Conjunto de cantor

Conjunto de puntos en un segmento de línea

En matemáticas , el conjunto de Cantor es un conjunto de puntos que se encuentran en un único segmento de línea y que tiene una serie de propiedades no intuitivas. Fue descubierto en 1874 por Henry John Stephen Smith ^{[1] [2] [3] [4]} y mencionado por el matemático alemán Georg Cantor en 1883. ^{[5] [6]}

Al considerar este conjunto, Cantor y otros ayudaron a sentar las bases de la topología de conjuntos puntuales moderna . La construcción más común es el conjunto ternario de Cantor , que se construye eliminando el tercio medio de un segmento de línea y repitiendo el proceso con los segmentos más cortos restantes. Cantor mencionó esta construcción ternaria solo de pasada, como un ejemplo de un conjunto perfecto que no es denso en ninguna parte (, ^[5] Anmerkungen zu §10, /p. 590).

En términos más generales, en topología, un espacio de Cantor es un espacio topológico homeomorfo al conjunto ternario de Cantor (equipado con su topología de subespacio). Por un teorema de LEJ Brouwer , esto es equivalente a ser perfecto, no vacío, compacto, metrizable y de dimensión cero. ^[7]

Expansión de un conjunto de Cantor. Cada punto del conjunto está representado aquí por una línea vertical.

Construcción y fórmula del conjunto ternario

El conjunto ternario de Cantor se crea eliminando iterativamente el tercio medio abierto de un conjunto de segmentos de línea. Se comienza eliminando el tercio medio abierto del intervalo , dejando dos segmentos de línea: . A continuación, se elimina el tercio medio abierto de cada uno de estos segmentos restantes, dejando cuatro segmentos de línea: . El conjunto ternario de Cantor contiene todos los puntos en el intervalo que no se eliminan en ningún paso de este proceso infinito . Los mismos hechos se pueden describir de forma recursiva estableciendo ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \left[0,1\right]}$ ${\textstyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]}$ ${\textstyle \left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle C_{0}:=[0,1]}$

y

${\displaystyle C_{n}:={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}{\bigl (}C_{n-1}\cup \left(2+C_{n-1}\right){\bigr )}}$

para , para que ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}:=}$ ${\displaystyle {\color {Blue}\lim _{n\to \infty }C_{n}}}$ ${\displaystyle =\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}=\bigcap _{n=m}^{\infty }C_{n}}$   Para cualquier   . ${\displaystyle m\geq 0}$

Los primeros seis pasos de este proceso se ilustran a continuación.

Utilizando la idea de transformaciones autosimilares y las fórmulas cerradas explícitas para el conjunto de Cantor son ^[8] ${\displaystyle T_{L}(x)=x/3,}$ ${\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}$ ${\displaystyle C_{n}=T_{L}(C_{n-1})\cup T_{R}(C_{n-1}),}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}=[0,1]\,\setminus \,\bigcup _{n=0}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{n}-1}\left({\frac {3k+1}{3^{n+1}}},{\frac {3k+2}{3^{n+1}}}\right)\!,}$

donde cada tercio medio se elimina como intervalo abierto del intervalo cerrado que lo rodea, o ${\textstyle \left({\frac {3k+1}{3^{n+1}}},{\frac {3k+2}{3^{n+1}}}\right)}$ ${\textstyle \left[{\frac {3k+0}{3^{n+1}}},{\frac {3k+3}{3^{n+1}}}\right]=\left[{\frac {k+0}{3^{n}}},{\frac {k+1}{3^{n}}}\right]}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{n-1}-1}\left(\left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+1}{3^{n}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]\right)\!,}$

donde el tercio medio del intervalo cerrado anterior se elimina al intersecarse con ${\textstyle \left({\frac {3k+1}{3^{n}}},{\frac {3k+2}{3^{n}}}\right)}$ ${\textstyle \left[{\frac {k+0}{3^{n-1}}},{\frac {k+1}{3^{n-1}}}\right]=\left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]}$ ${\textstyle \left[{\frac {3k+0}{3^{n}}},{\frac {3k+1}{3^{n}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{n}}},{\frac {3k+3}{3^{n}}}\right]\!.}$

Este proceso de eliminación de tercios medios es un ejemplo simple de una regla de subdivisión finita . El complemento del conjunto ternario de Cantor es un ejemplo de una cadena fractal .

En términos aritméticos, el conjunto de Cantor está formado por todos los números reales del intervalo unitario que no requieren el dígito 1 para ser expresados ​​como fracción ternaria (base 3). Como ilustra el diagrama anterior, cada punto del conjunto de Cantor está ubicado de manera única mediante un camino a través de un árbol binario infinitamente profundo , donde el camino gira a la izquierda o a la derecha en cada nivel según en qué lado de un segmento eliminado se encuentre el punto. Representando cada giro a la izquierda con 0 y cada giro a la derecha con 2 se obtiene la fracción ternaria de un punto. ${\displaystyle [0,1]}$

La construcción de Mandelbrot por "cuajado"

En La geometría fractal de la naturaleza , el matemático Benoit Mandelbrot ofrece un curioso experimento mental para ayudar a los lectores no matemáticos a imaginar la construcción de . Su relato comienza imaginando una barra, tal vez de metal ligero, en la que la materia de la barra se "cuaja" al desplazarse iterativamente hacia sus extremos. A medida que los segmentos de la barra se hacen más pequeños, se convierten en babosas delgadas y densas que finalmente se vuelven demasiado pequeñas y tenues para verlas. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

