Álgebra filtrada

En matemáticas , un álgebra filtrada es una generalización de la noción de álgebra graduada . Aparecen ejemplos en muchas ramas de las matemáticas , especialmente en álgebra homológica y teoría de la representación .

Un álgebra filtrada sobre el campo es un álgebra que tiene una secuencia creciente de subespacios de tal que ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (A,\cdot )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{0\}\subseteq F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{i}\subseteq \cdots \subseteq A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$

y que es compatible con la multiplicación en el siguiente sentido:

${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} ,\quad F_{m}\cdot F_{n}\subseteq F_{n+m}.}$

Álgebra graduada asociada

En general, existe la siguiente construcción que produce un álgebra graduada a partir de un álgebra filtrada.

Si es un álgebra filtrada, entonces el álgebra graduada asociada se define de la siguiente manera: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$

• Como un espacio vectorial

  ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }G_{n}\,,}$

  dónde,

  ${\displaystyle G_{0}=F_{0},}$ y

  ${\displaystyle \forall n>0,\ G_{n}=F_{n}/F_{n-1}\,,}$

• la multiplicación está definida por

  ${\displaystyle (x+F_{n-1})(y+F_{m-1})=x\cdot y+F_{n+m-1}}$

  para todos y . (Más precisamente, el mapa de multiplicación se combina a partir de los mapas ${\displaystyle x\in F_{n}}$ ${\displaystyle y\in F_{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)\times {\mathcal {G}}(A)\to {\mathcal {G}}(A)}$

  ${\displaystyle (F_{n}/F_{n-1})\times (F_{m}/F_{m-1})\to F_{n+m}/F_{n+m-1},\ \ \ \ \ \left(x+F_{n-1},y+F_{m-1}\right)\mapsto x\cdot y+F_{n+m-1}}$

  para todos y .) ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle m\geq 0}$

La multiplicación está bien definida y dota de la estructura de un álgebra graduada, con gradación. Además, si es asociativa , también lo es . Además, si es unitario , de modo que la unidad se encuentra en , entonces también será unitario. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ ${\displaystyle \{G_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$

Como álgebras y son distintos (con excepción del caso trivial que se califica) pero como espacios vectoriales son isomórficos . (Se puede demostrar por inducción que es isomorfo a espacios vectoriales). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}G_{i}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

Ejemplos

Cualquier álgebra graduada calificada por , por ejemplo , tiene una filtración dada por . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\textstyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$ ${\textstyle F_{n}=\bigoplus _{i=0}^{n}A_{i}}$

Un ejemplo de álgebra filtrada es el álgebra de Clifford de un espacio vectorial dotado de una forma cuadrática. El álgebra graduada asociada es el álgebra exterior de ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,q)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle \bigwedge V}$ ${\displaystyle V.}$

El álgebra simétrica sobre el dual de un espacio afín es un álgebra de polinomios filtrada ; en un espacio vectorial , se obtiene un álgebra graduada.

El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie también se filtra de forma natural. El teorema de PBW establece que el álgebra graduada asociada es simplemente . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}})}$

Los operadores diferenciales escalares en una variedad forman un álgebra filtrada donde la filtración viene dada por el grado de los operadores diferenciales. El álgebra graduada asociada es el álgebra conmutativa de funciones suaves en el haz cotangente que son polinomiales a lo largo de las fibras de la proyección . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \pi \colon T^{*}M\rightarrow M}$

El álgebra de grupo de un grupo con una función de longitud es un álgebra filtrada.

Ver también

• Filtración (matemáticas)
• Función de longitud

Referencias

• Abe, Eiichi (1980). Álgebras de Hopf. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-22240-0.

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