Álgebra de Clifford

Álgebra basada en un espacio vectorial de forma cuadrática

En matemáticas , un álgebra de Clifford ^[a] es un álgebra generada por un espacio vectorial con forma cuadrática , y es un álgebra asociativa unital con la estructura adicional de un subespacio distinguido. Como K -álgebras , generalizan los números reales , los números complejos , los cuaterniones y varios otros sistemas numéricos hipercomplejos . ^{[1] [2]} La teoría de las álgebras de Clifford está íntimamente relacionada con la teoría de las formas cuadráticas y las transformaciones ortogonales . Las álgebras de Clifford tienen aplicaciones importantes en una variedad de campos que incluyen la geometría , la física teórica y el procesamiento de imágenes digitales . Llevan el nombre del matemático inglés William Kingdon Clifford (1845-1879).

Las álgebras de Clifford más familiares, las álgebras de Clifford ortogonales , también se conocen como álgebras de Clifford ( pseudo ) de Riemann , a diferencia de las álgebras de Clifford simplécticas . ^[b]

Introducción y propiedades básicas.

Un álgebra de Clifford es un álgebra asociativa unital que contiene y es generada por un espacio vectorial V sobre un campo K , donde V está equipado con una forma cuadrática Q  : V → K. El álgebra de Clifford Cl( V , Q ) es el álgebra asociativa unital "más libre" generada por V sujeta a la condición ^[c]

$${\displaystyle v^{2}=Q(v)1\ {\text{ for all }}v\in V,}$$

1identidad multiplicativapropiedad universal

Cuando V es un espacio vectorial real de dimensión finita y Q no es degenerado , Cl( V , Q ) puede identificarse con la etiqueta Cl _{p , q} ( R ) , lo que indica que V tiene una base ortogonal con p elementos con e _i ² = +1 , q con e _i ² = −1 , y donde R indica que se trata de un álgebra de Clifford sobre los reales; es decir, los coeficientes de elementos del álgebra son números reales. Esta base se puede encontrar mediante diagonalización ortogonal .

El álgebra libre generada por V se puede escribir como el álgebra tensorial ⨁ _{n ≥0} V ⊗ ⋯ ⊗ V , es decir, la suma directa del producto tensorial de n copias de V sobre todo n . Por lo tanto, se obtiene un álgebra de Clifford como el cociente de este álgebra tensorial por el ideal bilateral generado por elementos de la forma v ⊗ v − Q ( v )1 para todos los elementos v ∈ V . El producto inducido por el producto tensorial en el álgebra cociente se escribe mediante yuxtaposición (por ejemplo, uv ). Su asociatividad se deriva de la asociatividad del producto tensorial.

El álgebra de Clifford tiene un subespacio  V distinguido , que es la imagen del mapa de incrustación . En general, un subespacio de este tipo no puede determinarse de forma única dada sólo una K -álgebra que sea isomorfa al álgebra de Clifford.

Si 2 es invertible en el campo fundamental K , entonces se puede reescribir la identidad fundamental anterior en la forma

$${\displaystyle uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\ {\text{ for all }}u,v\in V,}$$

$${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)}$$

forma bilineal simétricaQidentidad de polarización

Las formas cuadráticas y las álgebras de Clifford en la característica 2 constituyen un caso excepcional a este respecto. En particular, si char( K ) = 2 no es cierto que una forma cuadrática determine necesaria o únicamente una forma bilineal simétrica que satisfaga Q ( v ) = ⟨ v , v ⟩ , ^[3] Muchas de las declaraciones en este artículo incluyen la condición de que la característica no sea 2 y son falsas si se elimina esta condición.

Como cuantificación del álgebra exterior.

Las álgebras de Clifford están estrechamente relacionadas con las álgebras exteriores . De hecho, si Q = 0 entonces el álgebra de Clifford Cl( V , Q ) es simplemente el álgebra exterior ⋀ V . Siempre que 2 es invertible en el campo terrestre  K , existe un isomorfismo lineal canónico entre ⋀ V y Cl( V , Q ) . Es decir, son naturalmente isomorfos como espacios vectoriales, pero con diferentes multiplicaciones (en el caso de la característica dos, siguen siendo isomorfos como espacios vectoriales, pero no de forma natural). La multiplicación de Clifford junto con el subespacio distinguido es estrictamente más rica que el producto exterior ya que utiliza la información adicional proporcionada por  Q.

El álgebra de Clifford es un álgebra filtrada ; el álgebra graduada asociada es el álgebra exterior.

Más precisamente, las álgebras de Clifford pueden considerarse como cuantificaciones (cf. grupo cuántico ) del álgebra exterior, de la misma manera que el álgebra de Weyl es una cuantificación del álgebra simétrica .

Las álgebras de Weyl y las álgebras de Clifford admiten una estructura adicional de un *-álgebra y pueden unificarse como términos pares e impares de una superálgebra , como se analiza en las álgebras CCR y CAR .

Propiedad universal y construcción.

Sea V un espacio vectorial sobre un campo  K y sea Q  : V → K una forma cuadrática en V . En la mayoría de los casos de interés, el campo K es el campo de números reales  R , o el campo de números complejos  C , o un campo finito .

Un álgebra de Clifford Cl( V , Q ) es un par ( A , i ) , ^{[d] [4]} donde A es un álgebra asociativa unital sobre K e i es un mapa lineal i  : V → Cl( V , Q ) que satisface i ( v ) ² = Q ( v )1 para todo v en V , definido por la siguiente propiedad universal : dada cualquier álgebra asociativa unital A sobre K y cualquier aplicación lineal j  : V → A tal que

$${\displaystyle j(v)^{2}=Q(v)1_{A}{\text{ for all }}v\in V}$$

1 _AAhomomorfismo de álgebra único f  : Cl( V , Q ) → Aconmutaf ∘ i = j

La forma cuadrática Q puede ser reemplazada por una forma bilineal (no necesariamente simétrica ^[5] ) ⟨⋅,⋅⟩ que tiene la propiedad ⟨ v , v ⟩ = Q ( v ), v ∈ V , en cuyo caso se requiere un requisito equivalente en j es

$${\displaystyle j(v)j(v)=\langle v,v\rangle 1_{A}\quad {\text{ for all }}v\in V.}$$

