Teorema del índice de Atiyah-Singer

Resultado matemático en geometría diferencial

En geometría diferencial , el teorema del índice de Atiyah-Singer , demostrado por Michael Atiyah e Isadore Singer (1963), ^[1] establece que para un operador diferencial elíptico en una variedad compacta , el índice analítico (relacionado con la dimensión del espacio de soluciones) es igual al índice topológico (definido en términos de algunos datos topológicos). Incluye muchos otros teoremas, como el teorema de Chern-Gauss-Bonnet y el teorema de Riemann-Roch , como casos especiales, y tiene aplicaciones en la física teórica . ^{[2] [3]}

Historia

El problema del índice para operadores diferenciales elípticos fue planteado por Israel Gel'fand . ^[4] Notó la invariancia de homotopía del índice y pidió una fórmula para ello mediante invariantes topológicos . Algunos de los ejemplos motivadores incluyeron el teorema de Riemann-Roch y su generalización, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , y el teorema de la signatura de Hirzebruch . Friedrich Hirzebruch y Armand Borel habían demostrado la integralidad del género  de una variedad de espín, y Atiyah sugirió que esta integralidad podría explicarse si fuera el índice del operador de Dirac (que fue redescubierto por Atiyah y Singer en 1961).

El teorema de Atiyah-Singer fue anunciado en 1963. ^[1] La prueba esbozada en este anuncio nunca fue publicada por ellos, aunque aparece en el libro de Palais. ^[5] También aparece en el "Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64" ^[6] que se celebró en París simultáneamente con el seminario dirigido por Richard Palais en la Universidad de Princeton . La última charla en París fue de Atiyah sobre variedades con borde. Su primera prueba publicada ^[7] reemplazó la teoría del cobordismo de la primera prueba con la teoría K , y la usaron para dar pruebas de varias generalizaciones en otra secuencia de artículos. ^[8]

• 1965: Sergey P. Novikov publicó sus resultados sobre la invariancia topológica de las clases racionales de Pontryagin en variedades suaves. ^[9]
• Los resultados de Robion Kirby y Laurent C. Siebenmann ^[10], combinados con el artículo de René Thom ^[11], demostraron la existencia de clases racionales de Pontryagin en variedades topológicas. Las clases racionales de Pontryagin son ingredientes esenciales del teorema del índice en variedades suaves y topológicas.
• 1969: Michael Atiyah define operadores elípticos abstractos en espacios métricos arbitrarios. Los operadores elípticos abstractos se convirtieron en protagonistas de la teoría de Kasparov y de la geometría diferencial no conmutativa de Connes. ^[12]
• 1971: Isadore Singer propone un programa integral para futuras extensiones de la teoría de índices. ^[13]
• 1972: Gennadi G. Kasparov publica su trabajo sobre la realización de la K-homología mediante operadores elípticos abstractos. ^[14]
• 1973: Atiyah, Raoul Bott y Vijay Patodi dieron una nueva prueba del teorema del índice ^[15] utilizando la ecuación de calor , descrita en un artículo de Melrose. ^[16]
• 1977: Dennis Sullivan establece su teorema sobre la existencia y unicidad de estructuras Lipschitz y cuasiconformales en variedades topológicas de dimensión distinta de 4. ^[17]
• 1983: Ezra Getzler ^[18] motivado por las ideas de Edward Witten ^[19] y Luis Alvarez-Gaume , dio una prueba corta del teorema del índice local para operadores que son localmente operadores de Dirac ; esto cubre muchos de los casos útiles.
• 1983: Nicolae Teleman demuestra que los índices analíticos de los operadores de firma con valores en fibrados vectoriales son invariantes topológicos. ^[20]
• 1984: Teleman establece el teorema del índice en variedades topológicas. ^[21]
• 1986: Alain Connes publica su artículo fundamental sobre geometría no conmutativa . ^[22]
• 1989: Simon K. Donaldson y Sullivan estudian la teoría de Yang-Mills sobre variedades cuasiconformales de dimensión 4. Introducen el operador de signatura S definido en formas diferenciales de grado dos. ^[23]
• 1990: Connes y Henri Moscovici prueban la fórmula del índice local en el contexto de la geometría no conmutativa. ^[24]
• 1994: Connes, Sullivan y Teleman demuestran el teorema del índice para operadores de firma en variedades cuasiconformales. ^[25]

Notación

• X es una variedad compacta y suave (sin límite).
• E y F son fibrados vectoriales suaves sobre X.
• D es un operador diferencial elíptico de E a F. Por lo tanto , en coordenadas locales actúa como un operador diferencial, tomando secciones suaves de E en secciones suaves de F.

