Altura (triángulo)

La longitud de la altura, a menudo simplemente llamada "la altura", es la distancia entre la base (extendida en su caso si se trata de un triángulo obtuso) y el vértice.Por lo tanto, la altura más larga es perpendicular al lado más corto del triángulo, pues cada altura es inversamente proporcional a su respectivo lado.Las alturas también están relacionadas con los lados del triángulo a través de fórmulas trigonométricas.Si se denomina la longitud de la altura por hc, entonces se verifica la relación Para triángulos agudos y rectángulos, los pies de las alturas caen todos sobre los lados del triángulo (no extendidos).En un triángulo obtuso, el pie de la altura desde el vértice del ángulo obtuso cae en el interior del lado opuesto, pero los pies de las alturas a los vértices de los ángulos agudos caen en el lado extendido, en el exterior al triángulo Esto se ilustra en el diagrama adyacente: en este triángulo obtuso, una altura trazada perpendicularmente desde el vértice superior, que tiene un ángulo agudo, corta el lado horizontal extendido fuera del triángulo.Las tres alturas (extendidas en algunos casos) se cortan en un solo punto, llamado ortocentro del triángulo, generalmente denotado por H.[1]​[2]​ El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y solo si el triángulo es agudo (es decir, no tiene ángulo mayor o igual a un ángulo recto).[2]​ Sean A, B, C los vértices y también los ángulos de un triángulo, y sean a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| las longitudes de los lados.y coordenadas baricéntricas Como las coordenadas baricéntricas son todas positivas para un punto en el interior de un triángulo, pero al menos una es negativa para un punto en el exterior, y dos de las coordenadas baricéntricas son cero para un punto de vértice, las coordenadas baricéntricas dadas para el ortocentro muestran que el ortocentro está en el interior de un triángulo agudo, en el vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo y en el exterior a un triángulo obtuso.Entonces, el número complejo está representado por el punto H, es decir, el ortocentro del triángulo ABC.[15]​ Una circuncónica que pasa por el ortocentro de un triángulo es una hipérbola.[24]​ Esta es la solución al problema de Fagnano, planteado en 1775.Sea el triángulo BAC, con la base BC = a, en posición horizontal, la altura h relativa del lado a, uno de ángulos debe ser agudo, para el caso C < 90°; H, pie de la altura AH = h. en el lado BC y HC = m, proyección ortogonal del lado b sobre el lado a.Se presentan las alturas de los tres lados de un triángulo Considérese un triángulo arbitrario con lados a, b, c y con las correspondientes alturas ha, hb y hc.Las alturas y el radio de la circunferencia inscrita r están relacionados por[31]​: Lemma 1 Denominando la altura desde un lado de un triángulo como ha, los otros dos lados como b y c, y el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo como R, la altura viene dada por[32]​ Si p1, p2 y p3 son las distancias perpendiculares desde cualquier punto P a los lados, y h1, h2 y h3 son las alturas a los lados respectivos, entonces[33]​ Si E es cualquier punto en una altura AD de un triángulo ABC, entonces[34]​: 77–78 Para cualquier punto P dentro de un triángulo equilátero, la suma de las perpendiculares a los tres lados es igual a la altura del triángulo.En un triángulo rectángulo, las tres alturas ha, hb y hc (las dos primeras son iguales a las longitudes de los catetos b y a, respectivamente) están relacionadas según[35]​[36]​