En matemáticas , un álgebra de octoniones o álgebra de Cayley sobre un cuerpo F es un álgebra de composición sobre F que tiene dimensión 8 sobre F. En otras palabras, es un álgebra unital no asociativa de 8 dimensiones A sobre F con una forma cuadrática no degenerada N (llamada forma norma ) tal que
para todos los x e y en A .
El ejemplo más conocido de un álgebra de octoniones son los octoniones clásicos , que son un álgebra de octoniones sobre R , el cuerpo de los números reales . Los octoniones escindidos también forman un álgebra de octoniones sobre R. Hasta el isomorfismo del álgebra de R , estas son las únicas álgebras de octoniones sobre los reales. El álgebra de bioctoniones es el álgebra de octoniones sobre los números complejos C.
El álgebra de octoniones para N es un álgebra de división si y solo si la forma N es anisotrópica . Un álgebra de octoniones dividida es aquella para la cual la forma cuadrática N es isótropa (es decir, existe un vector x distinto de cero con N ( x ) = 0). Hasta el isomorfismo de F -álgebra, existe una única álgebra de octoniones dividida sobre cualquier cuerpo F . [1] Cuando F es algebraicamente cerrado o un cuerpo finito , estas son las únicas álgebras de octoniones sobre F .
Las álgebras de octoniones son siempre no asociativas. Sin embargo, son álgebras alternativas , siendo la alternatividad una forma más débil de asociatividad. Además, las identidades de Moufang se cumplen en cualquier álgebra de octoniones. De ello se deduce que los elementos invertibles en cualquier álgebra de octoniones forman un bucle de Moufang , al igual que los elementos de norma unitaria.
La construcción de álgebras generales de octoniones sobre un cuerpo arbitrario k fue descrita por Leonard Dickson en su libro Algebren und ihre Zahlentheorie (1927) (página 264) y repetida por Max Zorn . [2] El producto depende de la selección de un γ de k . Dados q y Q de un álgebra de cuaterniones sobre k , el octonión se escribe q + Q e. Otro octonión puede escribirse r + R e. Entonces, con * denotando la conjugación en el álgebra de cuaterniones, su producto es
La descripción en alemán que hizo Zorn de esta construcción de Cayley-Dickson contribuyó al uso persistente de este epónimo para describir la construcción de álgebras de composición .
Cohl Furey ha propuesto que las álgebras de octoniones se pueden utilizar en un intento de reconciliar los componentes del Modelo Estándar . [3]
Un teorema de Adolf Hurwitz sostiene que las clases de isomorfismo F de la forma norma se corresponden biunívocamente con las clases de isomorfismo de las F-álgebras octoniónicas . Además , las posibles formas normativas son exactamente las 3-formas de Pfister sobre F. [4]
Dado que dos F -álgebras de octoniones cualesquiera se vuelven isomorfas sobre la clausura algebraica de F , se pueden aplicar las ideas de la cohomología de Galois no abeliana . En particular, al usar el hecho de que el grupo de automorfismos de los octoniones divididos es el grupo algebraico dividido G 2 , se ve la correspondencia de las clases de isomorfismo de las F -álgebras de octoniones con las clases de isomorfismo de los G 2 - torsores sobre F . Estas clases de isomorfismo forman el conjunto de cohomología de Galois no abeliana . [5]