Símbolo de un operador diferencial

Si D es un operador diferencial en un espacio euclidiano de orden n en k variables , entonces su símbolo es la función de 2 k variables , dada al eliminar todos los términos de orden menor que n y reemplazar por . Por lo tanto, el símbolo es homogéneo en las variables y , de grado n . El símbolo está bien definido aunque no conmuta con porque mantenemos solo los términos de orden más alto y los operadores diferenciales conmutan "hasta términos de orden inferior". El operador se llama elíptico si el símbolo es distinto de cero siempre que al menos una y sea distinta de cero. ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}}$ ${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \partial /\partial x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Ejemplo: El operador de Laplace en k variables tiene el símbolo , y por lo tanto es elíptico, ya que es distinto de cero siempre que cualquiera de las s sea distinto de cero. El operador de onda tiene el símbolo , que no es elíptico si , ya que el símbolo se anula para algunos valores distintos de cero de las y . ${\displaystyle y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle -y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

El símbolo de un operador diferencial de orden n en una variedad suave X se define de forma muy similar utilizando gráficos de coordenadas locales, y es una función en el fibrado cotangente de X , homogénea de grado n en cada espacio cotangente. (En general, los operadores diferenciales se transforman de una forma bastante complicada bajo transformadas de coordenadas (véase fibrado jet ); sin embargo, los términos de orden más alto se transforman como tensores, por lo que obtenemos funciones homogéneas bien definidas en los espacios cotangentes que son independientes de la elección de gráficos locales). De forma más general, el símbolo de un operador diferencial entre dos fibrados vectoriales E y F es una sección del pullback del fibrado Hom( E , F ) al espacio cotangente de X . El operador diferencial se llama elíptico si el elemento de Hom( E _x , F _x ) es invertible para todos los vectores cotangentes distintos de cero en cualquier punto x de X .

Una propiedad clave de los operadores elípticos es que son casi invertibles; esto está estrechamente relacionado con el hecho de que sus símbolos son casi invertibles. Más precisamente, un operador elíptico D en una variedad compacta tiene una parametriza (o pseudoinversa ) D ′ (no única ) tal que DD′ -1 y D′D -1 son ambos operadores compactos. Una consecuencia importante es que el núcleo de D es de dimensión finita, porque todos los espacios propios de los operadores compactos, excepto el núcleo, son de dimensión finita. (La pseudoinversa de un operador diferencial elíptico casi nunca es un operador diferencial. Sin embargo, es un operador pseudodiferencial elíptico ).

Índice analítico

Como el operador diferencial elíptico D tiene una pseudoinversa, es un operador de Fredholm . Cualquier operador de Fredholm tiene un índice , definido como la diferencia entre la dimensión (finita) del núcleo de D (soluciones de Df = 0), y la dimensión (finita) del conúcleo de D (las restricciones en el lado derecho de una ecuación no homogénea como Df = g , o equivalentemente el núcleo del operador adjunto). En otras palabras,

Índice( D ) = dim Ker(D) − dim Coker( D ) = dim Ker(D) − dim Ker( D* ).

Esto a veces se denomina índice analítico de D.

Ejemplo: Supongamos que la variedad es el círculo (pensado como R / Z ), y D es el operador d/dx − λ para alguna constante compleja λ. (Este es el ejemplo más simple de un operador elíptico.) Entonces el núcleo es el espacio de múltiplos de exp(λ x ) si λ es un múltiplo entero de 2π i y es 0 en caso contrario, y el núcleo del adjunto es un espacio similar con λ reemplazado por su conjugado complejo. Entonces D tiene índice 0. Este ejemplo muestra que el núcleo y el conúcleo de los operadores elípticos pueden saltar de manera discontinua a medida que varía el operador elíptico, por lo que no hay una fórmula agradable para sus dimensiones en términos de datos topológicos continuos. Sin embargo, los saltos en las dimensiones del núcleo y el conúcleo son los mismos, por lo que el índice, dado por la diferencia de sus dimensiones, de hecho varía de manera continua y puede darse en términos de datos topológicos por el teorema del índice.