Cuando la característica del campo no es 2 , esta puede ser reemplazada por lo que entonces es un requisito equivalente,

$${\displaystyle j(v)j(w)+j(w)j(v)=(\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle )1_{A}\quad {\text{ for all }}v,w\in V,}$$

Un álgebra de Clifford como la descrita anteriormente siempre existe y se puede construir de la siguiente manera: comience con el álgebra más general que contenga V , es decir, el álgebra tensorial T ( V ) , y luego aplique la identidad fundamental tomando un cociente adecuado . En nuestro caso queremos tomar el ideal bilateral I _Q en T ( V ) generado por todos los elementos de la forma

$${\displaystyle v\otimes v-Q(v)1}$$

Cl( V , Q ) ${\displaystyle v\in V}$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)=T(V)/I_{Q}.}$$

El producto anular heredado por este cociente a veces se denomina producto de Clifford ^[6] para distinguirlo del producto exterior y del producto escalar.

Entonces es sencillo demostrar que Cl( V , Q ) contiene V y satisface la propiedad universal anterior, de modo que Cl es único hasta un isomorfismo único; por eso se habla de "el" álgebra de Clifford Cl( V , Q ) . También se deduce de esta construcción que i es inyectivo . Por lo general, se elimina la  i y se considera V como un subespacio lineal de Cl( V , Q ) .

La caracterización universal del álgebra de Clifford muestra que la construcción de Cl( V , Q ) es de naturaleza funtorial . Es decir, Cl puede considerarse como un functor desde la categoría de espacios vectoriales con formas cuadráticas (cuyos morfismos son mapas lineales que conservan la forma cuadrática) hasta la categoría de álgebras asociativas. La propiedad universal garantiza que los mapas lineales entre espacios vectoriales (que preservan la forma cuadrática) se extienden únicamente a homomorfismos de álgebra entre las álgebras de Clifford asociadas.

Base y dimensión

Dado que V viene dotado de una forma cuadrática  Q , en característica no igual a 2 existen bases para V que son ortogonales . Una base ortogonal es aquella que para una forma bilineal simétrica

$${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$$

${\displaystyle i\neq j}$

$${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =Q(e_{i}).}$$

La identidad fundamental de Clifford implica que para una base ortogonal

$${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$$

${\displaystyle i\neq j}$

$${\displaystyle e_{i}^{2}=Q(e_{i}).}$$

Esto hace que la manipulación de vectores de base ortogonales sea bastante sencilla. Dado un producto de distintos vectores de base ortogonales de V , se pueden poner en un orden estándar al mismo tiempo que se incluye un signo general determinado por el número de intercambios por pares necesarios para hacerlo (es decir, la firma de la permutación de orden ). ${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}}$

Si la dimensión de V sobre K es n y { e ₁ , ..., e _n } es una base ortogonal de ( V , Q ) , entonces Cl( V , Q ) es libre sobre K con una base

$${\displaystyle \{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n{\text{ and }}0\leq k\leq n\}.}$$

El producto vacío ( k = 0 ) se define como el elemento identidad multiplicativo . Para cada valor de k hay n elementos básicos elegidos , por lo que la dimensión total del álgebra de Clifford es

$${\displaystyle \dim \operatorname {Cl} (V,Q)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}.}$$

Ejemplos: álgebras de Clifford reales y complejas

Las álgebras de Clifford más importantes son aquellas sobre espacios vectoriales reales y complejos equipados con formas cuadráticas no degeneradas .

Cada una de las álgebras Cl _{p , q} ( R ) y Cl _n ( C ) es isomorfa a A o A ⊕ A , donde A es un anillo de matriz completo con entradas de R , C o  H. Para obtener una clasificación completa de estas álgebras, consulte Clasificación de álgebras de Clifford .

Numeros reales

Las álgebras de Clifford también se denominan a veces álgebras geométricas , con mayor frecuencia sobre números reales.

Cada forma cuadrática no degenerada en un espacio vectorial real de dimensión finita es equivalente a la forma diagonal estándar:

$${\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\dots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\dots -v_{p+q}^{2},}$$

n = p + q( p , q )firmaR ^{p , q} .R ^{p , q}Cl _{p , q} ( R ).Cl _n ( R )Cl _{n ,0} ( R )Cl _{0, n} ( R )

Una base estándar { e ₁ , ..., e _n } para R ^{p , q} consta de n = p + q vectores mutuamente ortogonales, p de los cuales cuadra a +1 y q de los cuales cuadra a  −1 . De tal base, el álgebra Cl _{p , q} ( R ) tendrá por lo tanto p vectores que cuadran a +1 y q vectores que cuadran a  −1 .

Algunos casos de baja dimensión son:

• Cl _0,0 ( R ) es naturalmente isomorfo a R ya que no hay vectores distintos de cero.
• Cl _0,1 ( R ) es un álgebra bidimensional generada por e ₁ que eleva al cuadrado a −1 , y es álgebra isomorfa a C , el campo de números complejos .
• Cl _0,2 ( R ) es un álgebra de cuatro dimensiones abarcada por {1, e ₁ , e ₂ , e ₁ e ₂ } . Los últimos tres elementos son todos cuadrados a −1 y anticonmutados, por lo que el álgebra es isomorfa a los cuaterniones  H .
• Cl _0,3 ( R ) es un álgebra de 8 dimensiones isomorfa a la suma directa H ⊕ H , los bicuaterniones divididos .

Números complejos

También se pueden estudiar las álgebras de Clifford en espacios vectoriales complejos. Cada forma cuadrática no degenerada en un espacio vectorial complejo de dimensión n es equivalente a la forma diagonal estándar

$${\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\dots +z_{n}^{2}.}$$

nC ⁿCl _n ( C )

Para los primeros casos se encuentra que

• Cl ₀ ( C ) ≅ C , los números complejos
• Cl ₁ ( C ) ≅ C ⊕ C , los números bicomplejos
• Cl ₂ ( C ) ≅ M ₂ ( C ) , los bicuaterniones

donde M _n ( C ) denota el álgebra de matrices n × n sobre C .

Ejemplos: construcción de cuaterniones y cuaterniones duales

Cuaterniones

En esta sección, los cuaterniones de Hamilton se construyen como la subálgebra par del álgebra de Clifford Cl _3,0 ( R ) .