CUAJAR: La construcción de la barra de Cantor resulta del proceso que yo llamo cuajar. Comienza con una barra redonda. Es mejor pensar que tiene una densidad muy baja. Luego, la materia se "cuaja" desde el tercio medio de esta barra hacia los tercios finales, de modo que las posiciones de estos últimos permanecen inalteradas. A continuación, la materia se cuaja desde el tercio medio de cada tercio final hacia sus tercios finales, y así sucesivamente hasta el infinito hasta que uno queda con una cantidad infinitamente grande de trozos infinitamente delgados de densidad infinitamente alta. Estos trozos están espaciados a lo largo de la línea de la manera muy específica inducida por el proceso de generación. En esta ilustración, el cuajado (¡que finalmente requiere martillazos!) se detiene cuando tanto la prensa de la impresora como nuestro ojo dejan de seguirla; la última línea es indistinguible de la penúltima: cada una de sus partes finales se ve como un trozo gris en lugar de dos trozos negros paralelos. ^[9]

Composición

Dado que el conjunto de Cantor se define como el conjunto de puntos no excluidos, la proporción (es decir, la medida ) del intervalo unitario restante se puede encontrar mediante la longitud total eliminada. Este total es la progresión geométrica

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1.}$

De manera que la proporción que queda es 1 − 1 = 0.

Este cálculo sugiere que el conjunto de Cantor no puede contener ningún intervalo de longitud distinta de cero. Puede parecer sorprendente que quede algo: después de todo, la suma de las longitudes de los intervalos eliminados es igual a la longitud del intervalo original. Sin embargo, una mirada más atenta al proceso revela que debe quedar algo, ya que eliminar el "tercio medio" de cada intervalo implica eliminar conjuntos abiertos (conjuntos que no incluyen sus puntos finales). Por lo tanto, eliminar el segmento de línea ( ⁠1/3⁠ , ⁠2/3⁠ ) ​​del intervalo original [0, 1] deja atrás los puntos ⁠1/3⁠ y ⁠2/3⁠ . Los pasos subsiguientes no eliminan estos (u otros) puntos finales, ya que los intervalos eliminados son siempre internos a los intervalos restantes. Por lo tanto, el conjunto de Cantor no está vacío y, de hecho, contiene una cantidad infinita e incontable de puntos (como se desprende de la descripción anterior en términos de caminos en un árbol binario infinito).

Puede parecer que solo quedan los puntos finales de los segmentos de construcción, pero ese tampoco es el caso. El número ⁠1/4⁠ , por ejemplo, tiene la forma ternaria única 0,020202... = 0, 02 . Está en el tercio inferior, y en el tercio superior de ese tercio, y en el tercio inferior de ese tercio superior, y así sucesivamente. Como nunca está en uno de los segmentos intermedios, nunca se elimina. Sin embargo, tampoco es un punto final de ningún segmento intermedio, porque no es un múltiplo de ninguna potencia de 1/3. ^[10] Todos los puntos finales de los segmentos son fracciones ternarias terminales y están contenidos en el conjunto

${\displaystyle \left\{x\in [0,1]\mid \exists i\in \mathbb {N} _{0}:x\,3^{i}\in \mathbb {Z} \right\}\qquad {\Bigl (}\subset \mathbb {N} _{0}\,3^{-\mathbb {N} _{0}}{\Bigr )}}$

que es un conjunto infinito numerable . En cuanto a la cardinalidad , casi todos los elementos del conjunto de Cantor no son puntos finales de intervalos, ni puntos racionales como 1/4. De hecho, todo el conjunto de Cantor no es numerable.

Propiedades

Cardinalidad

Se puede demostrar que quedan tantos puntos en este proceso como los que había al principio y que, por lo tanto, el conjunto de Cantor es incontable . Para comprobarlo, demostramos que existe una función f del conjunto de Cantor en el intervalo cerrado [0,1] que es sobreyectiva (es decir, f se aplica a [0,1]) de modo que la cardinalidad de no es menor que la de [0,1]. Como es un subconjunto de [0,1], su cardinalidad tampoco es mayor, por lo que las dos cardinalidades deben ser, de hecho, iguales, según el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Para construir esta función, considere los puntos en el intervalo [0, 1] en términos de notación de base 3 (o ternaria ). Recordemos que las fracciones ternarias propias, más precisamente: los elementos de , admiten más de una representación en esta notación, como por ejemplo ⁠ ${\displaystyle {\bigl (}\mathbb {Z} \setminus \{0\}{\bigr )}\cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}$1/3⁠ , que se puede escribir como 0,1 ₃ = 0,1 0 ₃ , pero también como 0,0222... ₃ = 0,0 2 ₃ , y ⁠2/3⁠ , que se puede escribir como 0,2 ₃ = 0,2 0 ₃ pero también como 0,1222... ₃ = 0,1 2 ₃ . ^[11] Cuando eliminamos el tercio medio, este contiene los números con numerales ternarios de la forma 0,1xxxxx... ₃ donde xxxxx... ₃ está estrictamente entre 00000... ₃ y 22222... ₃ . Por lo tanto, los números restantes después del primer paso consisten en

• Números de la forma 0.0xxxxx... ₃ (incluido 0.022222... ₃ = 1/3)
• Números de la forma 0,2xxxxx... ₃ (incluido 0,222222... ₃ = 1)

Esto se puede resumir diciendo que aquellos números con una representación ternaria tal que el primer dígito después del punto de la base no es 1 son los que quedan después del primer paso.