Índice topológico

El índice topológico de un operador diferencial elíptico entre fibrados vectoriales suaves y en una variedad compacta -dimensional está dado por ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle (-1)^{n}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)[X]=(-1)^{n}\int _{X}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)}$

en otras palabras, el valor del componente dimensional superior de la clase de cohomología mixta en la clase de homología fundamental de la variedad hasta una diferencia de signo. Aquí, ${\displaystyle \operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \operatorname {Td} (X)}$es la clase Todd del fibrado tangente complejizado de . ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {ch} (D)}$es igual a , donde ${\displaystyle \varphi ^{-1}(\operatorname {ch} (d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))))}$
  • ${\displaystyle \varphi :H^{k}(X;\mathbb {Q} )\to H^{n+k}(B(X)/S(X);\mathbb {Q} )}$es el isomorfismo de Thom para el fibrado esférico ${\displaystyle p:B(X)/S(X)\to X}$
  • ${\displaystyle \operatorname {ch} :K(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )}$es el personaje de Chern
  • ${\displaystyle d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))}$es el "elemento de diferencia" asociado a dos fibrados vectoriales y en y un isomorfismo entre ellos en el subespacio . ${\displaystyle K(B(X)/S(X))}$ ${\displaystyle p^{*}E}$ ${\displaystyle p^{*}F}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle \sigma (D)}$ ${\displaystyle S(X)}$
  • ${\displaystyle \sigma (D)}$es el símbolo de ${\displaystyle D}$

En algunas situaciones, es posible simplificar la fórmula anterior para fines computacionales. En particular, si es una variedad orientable (compacta) de dimensión n con una clase de Euler distinta de cero , entonces aplicando el isomorfismo de Thom y dividiendo por la clase de Euler, ^{[26] [27]} el índice topológico puede expresarse como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2m}$ ${\displaystyle e(TX)}$

${\displaystyle (-1)^{m}\int _{X}{\frac {\operatorname {ch} (E)-\operatorname {ch} (F)}{e(TX)}}\operatorname {Td} (X)}$

donde la división tiene sentido al alejarse del anillo de cohomología del espacio de clasificación . ${\displaystyle e(TX)^{-1}}$ ${\displaystyle BSO}$

También se puede definir el índice topológico utilizando únicamente la teoría K (y esta definición alternativa es compatible en cierto sentido con la construcción del carácter de Chern anterior). Si X es una subvariedad compacta de una variedad Y , entonces existe una función de empuje hacia delante (o "chillido") de K( TX ) a K( TY ). El índice topológico de un elemento de K( TX ) se define como la imagen de esta operación con Y en algún espacio euclidiano, para el cual K( TY ) puede identificarse naturalmente con los enteros Z (como consecuencia de la periodicidad de Bott). Esta función es independiente de la incrustación de X en el espacio euclidiano. Ahora bien, un operador diferencial como el anterior define naturalmente un elemento de K( TX ), y la imagen en Z bajo esta función "es" el índice topológico.

Como es habitual, D es un operador diferencial elíptico entre los fibrados vectoriales E y F sobre una variedad compacta X.

El problema del índice es el siguiente: calcular el índice (analítico) de D utilizando únicamente el símbolo s y los datos topológicos derivados de la variedad y del fibrado vectorial. El teorema del índice de Atiyah-Singer resuelve este problema y establece:

El índice analítico de D es igual a su índice topológico.

A pesar de su formidable definición, el índice topológico suele ser fácil de evaluar explícitamente, lo que permite evaluar el índice analítico. (El cokernel y el kernel de un operador elíptico son, en general, extremadamente difíciles de evaluar individualmente; el teorema del índice muestra que, por lo general, podemos evaluar al menos su diferencia ). Muchos invariantes importantes de una variedad (como la signatura) se pueden dar como índice de operadores diferenciales adecuados, por lo que el teorema del índice nos permite evaluar estos invariantes en términos de datos topológicos.

