Álgebra de cuaterniones

Generalización de los cuaterniones a otros campos

En matemáticas , un álgebra de cuaterniones sobre un cuerpo F es un álgebra simple central A sobre F ^{[1] [2]} que tiene dimensión 4 sobre F. Toda álgebra de cuaterniones se convierte en un álgebra matricial al extender escalares (equivalentemente, tensando con una extensión de cuerpo ), es decir, para una extensión de cuerpo adecuada K de F , es isomorfa al álgebra matricial 2 × 2 sobre K . ${\displaystyle A\otimes _{F}K}$

La noción de un álgebra de cuaterniones puede verse como una generalización de los cuaterniones de Hamilton a un cuerpo base arbitrario. Los cuaterniones de Hamilton son un álgebra de cuaterniones (en el sentido anterior) sobre , y de hecho la única sobre aparte del álgebra de matrices reales 2 × 2 , salvo isomorfismo. Cuando , entonces los biquaterniones forman el álgebra de cuaterniones sobre F . ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F=\mathbb {C} }$

Estructura

Álgebra de cuaterniones aquí significa algo más general que el álgebra de cuaterniones de Hamilton . Cuando el cuerpo de coeficientes F no tiene característica 2, cada álgebra de cuaterniones sobre F puede describirse como un espacio vectorial F de 4 dimensiones con base , con las siguientes reglas de multiplicación: ${\displaystyle \{1,i,j,k\}}$

${\displaystyle i^{2}=a}$

${\displaystyle j^{2}=b}$

${\displaystyle ij=k}$

${\displaystyle ji=-k}$

donde a y b son elementos no nulos dados de F. De estas reglas obtenemos:

${\displaystyle k^{2}=ijij=-iijj=-ab}$

Los ejemplos clásicos son los cuaterniones de Hamilton ( a = b = −1) y los cuaterniones divididos ( a = −1, b = +1). En los cuaterniones divididos, y , difieren de las ecuaciones de Hamilton. ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle k^{2}=+1}$ ${\displaystyle jk=-i}$

El álgebra definida de esta manera se denota ( a , b ) _F o simplemente ( a , b ). ^[3] Cuando F tiene característica 2, también es posible una descripción explícita diferente en términos de una base de 4 elementos, pero en cualquier caso la definición de un álgebra de cuaterniones sobre F como un álgebra simple central de 4 dimensiones sobre F se aplica uniformemente en todas las características.

Un álgebra de cuaterniones ( a , b ) _F es un álgebra de división o isomorfa al álgebra matricial de matrices de 2 × 2 sobre F ; el último caso se denomina división . ^[4] La forma norma

${\displaystyle N(t+xi+yj+zk)=t^{2}-ax^{2}-by^{2}+abz^{2}\ }$

define una estructura de álgebra de división si y solo si la norma es una forma cuadrática anisotrópica , es decir, cero solo en el elemento cero. La cónica C ( a , b ) definida por

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}=z^{2}\ }$

tiene un punto ( x , y , z ) con coordenadas en F en el caso dividido. ^[5]

Solicitud

Las álgebras de cuaterniones se aplican en la teoría de números , particularmente a las formas cuadráticas . Son estructuras concretas que generan los elementos de orden dos en el grupo de Brauer de F. Para algunos cuerpos, incluidos los cuerpos de números algebraicos , cada elemento de orden 2 en su grupo de Brauer está representado por un álgebra de cuaterniones. Un teorema de Alexander Merkurjev implica que cada elemento de orden 2 en el grupo de Brauer de cualquier cuerpo está representado por un producto tensorial de álgebras de cuaterniones. ^[6] En particular, sobre cuerpos p -ádicos la construcción de álgebras de cuaterniones puede verse como el símbolo de Hilbert cuadrático de la teoría de cuerpos de clase local .

Clasificación

Es un teorema de Frobenius que sólo hay dos álgebras de cuaterniones reales: matrices 2 × 2 sobre los reales y cuaterniones reales de Hamilton.

De manera similar, sobre cualquier cuerpo local F hay exactamente dos álgebras de cuaterniones: las matrices 2 × 2 sobre F y un álgebra de división. Pero el álgebra de división de cuaterniones sobre un cuerpo local no suele ser un álgebra de división de cuaterniones sobre el cuerpo. Por ejemplo, sobre los números p -ádicos los cuaterniones de Hamilton son un álgebra de división solo cuando p es 2. Para el primo impar p , los cuaterniones de Hamilton p -ádicos son isomorfos a las matrices 2 × 2 sobre los p -ádicos. Para ver que los cuaterniones de Hamilton p -ádicos no son un álgebra de división para el primo impar p , observe que la congruencia x ² + y ² = −1 mod p es resoluble y, por lo tanto, por el lema de Hensel (aquí es donde se necesita que p sea impar), la ecuación

x2 + y2 = ^−1​

es resoluble en los números p -ádicos. Por lo tanto, el cuaternión

xi + yj + k

tiene norma 0 y por lo tanto no tiene inverso multiplicativo .