El segundo paso elimina los números de la forma 0.01xxxx... ₃ y 0.21xxxx... ₃ , y (con el debido cuidado en los puntos finales) se puede concluir que los números restantes son aquellos con un numeral ternario donde ninguno de los dos primeros dígitos es 1.

Continuando de esta manera, para que un número no sea excluido en el paso n , debe tener una representación ternaria cuyo dígito n no sea 1. Para que un número esté en el conjunto de Cantor, no debe ser excluido en ningún paso, debe admitir una representación numeral compuesta enteramente de 0 y 2.

Vale la pena destacar que números como el 1 ,1/3⁠ = 0,1 ₃ y ⁠7/9⁠ = 0,21 ₃ están en el conjunto de Cantor, ya que tienen numerales ternarios que consisten enteramente en 0 y 2: 1 = 0,222 ... ₃ = 0,2 ₃ ,1/3⁠ = 0,0222... ₃ = 0,0 2 ₃ y ⁠7/9⁠ = 0,20222... ₃ = 0,20 2 ₃ . Todos los últimos números son "puntos finales", y estos ejemplos son puntos límite derechos de . Lo mismo es cierto para los puntos límite izquierdos de , por ejemplo ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$2/3⁠ = 0,1222... ₃ = 0,1 2 ₃ = 0,2 0 ₃ y ⁠8/9⁠ = 0,21222... ₃ = 0,21 2 ₃ = 0,22 0 ₃ . Todos estos puntos finales son fracciones ternarias propias (elementos de ) de la forma ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} \cdot 3^{-\mathbb {N} _{0}}}$pag/q⁠ , donde el denominador q es una potencia de 3 cuando la fracción está en su forma irreducible . ^[10] La representación ternaria de estas fracciones termina (es decir, es finita) o —recordemos de lo anterior que las fracciones ternarias propias tienen cada una 2 representaciones— es infinita y "termina" en infinitos 0 recurrentes o infinitos 2 recurrentes. Una fracción de este tipo es un punto límite izquierdo de si su representación ternaria no contiene 1 y "termina" en infinitos 0 recurrentes. De manera similar, una fracción ternaria propia es un punto límite derecho de si, a su vez, su expansión ternaria no contiene 1 y "termina" en infinitos 2 recurrentes. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Este conjunto de extremos es denso en (pero no denso en [0, 1]) y constituye un conjunto infinito numerable . Los números en los que no hay extremos también tienen sólo 0 y 2 en su representación ternaria, pero no pueden terminar en una repetición infinita del dígito 0, ni del dígito 2, porque entonces sería un extremo. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

La función de a [0,1] se define tomando los números ternarios que constan exclusivamente de 0 y 2, reemplazando todos los 2 por 1 e interpretando la secuencia como una representación binaria de un número real. En una fórmula, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle f{\bigg (}\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {a_{k}}{2}}2^{-k}}$   dónde   ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} :a_{k}\in \{0,2\}.}$

Para cualquier número y en [0,1], su representación binaria se puede traducir a una representación ternaria de un número x en reemplazando todos los 1 por 2. Con esto, f ( x ) = y de modo que y está en el rango de f . Por ejemplo, si y = ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$3/5⁠ = 0,100110011001... ₂ = 0,1001 , escribimos x = 0,2002 = 0,200220022002... ₃ = ⁠7/10⁠ . En consecuencia, f es sobreyectiva. Sin embargo, f no es inyectiva : los valores para los que f ( x ) coincide son aquellos en los extremos opuestos de uno de los tercios medios eliminados. Por ejemplo, tomemos

⁠1/3⁠ = 0,0 2 ₃ (que es un punto límite derecho y un punto límite izquierdo del tercio medio [ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$1/3⁠ , ⁠2/3⁠ ]) y

⁠2/3⁠ = 0,2 0 ₃ (que es un punto límite izquierdo y un punto límite derecho del tercio medio [ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$1/3⁠ , ⁠2/3] )

entonces

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}f{\bigl (}{}^{1}\!\!/\!_{3}{\bigr )}=f(0.0{\overline {2}}_{3})=0.0{\overline {1}}_{2}=\!\!&\!\!0.1_{2}\!\!&\!\!=0.1{\overline {0}}_{2}=f(0.2{\overline {0}}_{3})=f{\bigl (}{}^{2}\!\!/\!_{3}{\bigr )}.\\&\parallel \\&{}^{1}\!\!/\!_{2}\end{array}}}$