Aunque el índice analítico suele ser difícil de evaluar directamente, al menos es evidente que es un número entero. El índice topológico es, por definición, un número racional, pero normalmente no resulta del todo obvio a partir de la definición que también sea integral. Por lo tanto, el teorema del índice de Atiyah-Singer implica algunas propiedades de integralidad profundas, ya que implica que el índice topológico es integral.

El índice de un operador diferencial elíptico obviamente se anula si el operador es autoadjunto. También se anula si la variedad X tiene dimensión impar, aunque existen operadores elípticos pseudodiferenciales cuyo índice no se anula en dimensiones impares.

Relación con Grothendieck–Riemann–Roch

El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch fue una de las principales motivaciones detrás del teorema del índice porque el teorema del índice es la contraparte de este teorema en el contexto de variedades reales. Ahora bien, si hay una función de variedades compactas estables casi complejas, entonces hay un diagrama conmutativo ^[28] ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}&&&\\&K(X)&{\xrightarrow[{}]{{\text{Td}}(X)\cdot {\text{ch}}}}&H(X;\mathbb {Q} )&\\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f_{*}\\&K(Y)&{\xrightarrow[{{\text{Td}}(Y)\cdot {\text{ch}}}]{}}&H(Y;\mathbb {Q} )&\\&&&\\\end{array}}}$

Si es un punto, entonces recuperamos la afirmación anterior. Aquí está el grupo de Grothendieck de fibrados vectoriales complejos. Este diagrama conmutativo es formalmente muy similar al teorema GRR porque los grupos de cohomología de la derecha se reemplazan por el anillo de Chow de una variedad suave, y el grupo de Grothendieck de la izquierda está dado por el grupo de Grothendieck de fibrados vectoriales algebraicos. ${\displaystyle Y=*}$ ${\displaystyle K(X)}$

Extensiones del teorema del índice de Atiyah-Singer

Teorema del índice de Teleman

Debido a (Teleman 1983), (Teleman 1984):

Para cualquier operador elíptico abstracto (Atiyah 1970) en una variedad topológica cerrada y orientada, el índice analítico es igual al índice topológico.

La prueba de este resultado pasa por consideraciones específicas, incluyendo la extensión de la teoría de Hodge a variedades combinatorias y de Lipschitz (Teleman 1980), (Teleman 1983), la extensión del operador de signatura de Atiyah-Singer a variedades de Lipschitz (Teleman 1983), la K-homología de Kasparov (Kasparov 1972) y el cobordismo topológico (Kirby & Siebenmann 1977).

Este resultado muestra que el teorema del índice no es simplemente una declaración de diferenciabilidad, sino más bien una declaración topológica.

Teorema del índice de Connes-Donaldson-Sullivan-Teleman

Debido a (Donaldson y Sullivan 1989), (Connes, Sullivan y Teleman 1994):

Para cualquier variedad cuasiconforme existe una construcción local de las clases características de Hirzebruch-Thom.

Esta teoría se basa en un operador de firma S , definido en formas diferenciales de grado medio en variedades cuasiconformales de dimensión par (compárese (Donaldson y Sullivan 1989)).

Utilizando el cobordismo topológico y la K-homología se puede proporcionar una declaración completa de un teorema de índice sobre variedades cuasiconformales (véase la página 678 de (Connes, Sullivan & Teleman 1994)). El trabajo (Connes, Sullivan & Teleman 1994) "proporciona construcciones locales para clases características basadas en relativos de dimensión superior de la función de Riemann medible en dimensión dos y la teoría de Yang-Mills en dimensión cuatro".

Estos resultados constituyen avances significativos en la línea del programa de Singer Prospects in Mathematics (Singer 1971). Al mismo tiempo, proporcionan también una construcción efectiva de las clases racionales de Pontrjagin en variedades topológicas. El artículo (Teleman 1985) proporciona un vínculo entre la construcción original de Thom de las clases racionales de Pontrjagin (Thom 1956) y la teoría de índices.