Una forma de clasificar las clases de isomorfismo del F -álgebra de todas las álgebras de cuaterniones para un cuerpo dado F es utilizar la correspondencia biunívoca entre las clases de isomorfismo de las álgebras de cuaterniones sobre F y las clases de isomorfismo de sus formas normativas .

A cada álgebra de cuaterniones A , se le puede asociar una forma cuadrática N (llamada forma norma ) en A tal que

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$

para todos los x e y en A . Resulta que las posibles formas normativas para las F -álgebras de cuaterniones son exactamente las 2-formas de Pfister .

Álgebras de cuaterniones sobre los números racionales

Las álgebras de cuaterniones sobre números racionales tienen una teoría aritmética similar, pero más complicada, que la de las extensiones cuadráticas de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .

Sea un álgebra de cuaterniones sobre y sea un lugar de , con completitud (por lo que son los números p- ádicos para algún primo p o los números reales ). Defina , que es un álgebra de cuaterniones sobre . Por lo tanto, hay dos opciones para : las matrices 2 × 2 sobre o un álgebra de división . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle B_{\nu }:=\mathbb {Q} _{\nu }\otimes _{\mathbb {Q} }B}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ ${\displaystyle B_{\nu }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$

Decimos que está dividido (o no ramificado ) en si es isomorfo a las matrices 2 × 2 sobre . Decimos que B no está dividido (o ramificado ) en si es el álgebra de división de cuaterniones sobre . Por ejemplo, los cuaterniones racionales de Hamilton no están divididos en 2 y en y están divididos en todos los primos impares. Las matrices racionales 2 × 2 están divididas en todos los lugares. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle B_{\nu }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle B_{\nu }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ ${\displaystyle \infty }$

Un álgebra de cuaterniones sobre los racionales que se divide en es análoga a un cuerpo cuadrático real y una que no se divide en es análoga a un cuerpo cuadrático imaginario . La analogía proviene de un cuerpo cuadrático que tiene incrustaciones reales cuando el polinomio mínimo para un generador se divide sobre los reales y tiene incrustaciones no reales en caso contrario. Una ilustración de la fuerza de esta analogía se refiere a los grupos unitarios en un orden de un álgebra de cuaterniones racional: es infinito si el álgebra de cuaterniones se divide en ^{[ cita requerida ]} y es finito en caso contrario ^{[ cita requerida ]} , al igual que el grupo unitario de un orden en un anillo cuadrático es infinito en el caso cuadrático real y finito en caso contrario. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

El número de lugares donde se ramifica un álgebra de cuaterniones sobre los racionales es siempre par, y esto es equivalente a la ley de reciprocidad cuadrática sobre los racionales. Además, los lugares donde B se ramifica determinan a B hasta el isomorfismo como álgebra. (En otras palabras, las álgebras de cuaterniones no isomorfas sobre los racionales no comparten el mismo conjunto de lugares ramificados). El producto de los primos en los que B se ramifica se llama discriminante de B.

Véase también

• Álgebra de composición
• Álgebra cíclica
• Álgebra de octoniones
• Orden de cuaterniones de Hurwitz
• Cuaternión de Hurwitz

Notas

1. Véase Pierce. Álgebras asociativas. Springer. Lema en la página 14.
2. Véase Milies y Sehgal, Introducción a los anillos de grupo, ejercicio 17, capítulo 2.
3. Gille y Szamuely (2006) pág. 2
4. Gille y Szamuely (2006) pág. 3
5. Gille y Szamuely (2006) pág. 7
6. Lam (2005) pág. 139

Referencias

• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Álgebras centrales simples y cohomología de Galois . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 101. Cambridge: Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511607219. ISBN . 0-521-86103-9.Zbl 1137.12001  .
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 67. American Mathematical Society . ISBN. 0-8218-1095-2.MR  2104929.Zbl 1068.11023  .​

Lectura adicional

• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). El libro de las involuciones . Colloquium Publications. Vol. 44. Con un prefacio de J. Tits. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN. 0-8218-0904-0.MR 1632779.  Zbl 0955.16001  .
• Maclachlan, Colin; Ried, Alan W. (2003). La aritmética de las variedades hiperbólicas de 3 dimensiones . Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4757-6720-9. ISBN . 0-387-98386-4.Sr. 1937957  .Véase el capítulo 2 (Álgebras de cuaterniones I) y el capítulo 7 (Álgebras de cuaterniones II).
• Chisholm, Hugh , ed. (1911). "Álgebra"  . Encyclopædia Britannica (11.ª ed.). Cambridge University Press.( Ver sección sobre cuaterniones ) .
• Álgebra de cuaterniones en Enciclopedia de Matemáticas .