Por lo tanto, hay tantos puntos en el conjunto de Cantor como en el intervalo [0, 1] (que tiene la cardinalidad incontable ). Sin embargo, el conjunto de puntos finales de los intervalos eliminados es contable, por lo que debe haber una cantidad incontable de números en el conjunto de Cantor que no sean puntos finales de intervalos. Como se señaló anteriormente, un ejemplo de dicho número es ⁠ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$1/4⁠ , que puede escribirse como 0,020202... ₃ = 0, 02 en notación ternaria. De hecho, dado cualquier , existen tales que . Esto fue demostrado por primera vez por Steinhaus en 1917, quien demostró , mediante un argumento geométrico, la afirmación equivalente de que para cada . ^[12] Dado que esta construcción proporciona una inyección de a , tenemos como corolario inmediato . Suponiendo que para cualquier conjunto infinito (una afirmación que Tarski demostró que es equivalente al axioma de elección ), esto proporciona otra demostración de que . ${\displaystyle a\in [-1,1]}$ ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle a=y-x}$ ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x+a\}\;\cap \;({\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}})\neq \emptyset }$ ${\displaystyle a\in [-1,1]}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}|\geq |[-1,1]|={\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle |A\times A|=|A|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |{\mathcal {C}}|={\mathfrak {c}}}$

El conjunto de Cantor contiene tantos puntos como el intervalo del que se toma, pero no contiene ningún intervalo de longitud distinta de cero. Los números irracionales tienen la misma propiedad, pero el conjunto de Cantor tiene la propiedad adicional de ser cerrado , por lo que ni siquiera es denso en ningún intervalo, a diferencia de los números irracionales que son densos en todos los intervalos.

Se ha conjeturado que todos los números irracionales algebraicos son normales . Dado que los miembros del conjunto de Cantor no son normales, esto implicaría que todos los miembros del conjunto de Cantor son racionales o trascendentales .

Autosimilitud

El conjunto de Cantor es el prototipo de un fractal . Es autosimilar , porque es igual a dos copias de sí mismo, si cada copia se reduce por un factor de 3 y se traslada. Más precisamente, el conjunto de Cantor es igual a la unión de dos funciones, las transformaciones de autosimilitud izquierda y derecha de sí mismo, y , que dejan al conjunto de Cantor invariante hasta el homeomorfismo : ${\displaystyle T_{L}(x)=x/3}$ ${\displaystyle T_{R}(x)=(2+x)/3}$ ${\displaystyle T_{L}({\mathcal {C}})\cong T_{R}({\mathcal {C}})\cong {\mathcal {C}}=T_{L}({\mathcal {C}})\cup T_{R}({\mathcal {C}}).}$

La iteración repetida de y se puede visualizar como un árbol binario infinito . Es decir, en cada nodo del árbol, se puede considerar el subárbol a la izquierda o a la derecha. Al tomar el conjunto junto con la composición de funciones se forma un monoide , el monoide diádico . ${\displaystyle T_{L}}$ ${\displaystyle T_{R}}$ ${\displaystyle \{T_{L},T_{R}\}}$

Los automorfismos del árbol binario son sus rotaciones hiperbólicas, y están dados por el grupo modular . Por lo tanto, el conjunto de Cantor es un espacio homogéneo en el sentido de que para dos puntos cualesquiera y en el conjunto de Cantor , existe un homeomorfismo con . Una construcción explícita de se puede describir más fácilmente si vemos el conjunto de Cantor como un espacio producto de un número contable de copias del espacio discreto . Entonces, la función definida por es un homeomorfismo involutivo que intercambia y . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle h:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle h(x)=y}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle h:\{0,1\}^{\mathbb {N} }\to \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle h_{n}(u):=u_{n}+x_{n}+y_{n}\mod 2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Derecho de conservación

Se ha descubierto que alguna forma de ley de conservación es siempre responsable del escalamiento y la autosimilitud. En el caso del conjunto de Cantor se puede ver que el momento th (donde es la dimensión fractal ) de todos los intervalos supervivientes en cualquier etapa del proceso de construcción es igual a una constante que es uno en el caso del conjunto de Cantor. ^{[13] [14]} Sabemos que hay intervalos de tamaño presentes en el sistema en el paso th de su construcción. Entonces, si etiquetamos los intervalos supervivientes como entonces el momento th es ya que . ${\displaystyle d_{f}}$ ${\displaystyle d_{f}=\ln(2)/\ln(3)}$ ${\displaystyle N=2^{n}}$ ${\displaystyle 1/3^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{2^{n}}}$ ${\displaystyle d_{f}}$ ${\displaystyle x_{1}^{d_{f}}+x_{2}^{d_{f}}+\cdots +x_{2^{n}}^{d_{f}}=1}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{n}}=1/3^{n}}$

La dimensión de Hausdorff del conjunto de Cantor es igual a ln(2)/ln(3) ≈ 0,631.

Propiedades topológicas y analíticas

Aunque "el" conjunto de Cantor normalmente se refiere al conjunto de Cantor original, de tercios medios, descrito anteriormente, los topólogos a menudo hablan de "un" conjunto de Cantor, lo que significa cualquier espacio topológico que sea homeomorfo (topológicamente equivalente) a él.

Como muestra el argumento de suma anterior, el conjunto de Cantor es incontable pero tiene medida de Lebesgue 0. Como el conjunto de Cantor es el complemento de una unión de conjuntos abiertos , es en sí mismo un subconjunto cerrado de los reales y, por lo tanto, un espacio métrico completo . Como también está totalmente acotado , el teorema de Heine-Borel dice que debe ser compacto .