Es importante mencionar que la fórmula del índice es un enunciado topológico. Las teorías de obstrucción de Milnor, Kervaire, Kirby, Siebenmann, Sullivan, Donaldson muestran que sólo una minoría de variedades topológicas poseen estructuras diferenciables y éstas no son necesariamente únicas. El resultado de Sullivan sobre Lipschitz y estructuras cuasiconformales (Sullivan 1979) muestra que cualquier variedad topológica en dimensión diferente de 4 posee una estructura que es única (hasta la isotopía cercana a la identidad).

Las estructuras cuasiconformales (Connes, Sullivan y Teleman 1994) y, más generalmente, las L ^p -estructuras, p > n ( n +1)/2, introducidas por M. Hilsum (Hilsum 1999), son las estructuras analíticas más débiles en variedades topológicas de dimensión n para las que se sabe que se cumple el teorema del índice.

Otras extensiones

• El teorema de Atiyah-Singer se aplica a los operadores pseudodiferenciales elípticos de la misma manera que a los operadores diferenciales elípticos. De hecho, por razones técnicas, la mayoría de las primeras demostraciones funcionaban con operadores pseudodiferenciales en lugar de diferenciales: su flexibilidad adicional facilitaba algunos pasos de las demostraciones.
• En lugar de trabajar con un operador elíptico entre dos fibrados vectoriales, a veces resulta más conveniente trabajar con un complejo elíptico de fibrados vectoriales. La diferencia es que ahora los símbolos forman una secuencia exacta (a partir de la sección cero). En el caso en que solo haya dos fibrados distintos de cero en el complejo, esto implica que el símbolo es un isomorfismo a partir de la sección cero, por lo que un complejo elíptico con 2 términos es esencialmente lo mismo que un operador elíptico entre dos fibrados vectoriales. A la inversa, el teorema del índice para un complejo elíptico se puede reducir fácilmente al caso de un operador elíptico: los dos fibrados vectoriales están dados por las sumas de los términos pares o impares del complejo, y el operador elíptico es la suma de los operadores del complejo elíptico y sus adjuntos, restringida a la suma de los fibrados pares. $${\displaystyle 0\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \dotsm \rightarrow E_{m}\rightarrow 0}$$
• Si se permite que la variedad tenga frontera, entonces se deben poner algunas restricciones en el dominio del operador elíptico para asegurar un índice finito. Estas condiciones pueden ser locales (como exigir que las secciones en el dominio se anulen en la frontera) o condiciones globales más complicadas (como exigir que las secciones en el dominio resuelvan alguna ecuación diferencial). El caso local fue desarrollado por Atiyah y Bott, pero mostraron que muchos operadores interesantes (por ejemplo, el operador de signatura ) no admiten condiciones de frontera locales. Para manejar estos operadores, Atiyah , Patodi y Singer introdujeron condiciones de frontera globales equivalentes a unir un cilindro a la variedad a lo largo de la frontera y luego restringir el dominio a aquellas secciones que son integrables cuadradamente a lo largo del cilindro. Este punto de vista se adopta en la prueba de Melrose (1993) del teorema del índice de Atiyah-Patodi-Singer.
• En lugar de un solo operador elíptico, se puede considerar una familia de operadores elípticos parametrizados por algún espacio Y . En este caso, el índice es un elemento de la K-teoría de Y , en lugar de un entero. Si los operadores de la familia son reales, entonces el índice se encuentra en la K-teoría real de Y . Esto proporciona un poco de información adicional, ya que la función de la K-teoría real de Y a la K-teoría compleja no siempre es inyectiva.
• Si hay una acción de grupo de un grupo G en la variedad compacta X , conmutando con el operador elíptico, entonces se reemplaza la K-teoría ordinaria con la K-teoría equivariante . Además, se obtienen generalizaciones del teorema de punto fijo de Lefschetz , con términos provenientes de subvariedades de punto fijo del grupo G . Véase también: teorema del índice equivariante .
• Atiyah (1976) mostró cómo extender el teorema del índice a algunas variedades no compactas, sobre las que actúa un grupo discreto con cociente compacto. El núcleo del operador elíptico es en general de dimensión infinita en este caso, pero es posible obtener un índice finito utilizando la dimensión de un módulo sobre un álgebra de von Neumann ; este índice es en general real en lugar de entero. Esta versión se llama teorema del índice L ² y fue utilizada por Atiyah y Schmid (1977) para derivar de nuevo las propiedades de las representaciones en series discretas de grupos de Lie semisimples .
• El teorema del índice de Callias es un teorema de índice para un operador de Dirac en un espacio no compacto de dimensión impar. El índice de Atiyah-Singer solo se define en espacios compactos y se desvanece cuando su dimensión es impar. En 1978, Constantine Callias, por sugerencia de su asesor de doctorado Roman Jackiw , utilizó la anomalía axial para derivar este teorema de índice en espacios equipados con una matriz hermítica llamada campo de Higgs . ^[29] El índice del operador de Dirac es un invariante topológico que mide el enrollamiento del campo de Higgs en una esfera en el infinito. Si U es la matriz unitaria en la dirección del campo de Higgs, entonces el índice es proporcional a la integral de U ( dU ) ^{n −1} sobre la ( n −1)-esfera en el infinito. Si n es par, siempre es cero.
  • La interpretación topológica de este invariante y su relación con el índice de Hörmander propuesto por Boris Fedosov, generalizado por Lars Hörmander , fue publicada por Raoul Bott y Robert Thomas Seeley . ^[30]

