasta seis decimales y se conoce en China desde el siglo V como Milü , y en Europa desde el siglo XVII. ^[32] $${\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.141\;592{\color {red}\;920\;\ldots }}$$

Gelder no construyó el lado del cuadrado; le bastó con encontrar el valor. La ilustración muestra la construcción de Gelder. $${\displaystyle {\overline {AH}}={\frac {4^{2}}{7^{2}+8^{2}}}.}$$

En 1914, el matemático indio Srinivasa Ramanujan dio otra construcción geométrica para la misma aproximación. ^{[21] [22]}

Construcciones utilizando la proporción áurea

Una construcción aproximada de EW Hobson en 1913 ^[32] es precisa hasta tres decimales. La construcción de Hobson corresponde a un valor aproximado de donde es la proporción áurea , . $${\displaystyle {\frac {6}{5}}\cdot \left(1+\varphi \right)=3.141\;{\color {red}640\;\ldots },}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$

El mismo valor aproximado aparece en una construcción de 1991 de Robert Dixon . ^[33] En 2022 Frédéric Beatrix presentó una construcción geometrográfica en 13 pasos. ^[34]

Segunda construcción de Ramanujan

En 1914, Ramanujan dio una construcción que era equivalente a tomar el valor aproximado de para , dando ocho decimales de . ^{[21] [22]} Describe la construcción del segmento de línea OS de la siguiente manera. ^[21] ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.141\;592\;65{\color {red}2\;582\;\ldots }}$$ ${\displaystyle \pi }$

Sea AB (Fig. 2) el diámetro de un círculo cuyo centro es O. Bisectrizamos el arco ACB en C y trisectrizamos AO en T. Unimos BC y cortamos de él CM y MN igual a AT. Unimos AM y AN y cortamos de este último AP igual a AM. A través de P trazamos PQ paralelo a MN y que se cruce con AM en Q. Unimos OQ y a través de T trazamos TR, paralelo a OQ y que se cruce con AQ en R. Trazamos AS perpendicular a AO e igual a AR, y unimos OS. Entonces la media proporcional entre OS y OB será casi igual a un sexto de la circunferencia, siendo el error menor que una doceava parte de una pulgada cuando el diámetro tiene una longitud de 8000 millas.

Construcciones incorrectas

En su vejez, el filósofo inglés Thomas Hobbes se convenció de que había logrado la cuadratura del círculo, una afirmación refutada por John Wallis como parte de la controversia Hobbes-Wallis . ^[35] Durante los siglos XVIII y XIX, las nociones falsas de que el problema de la cuadratura del círculo estaba relacionado de alguna manera con el problema de la longitud , y que se daría una gran recompensa por una solución, prevalecieron entre los aspirantes a cuadradores del círculo. ^{[36] [37]} En 1851, John Parker publicó un libro Cuadratura del círculo en el que afirmaba haber logrado la cuadratura del círculo. Su método en realidad produjo una aproximación de precisión de seis dígitos. ^{[38] [39] [40]} ${\displaystyle \pi }$

El matemático, lógico y escritor de la época victoriana Charles Lutwidge Dodgson, más conocido por su seudónimo Lewis Carroll , también expresó su interés en desacreditar las teorías ilógicas de la cuadratura del círculo. En una de las entradas de su diario de 1855, Dodgson enumeró los libros que esperaba escribir, incluido uno llamado "Plain Facts for Circle-Squarers". En la introducción a "A New Theory of Parallels", Dodgson relató un intento de demostrar errores lógicos a una pareja de cuadradores del círculo, afirmando: ^[41]

El primero de estos dos visionarios descarriados me llenó de una gran ambición: hacer una hazaña de la que nunca había oído hablar que el hombre hubiera podido hacer algo: convencer a un cuadrante de su error. El valor que mi amigo seleccionó para Pi fue 3,2: el enorme error me tentó con la idea de que se podía demostrar fácilmente que era un error. Intercambiamos más de una veintena de letras antes de que me convenciera tristemente de que no tenía ninguna posibilidad.

En el libro de Augustus De Morgan A Budget of Paradoxes , publicado póstumamente por su viuda en 1872, aparece una burla a la cuadratura del círculo . Habiendo publicado originalmente la obra como una serie de artículos en The Athenæum , la estaba revisando para su publicación en el momento de su muerte. La cuadratura del círculo perdió popularidad después del siglo XIX, y se cree que el trabajo de De Morgan contribuyó a que esto sucediera. ^[20]

El libro de Heisel de 1934

Incluso después de que se demostró que era imposible, en 1894, el matemático aficionado Edwin J. Goodwin afirmó que había desarrollado un método para cuadrar el círculo. La técnica que desarrolló no cuadraba el círculo con precisión y proporcionaba un área incorrecta del círculo que, en esencia, se redefinió como igual a 3,2. Goodwin propuso entonces el proyecto de ley de Indiana pi en la legislatura estatal de Indiana, que permitía al estado utilizar su método en la educación sin pagarle regalías. El proyecto de ley se aprobó sin objeciones en la Cámara de Representantes estatal, pero se archivó y nunca se votó en el Senado, en medio de un creciente ridículo por parte de la prensa. ^[42] ${\displaystyle \pi }$

