En matemáticas , un antihomomorfismo es un tipo de función definida sobre conjuntos con multiplicación que invierte el orden de multiplicación . Un antiautomorfismo es un antihomomorfismo invertible , es decir, un antiisomorfismo , de un conjunto hacia sí mismo. De la biyectividad se deduce que los antiautomorfismos tienen inversos, y que el inverso de un antiautomorfismo es también un antiautomorfismo.
De manera informal, un antihomomorfismo es una función que cambia el orden de multiplicación. De manera formal, un antihomomorfismo entre estructuras y es un homomorfismo , donde es igual a un conjunto, pero su multiplicación se invierte a la definida en . Denotando la multiplicación (generalmente no conmutativa ) en por , la multiplicación en , denotada por , se define por . El objeto se llama objeto opuesto a (respectivamente, grupo opuesto , álgebra opuesta , categoría opuesta , etc.).
Esta definición es equivalente a la de un homomorfismo (invertir la operación antes o después de aplicar el mapa es equivalente). Formalmente, enviar a y actuar como la identidad en los mapas es un funtor (de hecho, una involución ).
En teoría de grupos , un antihomomorfismo es una función entre dos grupos que invierte el orden de multiplicación. Por lo tanto, si φ : X → Y es un antihomomorfismo de grupo,
para todos los x , y en X .
La función que envía x a x −1 es un ejemplo de antiautomorfismo de grupo. Otro ejemplo importante es la operación de transposición en álgebra lineal , que convierte los vectores fila en vectores columna . Cualquier ecuación vector-matricial puede transponerse a una ecuación equivalente donde se invierte el orden de los factores.
En el caso de las matrices, un ejemplo de antiautomorfismo lo da la función transpuesta. Dado que tanto la inversión como la transposición dan lugar a antiautomorfismos, su composición es un automorfismo. Esta involución se suele denominar función contragrediente y proporciona un ejemplo de automorfismo externo del grupo lineal general GL( n , F ) , donde F es un cuerpo, excepto cuando | F | = 2 y n = 1 o 2 , o | F | = 3 y n = 1 (es decir, para los grupos GL(1, 2) , GL(2, 2) y GL(1, 3) ).
En la teoría de anillos , un antihomomorfismo es una función entre dos anillos que conserva la adición, pero invierte el orden de la multiplicación. Por lo tanto , φ : X → Y es un antihomomorfismo de anillo si y solo si:
para todos los x , y en X. [1 ]
Para las álgebras sobre un cuerpo K , φ debe ser una función K - lineal del espacio vectorial subyacente . Si el cuerpo subyacente tiene una involución, se puede pedir que φ sea lineal conjugado , como en la transposición conjugada, a continuación.
Con frecuencia ocurre que los antiautomorfismos son involuciones , es decir, el cuadrado del antiautomorfismo es la función identidad ; también se denominanantiautomorfismo involutivo s. Por ejemplo, en cualquier grupo la función que envíaxa suinversa x−1es un antiautomorfismo involutivo.
Un anillo con un antiautomorfismo involutivo se llama *-anillo , y estos forman una clase importante de ejemplos .
Si la fuente X o el objetivo Y son conmutativos, entonces un antihomomorfismo es lo mismo que un homomorfismo .
La composición de dos antihomomorfismos es siempre un homomorfismo, ya que invirtiendo el orden dos veces se conserva el orden. La composición de un antihomomorfismo con un homomorfismo da otro antihomomorfismo.
