Formulario Pfister

Forma cuadrática

En matemáticas , una forma de Pfister es un tipo particular de forma cuadrática , introducida por Albrecht Pfister en 1965. En lo que sigue, se consideran formas cuadráticas sobre un cuerpo F de característica no 2. Para un número natural n , una forma de Pfister n -fold sobre F es una forma cuadrática de dimensión 2 ⁿ que se puede escribir como un producto tensorial de formas cuadráticas.

${\displaystyle \langle \!\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a_{1}\rangle \otimes \langle 1,-a_{2}\rangle \otimes \cdots \otimes \langle 1,-a_{n}\rangle ,}$

para algunos elementos distintos de cero a ₁ , ..., a _n de F . ^[1] (Algunos autores omiten los signos en esta definición; la notación aquí simplifica la relación con la teoría K de Milnor , que se analiza más adelante). Una forma de Pfister de n pliegues también se puede construir inductivamente a partir de una forma de Pfister de ( n −1) pliegues q y un elemento distinto de cero a de F , como . ${\displaystyle q\oplus (-a)q}$

Así, las formas Pfister de 1 y 2 pliegues se ven así:

${\displaystyle \langle \!\langle a\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a\rangle =x^{2}-ay^{2}}$.

${\displaystyle \langle \!\langle a,b\rangle \!\rangle \cong \langle 1,-a,-b,ab\rangle =x^{2}-ay^{2}-bz^{2}+abw^{2}.}$

Para n ≤ 3, las formas de Pfister n -fold son formas normativas de álgebras de composición . ^[2] En ese caso, dos formas de Pfister n -fold son isomorfas si y solo si las álgebras de composición correspondientes son isomorfas. En particular, esto da la clasificación de las álgebras de octoniones .

Las formas de Pfister de n pliegues generan de forma aditiva la potencia n -ésima I ⁿ del ideal fundamental del anillo de Witt de F . ^[2]

Caracterizaciones

Una forma cuadrática q sobre un cuerpo F es multiplicativa si, para vectores de indeterminados x e y , podemos escribir q ( x ). q ( y ) = q ( z ) para algún vector z de funciones racionales en x e y sobre F . Las formas cuadráticas isotrópicas son multiplicativas. ^[3] Para formas cuadráticas anisotrópicas , las formas de Pfister son multiplicativas, y viceversa. ^[4]

Para las formas de Pfister de n pliegues con n ≤ 3, esto se conocía desde el siglo XIX; en ese caso, z puede tomarse como bilineal en x e y , por las propiedades de las álgebras de composición. Fue un descubrimiento notable de Pfister que las formas de Pfister de n pliegues para todos los n son multiplicativas en el sentido más general aquí, involucrando funciones racionales. Por ejemplo, dedujo que para cualquier cuerpo F y cualquier número natural n , el conjunto de sumas de 2 ⁿ cuadrados en F es cerrado bajo multiplicación, usando que la forma cuadrática es una forma de Pfister de n pliegues (es decir, ). ^[5] ${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{2^{n}}^{2}}$ ${\displaystyle \langle \!\langle -1,\ldots ,-1\rangle \!\rangle }$

Otra característica sorprendente de las formas de Pfister es que cada forma de Pfister isótropa es de hecho hiperbólica, es decir, isomorfa a una suma directa de copias del plano hiperbólico . Esta propiedad también caracteriza a las formas de Pfister, como sigue: Si q es una forma cuadrática anisotrópica sobre un cuerpo F , y si q se vuelve hiperbólica sobre cada cuerpo de extensión E tal que q se vuelve isótropa sobre E , entonces q es isomorfa a a φ para algún a distinto de cero en F y alguna forma de Pfister φ sobre F . ^[6] ${\displaystyle \langle 1,-1\rangle }$

Conexión conK-teoría

Sea k _n ( F ) el n -ésimo grupo K de Milnor módulo 2. Existe un homomorfismo de k _n ( F ) al cociente I ⁿ / I ^{n +1} en el anillo de Witt de F , dado por

${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \!\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \!\rangle ,}$

donde la imagen es una forma de Pfister n -fold. ^[7] El homomorfismo es sobreyectivo , ya que las formas de Pfister generan aditivamente I ⁿ . Una parte de la conjetura de Milnor , probada por Orlov, Vishik y Voevodsky , establece que este homomorfismo es de hecho un isomorfismo k _n ( F ) ≅ I ⁿ / I ^{n +1} . ^[8] Esto da una descripción explícita del grupo abeliano I ⁿ / I ^{n +1} por generadores y relaciones . La otra parte de la conjetura de Milnor, probada por Voevodsky, dice que k _n ( F ) (y por lo tanto I ⁿ / I ^{n +1} ) se asigna isomórficamente al grupo de cohomología de Galois H ⁿ ( F , F ₂ ).

Vecinos de Pfister

Un vecino de Pfister es una forma anisotrópica σ que es isomorfa a una subforma de a φ para algún a distinto de cero en F y alguna forma de Pfister φ con dim φ < 2 dim σ. ^[9] La forma de Pfister asociada φ está determinada hasta el isomorfismo por σ. Toda forma anisotrópica de dimensión 3 es un vecino de Pfister; una forma anisotrópica de dimensión 4 es un vecino de Pfister si y solo si su discriminante en F ^* /( F ^* ) ² es trivial. ^[10] Un cuerpo F tiene la propiedad de que toda forma anisotrópica de 5 dimensiones sobre F es un vecino de Pfister si y solo si es un cuerpo vinculado . ^[11]

Notas

1. Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), sección 9.B.
2. Lam (2005) pág. 316
3. Lam (2005) pág. 324
4. Lam (2005) pág. 325
5. Lam (2005) pág. 319
6. Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), Corolario 23.4.
7. Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), sección 5.
8. Orlov, Vishik, Voevodsky (2007).
9. Elman, Karpenko, Merkurjev (2008), Definición 23.10.
10. Lam (2005) pág. 341
11. Lam (2005) pág. 342

Referencias

• Elman, Richard ; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008), Teoría algebraica y geométrica de formas cuadráticas , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4329-1, Sr.  2427530
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 67, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1095-2, MR  2104929, Zbl  1068.11023, Cap. 10
• Orlov, Dmitri; Vishik, Alexander; Voevodsky, Vladimir (2007), "Una secuencia exacta para K _* ^M /2 con aplicaciones a formas cuadráticas", Annals of Mathematics , 165 : 1–13, arXiv : math/0101023 , doi :10.4007/annals.2007.165.1, MR  2276765