Sea el espacio vectorial V el espacio tridimensional real  R ³ y la forma cuadrática sea la forma cuadrática habitual. Entonces, para v , w en R ³ tenemos la forma bilineal (o producto escalar)

$${\displaystyle v\cdot w=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$$

vw

$${\displaystyle vw+wv=2(v\cdot w).}$$

Denotemos un conjunto de vectores unitarios ortogonales de R ³ como { e ₁ , e ₂ , e ₃ } , entonces el producto de Clifford produce las relaciones

$${\displaystyle e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2},\,\,\,e_{1}e_{3}=-e_{3}e_{1},\,\,\,e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},}$$

$${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=1.}$$

Cl _3,0 ( R )

$${\displaystyle A=a_{0}+a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}+a_{4}e_{2}e_{3}+a_{5}e_{1}e_{3}+a_{6}e_{1}e_{2}+a_{7}e_{1}e_{2}e_{3}.}$$

La combinación lineal de los elementos de grado par de Cl _3,0 ( R ) define la subálgebra par Cl^[0]
_3,0( R ) con el elemento general

$${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}e_{2}e_{3}+q_{2}e_{1}e_{3}+q_{3}e_{1}e_{2}.}$$

i , j , k

$${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{1}e_{3},k=e_{1}e_{2},}$$

Cl^[0]
_3,0( R ) es el álgebra de cuaterniones

Para ver esto, calcule

$${\displaystyle i^{2}=(e_{2}e_{3})^{2}=e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}=-1,}$$

$${\displaystyle ij=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}=-e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}=-e_{2}e_{1}=e_{1}e_{2}=k.}$$

$${\displaystyle ijk=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}e_{1}e_{2}=-1.}$$

Cuaterniones duales

En esta sección, los cuaterniones duales se construyen como la subálgebra par de un álgebra de Clifford del espacio real de cuatro dimensiones con una forma cuadrática degenerada. ^{[7] [8]}

Sea el espacio vectorial V un espacio real de cuatro dimensiones R ⁴ y sea la forma cuadrática Q una forma degenerada derivada de la métrica euclidiana en R ³ . Para v , w en R ⁴ introduce la forma bilineal degenerada

$${\displaystyle d(v,w)=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$$

R ⁴R ^{3 .}

El producto de Clifford de los vectores v y w viene dado por

$${\displaystyle vw+wv=-2\,d(v,w).}$$

Denotemos un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales de R ⁴ como { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ } , entonces el producto de Clifford produce las relaciones

$${\displaystyle e_{m}e_{n}=-e_{n}e_{m},\,\,\,m\neq n,}$$

$${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$$

El elemento general del álgebra de Clifford Cl( R ⁴ , d ) tiene 16 componentes. La combinación lineal de los elementos de grado par define la subálgebra par Cl ^[0] ( R ⁴ , d ) con el elemento general

$${\displaystyle H=h_{0}+h_{1}e_{2}e_{3}+h_{2}e_{3}e_{1}+h_{3}e_{1}e_{2}+h_{4}e_{4}e_{1}+h_{5}e_{4}e_{2}+h_{6}e_{4}e_{3}+h_{7}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$$

Los elementos básicos se pueden identificar con los elementos básicos del cuaternión i , j , k y la unidad dual ε como

$${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},\,\,\varepsilon =e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$$

Cl^[0]
_0,3,1( R )dual de cuaterniones

Para ver esto, calcule

$${\displaystyle \varepsilon ^{2}=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}=-e_{1}e_{2}e_{3}(e_{4}e_{4})e_{1}e_{2}e_{3}=0,}$$

$${\displaystyle \varepsilon i=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})e_{2}e_{3}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{3}=e_{2}e_{3}(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})=i\varepsilon .}$$

e ₁e ₄εi , j , k

Ejemplos: en pequeña dimensión

Sea K cualquier campo de característica que no sea 2 .

Dimensión 1

Para dim V = 1 , si Q tiene diagonalización diag( a ) , es decir, hay un vector x distinto de cero tal que Q ( x ) = a , entonces Cl( V , Q ) es álgebra-isomorfa a una K -álgebra generado por un elemento x que satisface x ² = a , el álgebra cuadrática K [ X ] / ( X ² − a ) .

En particular, si a = 0 (es decir, Q es la forma cuadrática cero), entonces Cl( V , Q ) es álgebra isomorfa al álgebra de números duales sobre K .

Si a es un cuadrado distinto de cero en K , entonces Cl( V , Q ) ≃ K ⊕ K .

De lo contrario, Cl( V , Q ) es isomorfo a la extensión de campo cuadrático K ( √ a ) de K .

Dimensión 2

Para dim V = 2 , si Q tiene diagonalización diag( a , b ) con a y b distintos de cero (que siempre existe si Q no es degenerado), entonces Cl( V , Q ) es isomorfo a un K -álgebra generada por los elementos x e y que satisfacen x ² = a , y ² = b y xy = − yx .

Por tanto, Cl( V , Q ) es isomorfo al álgebra de cuaterniones (generalizada) ( a , b ) _K . Recuperamos los cuaterniones de Hamilton cuando a = b = −1 , ya que H = (−1, −1) _R .

Como caso especial, si alguna x en V satisface Q ( x ) = 1 , entonces Cl( V , Q ) ≃ M ₂ ( K ) .

Propiedades

Relación con el álgebra exterior

Dado un espacio vectorial  V , se puede construir el álgebra exterior ⋀ V , cuya definición es independiente de cualquier forma cuadrática en V. Resulta que si K no tiene la característica 2 entonces existe un isomorfismo natural entre ⋀ V y Cl( V , Q ) considerados como espacios vectoriales (y existe un isomorfismo en la característica dos, que puede no ser natural). Este es un isomorfismo de álgebra si y sólo si Q = 0 . Por tanto, se puede considerar el álgebra de Clifford Cl( V , Q ) como un enriquecimiento (o más precisamente, una cuantificación, cf. la Introducción) del álgebra exterior sobre V con una multiplicación que depende de  Q (todavía se puede definir el producto exterior independientemente de  Q ).