Ejemplos

Teorema de Chern-Gauss-Bonnet

Supóngase que es una variedad orientada compacta de dimensión . Si tomamos como la suma de las potencias exteriores pares del fibrado cotangente, y como la suma de las potencias impares, definimos , considerado como una función de a . Entonces el índice analítico de es la característica de Euler de la cohomología de Hodge de , y el índice topológico es la integral de la clase de Euler sobre la variedad. La fórmula del índice para este operador produce el teorema de Chern–Gauss–Bonnet . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n=2r}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$ ${\displaystyle D=d+d^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \chi (M)}$ ${\displaystyle M}$

El cálculo concreto es el siguiente: según una variación del principio de desdoblamiento , si es un fibrado vectorial real de dimensión , para probar afirmaciones que involucran clases características, podemos suponer que existen fibrados lineales complejos tales que . Por lo tanto, podemos considerar las raíces de Chern , , . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n=2r}$ ${\displaystyle l_{1},\,\ldots ,\,l_{r}}$ ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =l_{1}\oplus {\overline {l_{1}}}\oplus \dotsm l_{r}\oplus {\overline {l_{r}}}}$ ${\displaystyle x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}(l_{i})}$ ${\displaystyle x_{r+i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}{\mathord {\left({\overline {l_{i}}}\right)}}=-x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )}$ ${\displaystyle i=1,\,\ldots ,\,r}$

Usando las raíces de Chern como se indicó anteriormente y las propiedades estándar de la clase de Euler, tenemos que . En cuanto al carácter de Chern y la clase de Todd, ^[31] ${\textstyle e(TM)=\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{\text{even}}-\Lambda ^{\text{odd}}\right)}}&=1-\operatorname {ch} (T^{*}M\otimes \mathbb {C} )+\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}-\ldots +(-1)^{n}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{n}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}\\&=1-\sum _{i}^{n}e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\sum _{i<j}e^{-x_{i}}e^{-x_{j}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\ldots +(-1)^{n}e^{-x_{1}}\dotsm e^{-x_{n}}(TM\otimes \mathbb {C} )\\&=\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)(TM\otimes \mathbb {C} )\\[3pt]\operatorname {Td} (TM\otimes \mathbb {C} )&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )\end{aligned}}}$

Aplicando el teorema del índice,

${\displaystyle \chi (M)=(-1)^{r}\int _{M}{\frac {\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)}{\prod _{i}^{r}x_{i}}}\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )=(-1)^{r}\int _{M}(-1)^{r}\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )=\int _{M}e(TM)}$

que es la versión "topológica" del teorema de Chern-Gauss-Bonnet (la geométrica se obtiene aplicando el homomorfismo de Chern-Weil ).

Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch

Tomemos X como una variedad compleja de dimensión (compleja) n con un fibrado vectorial holomorfo V . Sea que los fibrados vectoriales E y F sean las sumas de los fibrados de formas diferenciales con coeficientes en V de tipo (0, i ) con i par o impar, y sea el operador diferencial D la suma

${\displaystyle {\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}}$

restringido a E .

