Álgebra alternativa

En álgebra abstracta , un álgebra alternativa es un álgebra en la que la multiplicación no necesita ser asociativa , sólo alternativa . Es decir, hay que tener

• ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$

para todo x e y en el álgebra.

Toda álgebra asociativa es obviamente alternativa, pero también lo son algunas álgebras estrictamente no asociativas como los octoniones .

el asociador

Las álgebras alternativas se denominan así porque son aquellas en las que el asociador alterna . El asociador es un mapa trilineal dado por

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}$.

Por definición, un mapa multilineal es alterno si desaparece cuando dos de sus argumentos son iguales. Las identidades alternativas izquierda y derecha para un álgebra son equivalentes a ^[1]

${\displaystyle [x,x,y]=0}$

${\displaystyle [y,x,x]=0.}$

Ambas identidades juntas implican que

${\displaystyle [x,y,x]=[x,x,x]+[x,y,x]-[x,x+y,x+y]=[x,x+y,-y]=[x,x,-y]-[x,y,y]=0}$

para todos y . Esto es equivalente a la identidad flexible ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

Por tanto, el asociador de un álgebra alternativa es alterno. Por el contrario , cualquier álgebra cuyo asociador sea alterno es claramente alternativa. Por simetría, cualquier álgebra que satisfaga dos de:

• Identidad alternativa izquierda: ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• identidad alternativa correcta: ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$
• identidad flexible: ${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

es alternativa y por lo tanto satisface las tres identidades.

Un asociador alterno siempre es totalmente asimétrico. Eso es,

${\displaystyle [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]}$

para cualquier permutación . Lo contrario es válido siempre que la característica del campo base no sea 2. ${\displaystyle \sigma }$

Ejemplos

• Toda álgebra asociativa es alternativa.
• Los octoniones forman un álgebra alternativa no asociativa, un álgebra de división normada de dimensión 8 sobre los números reales . ^[3]
• De manera más general, cualquier álgebra de octoniones es alternativa.

No ejemplos

• Los sedeniones y todas las álgebras superiores de Cayley-Dickson pierden alternatividad.

Propiedades

El teorema de Artin establece que en un álgebra alternativa la subálgebra generada por dos elementos cualesquiera es asociativa . ^[4] Por el contrario, cualquier álgebra para la que esto sea cierto es claramente alternativa. De ello se deduce que las expresiones que involucran sólo dos variables se pueden escribir sin ambigüedades y sin paréntesis en un álgebra alternativa. Una generalización del teorema de Artin establece que siempre que tres elementos en un álgebra alternativa se asocian (es decir, ), la subálgebra generada por esos elementos es asociativa. ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle [x,y,z]=0}$

Un corolario del teorema de Artin es que las álgebras alternativas son asociativas de poder , es decir, la subálgebra generada por un solo elemento es asociativa. ^[5] No es necesario que ocurra lo contrario: las sedeniones son asociativas de poder pero no alternativas.

Las identidades Moufang

• ${\displaystyle a(x(ay))=(axa)y}$
• ${\displaystyle ((xa)y)a=x(aya)}$
• ${\displaystyle (ax)(ya)=a(xy)a}$

mantener en cualquier álgebra alternativa. ^[2]

En un álgebra alternativa unital, los inversos multiplicativos son únicos siempre que existan. Además, para cualquier elemento invertible y todos uno tiene ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y=x^{-1}(xy).}$

Esto equivale a decir que el asociador desaparece para todos esos y . ${\displaystyle [x^{-1},x,y]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Si y son invertibles, entonces también lo es con inversa . Por tanto, el conjunto de todos los elementos invertibles se cierra en la multiplicación y forma un bucle de Moufang . Este bucle de unidades en un anillo o álgebra alternativa es análogo al grupo de unidades en un anillo o álgebra asociativa . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}$

El teorema de Kleinfeld establece que cualquier anillo alternativo no asociativo simple es un álgebra de octoniones generalizada sobre su centro . ^[6] La teoría de la estructura de anillos alternativos se presenta en el libro Rings That Are Nearly Associative de Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov y Shirshov. ^[7]

Ocurrencia

El plano proyectivo sobre cualquier anillo de división alternativo es un plano de Moufang .

Cada álgebra de composición es un álgebra alternativa, como lo demostró Guy Roos en 2008: ^[8] Un álgebra de composición A sobre un campo K tiene una norma n que es un homomorfismo multiplicativo : conectar ( A , ×) y ( K , ×). ${\displaystyle n(a\times b)=n(a)\times n(b)}$

Defina la forma ( _ : _ ): A × A → K por Entonces la traza de a está dada por ( a :1) y el conjugado por a * = ( a :1)e – a donde e es el elemento base para 1. Una serie de ejercicios demuestran que un álgebra de composición es siempre un álgebra alternativa. ^[9] ${\displaystyle (a:b)=n(a+b)-n(a)-n(b).}$

Ver también

• Álgebra sobre un campo
• Álgebra de Maltsev
• anillo zorn

Referencias

1. Schafer (1995) pág. 27
2. Schafer (1995) pág. 28
3. Conway, John Horton ; Smith, Derek A. (2003). Sobre cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría . AK Peters. ISBN 1-56881-134-9. Zbl  1098.17001.
4. Schafer (1995) pág. 29
5. Schafer (1995) pág. 30
6. Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov, Shirshov. (1982) pág. 151
7. Zhevlakov, Slin'ko, Shestakov, Shirshov (1982)
8. Guy Roos (2008) "Dominios simétricos excepcionales", §1: Álgebras de Cayley, en Simetrías en análisis complejo de Bruce Gilligan y Guy Roos, volumen 468 de Matemáticas contemporáneas , Sociedad Matemática Estadounidense
9. Álgebra de composición asociativa / paradigma trascendental # Tratamiento categórico en Wikilibros

• Schafer, Richard D. (1995). Introducción a las álgebras no asociativas . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-68813-5. Zbl  0145.25601.
• Zhevlakov, KA; Slin'ko, AM; Shestakov, IP; Shirshov, AI (1982) [1978]. Anillos que son casi asociativos . Prensa académica . ISBN 0-12-779850-1. SEÑOR  0518614. Zbl  0487.17001.

enlaces externos

• Zhevlakov, KA (2001) [1994], "Anillos y álgebras alternativos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press