La forma más sencilla de establecer el isomorfismo es elegir una base ortogonal { e ₁ , ..., e _n } para V y extenderla a una base para Cl( V , Q ) como se describió anteriormente. El mapa Cl( V , Q ) → ⋀ V está determinado por

$${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}.}$$

{ e ₁ , ..., e _n }

Si la característica de K es 0 , también se puede establecer el isomorfismo mediante antisimetrización. Defina funciones f _k  : V × ⋯ × V → Cl( V , Q ) por

$${\displaystyle f_{k}(v_{1},\ldots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}}$$

grupo simétricokS _kf _kalternante⋀ ^k V → Cl( V , Q )suma directa⋀ VCl( V , Q )

Una forma más sofisticada de ver la relación es construir una filtración sobre Cl( V , Q ) . Recuerde que el álgebra tensorial T ( V ) tiene una filtración natural: F ⁰ ⊂ F ¹ ⊂ F ² ⊂ ⋯ , donde F ^k contiene sumas de tensores de orden ≤ k . Proyectar esto al álgebra de Clifford da como resultado una filtración de Cl( V , Q ) . El álgebra graduada asociada.

$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{F}\operatorname {Cl} (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}}$$

⋀ VF ^kF ^{k +1}k

Calificación

A continuación, supongamos que la característica no es  2 . ^[mi]

Las álgebras de Clifford son álgebras de grado Z 2 ₍ también conocidas como superálgebras ). De hecho, el mapa lineal en V definido por v ↦ − v ( reflexión a través del origen ) conserva la forma cuadrática Q y, por lo tanto, por la propiedad universal de las álgebras de Clifford, se extiende a un automorfismo de álgebra.

$${\displaystyle \alpha :\operatorname {Cl} (V,Q)\to \operatorname {Cl} (V,Q).}$$

Dado que α es una involución (es decir, se eleva al cuadrado de la identidad ), se puede descomponer Cl( V , Q ) en espacios propios positivos y negativos de  α.

$${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[0]}(V,Q)\oplus \operatorname {Cl} ^{[1]}(V,Q)}$$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)=\left\{x\in \operatorname {Cl} (V,Q)\mid \alpha (x)=(-1)^{i}x\right\}.}$$

Como α es un automorfismo se sigue que:

$${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)\operatorname {Cl} ^{[j]}(V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[i+j]}(V,Q)}$$

Cl( V , Q )álgebraZ ₂Cl ^[0] ( V , Q )subálgebraCl( V , Q )subálgebra parCl ^[1] ( V , Q )parte imparCl( V , Q )Esta calificación Z ₂αinvolución principalinvolución de gradoZ ₂

Observación . El álgebra de Clifford no es un álgebra graduada en Z , sino filtrada en Z , donde Cl ^{≤ i} ( V , Q ) es el subespacio abarcado por todos los productos de como máximo i elementos de  V.

$${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\leqslant i}(V,Q)\cdot \operatorname {Cl} ^{\leqslant j}(V,Q)\subset \operatorname {Cl} ^{\leqslant i+j}(V,Q).}$$

El grado de un número de Clifford generalmente se refiere al grado en la clasificación Z.

La subálgebra par Cl ^[0] ( V , Q ) de un álgebra de Clifford es en sí misma isomorfa a un álgebra de Clifford. ^{[f] [g]} Si V es la suma directa ortogonal de un vector a de norma distinta de cero Q ( a ) y un subespacio U , entonces Cl ^[0] ( V , Q ) es isomorfo a Cl( U , − Q ( a ) Q | _U ) , donde Q | _U es la forma Q restringida a U. En particular sobre los reales esto implica que:

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}(\mathbf {R} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Cl} _{p,q-1}(\mathbf {R} )&q>0\\\operatorname {Cl} _{q,p-1}(\mathbf {R} )&p>0\end{cases}}}$$

En el caso definido negativo, esto da una inclusión Cl _{0, n −1} ( R ) ⊂ Cl _{0, n} ( R ) , que extiende la secuencia

R ⊂ C ⊂ H ⊂ H ⊕ H ⊂ ⋯

Asimismo, en el caso complejo, se puede demostrar que la subálgebra par de Cl _n ( C ) es isomorfa a Cl _{n −1} ( C ) .

Antiautomorfismos

Además del automorfismo α , existen dos antiautomorfismos que juegan un papel importante en el análisis de las álgebras de Clifford. Recuerde que el álgebra tensorial T ( V ) viene con un antiautomorfismo que invierte el orden en todos los productos de vectores:

$${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.}$$

Dado que el I _QCl( V , Q )de transposicióninversiónx ^t( xy ) ^t = y ^t x ^tZ ₂αconjugación de Clifford ${\displaystyle {\bar {x}}}$

$${\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (x^{\mathrm {t} })=\alpha (x)^{\mathrm {t} }.}$$

^[h]

Tenga en cuenta que todas estas operaciones son involuciones . Se puede demostrar que actúan como ±1 en elementos que son puros en la clasificación Z. De hecho, las tres operaciones dependen únicamente del grado módulo  4 . Es decir, si x es pura con grado k entonces

$${\displaystyle \alpha (x)=\pm x\qquad x^{\mathrm {t} }=\pm x\qquad {\bar {x}}=\pm x}$$

Producto escalar de Clifford

Cuando la característica no es 2 , la forma cuadrática Q en V se puede extender a una forma cuadrática en todo Cl( V , Q ) (que también denotamos por Q ). Una definición independiente de la base de una de esas extensiones es

$${\displaystyle Q(x)=\left\langle x^{\mathrm {t} }x\right\rangle _{0}}$$

⟨ a ⟩ ₀a0 en la clasificación Z

$${\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})}$$

v _iVnoCl( V , Q )

La forma bilineal simétrica asociada en Cl ( V , Q ) viene dada por

$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\left\langle x^{\mathrm {t} }y\right\rangle _{0}.}$$

V.Cl( V , Q )no degeneradaV

El operador de la multiplicación de Clifford izquierda (respectivamente derecha) por la transpuesta a ^t de un elemento a es el adjunto de la multiplicación de Clifford izquierda (respectivamente derecha) por a con respecto a este producto interno. Eso es,

$${\displaystyle \langle ax,y\rangle =\left\langle x,a^{\mathrm {t} }y\right\rangle ,}$$

$${\displaystyle \langle xa,y\rangle =\left\langle x,ya^{\mathrm {t} }\right\rangle .}$$

Estructura de las álgebras de Clifford

En esta sección asumimos que la característica no es 2 , que el espacio vectorial V es de dimensión finita y que la forma bilineal simétrica asociada de Q no es degenerada.