Para cualquier punto del conjunto de Cantor y cualquier vecindad arbitrariamente pequeña del punto, existe algún otro número con un numeral ternario de solo 0 y 2, así como números cuyos numerales ternarios contienen 1. Por lo tanto, cada punto del conjunto de Cantor es un punto de acumulación (también llamado punto de agrupamiento o punto límite) del conjunto de Cantor, pero ninguno es un punto interior . Un conjunto cerrado en el que cada punto es un punto de acumulación también se denomina conjunto perfecto en topología , mientras que un subconjunto cerrado del intervalo sin puntos interiores no es denso en ninguna parte del intervalo.

Cada punto del conjunto de Cantor es también un punto de acumulación del complemento del conjunto de Cantor.

Para dos puntos cualesquiera en el conjunto de Cantor, habrá algún dígito ternario donde difieran: uno tendrá 0 y el otro 2. Al dividir el conjunto de Cantor en "mitades" dependiendo del valor de este dígito, se obtiene una partición del conjunto de Cantor en dos conjuntos cerrados que separan los dos puntos originales. En la topología relativa en el conjunto de Cantor, los puntos han sido separados por un conjunto clopen . En consecuencia, el conjunto de Cantor está totalmente desconectado . Como un espacio de Hausdorff compacto totalmente desconectado , el conjunto de Cantor es un ejemplo de un espacio de Stone .

Como espacio topológico, el conjunto de Cantor es naturalmente homeomorfo al producto de un número contable de copias del espacio , donde cada copia lleva la topología discreta . Este es el espacio de todas las secuencias en dos dígitos ${\displaystyle \{0,1\}}$

${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }=\{(x_{n})\mid x_{n}\in \{0,1\}{\text{ for }}n\in \mathbb {N} \},}$

que también puede identificarse con el conjunto de los enteros 2-ádicos . La base de los conjuntos abiertos de la topología del producto son los conjuntos cilíndricos ; el homeomorfismo los asigna a la topología del subespacio que el conjunto de Cantor hereda de la topología natural en la recta real . Esta caracterización del espacio de Cantor como un producto de espacios compactos proporciona una segunda prueba de que el espacio de Cantor es compacto, a través del teorema de Tichonoff .

De la caracterización anterior, el conjunto de Cantor es homeomorfo a los números enteros p -ádicos y, si se le quita un punto, a los números p -ádicos .

El conjunto de Cantor es un subconjunto de los números reales, que son un espacio métrico con respecto a la métrica de distancia ordinaria ; por lo tanto, el conjunto de Cantor en sí mismo es un espacio métrico, al usar esa misma métrica. Alternativamente, se puede usar la métrica p -ádica en : dadas dos secuencias , la distancia entre ellas es , donde es el índice más pequeño tal que ; si no existe tal índice, entonces las dos secuencias son iguales y se define la distancia como cero. Estas dos métricas generan la misma topología en el conjunto de Cantor. ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (x_{n}),(y_{n})\in 2^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d((x_{n}),(y_{n}))=2^{-k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{k}\neq y_{k}}$

Hemos visto anteriormente que el conjunto de Cantor es un espacio métrico compacto perfecto totalmente desconectado . De hecho, en cierto sentido es el único: todo espacio métrico compacto perfecto totalmente desconectado no vacío es homeomorfo al conjunto de Cantor. Véase Espacio de Cantor para más información sobre espacios homeomorfos al conjunto de Cantor.

El conjunto de Cantor se considera a veces como "universal" en la categoría de espacios métricos compactos , ya que cualquier espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor; sin embargo, esta construcción no es única y, por lo tanto, el conjunto de Cantor no es universal en el sentido categórico preciso . La propiedad "universal" tiene aplicaciones importantes en el análisis funcional , donde a veces se la conoce como el teorema de representación para espacios métricos compactos . ^[15]

Para cualquier entero q ≥ 2, la topología en el grupo G = Z _q ^ω (la suma directa contable) es discreta. Aunque el dual de Pontrjagin Γ también es Z _q ^ω , la topología de Γ es compacta. Se puede ver que Γ es totalmente desconectado y perfecto - por lo tanto es homeomorfo al conjunto de Cantor. Es más fácil escribir el homeomorfismo explícitamente en el caso q = 2. (Véase Rudin 1962 p 40.)

Medida y probabilidad

El conjunto de Cantor puede verse como el grupo compacto de secuencias binarias y, como tal, está dotado de una medida de Haar natural . Cuando se normaliza de modo que la medida del conjunto sea 1, es un modelo de una secuencia infinita de lanzamientos de moneda. Además, se puede demostrar que la medida de Lebesgue habitual en el intervalo es una imagen de la medida de Haar en el conjunto de Cantor, mientras que la inyección natural en el conjunto ternario es un ejemplo canónico de una medida singular . También se puede demostrar que la medida de Haar es una imagen de cualquier probabilidad , lo que convierte al conjunto de Cantor en un espacio de probabilidad universal en algunos sentidos.

En la teoría de la medida de Lebesgue , el conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto que es incontable y tiene medida cero. ^[16] Por el contrario, el conjunto tiene una medida de Hausdorff de 1 en su dimensión de log 2 / log 3. ^[17]

Números de cantor

Si definimos un número de Cantor como un miembro del conjunto de Cantor, entonces ^[18]

1. Todo número real en [0, 2] es la suma de dos números de Cantor.
2. Entre dos números de Cantor hay un número que no es un número de Cantor.