Esta derivación del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es más natural si utilizamos el teorema del índice para complejos elípticos en lugar de operadores elípticos. Podemos tomar el complejo como

${\displaystyle 0\rightarrow V\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,1}T^{*}(X)\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,2}T^{*}(X)\rightarrow \dotsm }$

con la diferencial dada por . Entonces el i'ésimo grupo de cohomología es simplemente el grupo de cohomología coherente H ⁱ ( X , V ), por lo que el índice analítico de este complejo es la característica de Euler holomorfa de V : ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\sum _{p}(-1)^{p}\dim H^{p}(X,V)=\chi (X,V)}$

Como se trata de fibrados complejos, el cálculo del índice topológico es más sencillo. Utilizando raíces de Chern y realizando cálculos similares a los del ejemplo anterior, la clase de Euler viene dada por y ${\textstyle e(TX)=\prod _{i}^{n}x_{i}(TX)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} \left(\sum _{j}^{n}(-1)^{j}V\otimes \Lambda ^{j}{\overline {T^{*}X}}\right)&=\operatorname {ch} (V)\prod _{j}^{n}\left(1-e^{x_{j}}\right)(TX)\\\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (TX)\operatorname {Td} \left({\overline {TX}}\right)&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}\prod _{j}^{n}{\frac {-x_{j}}{1-e^{x_{j}}}}(TX)\end{aligned}}}$

Aplicando el teorema del índice, obtenemos el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch :

${\displaystyle \chi (X,V)=\int _{X}\operatorname {ch} (V)\operatorname {Td} (TX)}$

De hecho , obtenemos una generalización a todas las variedades complejas: la prueba de Hirzebruch sólo funcionó para variedades complejas proyectivas X.

Teorema de la firma de Hirzebruch

El teorema de la signatura de Hirzebruch establece que la signatura de una variedad orientada compacta X de dimensión 4 k está dada por el género L de la variedad. Esto se desprende del teorema del índice de Atiyah-Singer aplicado al siguiente operador de signatura .

Los fibrados E y F están dados por los espacios propios +1 y −1 del operador sobre el fibrado de formas diferenciales de X , que actúa sobre las k -formas como veces el operador de estrella de Hodge . El operador D es el laplaciano de Hodge ${\displaystyle i^{k(k-1)}}$

${\displaystyle D\equiv \Delta \mathrel {:=} \left(\mathbf {d} +\mathbf {d^{*}} \right)^{2}}$

restringido a E , donde d es la derivada exterior de Cartan y d * es su adjunto.

El índice analítico de D es la firma de la variedad X , y su índice topológico es el género L de X , por lo que son iguales.

 género y teorema de Rochlin

El género  es un número racional definido para cualquier variedad, pero en general no es un entero. Borel y Hirzebruch demostraron que es integral para variedades de espín, y un entero par si además la dimensión es 4 módulo 8. Esto se puede deducir del teorema del índice, que implica que el género  para variedades de espín es el índice de un operador de Dirac. El factor extra de 2 en dimensiones 4 módulo 8 proviene del hecho de que en este caso el núcleo y conúcleo del operador de Dirac tienen una estructura cuaterniónica, por lo que como espacios vectoriales complejos tienen dimensiones pares, por lo que el índice es par.

En la dimensión 4, este resultado implica el teorema de Rochlin de que la firma de una variedad de espín de 4 dimensiones es divisible por 16: esto se debe a que en la dimensión 4 el género es menos un octavo de la firma.

Técnicas de prueba

Operadores pseudodiferenciales

Los operadores pseudodiferenciales se pueden explicar fácilmente en el caso de operadores de coeficientes constantes en el espacio euclidiano. En este caso, los operadores diferenciales de coeficientes constantes son simplemente las transformadas de Fourier de la multiplicación por polinomios, y los operadores pseudodiferenciales de coeficientes constantes son simplemente las transformadas de Fourier de la multiplicación por funciones más generales.

Muchas demostraciones del teorema del índice utilizan operadores pseudodiferenciales en lugar de operadores diferenciales. La razón de esto es que para muchos propósitos no hay suficientes operadores diferenciales. Por ejemplo, un pseudoinverso de un operador diferencial elíptico de orden positivo no es un operador diferencial, sino un operador pseudodiferencial. Además, existe una correspondencia directa entre los datos que representan elementos de K(B( X ), S ( X )) (funciones de acoplamiento) y los símbolos de los operadores pseudodiferenciales elípticos.