Un álgebra central simple sobre K es un álgebra matricial sobre un álgebra de división (de dimensión finita) con centro K. Por ejemplo, las álgebras simples centrales sobre los reales son álgebras matriciales sobre los reales o los cuaterniones.

• Si V tiene dimensión par entonces Cl( V , Q ) es un álgebra central simple sobre  K .
• Si V tiene dimensión par, entonces la subálgebra par Cl [ ^0] ( V , Q ) es un álgebra simple central sobre una extensión cuadrática de K o una suma de dos álgebras simples centrales isomorfas sobre  K.
• Si V tiene una dimensión impar, entonces Cl( V , Q ) es un álgebra simple central sobre una extensión cuadrática de K o una suma de dos álgebras simples centrales isomorfas sobre  K .
• Si V tiene una dimensión impar, entonces la subálgebra par Cl ^[0] ( V , Q ) es un álgebra central simple sobre  K .

La estructura de las álgebras de Clifford se puede resolver explícitamente utilizando el siguiente resultado. Supongamos que U tiene dimensión par y una forma bilineal no singular con discriminante d , y supongamos que V es otro espacio vectorial con forma cuadrática. El álgebra de Clifford de U + V es isomorfa al producto tensorial de las álgebras de Clifford de U y (−1) ^{dim( U )/2} dV , que es el espacio V con su forma cuadrática multiplicado por (−1) ^{dim( U )/2} d . Sobre los reales, esto implica en particular que

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+2,q}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} )}$$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )}$$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q+2}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} ).}$$

clasificación de las álgebras de Clifford

En particular, la clase de equivalencia de Morita de un álgebra de Clifford (su teoría de representación: la clase de equivalencia de la categoría de módulos sobre ella) depende sólo de la firma ( p − q ) mod 8 . Ésta es una forma algebraica de la periodicidad de Bott .

grupo lipschitz

La clase de grupos Lipschitz ( también conocidos como ^[9] grupos Clifford o grupos Clifford-Lipschitz) fue descubierta por Rudolf Lipschitz . ^[10]

En esta sección asumimos que V es de dimensión finita y que la forma cuadrática Q es no degenerada .

Una acción sobre los elementos de un álgebra de Clifford por su grupo de unidades puede definirse en términos de una conjugación retorcida: conjugación retorcida por x asigna y ↦ α ( x ) y x ⁻¹ , donde α es la involución principal definida anteriormente.

El grupo de Lipschitz Γ se define como el conjunto de elementos invertibles x que estabilizan el conjunto de vectores bajo esta acción, ^[11] lo que significa que para todo v en V tenemos:

$${\displaystyle \alpha (x)vx^{-1}\in V.}$$

Esta fórmula también define una acción del grupo de Lipschitz sobre el espacio vectorial V que conserva la forma cuadrática Q , y así da un homomorfismo del grupo de Lipschitz al grupo ortogonal. El grupo de Lipschitz contiene todos los elementos r de V para los cuales Q ( r ) es invertible en K , y estos actúan sobre V mediante las reflexiones correspondientes que llevan v a v − ( ⟨ r , v ⟩ + ⟨ v , r ⟩ ) r / ‍Q ( r ) . (En la característica 2, estas se denominan transvecciones ortogonales en lugar de reflexiones).

Si V es un espacio vectorial real de dimensión finita con una forma cuadrática no degenerada, entonces el grupo de Lipschitz se asigna al grupo ortogonal de V con respecto a la forma (según el teorema de Cartan-Dieudonné ) y el núcleo consta de los elementos distintos de cero de el  campo K. Esto conduce a secuencias exactas.

$${\displaystyle 1\rightarrow K^{\times }\rightarrow \Gamma \rightarrow \operatorname {O} _{V}(K)\rightarrow 1,}$$

$${\displaystyle 1\rightarrow K^{\times }\rightarrow \Gamma ^{0}\rightarrow \operatorname {SO} _{V}(K)\rightarrow 1.}$$

En otros campos o con formas indefinidas, el mapa en general no es correcto y el fracaso es captado por la norma del espinor.

Norma de espinor

En una característica arbitraria, la norma del espinor Q se define en el grupo de Lipschitz por

$${\displaystyle Q(x)=x^{\mathrm {t} }x.}$$

× ^deK.QVV−12−2Γ ¹

Los elementos distintos de cero de K tienen norma de espinor en el grupo ( K ^​​× ) ² de cuadrados de elementos distintos de cero del campo K . Entonces, cuando V es de dimensión finita y no singular obtenemos un mapa inducido del grupo ortogonal de V al grupo K ^× ‍ / ‍ ( K ^× ) ² , también llamado norma de espinor. La norma de espinor de la reflexión sobre r ^⊥ , para cualquier vector r , tiene imagen Q ( r ) en K ^× ‍ / ‍ ( K ^× ) ² , y esta propiedad la define de forma única en el grupo ortogonal. Esto da secuencias exactas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)&\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},\\1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Spin} _{V}(K)&\to \operatorname {SO} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que en la característica 2 el grupo {±1} tiene solo un elemento.

Desde el punto de vista de la cohomología de Galois de grupos algebraicos , la norma del espinor es un homomorfismo de conexión en la cohomología. Escribiendo μ ₂ para el grupo algebraico de raíces cuadradas de 1 (sobre un campo de característica que no es 2, es aproximadamente lo mismo que un grupo de dos elementos con acción trivial de Galois), la secuencia exacta corta

$${\displaystyle 1\to \mu _{2}\rightarrow \operatorname {Pin} _{V}\rightarrow \operatorname {O} _{V}\rightarrow 1}$$

$${\displaystyle 1\to H^{0}(\mu _{2};K)\to H^{0}(\operatorname {Pin} _{V};K)\to H^{0}(\operatorname {O} _{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K).}$$

El 0.º grupo de cohomología de Galois de un grupo algebraico con coeficientes en K es solo el grupo de puntos con valores K : H ⁰ ( G ; K ) = G ( K ) y H ¹ (μ ₂ ; K ) ≅ K ^× ‍ / ‍ ( K ^× ) ² , que recupera la secuencia anterior

$${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},}$$

H ⁰ (O _V ; K ) → H ¹ (μ ₂ ; K )

Grupos de giro y pin

En esta sección asumimos que V es de dimensión finita y su forma bilineal no es singular.