Teoría descriptiva de conjuntos

El conjunto de Cantor es un conjunto exiguo (o un conjunto de primera categoría) como subconjunto de [0,1] (aunque no como subconjunto de sí mismo, puesto que es un espacio de Baire ). El conjunto de Cantor demuestra así que las nociones de "tamaño" en términos de cardinalidad, medida y categoría (de Baire) no tienen por qué coincidir. Al igual que el conjunto , el conjunto de Cantor es "pequeño" en el sentido de que es un conjunto nulo (un conjunto de medida cero) y es un subconjunto exiguo de [0,1]. Sin embargo, a diferencia de , que es numerable y tiene una cardinalidad "pequeña", , la cardinalidad de es la misma que la de [0,1], el continuo , y es "grande" en el sentido de cardinalidad. De hecho, también es posible construir un subconjunto de [0,1] que sea magro pero de medida positiva y un subconjunto que no sea magro pero de medida cero: ^[19] Al tomar la unión contable de conjuntos de medida de Cantor "gordos" (ver el conjunto de Smith–Volterra–Cantor a continuación para la construcción), obtenemos un conjunto que tiene una medida positiva (igual a 1) pero es magro en [0,1], ya que cada uno no es denso en ninguna parte. Luego considere el conjunto . Dado que , no puede ser magro, pero dado que , debe tener medida cero. ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}$ ${\displaystyle \lambda =(n-1)/n}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{(n)}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=[0,1]\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {C}}^{(n)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }=[0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle \mu ({\mathcal {A}})=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathrm {c} }}$

Variantes

Gráfica radial de los primeros diez pasos ^[20]

Conjunto Smith-Volterra-Cantor

En lugar de eliminar repetidamente el tercio medio de cada pieza como en el conjunto de Cantor, también podríamos seguir eliminando cualquier otro porcentaje fijo (excepto 0% y 100%) del medio. En el caso en que el tercio medio ⁠8/10⁠ del intervalo se elimina, obtenemos un caso notablemente accesible: el conjunto consta de todos los números en [0,1] que se pueden escribir como un decimal que consta enteramente de 0 y 9. Si se elimina un porcentaje fijo en cada etapa, entonces el conjunto límite tendrá medida cero, ya que la longitud del resto como para cualquier tal que . ${\displaystyle (1-f)^{n}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0<f\leq 1}$

Por otra parte, los "conjuntos de Cantor gordos" de medida positiva se pueden generar eliminando fracciones más pequeñas de la mitad del segmento en cada iteración. Por lo tanto, se pueden construir conjuntos homeomorfos al conjunto de Cantor que tienen una medida de Lebesgue positiva sin dejar de ser densos en ningún punto. Si se elimina un intervalo de longitud ( ) de la mitad de cada segmento en la n -ésima iteración, entonces la longitud total eliminada es , y el conjunto límite tendrá una medida de Lebesgue de . Por lo tanto, en cierto sentido, el conjunto de Cantor de tercios medios es un caso límite con . Si , entonces el resto tendrá una medida positiva con . El caso se conoce como el conjunto de Smith-Volterra-Cantor , que tiene una medida de Lebesgue de . ${\displaystyle r^{n}}$ ${\displaystyle r\leq 1/3}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n-1}r^{n}=r/(1-2r)}$ ${\displaystyle \lambda =(1-3r)/(1-2r)}$ ${\displaystyle r=1/3}$ ${\displaystyle 0<r<1/3}$ ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ ${\displaystyle r=1/4}$ ${\displaystyle 1/2}$

Conjunto de Cantor estocástico

Se puede modificar la construcción del conjunto de Cantor dividiendo aleatoriamente en lugar de hacerlo de manera equitativa. Además, para incorporar el tiempo, podemos dividir solo uno de los intervalos disponibles en cada paso en lugar de dividir todos los intervalos disponibles. En el caso del conjunto de Cantor triádico estocástico, el proceso resultante se puede describir mediante la siguiente ecuación de velocidad ^{[13] [14]}

${\displaystyle {\frac {\partial c(x,t)}{\partial t}}=-{\frac {x^{2}}{2}}c(x,t)+2\int _{x}^{\infty }(y-x)c(y,t)\,dy,}$

y para el conjunto diádico estocástico de Cantor ^[21]

${\displaystyle {{\partial c(x,t)} \over {\partial t}}=-xc(x,t)+(1+p)\int _{x}^{\infty }c(y,t)\,dy,}$

donde es el número de intervalos de tamaño entre y . En el caso del conjunto de Cantor triádico, la dimensión fractal es que es menor que su contraparte determinista . En el caso del conjunto de Cantor diádico estocástico, la dimensión fractal es que es nuevamente menor que la de su contraparte determinista . En el caso del conjunto de Cantor diádico estocástico, la solución para exhibe escalamiento dinámico ya que su solución en el límite de tiempo largo es donde la dimensión fractal del conjunto de Cantor diádico estocástico . En cualquier caso, como el conjunto de Cantor triádico, el momento th ( ) del conjunto de Cantor triádico y diádico estocástico también son cantidades conservadas. ${\displaystyle c(x,t)dx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+dx}$ ${\displaystyle 0.5616}$ ${\displaystyle 0.6309}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ln(1+p)/\ln 2}$ ${\displaystyle c(x,t)}$ ${\displaystyle t^{-(1+d_{f})}e^{-xt}}$ ${\displaystyle d_{f}=p}$ ${\displaystyle d_{f}}$ ${\textstyle \int x^{d_{f}}c(x,t)\,dx={\text{constant}}}$