El matemático excéntrico Carl Theodore Heisel también afirmó haber logrado la cuadratura del círculo en su libro de 1934, "¡He aquí!: el gran problema ya no está sin resolver: la cuadratura del círculo más allá de toda refutación". ^[43] Paul Halmos se refirió al libro como un "libro clásico de excéntricos". ^[44]

En la literatura

El problema de la cuadratura del círculo ha sido mencionado en una amplia gama de eras literarias, con una variedad de significados metafóricos . ^[45] Su uso literario se remonta al menos al año 414 a. C., cuando se representó por primera vez la obra Los pájaros de Aristófanes . En ella, el personaje Metón de Atenas menciona la cuadratura del círculo, posiblemente para indicar la naturaleza paradójica de su ciudad utópica. ^[46]

El hombre de Vitruvio

El Paraíso de Dante , canto XXXIII, líneas 133-135, contiene el verso:

Como el geómetra, su mente se aplica
a la cuadratura del círculo, pero por mucho ingenio que tenga, no
encuentra la fórmula correcta, por mucho que lo intente.

Qual è 'l geométra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,

Para Dante, la cuadratura del círculo representa una tarea más allá de la comprensión humana, que compara con su propia incapacidad para comprender el Paraíso. ^[47] La ​​imagen de Dante también trae a la mente un pasaje de Vitruvio , ilustrado más tarde en el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci , de un hombre inscrito simultáneamente en un círculo y un cuadrado. ^[48] Dante usa el círculo como símbolo de Dios, y puede haber mencionado esta combinación de formas en referencia a la naturaleza divina y humana simultánea de Jesús. ^{[45] [48]} Antes, en el canto XIII, Dante llama al cuadrangular griego Bryson por haber buscado el conocimiento en lugar de la sabiduría. ^[45]

Varias obras de la poeta del siglo XVII Margaret Cavendish profundizan en el problema de la cuadratura del círculo y sus significados metafóricos, incluido un contraste entre la unidad de la verdad y el faccionalismo, y la imposibilidad de racionalizar "la fantasía y la naturaleza femenina". ^[45] En 1742, cuando Alexander Pope publicó el cuarto libro de su Dunciad , los intentos de cuadratura del círculo habían llegado a ser vistos como "salvajes e infructuosos": ^[39]

Sólo la loca Mathesis no tenía límites,
demasiado loca para que las simples cadenas materiales la ataran,
ahora al espacio puro eleva su mirada extática,
ahora, corriendo alrededor del círculo, lo encuentra cuadrado.

De manera similar, la ópera cómica de Gilbert y Sullivan , Princesa Ida, incluye una canción que enumera satíricamente los objetivos imposibles de la universidad de mujeres dirigida por el personaje principal, como encontrar el movimiento perpetuo . Uno de estos objetivos es "Y el círculo – lo cuadrarán/Algún buen día". ^[49]

Se ha dicho que la sextina , una forma poética utilizada por primera vez en el siglo XII por Arnaut Daniel , cuadra metafóricamente el círculo en su uso de un número cuadrado de líneas (seis estrofas de seis líneas cada una) con un esquema circular de seis palabras repetidas. Spanos (1978) escribe que esta forma invoca un significado simbólico en el que el círculo representa el cielo y el cuadrado representa la tierra. ^[50] Una metáfora similar se utilizó en "La cuadratura del círculo", un cuento de 1908 de O. Henry , sobre una disputa familiar de larga data. En el título de esta historia, el círculo representa el mundo natural, mientras que el cuadrado representa la ciudad, el mundo del hombre. ^[51]

En obras posteriores, los cuadrangulares como Leopold Bloom en la novela Ulises de James Joyce y el abogado Paravant en La montaña mágica de Thomas Mann son vistos como tristemente engañados o como soñadores sobrenaturales, inconscientes de su imposibilidad matemática y haciendo planes grandiosos para un resultado que nunca alcanzarán. ^{[52] [53]}

Véase también

• Problema de la señora Miniver  : Problema sobre áreas de círculos que se cortan
• Cópula cuadrado-redonda  – Tratamiento filosófico de los oxímorosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Squircle  – Forma entre un cuadrado y un círculo
• Problema de Tarski de la cuadratura del círculo  : Problema de cortar y volver a ensamblar un disco para formar un cuadrado

Referencias

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Lectura adicional y enlaces externos

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• Harper, Suzanne; Driskell, Shannon (agosto de 2010). "Una investigación de construcciones geométricas históricas". Convergencia . Asociación Matemática de Estados Unidos.
• O'Connor, JJ; Robertson, EF (abril de 1999). "La cuadratura del círculo". Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor .
• Otero, Daniel E. (julio de 2010). "La cuadratura del círculo y los lúnes de Hipócrates". Convergencia . Asociación Matemática de América.
• Polster, Burkard . "2000 años sin resolver: ¿por qué es imposible duplicar cubos y cuadrar círculos?". Mathologer – vía YouTube.