El grupo de pines Pin _V ( K ) es el subgrupo del grupo Lipschitz Γ de elementos de la norma de espinor 1 , y de manera similar el grupo de pines Spin _V ( K ) es el subgrupo de elementos del invariante 0 de Dickson en Pin _V ( K ) . Cuando la característica no es 2 , estos son los elementos del determinante 1 . El grupo de giro suele tener el índice 2 en el grupo de pines.

Recuerde de la sección anterior que existe un homomorfismo del grupo de Lipschitz al grupo ortogonal. Definimos el grupo ortogonal especial como la imagen de Γ ⁰ . Si K no tiene la característica 2, este es solo el grupo de elementos del grupo ortogonal del determinante 1 . Si K tiene la característica 2 , entonces todos los elementos del grupo ortogonal tienen determinante 1 , y el grupo ortogonal especial es el conjunto de elementos del invariante de Dickson 0 .

Existe un homomorfismo del grupo pin al grupo ortogonal. La imagen consta de los elementos de la norma de espinor 1 ∈ K ^× ‍ / ‍ ( K ^× ) ² . El núcleo consta de los elementos +1 y −1 , y tiene orden 2 a menos que K tenga la característica 2 . De manera similar , existe un homomorfismo del grupo Spin al grupo ortogonal especial de  V.

En el caso común cuando V es un espacio definido positivo o negativo sobre los reales, el grupo de espín se asigna al grupo ortogonal especial y simplemente está conectado cuando V tiene una dimensión de al menos 3 . Además, el núcleo de este homomorfismo consta de 1 y −1 . Entonces, en este caso, el grupo de espín, Spin( n ) , es una doble cobertura de SO( n ) . Sin embargo, tenga en cuenta que la conexión simple del grupo de espines no es cierta en general: si V es R ^{p , q} para p y q ambos son al menos 2, entonces el grupo de espines no está simplemente conexo. En este caso, el grupo algebraico Spin _{p , q} es simplemente conexo como grupo algebraico, aunque su grupo de puntos con valores reales Spin _{p , q} ( R ) no es simplemente conexo. Este es un punto bastante sutil, que confundió completamente a los autores de al menos un libro estándar sobre grupos de espines. ^{[ ¿cual? ]}

Espinores

Las álgebras de Clifford Cl _{p , q} ( C ) , con p + q = 2 n par, son álgebras matriciales que tienen una representación compleja de dimensión 2 ⁿ . Al restringir al grupo Pin _{p , q} ( R ) obtenemos una representación compleja del grupo Pin de la misma dimensión, llamada representación de espín . Si restringimos esto al grupo de espín Spin _{p , q} ( R ) , entonces se divide como la suma de dos representaciones de medio espín (o representaciones de Weyl ) de dimensión  2 ^{n −1} .

Si p + q = 2 n + 1 es impar, entonces el álgebra de Clifford Cl _{p , q} ( C ) es una suma de dos álgebras matriciales, cada una de las cuales tiene una representación de dimensión 2 ⁿ , y ambas también son representaciones del pin. grupo Pin _{p , q} ( R ) . Al restringirse al grupo de espín Spin _{p , q} ( R ), estos se vuelven isomórficos, por lo que el grupo de espín tiene una representación de espín compleja de dimensión  2 ⁿ .

De manera más general, los grupos de espinores y los grupos de pines en cualquier campo tienen representaciones similares cuya estructura exacta depende de la estructura de las álgebras de Clifford correspondientes : siempre que un álgebra de Clifford tiene un factor que es un álgebra matricial sobre alguna álgebra de división, obtenemos una representación correspondiente de los grupos de pines y espines sobre esa división de álgebra. Para ver ejemplos sobre los reales, consulte el artículo sobre espinores .

Espinores reales

Para describir las representaciones reales de espín, es necesario saber cómo se ubica el grupo de espín dentro de su álgebra de Clifford. El grupo de pines , Pin _{p , q} es el conjunto de elementos invertibles en Cl _{p , q} que se pueden escribir como producto de vectores unitarios:

$${\displaystyle \mathrm {Pin} _{p,q}=\left\{v_{1}v_{2}\cdots v_{r}\mid \forall i\,\|v_{i}\|=\pm 1\right\}.}$$

O ( p , q )grupo de espínPin _{p , q}teorema de Cartan-Dieudonné,SO( p , q )

Sea α  : Cl → Cl el automorfismo dado por la aplicación v ↦ − v que actúa sobre vectores puros. Entonces, en particular, Spin _{p , q} es el subgrupo de Pin _{p , q} cuyos elementos están fijados por α . Dejar

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}=\{x\in \operatorname {Cl} _{p,q}\mid \alpha (x)=x\}.}$$

Cl _{p , q}Cl^[0]
_{p , q}

Las representaciones irreducibles de Cl _{p , q} se restringen a dar representaciones del grupo de pines. Por el contrario, dado que el grupo de pines se genera mediante vectores unitarios, todas sus representaciones irreducibles se inducen de esta manera. Así, las dos representaciones coinciden. Por las mismas razones, las representaciones irreducibles del espín coinciden con las representaciones irreducibles del Cl^[0]
_{p , q}.

Para clasificar las representaciones de pines, basta apelar a la clasificación de las álgebras de Clifford . Para encontrar las representaciones de espín (que son representaciones de la subálgebra par), primero se puede hacer uso de cualquiera de los isomorfismos (ver arriba)

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{p,q-1},{\text{ for }}q>0}$$

$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{q,p-1},{\text{ for }}p>0}$$

( p , q )( p , q − 1)( q , p − 1)

Aplicaciones

Geometría diferencial

Una de las principales aplicaciones del álgebra exterior es en geometría diferencial, donde se utiliza para definir el conjunto de formas diferenciales en una variedad suave . En el caso de una variedad ( pseudo ) Riemanniana , los espacios tangentes vienen equipados con una forma cuadrática natural inducida por la métrica . Por tanto, se puede definir un paquete de Clifford en analogía con el paquete exterior . Esto tiene varias aplicaciones importantes en la geometría de Riemann . Quizás más importante sea el vínculo con una variedad de espín , su haz de espín asociado y sus variedades de espín ^c .