Polvo de cantor

El polvo de Cantor es una versión multidimensional del conjunto de Cantor. Se puede formar tomando un producto cartesiano finito del conjunto de Cantor consigo mismo, convirtiéndolo en un espacio de Cantor . Al igual que el conjunto de Cantor, el polvo de Cantor tiene medida cero . ^[22]

Progresión de la recursión de los cubos de Cantor hacia el polvo de Cantor

Un análogo 2D diferente del conjunto de Cantor es la alfombra de Sierpinski , donde un cuadrado se divide en nueve cuadrados más pequeños y se elimina el del medio. Los cuadrados restantes se dividen a su vez en nueve cada uno y se elimina el del medio, y así sucesivamente hasta el infinito. ^[23] Un análogo 3D de esto es la esponja de Menger .

Observaciones históricas

Una imagen de la segunda iteración del polvo de Cantor en dos dimensiones.

Una imagen de la cuarta iteración del polvo de Cantor en dos dimensiones.

Cantor introdujo lo que hoy llamamos el conjunto ternario de Cantor como un ejemplo "de un conjunto de puntos perfecto , que no es denso en todas partes en ningún intervalo, por pequeño que sea". ^{[24] [25]} Cantor lo describió en términos de expansiones ternarias, como "el conjunto de todos los números reales dados por la fórmula: donde los coeficientes toman arbitrariamente los dos valores 0 y 2, y la serie puede consistir en un número finito o un número infinito de elementos". ^[24] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle z=c_{1}/3+c_{2}/3^{2}+\cdots +c_{\nu }/3^{\nu }+\cdots }$ ${\displaystyle c_{\nu }}$

Un espacio topológico es perfecto si todos sus puntos son puntos límite o, equivalentemente, si coincide con su conjunto derivado . Los subconjuntos de la recta real, como , pueden considerarse espacios topológicos bajo la topología de subespacios inducidos. ^[7] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Cantor se interesó en el estudio de los conjuntos derivados por sus resultados sobre la unicidad de las series trigonométricas . ^[25] Estos últimos contribuyeron en gran medida a encaminarlo hacia el desarrollo de una teoría general abstracta de conjuntos infinitos .

Benoit Mandelbrot escribió mucho sobre los polvos de Cantor y su relación con los fractales naturales y la física estadística . ^[9] Además, reflexionó sobre la naturaleza desconcertante o incluso perturbadora de tales estructuras para aquellos en la comunidad de matemáticas y física. En La geometría fractal de la naturaleza , describió cómo "Cuando comencé con este tema en 1962, todos estaban de acuerdo en que los polvos de Cantor son al menos tan monstruosos como las curvas de Koch y Peano ", y agregó que "todo físico que se precie se desanimaba automáticamente ante la mención de Cantor, listo para huir a una milla de cualquiera que dijera estar interesado en la ciencia". ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Véase también

Una imagen de la sexta iteración del polvo de Cantor en dos dimensiones.

• La función indicadora del conjunto de Cantor
• Conjunto Smith-Volterra-Cantor
• Función de cantor
• Cubo de cantor
• El collar de antoine
• Copo de nieve de Koch
• Fanático de Knaster-Kuratowski
• Lista de fractales según la dimensión de Hausdorff
• Secuencia de Moser-de Bruijn

  

  Capitel de columna con un diseño que evoca el conjunto de Cantor, pero expresado en binario en lugar de ternario. Grabado de la isla de Philae de la Description d'Égypte de Jean-Baptiste Prosper Jollois y Édouard Devilliers, Imprimerie Impériale, París, 1809-1828