Los operadores pseudodiferenciales tienen un orden, que puede ser cualquier número real o incluso −∞, y tienen símbolos (que ya no son polinomios en el espacio cotangente), y los operadores diferenciales elípticos son aquellos cuyos símbolos son invertibles para vectores cotangentes suficientemente grandes. La mayoría de las versiones del teorema del índice se pueden extender de los operadores diferenciales elípticos a los operadores pseudodiferenciales elípticos.

Cobordismo

La prueba inicial se basó en la del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch (1954), e involucró la teoría del cobordismo y operadores pseudodiferenciales .

La idea de esta primera prueba es aproximadamente la siguiente. Considérese el anillo generado por pares ( X , V ) donde V es un fibrado vectorial liso en la variedad orientada compacta y lisa X , con relaciones de que la suma y el producto del anillo en estos generadores están dados por la unión disjunta y el producto de variedades (con las operaciones obvias en los fibrados vectoriales), y cualquier frontera de una variedad con fibrado vectorial es 0. Esto es similar al anillo de cobordismo de variedades orientadas, excepto que las variedades también tienen un fibrado vectorial. Los índices topológicos y analíticos se reinterpretan como funciones de este anillo a los enteros. Luego se comprueba que estas dos funciones son de hecho homomorfismos de anillo. Para demostrar que son lo mismo, solo es necesario comprobar que son lo mismo en un conjunto de generadores de este anillo. La teoría de cobordismo de Thom da un conjunto de generadores; por ejemplo, espacios vectoriales complejos con el fibrado trivial junto con ciertos fibrados sobre esferas de dimensión par. De este modo, el teorema del índice se puede demostrar comprobándolo en estos casos particularmente simples.

Teoría K

La primera prueba publicada de Atiyah y Singer utilizó la teoría K en lugar del cobordismo. Si i es cualquier inclusión de variedades compactas de X a Y , definieron una operación de "empuje hacia adelante" i _! sobre operadores elípticos de X a operadores elípticos de Y que preserva el índice. Al tomar Y como una esfera en la que X se incrusta, esto reduce el teorema del índice al caso de esferas. Si Y es una esfera y X es un punto incrustado en Y , entonces cualquier operador elíptico en Y es la imagen bajo i _! de algún operador elíptico en el punto. Esto reduce el teorema del índice al caso de un punto, donde es trivial.

Ecuación del calor

Atiyah, Bott y Patodi  (1973) dieron una nueva prueba del teorema del índice utilizando la ecuación del calor , véase por ejemplo Berline, Getzler y Vergne (1992). La prueba también se publicó en (Melrose 1993) y (Gilkey 1994).

Si D es un operador diferencial con D* adjunto , entonces D*D y DD* son operadores autoadjuntos cuyos valores propios distintos de cero tienen las mismas multiplicidades. Sin embargo, sus espacios propios cero pueden tener diferentes multiplicidades, ya que estas multiplicidades son las dimensiones de los núcleos de D y D* . Por lo tanto, el índice de D está dado por

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\dim \operatorname {Ker} (D^{*})=\operatorname {Tr} \left(e^{-tD^{*}D}\right)-\operatorname {Tr} \left(e^{-tDD^{*}}\right)}$

para cualquier t positivo . El lado derecho está dado por la traza de la diferencia de los núcleos de dos operadores de calor. Estos tienen una expansión asintótica para t positivo pequeño , que se puede utilizar para evaluar el límite cuando t tiende a 0, dando una prueba del teorema del índice de Atiyah-Singer. Las expansiones asintóticas para t pequeño parecen muy complicadas, pero la teoría invariante muestra que hay enormes cancelaciones entre los términos, lo que hace posible encontrar los términos principales explícitamente. Estas cancelaciones se explicaron más tarde utilizando supersimetría.

Véase también

• (-1)F  – Término en la teoría cuántica de camposPages displaying short descriptions of redirect targets
• Índice de Witten  : función de partición modificada

Citas

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Referencias

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Enlaces externos

Enlaces sobre la teoría

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Enlaces de entrevistas

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