Física

Las álgebras de Clifford tienen numerosas aplicaciones importantes en física. Los físicos suelen considerar un álgebra de Clifford como un álgebra que tiene una base que es generada por las matrices γ ₀ ,..., γ ₃ , llamadas matrices de Dirac , que tienen la propiedad de que

$${\displaystyle \gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij},}$$

η(1, 3)(3, 1)Cl
_1,3( R )complexificaciónCl
_1,3( R ) _Cclasificación de las álgebras de Clifford4 × 4 Cl ₄ ( C ) ≈ M ₄ ( C )Cl
_1,3( R ) _Cno

El álgebra de Clifford del espacio-tiempo utilizada en física tiene, por tanto, más estructura que el Cl ₄ ( C ) . Tiene además un conjunto de transformaciones preferidas: las transformaciones de Lorentz. Para empezar, si la complejización es necesaria depende en parte de las convenciones utilizadas y en parte de cuánto se quiera incorporar directamente, pero la complejización es más necesaria en la mecánica cuántica, donde la representación del espín del álgebra de Lie (1, 3) se encuentra dentro El álgebra de Clifford convencionalmente requiere un álgebra de Clifford compleja. Como referencia, el álgebra de Lie de spin viene dada por

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu \nu }&=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\,\gamma ^{\nu }\right],\\\left[\sigma ^{\mu \nu },\,\sigma ^{\rho \tau }\right]&=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\right).\end{aligned}}}$$

Esto está en la convención (3, 1) , por lo tanto encaja en Cl
_3,1( R ) _C . ^[12]

Las matrices de Dirac fueron escritas por primera vez por Paul Dirac cuando intentaba escribir una ecuación de onda relativista de primer orden para el electrón y dar un isomorfismo explícito del álgebra de Clifford al álgebra de matrices complejas. El resultado se utilizó para definir la ecuación de Dirac e introducir el operador de Dirac . Toda el álgebra de Clifford aparece en la teoría cuántica de campos en forma de campos bilineales de Dirac .

El uso de las álgebras de Clifford para describir la teoría cuántica ha sido propuesto, entre otros, por Mario Schönberg , ^[i] por David Hestenes en términos de cálculo geométrico , por David Bohm y Basil Hiley y sus colaboradores en forma de una jerarquía de álgebras de Clifford , y por Elio Conte et al. ^{[13] [14]}

Visión por computador

Las álgebras de Clifford se han aplicado en el problema de reconocimiento y clasificación de acciones en visión por computadora . Rodríguez et al ^[15] proponen una incrustación de Clifford para generalizar los filtros MACH tradicionales al video (volumen espaciotemporal 3D) y datos con valores vectoriales, como el flujo óptico . Los datos con valores vectoriales se analizan mediante la transformada de Clifford Fourier . A partir de estos vectores se sintetizan filtros de acción en el dominio de Clifford Fourier y el reconocimiento de acciones se realiza mediante correlación de Clifford. Los autores demuestran la efectividad de la incorporación de Clifford al reconocer acciones típicamente realizadas en películas clásicas y transmisiones deportivas por televisión.

Generalizaciones

• Si bien este artículo se centra en el álgebra de Clifford de un espacio vectorial sobre un campo, la definición se extiende sin cambios a un módulo sobre cualquier anillo unital, asociativo y conmutativo. ^[j]
• Las álgebras de Clifford se pueden generalizar a una forma de grado superior a la cuadrática en un espacio vectorial. ^[dieciséis]

Ver también

• Portal de matemáticas

• Álgebra del espacio físico
• Construcción Cayley-Dickson
• Clasificación de las álgebras de Clifford
• Análisis de Clifford
• Módulo Clifford
• Estructura de espín compleja
• operador dirac
• Álgebra exterior
• identidad fierz
• Matrices gamma
• Álgebra de Clifford generalizada
• álgebra geométrica
• Matrices gamma de dimensiones superiores
• Número hipercomplejo
• octonión
• Paravector
• Cuaternio
• grupo de giro
• Estructura de giro
• espinor
• paquete de espinor

Notas

1. También conocida como álgebra geométrica (especialmente sobre los números reales)
2. Ver por ej. Oziewicz y Sitarczyk 1992
3. Los matemáticos que trabajan con álgebras de Clifford reales y prefieren formas cuadráticas definidas positivas (especialmente aquellos que trabajan en teoría de índices ) a veces utilizan una elección de signo diferente en la identidad fundamental de Clifford. Es decir, toman v ² = − Q ( v ) . Hay que sustituir Q por − Q al pasar de una convención a otra.
4. Vaz & da Rocha 2016 dejan en claro que el mapa i ( γ en la cita aquí) está incluido en la estructura de un álgebra de Clifford al definirlo como "El par ( A , γ ) es un álgebra de Clifford para el espacio cuadrático ( V , g ) cuando A se genera como álgebra por { γ ( v ) | v ∈ V  } y { a 1 _A | a ∈ R  } , y γ satisface γ ( v ) γ ( u ) + γ ( u ) γ ( v ) = 2 g ( v , u ) para todo v , u ∈ V .
5. Así, el álgebra de grupo K [ Z ‍ / ‍ 2 Z ] es semisimple y el álgebra de Clifford se divide en espacios propios de la involución principal.
6. Técnicamente, no tiene la estructura completa de un álgebra de Clifford sin un subespacio vectorial designado, por lo que es isomórfico como álgebra, pero no como álgebra de Clifford.
7. Seguimos asumiendo que la característica no es 2 .
8. Lo contrario ocurre cuando se utiliza la convención de signos alternativa (-) para las álgebras de Clifford: lo más importante es el conjugado. En general, los significados de conjugación y transposición se intercambian al pasar de una convención de signos a otra. Por ejemplo, en la convención utilizada aquí, la inversa de un vector está dada por v ⁻¹ = v ^t  /  Q ( v ) mientras que en la convención (−) está dada por v ⁻¹ = v  /  Q ( v ) .
9. Véanse las referencias a los artículos de Schönberg de 1956 y 1957 como se describe en la sección "El álgebra G _n de Grassmann-Schönberg " de Bolívar 2001
10. Ver por ej. Oziewicz y Sitarczyk 1992