Notas

1. Smith, Henry JS (1874). "Sobre la integración de funciones discontinuas". Actas de la London Mathematical Society . Primera serie. 6 : 140–153.
2. El "conjunto de Cantor" también fue descubierto por Paul du Bois-Reymond (1831-1889). Véase du Bois-Reymond, Paul (1880), "Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung", Mathematische Annalen (en alemán), 16 , nota al pie de la p. 128. El "conjunto de Cantor" también fue descubierto en 1881 por Vito Volterra (1860-1940). Véase: Volterra, Vito (1881), "Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue" [Algunas observaciones sobre la función discontinua puntual], Giornale di Matematiche (en italiano), 19 : 76–86.
3. Ferreirós, José (1999). Laberinto del pensamiento: una historia de la teoría de conjuntos y su papel en las matemáticas modernas . Basilea, Suiza: Birkhäuser Verlag. págs. 162-165. ISBN 9783034850513.
4. Stewart, Ian (26 de junio de 1997). ¿Dios juega a los dados?: Las nuevas matemáticas del caos . Penguin. ISBN 0140256024.
5. Cantor, Georg (1883). "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V" [Sobre variedades (conjuntos) de puntos lineales e infinitos, Parte 5]. Mathematische Annalen (en alemán). 21 : 545–591. doi :10.1007/bf01446819. S2CID  121930608. Archivado desde el original el 24 de septiembre de 2015 . Consultado el 10 de enero de 2011 .
6. Peitgen, HO; Jürgens, H.; Saupe, D. (2004). Caos y fractales: nuevas fronteras de la ciencia (2ª ed.). Nueva York, Nueva York: Springer Verlag. pag. 65.ISBN​ 978-1-4684-9396-2.
7. Kechris, Alexander S. (1995). Teoría clásica de conjuntos descriptivos. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 156. Springer Nueva York, NY. págs. 31, 35. doi :10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-0-387-94374-9.
8. Soltanifar, Mohsen (2006). "Una descripción diferente de una familia de conjuntos de Cantor de a media". American Journal of Undergraduate Research . 5 (2): 9–12. doi : 10.33697/ajur.2006.014 .
9. Mandelbrot, Benoit B. (1983). La geometría fractal de la naturaleza (edición actualizada y aumentada). Nueva York. ISBN 0-7167-1186-9.OCLC 36720923  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
10. Belcastro, Sarah-Marie; Green, Michael (enero de 2001), "¿El conjunto de Cantor contiene ? ¿De verdad?", The College Mathematics Journal , 32 (1): 55, doi :10.2307/2687224, JSTOR  2687224 ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$
11. Esta representación recurrente alternativa de un número con un numeral terminal ocurre en cualquier sistema posicional con valor absoluto arquimediano .
12. Carothers, NL (2000). Análisis real . Cambridge: Cambridge University Press. Págs. 31-32. ISBN. 978-0-521-69624-1.
13. Krapivsky, PL; Ben-Naim, E. (1994). "Multiescalamiento en fractales estocásticos". Physics Letters A . 196 (3–4): 168. Bibcode :1994PhLA..196..168K. doi :10.1016/0375-9601(94)91220-3.
14. Hassan, MK; Rodgers, GJ (1995). "Modelos de fragmentación y fractales estocásticos". Physics Letters A . 95 (1): 208. Bibcode :1995PhLA..208...95H. doi :10.1016/0375-9601(95)00727-K.
15. Willard, Stephen (1968). Topología general . Addison-Wesley. ASIN  B0000EG7Q0.
16. Irvine, Laura. «Teorema 36: el conjunto de Cantor es un conjunto incontable con medida cero». Teorema de la semana . Archivado desde el original el 15 de marzo de 2016. Consultado el 27 de septiembre de 2012 .
17. Falconer, KJ (24 de julio de 1986). La geometría de los conjuntos fractales (PDF) . Cambridge University Press. pp. 14-15. ISBN 9780521337052.
18. Schroeder, Manfred (1991). Fractales, caos, leyes de potencia: minutos de un paraíso infinito . Dover. pp. 164-165. ISBN. 0486472043.
19. Gelbaum, Bernard R. (1964). Contraejemplos en el análisis . Olmsted, John MH (John Meigs Hubbell), 1911-1997. San Francisco: Holden-Day. ISBN 0486428753.OCLC 527671  .
20. "Conjunto radial de Cantor".
21. Hassan, MK; Pavel, NI; Pandit, RK; Kurths, J. (2014). "Conjunto de Cantor diádico y su contraparte cinética y estocástica". Caos, solitones y fractales . 60 : 31–39. arXiv : 1401.0249 . Código Bibliográfico :2014CSF....60...31H. doi :10.1016/j.chaos.2013.12.010. S2CID  14494072.
22. Helmberg, Gilbert (2007). Familiarizándose con los fractales. Walter de Gruyter. p. 46. ISBN 978-3-11-019092-2.
23. Helmberg, Gilbert (2007). Familiarizándose con los fractales. Walter de Gruyter. p. 48. ISBN 978-3-11-019092-2.
24. Cantor, Georg (2021). «"Fundamentos de una teoría general de conjuntos: una investigación matemático-filosófica sobre la teoría del infinito", traducción al inglés de James R Meyer». www.jamesrmeyer.com . Nota al pie 22 en la Sección 10 . Consultado el 16 de mayo de 2022 .
25. Fleron, Julian F. (1994). "Una nota sobre la historia del conjunto de Cantor y la función de Cantor". Revista de matemáticas . 67 (2): 136–140. doi :10.2307/2690689. ISSN  0025-570X. JSTOR  2690689.

Referencias

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . Ejemplo 29. ISBN 978-0-486-68735-3.Sr. 0507446  .
• Wise, Gary L.; Hall, Eric B. (1993). Contraejemplos en probabilidad y análisis real . Nueva York: Oxford University Press . Capítulo 1. ISBN 0-19-507068-2.
• Falconer, KJ (24 de julio de 1986). Geometría de conjuntos fractales . Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press . ISBN 0521337054.
• Mattila, Pertti (25 de febrero de 1999). Geometría de conjuntos y medidas en el espacio euclidiano: fractales y rectificabilidad . Cambridge studies in advanced mathematics. Cambridge University Press. ISBN 0521655951.
• Mattila, Pertti (2015). Análisis de Fourier y dimensión de Hausdorff . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 9781316227619..
• Zygmund, A. (1958). Series trigonométricas, vols. I y II . Cambridge University Press.

Enlaces externos

• "Conjunto de Cantor", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Conjuntos de cantor y conjunto y función de cantor en cut-the-knot
• Cantor se encuentra en los reinos platónicos