Citas

1. Clifford 1873, págs. 381–395
2. Clifford 1882
3. Lounesto 1993, págs. 155-156
4. Lounesto 1996, págs. 3–30 o versión abreviada
5. Lounesto 1993
6. Lounesto 2001, §1.8
7. McCarthy 1990, págs. 62–65
8. Bottema y Roth 2012
9. Vaz y da Rocha 2016, pag. 126
10. Lounesto 2001, §17.2
11. Perwass 2009, §3.3.1
12. Weinberg 2002
13. Conte 2007
14. Conte 2012
15. Rodríguez y Shah 2008
16. Granizo 1984

Referencias

• Bolívar, AO (2001), “Límite clásico de fermiones en el espacio de fases”, J. Math. Física. , 42 (9): 4020–4030, Bibcode :2001JMP....42.4020B, doi : 10.1063/1.1386411
• Bottema, O.; Roth, B. (2012) [1979]. Cinemática Teórica. Dover. ISBN 978-0-486-66346-3.
• Bourbaki, Nicolas (1988), Álgebra , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-19373-9, apartado IX.9.
• Clifford, WK (1873). "Bosquejo preliminar de bicuaterniones". Proc. Matemáticas de Londres. Soc . 4 .
• Clifford, WK (1882). Tucker, R. (ed.). Artículos matemáticos . Londres: Macmillan.
• Carnahan, S., Notas del seminario de Borcherds, sin cortes, semana 5 , Álgebras de Spinors y Clifford
• Conte, Elio (14 de noviembre de 2007). "Una interpretación y solución de tipo cuántico de la paradoja de Einstein, Podolsky y Rosen en la mecánica cuántica". arXiv : 0711.2260 [cuántico-ph].
• Conte, Elio (2012), "Sobre algunas consideraciones de la física matemática: ¿Podemos identificar el álgebra de Clifford como una estructura algebraica común para la difusión clásica y las ecuaciones de Schrödinger?", Adv. Teoría de los estudios. Física. , 6 (26): 1289-1307
• Garling, DJH (2011), Álgebras de Clifford. Una introducción , Textos para estudiantes de la London Mathematical Society, vol. 78, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-1-107-09638-7, Zbl  1235.15025
• Haile, Darrell E. (diciembre de 1984). "Sobre el álgebra de Clifford de una forma cúbica binaria". Revista Estadounidense de Matemáticas . 106 (6). Prensa de la Universidad Johns Hopkins: 1269–1280. doi :10.2307/2374394. JSTOR  2374394.
• Jagannathan, R. (2010), Sobre las álgebras generalizadas de Clifford y sus aplicaciones físicas , arXiv : 1005.4300 , Bibcode : 2010arXiv1005.4300J
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Introducción a las formas cuadráticas sobre campos , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 67, Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 0-8218-1095-2, SEÑOR  2104929, Zbl  1068.11023
• Lawson, H.Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Geometría de giro , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08542-5. Un libro de texto avanzado sobre álgebras de Clifford y sus aplicaciones a la geometría diferencial.
• Lounesto, Pertti (1993), Z. Oziewicz; B. Jancewicz; A. Borowiec (eds.), "¿Qué es un bivector?", Spinors, Twistors, Clifford Algebras and Quantum Deformations , Teorías fundamentales de la física: 153-158
• Lounesto, Pertti (1996), "Contraejemplos en álgebras de Clifford con CLICAL", Álgebras de Clifford con cálculos numéricos y simbólicos , págs. 3–30, doi :10.1007/978-1-4615-8157-4_1, ISBN 978-1-4615-8159-8
• Lounesto, Pertti (2001), Álgebras y espinores de Clifford , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-00551-7
• McCarthy, JM (1990). Introducción a la cinemática teórica. Prensa del MIT. ISBN 978-0-262-13252-7.
• Oziewicz, Z.; Sitarczyk, Sz. (1992). "Tratamiento paralelo de las álgebras de Clifford de Riemann y simpléctica". En Micali, A.; Boudet, R.; Helmstetter, J. (eds.). Álgebras de Clifford y sus aplicaciones en física matemática . Kluwer. pag. 83.ISBN​ 0-7923-1623-1.
• Perwass, Christian (2009), Álgebra geométrica con aplicaciones en ingeniería , Springer Science & Business Media, Bibcode : 2009gaae.book.....P, ISBN 978-3-540-89068-3
• Porteous, Ian R. (1995), Álgebras de Clifford y los grupos clásicos , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55177-9
• Rodríguez, Mikel; Shah, M (2008). "Action MACH: un filtro de altura de correlación promedio máxima espacio-temporal para la clasificación de acciones". Visión por computadora y reconocimiento de patrones (CVPR) .
• Sylvester, JJ (1882), Unas palabras sobre Nonions , Circulares de la Universidad Johns Hopkins, vol. I, págs. 241–2, hdl :1774.2/32845; ibídem II (1883) 46; ibídem III (1884) 7–9. Resumido en The Collected Mathematics Papers of James Joseph Sylvester (Cambridge University Press, 1909) v III . en línea y más.
• Vaz, J.; da Rocha, R. (2016), Introducción a las álgebras y espinores de Clifford , Oxford University Press , Bibcode :2016icas.book.....V, ISBN 978-0-19-878292-6
• Weinberg, S. (2002), La teoría cuántica de campos , vol. 1, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 0-521-55001-7

Otras lecturas

• Knus, Max-Albert (1991), Formas cuadráticas y hermitianas sobre anillos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 294, Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-75401-2, ISBN 3-540-52117-8, SEÑOR  1096299, Zbl  0756.11008

enlaces externos

• "Álgebra de Clifford", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Entrada de Planetmath sobre álgebras de Clifford Archivado el 15 de abril de 2005 en Wayback Machine.
• Una historia de las álgebras de Clifford (sin verificar)
• John Baez sobre las álgebras de Clifford
• Álgebra de Clifford: una introducción visual